12二次根式的性质1设计

１.２二次根式的性质(1)

二中南区尹恩芳

教学目标： 1、

会用

，

的性质，化简二次根式．

2、

通过二次根式性质

的运用,初步掌握分类讨论的思想方法．

教学重点：

的性质.

教学难点：：例2的化简教学过程:

一、复习引入：(口答）

1. 面积分别为4,9,16,15,１7，a 时的正方形的边长是多少？

２.得出性质1:2

()(0)a a ≥= .

3．快速判断：

二、探究新知

1. 合作学习：

23______=，

3=_＿______；

=__＿_＿_＿，

5-=___＿＿___;

，

______02= 0=＿_____＿_；

请比较左右两边的式子，议一议：2

a 与a 有什么关系? 当a ≥022______0_____.a a a =?=；当时，

()()()()(()22

22113______,2______,32________,73245________,5________.3===?-=--= ?

２.归纳性质2：

３．梳理新知

(1)二次根式的性质:（1

）2

（

＝

（2) 请比较两者的异同点。(小组交流)

：

5．教师归纳二次根式的性质及应用口诀：

平方在外面，直接去根号;平方在里面，夹上绝对值,分类来讨论．

6．口答:

(0)

a a a a a ≥??==?

2学生主动归纳2=

2(2)(=2(3)-==

=(6)=

三、例题教学例1计算

(2)(让学生独立完成后进行小组内交流批改，用红笔圈出错误之处并订正.)

巩固练习：计算：(

1 (

2(学生独立完成后，小组内校对批改,圈出错处订正.) 例

224253

+- （学生独立完成后进行小组交流批改，用红笔圈出错误之处，让学生说出错误原因并订正．）

练习:

四、拓展提高

例3 求下列二次根式的值:

跟踪练习

()

(2)

()

+-2223y xy x

五、课堂小结

1．怎样的式子叫二次根式?

２.怎样判断一个式子是不是二次根式？ (1) 形式上含有二次根号 (2)被开方数a 为非负数

3．如何确定二次根式中字母的取值范围?

①分母不为０ ②被开方数大于等于０ ③结合数轴,写出解集来

4．真正理解

这两个性质的含义，我们才能灵

活地去解决有关二次根式的问题。

(2)x =其中212

+-.的式子叫做二次根式(0)a ≥0,0.a ≥≥（双重非负性）

(0)

a a =≥a ==(0)

(0)

a a a a ≥-<{

初二数学二次根式及其性质

二次根式及其性质（基础）学习目标 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由 . 2、理解并掌握下列结论： " _（ *），， " （ ' J ,并利用它们进行计算和化要点梳理要点梳理要点一、二次根式及代数式的概念 1. 二次根式：一般地，我们把形如 Jy （a ≥ 0）?的式子叫做二次根式”称为二次根号. 要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为 2;②被开方数为非负数. S 2. 代数式：形如5, a ，a+b ，ab ，f ，X ，罷 g?这些式子，用基本的运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式 . 要点二、二次根式的性质 1、要点诠释： 1.二次根式LJ r （a ≥ 0）的值是非负数，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 a =（詬的取值范围不同，、' 中二≥0，中J 为任意值. ≥ 0时，L =Wj ；二＜0时，V .无意义，典型例题 2. I^I i = Ll {a ?0) = ?a 3. G @ > 0) —a 3 < C l ) 2. 要注意区别与联系: 1). 2).

类型一、二次根式的概念 G ■'属二次根式的有【变式】下列式子中二次根式的个数有( (2) y=，，' _、，'；【变式】下列格式中，一定是二次根式的是( 类型二、二次根式的性质 .当乂为实数时，下列各式 I- 【变式】(1) A. 【变式】若整数吩满足条件则叫的值是 (1) ； (2) J ： ; ( 3) W : ; (4) J ; B.3 C.4 D.5 .X 取何值时，下列函数在实数范围内有意义? A. 2 C. '1 ' D. ■- 1

二次根式的性质及运算.

一、学习内容：二次根式的性质及运算. 1.二次根式的概念：一般的，我们把形如式子叫做二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a 时，a有意义. 3. 当a≥0 4. 2= a（a≥0）反之:a= 2（a≥0）．︳a︳=?? ? ? ? 6.二次根式的乘法： a≥0，b≥0 a≥0，b≥0） 7.二次根式的除法： a≥0，b>0 a≥0，b>0） 8.满足（1）（2）上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 9.分母有理化：化去分母中的根号二、例题讲解： 1、化简：()25＝；()25-＝；()22.0 -＝；－()2л-＝；2 10-＝； 3 1 4= 2．计算：（1）14 2×7；（2）- 5 1 a3×10 3 b ； (3) (12+58)3 ?； (4) 2 224 40-； (5) ()22 3-（6）27 12 1 3 2 1 ? ÷；（7） 5 2 1 3 1 2 3 1 1? ÷； (8)；（9 ）（（10 ）（（11）50 5 1 12 2 1 8 3 2+ + -（12）12 ) 3 2 3 24 27 3 1 (? - - 例2. 已知，求的值。 413270 22 a b ab -+-= 例3. 已知，求的值。 x x x x =+ +- 31 12 2 2 例4. 化简： a a b a a b b a a b - -+ < 2 44 2 22 ()

三、练习： 1．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 2．当x ____________时，二次根式32-x 有意义． 3．比较大小：3－2______2－3． 4．计算：22)2 1 ()213(-等于__________． 5．当x>2 ______________. 6．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： a o b 则 3a －2)43(b a -＝______________． 7．若8-x ＋2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_____________ 8．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a ＝_____________， b ＝______________． 9．下列变形中，正确的是……………………………………………………………（）（A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)5 2 (-＝－52 （C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-?-＝49? 10．下列各式中，一定成立的是……………………………………………………（）（A ）2)(b a +＝a ＋b （B ）22)1(+a ＝a 2＋1 （C ）12-a ＝1+a ·1-a （D ） b a ＝b 1ab 11．若式子12-x －x 21-＋1有意义，则x 的取值范围是……………………（）（A ）x ≥ 21 （B ）x ≤21 （C ）x ＝2 1 （D ）以上都不对 12．当a ＜0，b ＜0时，把 b a 化为最简二次根式，得………………………………（）（A ） ab b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b -1 （D ）ab b 13．当a ＜0时，化简|2a －2a |的结果是………………………………………（）（A ）a （B ）－a （C ）3a （D ）－3a 14．如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（） (A) a (B) 1a 2 (C) 3 －a (D)－a 2 15．下列二次根式中，是最简二次根式的是………………………………………（） (A)8x (B)_x 2－3 (C) x －y x (D)3a 2b 16 二次根式的个数是（）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 17 ）． A ．0 B ． 23 C ．42 3 D ．以上都不对 18．当a ≥0 正确的是（）． A C ．19.在实数范围内因式分解：（1）2x 2－4 （2）x 4 -9 20．计算：（1）1 3 (212 －75 )

二次根式的概念与性质1

二次根式的概念与性质1 一．选择题（共30小题） 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 2．下列判断正确的是（） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 3．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．下列各式中，二次根式有（） ①②③④ A．1个B．2个C．3个D．4个 5．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个 6．在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 8．若有意义，则x满足条件是（） A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣3 9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣2 10．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（） A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥3 11．使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B． C．D． 12．二次根式中，字母a的取值范围是（） A．a B．a C．a D．a 13．使式子+成立的x的取值范围是（） A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2 14．若式子有意义，则实数m的取值范围是（） A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1 15．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（） A．B． C．D． 16．下列说法正确的个数有（） ①代数式的意义是a除以b的商与1的和； ②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3； ③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0； ④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2． A．1个B．2个C．3个D．4个 17．使代数式有意义的整数x有（）

二次根式定义与性质

二次根式定义及性质教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).

经典例题透析类型一：二次根式的概念例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、．例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．举一反三【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)； (2)；解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.

二次根式及其性质练习题

12．5二次根式及性质知识回顾:： 1.计算下列各式的值. （1）=449 （2）±=169 121 （3）=256 （4）04.0- 2.求下列各数的算术平方根. （1）100 （2）0.09 （3）26 （4）0 3.分解因式： (1)22y x -; (2)222b ab a +- ; (3)2282y x -. 目标解读:： 1.知道二次根式的意义. 2.掌握二次根式的基本性质. 3.会根据二次根式的基本性质进行有关计算. 基础训练: 一、填空题 1. 当x ______时，x -3有意义． 2. 已知实数a≤0= ． 3当x ______时，4 3--x x 有意义． 7. 当x _____x _____ 5. 当a ______a =；当a ________a =-． 6. 已知2a <= ．

7.x ______时，5 1-x 有意义． 8. 实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2a -+为． 9. 已知27=，则b =_________． 10. =-+)a (a ________． 11. 当a _______ 时，式子3a -有意义． 12. 0=，则a =______，b =________． 13. 已知x y ，为实数，且1y =，则x y y x +的值为________． 14. 若m 的小数部分，则2m m ++= ． 15. ()()200420032323+- ． 16. 当0x y >，时， 17. 若x ≤0 ，则化简1x --的结果是 . 18. 的整数为．二、选择题 19. 若0x ≤ ，则化简1x - ）Ａ．12x - Ｂ．21x - Ｃ．1- Ｄ．1 20. 如果等式0(1)1x += 和23x =-同时成立，那么需要的条件是（）Ａ．1x ≠- Ｂ．23x <且1x ≠- Ｃ．23x ≤或1x ≠- Ｄ．23x ≤且1x ≠-

二次根式的概念及性质

第十六章二次根式 16. 1 二次根式第1课时二次根式的概念和性质：?< 1. 二次根式的概念和应用. 2. 二次根式的非负性. 重点二次根式的概念. 难点二次根式的非负性. 一、情景导入师：(多媒体展示)请同学们看屏幕电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如果两个电视塔的高分别为 h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？由学生计算、讨论后得出结果，并提问. 生：半径之比为亠2Rh ；,暂时我们还不会对它进行化简. 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授活动1：知识迁移，归纳概念 (1) 17的算术平方根是 __________ ； (2) 如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形，斜边长应为 ____________ c m ； 2 (3) —个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ; (4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ; (5) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时的高度 h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ . 【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a ⑸- ；'5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) _ (1) 式子.a 表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子."a 才有意义？ (2) 当a >0时，百 ___________ 0；当a = 0时，需 ___________ 0；二次根式是一个 ____________ . 【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数a 必须是非负数 (2) > = 非负数老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性. 当a >0时，，a 表示a 的算术平方根，因此a > 0; 当a = 0时，，a 表示0的算术平方根，因此,-/a = 0. 也就是说，当a > 0时，? a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空.

二次根式的概念与性质

二次根式的概念与性质编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理知识点一：二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释：二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.

知识点三：代数式形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．

二次根式及其性质 (4)

二次根式教材分析（一）课程学习目标 1. 理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由； 2．了解最简二次根式的概念；3．理解二次根式的性质：（1）)0(≥a a 是非负数；（2）())0(2≥=a a a ；（3）)0(2≥=a a a ； 4．掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算 5．了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。（二）知识结构框图本章知识结构框图如下：注意：有关a 的取值及讨论. （三）课时安排本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）： 9．1 二次根式约3课时 9．2 二次根式的加减约3课时 9．3 二次根式的乘除约2课时数学活动、小结约3课时（四）内容安排本章是在第7章的基础上，进一步研究二次根式的概念、性质和运算。本章重点是二次根式的化简和运算，难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性，学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简与运算的依据。第7章“实数”中，我们学习了平方根、算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系求非负数的平方根和算术平方根的方法。全章分为三节，。教科书首先给出四个实际问题，要求学生根据已学的平方根和算术平方根

的知识写出这四个问题的答案，并分析所得结果在表达式上的特点，由此引出二次根式的概念。在二次根式的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教科书结合例题对此进行了较详细的分析。接下去，教科书采用由特殊到一般的方法，归纳给出了二次根式的性质())0(2≥=a a a ，并根据算术平方根的定义对这条性质进行了分析，对于二次根式的性质)0(2≥=a a a ，教科书同样采用了让学生通过具体计算，分析运算过程和运算结果，最后归纳得出一般结论的方法进行研究。第一节的内容是学习后两节内容的直接基础。本节首先研究了二次根式的乘法运算，教科书通过设置探究栏目，要求学生利用二次根式的性质和计算器等进行一些具体运算，发现)0(2≥=a a a 之间的关系，从而由特殊到一般地归纳得出二次根式乘法的运算法则，继而得到积的算术平方根的性质，引出化简二次根式的方法。对于二次根式的除法运算，类似于乘法运算，教科书也采用了由特殊到一般的方法，通过归纳得出二次根式除法的运算法则，继而得到商的二次根式的性质，进一步完善化简二次根式的方法。本节最后，教科书结合本章例题，给出了最简二次根式的概念，明确了化简二次根式的方向，并为下一节学习二次根式的加减运算作好铺垫。在实际生活中会遇到二次根式的加减运算，因此教科书首先结合一个实际问题引出二次根式的加法，然后结合第10章的结论“在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立”，并利用分配律得出了二次根式的加减运算法则。本节最后，在基本的二次根式的乘、除、加、减运算的基础上，教科书通过几个例题研究了二次根式的混合运算，突出了二次根式与整式之间的关系，体现了整式的运算性质、公式和法则与二次根式相关内容的一致性。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备．五、学法教法建议 1．注意加强知识间的纵向联系对于实数的内容，本套教科书主要分为两章学习，分别是七年级下册的第5章“实数”和本章“二次根式”。在“实数”一章中，主要研究了平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，通过第5章的学习，学生对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围，并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受，这些为本章的学习打下了基础。因此，教学时要注意与已有经验的联系，要在“实数”一章的基础上进行教学。例如，对于二次根式的加减运算，在“实数”一章中，为了让学生对“有理数的运算律和运算法则在实数的范围内仍然成立”有所体验，

二次根式的意义及基本性质

人教版九年级第21章第1节二次根式（2）教案教学目标 1．知识与技能（1）理解a≥0）是一个非负数；（22=a（a≥0），会运用该公式进行简单计算； 2．过程与方法（1）先复习二次根式概念及成立条件；（2）再让学生探讨a≥0a≥0）是一个非负数；（32=a（a≥0），最后运用结论严谨解题． 3．情感、态度与价值观（a≥0）的正负特征培养分类讨论的科学态度；学生通过运用 2=a（a≥0）严谨解题，加强学生准确解题的能力．教学重难点 1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用． 2．难点：用分类思想导出a≥0）是一个非负数；?2=a （a≥0）．一．课堂导入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0a<0 二．探索新知议一议：（学生分组讨论，提问解答） a≥0）是正数，负数，还是零呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空： 2=_______；2=_______；2=______；2=_______；

）2=______；2=_______；2=_______．老师点评4是一个平方等于4的 2=4．同理可得：2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72 ，）2=0，所以例1 计算 1．2 2．（）2 3．2 4．（2 ）2 分析2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32，（2 =32·2=32 ·5=45， 2=56，（2）2=2 2724=．三、巩固练习计算下列各式的值： 2 2 42 ）2 （） 2 22- 四、应用拓展例2 计算 1．（2（x≥0） 2．2 3．）2 4．）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）2≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题．

二次根式及其性质

二次根式及其性质（2）鄌郚镇中学郑全河教学目标： 1. 会根据，以及进行化简。 2. 知道什么是最简二次根式，会辨别最简二次根式。 3. 掌握二次根式乘、除法运算法则，会熟练进行计算，并将结果写为最简二次根式。重点、二次根式的性质及运算法则难点、（1）化简的分类讨论。（2）熟练进行二次根式的乘、除法运算及将二次根式化为最简二次根式。教学过程：一、观察与思考：当a ≥0时，a 2的算术平方根是多少？由此你能得到一个怎样的等式? 当a ≥0时, =a 例3 化简：（1）16，（2）2)5(- 解：16＝4 2)5(-＝5 想一想，当a ≥0时, 表示a 的算术平方根，因此有，二、交流与发现：计算下列各式，观察结果，你有什么发现？［1］ 94? 94? ［2］ 2516? 2516? ［3］ 4936? 4936? ［4］ 8164? 8164? ［5］ 121100? 121100? 这就是说，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积［注：在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数。］探一探用你发现的规律填空［判断是否相等］： ab a b a 0b 0=≥≥（，）

32?____________ 6 52?____________ 10 例4 化简 8116? ； 324b a 解：8116?= 324b a = 三、二次根式的性质的化简：（1）对于的化简，注意对被开方数，需考察它的正负数，若a 为非负数，即，则；若a 为负数，则。显然这和绝对值的化简是一致的，所以对这一性质，也可以记出中间过程。（2）公式与公式的比较 ①公式的左边是对a 先进行开平方再平方，a 是被开方数，所以必须有的条件，否则在实数范围内无意义；而公式的左边是对a 先平方再开平方，是被开方数，所以a 取任何实数，总有，因此公式在实数范围内总有意义。 ②只有在时，四、交流与发现：计算下列各式，观察结果，你有什么发现？小结：一般的，这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。例5 化简解：（让同学上黑板演示）跟踪练习：阶段小结：（1）怎样形式才算是最简二次根式？ ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。注：对最简二次根式可作如下理解： ①被开方数不含分母。 ()()2925210031y x 972)1()2 81(2)025x x >

12二次根式的性质1设计

１.２二次根式的性质(1) 二中南区尹恩芳教学目标： 1、会用，的性质，化简二次根式． 2、通过二次根式性质的运用,初步掌握分类讨论的思想方法．教学重点： , 的性质. 教学难点：：例2的化简教学过程: 一、复习引入：(口答） 1. 面积分别为4,9,16,15,１7，a 时的正方形的边长是多少？２.得出性质1:2 ()(0)a a ≥= . 3．快速判断：二、探究新知 1. 合作学习： 23______=， 3=_＿______； =__＿_＿_＿， 5-=___＿＿___; ， ______02= 0=＿_____＿_；请比较左右两边的式子，议一议：2 a 与a 有什么关系? 当a ≥022______0_____.a a a =?=；当时， a ()()()()(()22 22 22113______,2______,32________,73245________,5________.3===?-=--= ?

２.归纳性质2：３．梳理新知 (1)二次根式的性质:（1 ）2 = （＝（2) 请比较两者的异同点。(小组交流) 4. ： 5．教师归纳二次根式的性质及应用口诀：平方在外面，直接去根号;平方在里面，夹上绝对值,分类来讨论． 6．口答: (0) (0) a a a a a ≥??==? ?-

三、例题教学例1计算 : 2 (2)(让学生独立完成后进行小组内交流批改，用红笔圈出错误之处并订正.) 巩固练习：计算：( 1 ( (2 2(学生独立完成后，小组内校对批改,圈出错处订正.) 例 224253 +- （学生独立完成后进行小组交流批改，用红笔圈出错误之处，让学生说出错误原因并订正．）练习: 四、拓展提高例3 求下列二次根式的值: 跟踪练习 () () = - 2 2 11 (2) () = +-2223y xy x 五、课堂小结 1．怎样的式子叫二次根式? ２.怎样判断一个式子是不是二次根式？ (1) 形式上含有二次根号 (2)被开方数a 为非负数 3．如何确定二次根式中字母的取值范围? ①分母不为０ ②被开方数大于等于０ ③结合数轴,写出解集来 4．真正理解这两个性质的含义，我们才能灵活地去解决有关二次根式的问题。 (2)x =其中212 83 +-.的式子叫做二次根式(0)a ≥0,0.a ≥≥（双重非负性） 2 (0) a a =≥a ==(0) (0) a a a a ≥-<{

青岛版数学八年级下册9.1《二次根式和它的性质》教案

《二次根式和它的性质》教案1 教学内容二次根式的概念及其运用．教学目标 a≥0)的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键 1 a≥0)的式子叫做二次根式的概念． 2 a≥0)”解决具体问题．教学过程一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是 ___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是______ ____． A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x 求点的坐标．问题2：由勾股定理得AB 问题3：由方差的概念得S 二、探索新知

a ≥0)的式子叫做二次根式， (学生活动)议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a <0 下列式子，哪些是二次根式，、1x x >0、 -1x y +x ≥0，y ≥0)．；第二，被开方数是正数或0． x >0)、(x ≥0，y ≥0)；不是二次根 1x 1x y +．例题解析例1 当x 在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x -1≥0才能有意义．解：由3x -1≥0，得：x ≥13 当x ≥13在实数范围内有意义．例2 计算（1）；）（215 （2）；）-（2830. （3）. 223）-（三、应用拓展当x 11x +在实数范围内有意义？ 11x +在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和

二次根式性质1

怀柔区第四中学教案（2017-2018学年第一学期）教学过程预设问题： 1、什么是二次根式？ 2、二次根式应该满足的条件？ 3、二次根式的性质？一、创设情境，导入新课看教材51页后填空：二次根式的定义：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。（2）被开方数必须是数。例1.判断下列各式哪些是二次根式，并说明理由。 ⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2 )21(- ⑷ ()223≥-a a

⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02?-x x 二自探、合探看教材51页总结二次根式有意义的条件是什么？并且总结所学过的知识中代数式关于和有意义有关的知识点。二次根式有意义具备的条件：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0。（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2.当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵x -21 ⑶13-+-x x ⑵ ⑷2x ⑸3x （6）12+x 练习：教材52页，练习第二题。思考：（1）常见的非负数有：a a a ,,2 （2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 拓展：已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。三、学生展示与评价要使二次根式有意义，必须满足被开方数要大于或等于0. 四、再探（a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出（a ≥ 0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：（）2=_______；）2=_______；（2 =______；）2=_______ ；（2=______；（ 2=_______；）2=_______．

二次根式的有关概念及性质

二次根式的有关概念及性质一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。三、例题：例1.x为何值时，下列各式在实数围才有意义：（1）（2）（3）（4）+（5）（6）+分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。解：（1）∵ 6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。（2）∵ x2≥0, ∴ x2+3>0, ∴ x取任意实数原式都有意义。（3） ∵∴∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。（4） ∵∴∴当-≤x<时，原式有意义。（5） ∴∴当x≥0且x≠1时，原式有意义。（6） ∵∴∴ x=2 ∴当x=2时，原式有意义。例2.写出下列各等式成立的条件：

二次根式性质教案

新课** “二次根式性质 ” 教学案例学校名称：五中课程名称：数学内容主题：二次根式性质教材版本：人教版教师姓名：孟丽花简介：容出自人教版九年级数学本课内（上）第二十一章第一节。采用“先学后导---自主合作---问题评价”的教学模式，运用自主、合作、探究的教学方法，通过生生、小组、师生互动，从而突出重点，突破难点，完成教学目标。体现了学生是学习的主人，使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力。

授课年级九年级学科数学主题二次根式性质任课教师孟丽花课型问题解决课课时 1 授课日期教材分析本节内容“二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本节主要学习二次根式的性质，它是二次根式相关内容的发展，又是后面二次根式的基础，本节起到承上启下的作用。学生分析本节内容学生通过自学就能完成，学生自主、合作、交流，教师作为引路人，真正明确本节的内容。学生比较容易掌握。个别学生需进行个性化指导。设计理念新课程有效课堂教学明确倡导，学生是学习的主人，在学生自学文本的基础上动手实践、自主探究、合作交流，来倡导新的学习观，让他们完成二次根式性质知识研究。教师从过去知识的传授者转变为学生的自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者，与学生零距离接触共同探究。在教学过程中教师设置开放的、面向实际的、富有挑战性的问题情境，使学生在尝试、探索、思考、交流与合作中培养分析、归纳、总结的能力，把“要我学”变成“我要学”，通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，养成良好的学习习惯，掌握学习策略，并根据活动中示范和指导培养学生大胆阐述并讨论观点，说明所获讨论的有效性，并对推论进行评价。从而营造一个接纳的、支持的、宽容的良好氛围进行学习。

【八年级】2017浙教版数学八年级下册12二次根式的性质2

【关键字】八年级 1.2 二次根式的性质（2）【教学目标】 1．探索二次根式的性质的由来，体验归纳、类推的思想方法． 2．会用二次根式的性质进行简单的计算和化简．【教学重点、难点】 ?重点：二次根式的积和商的性质． ?难点：例3中（4）及探究活动涉及的较复杂的化简过程与技巧．【教学过程】一、引入新课动手做一做：填空（可用计算器计算）：（1）＿, ＿; （2）＿, ＿; （3）＿, ＿; （4）=＿, =＿. 比较每一组左右两边的等式，结果相等吗？多试几组类似的计算，想一想能否推广到一般形式？如果能，请用字母表示你发现的规律。二、新课讲解 1、一般地，二次根式的积与商的性质： (a≥0,b≥0); （a≥0,b＞0）商的性质： 2、性质深化：练习：判断下列等式是否成立？若不成立，请说明理由并改正：（1 （2）（a为任意实数）解：（1 （2）不成立。因为a作为分母不能为零，所以a不能为任意实数，即a的取

值范围是不等于零的任何实数。 3、讲解例题：例3 化简：（1；（2（3 （4 （5）解：（1==11×15=165；（2 （33 ；（417 （52注：①一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数，且自然数的因数中，不含有除1以外的自然数的平方数。 ②被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简练习： 1； ⑵ 2、化简：⑴ ⑵ 例4 先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0．01） ⑴ ⑵ ≈20.78； ⑵ =7≈1.01； ⑶ =210-≈ 0.02 总结：

化简的结果要求：①根号内不再含有可以开方的因式；②根号内不再含有分母练习：先化简，再求出下面算式的近似值： ⑴（结果保留4个有效数字）； ⑵（精确到0．01）. 三、探究活动：化简下列两组式子： ①＿； ②＿； ③=＿； ④＿你发现了什么规律？请用字母表示你所发现的规律，并与同伴交流。请再任意先几个数验正你发现的规律。四、小结：师生共同完成：通过今天的学习，你有那些收获或困惑？五、布置作业见作业本此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！

《二次根式和它的性质(1)》导学案

9.1 二次根式和它的性质（1）一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。三、学习过程（一）复习引入：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。（2）4的算术平方根为2 ，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是。（二）提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？ 5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第112页例前的内容，完成下面的问题： 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 2、计算： 4

（1） 2)4( （2）（3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是。 3、当a 为正数时指a 的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a 必须满足 , 才有意义。（三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习： x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x 223 x + ③ 2、（133a a --有意义，则a 的值为___________．（2 在实数范围内有意义，则x 为（）. A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数（四）展示反馈 (学生归纳总结) 1、非负数a 的算术平方根a (a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。 2、式子)0(≥a a 的取值是非负数。（五）精讲点拨 1、二次根式的基本性质(a )2=a 成立的条件是a≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。（六）拓展延伸 2 )3(________)(2=a x --21x -

16.1_二次根式及性质练习题

14. 16.1二次根式及性质 1. 16的平方根是 ___________ ,16的算术平方根是 ________ 2. 0 的平方根是 ____________ , V 7表示： _______________________________ 1. 使式子、、L4有意义的条件是 _______________________ 2. 当 __________ 时，2x 有意义。 3. 若_m — 有意义，则m 的取值范围是。 m 1 ------------------------------ 4. 当x __________ 时，J 1 x 2是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式： x 4 9 _____________ , x 2 20 2 ________________ 6. 若 i 4x 2 2x ，贝卩x 的取值范围是 ________________________ 。 7. 已知；x 2 2 2 x ，贝U x 的取值范围是 ____________________________ 。若2p ap 3，则? 2 a 2 ■ a 3 2 等于(13. 在式子J x x f 1 y 2 , 2x x p 0 , 3 3^ x 2 1,x y 中，二次根式有（） A. 2 个 B. 3 下列各式一定是二次根式的是个 C. 4 个 D. 5 ) A. ~ B. 3 2m C. ■ a 2 1 D. 15. 0 0 若a b 1与a 12. o 莎盲互为相反数，则a b 2005 8.化简：x 2 2x 1 x p 1的结果是

A. 5 2a B. 1 2a C. 2a 5 D. 2a 1 ★ 16. 若a 1，贝U . 1 a化简后为（） A a 1、一a 1 B. 1 a1 a . C . a 1 .1 a D. 1 a、、a 1 17.能使等式成立的x的取值范围是（） A. x 2 B. x 0 C. xf 2 D. x 2 ★ 18.计算：?，2a 1 2 1 2a 2的值是（） A. 0 B. 4a 2 C. 2 4a D. 2 4a 或4a 2 19.若 >x y y24y 4 0,求xy的值。 ★ 20.已知x2 3x 1 0，求：x2 122 的值

《二次根式的定义和性质》教学反思

《二次根式的定义和性质》（1）教学反思 1.在实际授课中，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，并且通过一个思考栏目的四道题，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，并经过例1掌握二次根式在实数范围内有意义的条件；（3）通过练习让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法；……，本节课大部分时间都是引导学生边学边做，让学生经历了整个学习过程。 2.在学习过程中，突出了引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，在做完思考题之后，学生自己就初步得出了结论，而且通过其他学生的补充越来越完善。 3. 让学生自己找出性质1和性质2的区别与联系，虽然不够系统和完整，但通过这样的训练，培养了学生总结规律的能力。 4.在实际教学中，仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题，出现了前松后紧的现象，以致有深度的练习没时间完成，结束的也比较仓促。在今后教学中，应注意时间的掌控。 5.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺。新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，对学生探索求知进行了引导，并且鼓励大家自己得出结论，但在互动方面做的还不够，大部分学生都是独立思考，很少与同学合作交流，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的生活和学习。

二次根式的性质（2）教学反思。本节课大致出现了以下几种情况：首先，预习时间不充分，大部分学生是看完了本节内容，但还没来得及思考，不了解的地方也没来得及讨论，就开始讲课，总怕预习费时过多以至于本节任务完不成。其次，课堂活动时间也不充分，并且学生在思考问题时给予提示过多，以至于学生顺着老师的思路走，没有了自己的思考体系。最后，课堂小结也因为时间不足，由老师代替学生来总结。这样学生一节课的知识只能零碎的不深刻的装在脑子里。针对这些情况，我进行了以下反思：教学任务是否完成不在于课堂上讲了多少，而在于学生学的如何。只要有利于学生积极性的调动和学生发展，固定的教学模式可以打破。也就是不按套路去引领学生走教案，这种走教案的形式看起来课堂紧凑，但却少了一种动态生成，使课堂失去了生命力。所以只要课堂上学生学的活泼、生动，重点知识掌握了，不会的问题解决了，即使设计的教学内容或书上练习没完成，如果学生对某个问题探究的欲望很强烈，教师打破教材上的时间限制，根据了学生的需要进行教学，这仍是一节好课。