中考数学压轴题破解策略专题19中点模型
专题19《中点模型》破解策略
1.倍长中线
在△ABC中.M为BC边的中点.
M E C
B
A
E M
C
A
B
D
图1 图2
(1)如图1,连结AM并延长至点F,使得ME=AM.连结CE.则△ABM≌△ECM.(2)如图2,点D在AB边上,连结DM并延长至点E.使得MF=DM.连结CE,则△BDM≌△CEM,
遇到线段的中点问题,常借助倍长中线的方法还原中心对称图形,利用“8”字形全等将题中条件集中,达到解题的目的,这种方法是最常用的也是最重要的方法.2.构造中位线
在△ABC中.D为AB边的中点,
A
B D E
C C F
A
B
D
图1 图2
(1)如图1,取AC边的中点E,连结DE.则DE∥BC,且DF=1
2
B C.
(2)如图2.延长BC至点F.使得CF=B C.连结CD,AF.则DC∥AF,且DC=1
2
AE.
三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来.通常需要再找一个中点来构造中位线,或者倍长某线段构造中位线,
3.等腰三角形“三线合一”
如图,在△ABC中,若AB=A C.通常取底边BC的中点D.则AD⊥BC,且AD平分∠BA C.
事实上,在△ABC中:①AB=AC;②AD平分∠BAC;③BD=CD,④AD⊥B C.
对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”.A
B D C
4.直角三角形斜边中线
如图,在△ABC看,∠ABC=900,取AC的中点D,连结BD,则有BD=AD=CD=
1
2
AC.反过来,在△ABC中,点D在AC边上,若BD=AD=CD=
1
2
AC,则有∠ABC=900
例题讲解
例1 如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连结AG、BG、CG且∠AGD=∠BGC,若AD、BC所在直线互相垂直,求
AD
EF
的值
解由题意可得△AGB和△DGC为共顶点等顶角的两个等腰三角形,
所以△AGD≌△BGC,△AGD∽△EGF.
方法一:如图1,连结CE并延长到H,使EH=EC,连EH、AH,则
AH∥BC,AH=BC,而AD=BC,AD⊥BC
所以AD=AH,AD⊥AH,连结DH,则△ADH为等腰直角三角形,又因为E、F分别为CH、
CD的中点,所以=2
1
2
AD AD
EF DH
=
方法二:如图2,连结BD并取中点H,连结EH,FH.则EH=
1
2
AD,且EH∥AD,FH=1
2
BC,而AD=BC,AD⊥BC,所以△EHF为等腰直角三角形,所以
2
=2
AD EH
EF EF
=
例2如图,在△ABC中,BC=22,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于E,F、G分别是BC、DE 的中点,若ED=10,求FG的长.
解:连结EF、DF,由题意可得EF、DF分别为RT△BEC,RT△BDC斜边的中线,所以DF =EF=
1
2
BC=11,而G为DE的中点,所以DG=EG=5,FG⊥DE,所以RT△FGD中,FG 22
DF DG
-46
例3 已知:在RT△ACB和RT△AEF中,∠ACB=∠AEF=900,若P是BF的中点,连结PC、PE
(1)如图1,若点E、F分别落在边AB、AC上,请直接写出此时PC与PE的数量关系.(2)如图2,把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转,当点E落在边CA的延长线上时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,若点F落在边AB上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
解(1)易得PC=PE=1
2
BF,即PC与PE相等.
(2)结论成立.理由如下:
如图4,延长CP交EF的延长线于点D,则BC∥FD,易证△BPC≌△FPD,所以PC=PD,
而∠CED=900,所以PE=1
2
CD=PC
(3)结论仍成立,理由如下:
如图5,过点F作FD∥BC,交CP的延长线于点D,易得PD=PC,FD=BC
所以AE EF EF AC BC FD
==
而∠AFE=∠PBC=∠PFD,所以∠EAC=1800-2∠AFE=∠EFD,
如图,连结CE,ED,则△EAC∽△EFD,所以∠AEC=∠FED,∠CED=∠AEF=900,
所以PE=1
2
CD=PC
例4已知:△ABC是等腰三角形,∠BAC=900,DE⊥CE,DE=CE=1
2
AC,连结AE,M
是AE的中点
(1)如图1,若D在△ABC的部,连结BD,N是BD的中点,连结MN,NE,求证:MN⊥AE
(2)如图2,将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转,使∠BCD=300,连结BD,N是BD的
中点,连结MN,求MN AC
解:(1)如图3,延长EN至点F,使得NF=NE,连结FB,易证△DEN≌△BFN,从而可得BF∥DE,BF=DE,延长FB,CE交于点G,则∠G=900,从而A、B、G、C四点共圆
所以∠ABF=∠ACE,连结AF,所以△ABF≌△ACE(SAS),所以AF=AE,AF⊥AE,而MN∥AF所以MN=1
2
AE,MN⊥AE
(2)如图4,同(1)可得,MN=
1
2
AE,MN⊥AE,由题意可得AC=2CE,作EH⊥AC于H,则∠ECH=600,所以CH=
1
2
EC=1
4
AC,EH=3AC,从而AE=227
AH EH AC
+=,所以
7
MN
AC
=
进阶训练
1.如图,△ABD和△ACE都是直角三角形,其中∠ABD =∠ACE=90°,且点C在
AB上,连结DE,M为DE的中点,连结BM,CM,求证:BM=CM.
M
C
D
E
A
B
【答案】略
【提示】延长CM,DB交于点F,则∠CBF=90°,△CME≌△FMD,从而BM=
1
2
CF=CM.
M
C
D
E
B
2.我们把两条中线互相垂直的三角形称为”中垂三角形”.如图1,AF,BE是△ABC的中线,且AF⊥BE于点P,像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”,设BC=a,AC=b,AB=c.(1)猜想a 2,b2,c2三者之间的关系,并加以证明;
(2)如图2,在平行四边形ABCD中,E,F,G分别是AD,BC,CD上的中点.BE⊥EG,AD=5,AB=3.求AF的长.
图1
A
图2
A
【答案】(1) a 2
+b 2
=5c 2
,证明略;(2) AF =4.
【提示】(1)如图,连结EF ,由中位线定理可得
PE PB =PF PA =EF BA =1
2
.在Rt △APB ,Rt △APE 和Rt △BPF 中,利用勾股定理即可得到a 2+b 2 =5c 2;
(2) 如图,取AB 的中点H ,连结FH ,AC ,由中位线定理可得FH ∥AC ∥EG ,从而FH ⊥BE ,易证△APE ≌△FPB ,所以AP =FP ,所以△ABF 是“中垂三角形”从而利用(1)中结论求得AF 的长.
D
E
B
A
3.巳知:△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形,∠ACB =∠ADE =90°,F 为BE 的中点.连结DF ,CF .
图3
图2
图1
E
E
(1)如图,当点D 在AB 上,点E 在AC 上时,请直接写出此时线段DF ,CF 的数量关系和位置关系(不用证明);
(2)如图2.在(1)的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°.请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
(3)如图3.在(1)的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转角α,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,井证明你的判断.
【答案】(1)DF =CF ,DF ⊥CF ;(2)成立;(3)成立.
【提示】(2)延长DF 交BC 于点G ,则△DEF ≌△GBF ,从而得DF =GF ,CD =CG ,即得证.
E
(3)延长CF 至点G ,使得FG =CF ,连结EG ,则GE =CB =CA ,GE ⊥AC ,可得∠CAD =∠GE D .连结DG ,CD ,从而△ADC ≌△EDG (SAS ).即得证.
E
4.巳知:P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点(不与点A 、C 重合).分别过点A 、C 向直线BP 作垂线,垂足分别为E ,F ,O 为AC 的中点,如图1.将直线BP 绕点B 逆时针旋转,当∠OFE = 30°时,如图2所示,请你猜想线段CF ,AE ,OE 之间有怎样的数量关系,并给予证明.
图1
图2
【答案】图1中OE =CF -AE ;图2中OE =CF +AE .
【提示】如图1,延长EO 交FC 于点G ,易证OE =OG ,AE =CG ,从而Rt △GFE 中,OF =OG =OE .而∠OFE =30°,所以OE =CF -AE .
图1
如图2,同理可得OE=CF+AE.
图2
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案
2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1.操作与证明:如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF.取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN. (1)连接AE,求证:△AEF是等腰三角形; 猜想与发现: (2)在(1)的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论. 结论1:DM、MN的数量关系是; 结论2:DM、MN的位置关系是; 拓展与探究: (3)如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则(2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由. 【答案】(1)证明参见解析;(2)相等,垂直;(3)成立,理由参见解析. 【解析】 试题分析:(1)根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF,继而证明出△ABE≌△ADF,得到AE=AF,从而证明出△AEF是等腰三角形;(2)DM、MN的数量关系是相等,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直,利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质,及全等三角形对应角相等即可得出结论;(3)成立,连接AE,交MD于点G,标记出各个角,首先证明出 MN∥AE,MN=AE,利用三角形全等证出AE=AF,而DM=AF,从而得到DM,MN数量相等的结论,再利用三角形外角性质和三角形全等,等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°.从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF=90°,∵△CEF 是等腰直角三角形,∠C=90°,∴CE=CF,∴BC﹣CE=CD﹣CF,即BE=DF, ∴△ABE≌△ADF,∴AE=AF,∴△AEF是等腰三角形;(2)DM、MN的数量关系是相等,DM、MN的位置关系是垂直;∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线,∴AF=2DM,∵MN 是△AEF的中位线,∴AE=2MN,∵AE=AF,∴DM=MN;∵∠DMF=∠DAF+∠ADM, AM=MD,∵∠FMN=∠FAE,∠DAF=∠BAE,∴∠ADM=∠DAF=∠BAE,
中考数学压轴题破解策略专题9《费马点》
专题9《费马点》 破解策略 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点,这个最小的距离叫做费马距离. 若三角形的内角均小于120°,那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角;若三角形内有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点. 1.若三角形有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中,∠BAC≥120°,求证:点A为△ABC的费马点证明: 如图,在△ABC内有一点P延长BA至C,使得AC=AC,作∠CAP=∠CAP,并且使得AP =AP,连结PP 则△APC≌△APC,PC=PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP=∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中,AP≥PP 所以PA+PB+PC≥PP+PB+PC>BC=AB+AC 所以点A为△ABC的费马点 2.若三角形的内角均小于120°,则以三角形的任意两边向外作等边三角形,两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点.
如图,在△ABC中三个内角均小于120°,分别以AB、AC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O,求证:点O为△ABC的费马点 证明:在△ABC内部任意取一点O,;连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°,得到△AO′D连接OO′则O′D=OC 所以△AOO′为等边三角形,OO′=AO 所以OA+OC+OB=OO′+OB+O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时,OA+OB+OC最小 此时ABAC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 如图,在△ABC中,若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°,O为费马点,则有∠AOB=∠BOC =∠COA=120°,所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心
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列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到:数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀(二) 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活。解数学压轴题,一要树立必胜的信心,二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能,三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略,供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想:
中考数学压轴题专题
中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①,在平面直角坐标系中,AB 、CD 都垂直于x 轴,垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知:A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证:E 点在y 轴上; (2) 如果有一抛物线经过A ,E ,C 三点,求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变,再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位,此时AD 与BC 相交于E ′点, 如图②,求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] (1)(本小题介绍二种方法,供参考) 方法一:过E 作EO ′⊥x 轴,垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6,DC =3,∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=,∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ,即O ′与O 重合,E 在y 轴上 方法二:由D (1,0),A (-2,-6),得DA 直线方程:y =2x -2① 再由B (-2,0),C (1,-3),得BC 直线方程:y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标(0,-2),即E 点在y 轴上 (2)设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A (-2,-6),C (1,-3) 图① 图②
E (0,-2)三点,得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 (3)(本小题给出三种方法,供参考) 由(1)当DC 水平向右平移k 后,过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同(1)可得: 1E F E F AB DC ''+= 得:E ′F =2 方法一:又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ,∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二:∵ BA ∥DC ,∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三:S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理:S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知:如图,在直线坐标系中,以点M (1,0)为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. (1)求点A 的坐标; (2)设过点A 的直线y =x +b 与x 轴交于点B.探究:直线AB 是否⊙M 的切线?并对你的结论加以证明; (3)连接BC ,记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2,若 4 21h S S =,抛物线 y =ax 2 +bx +c 经过B 、M 两点,且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解](1)解:由已知AM =2,OM =1, 在Rt△AOM 中,AO = 122=-OM AM , ∴点A 的坐标为A (0,1) (2)证:∵直线y =x +b 过点A (0,1)∴1=0+b 即b =1 ∴y=x +1 令y =0则x =-1 ∴B(—1,0),