上海大学高等代数历年考研真题

2000上海大学 高等代数

(一) 计算行列式:a

c

c

c

b a

c c

b b a c

b b b a

????????? (二) 把二次型414332214321),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=用非退化线性替换化成平方

和.

(三) B A ,分别为m n ?和m n ?矩阵, n I 表示n n ?单位矩阵.证明: m n ?阶矩阵

n A I X B ??

=

???

可逆当且仅当B A 可逆，可逆时求出X 的逆. (四) 设12,n e e e ???是n 维线性空间n V 的一组基，对任意n 个向量12,n a a a ???n V ∈，证明：

存在唯一的线性变换A ，使得(),1,2i i A e a i n ==??

(五) 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，求证：

1

(0)V A V A -=⊕当且仅当若12,r a a a ???为A V 的一组基则12,r A a A a A a ???是2

()A V 的一组基. (六) 设A 为2级实方阵，适合2100

1A -??=

?-??，求证：A 相似于011

0-??

???

. (七) 已知,f g 均为线性空间V 上线性变换，满足2

2

,f f g

g ==试证：

（1）f 与g 有相同的值域?,fg g g f f ==. （2）f 与g 有相同的核?,fg f g f g ==.

2001上海大学 高等代数

（一）计算行列式：231

21

21

2

3

n n n x a a a a x a a a a x a a a a x

（二）设A 为3阶非零方阵，且2

0A =.

（1）求证：存在123,,a a a ，123,,b b b ，()121

2

33a A a b b b a ?? ?

= ? ???

（2）求方程组0A X =的基础解系.

（三）用正交的线性替换化二次行222

1231231323(,,)3244f x x x x x x x x x x =++--为标准形

（四）设A 为n m ?阶实矩阵，且()()r A m n m =≥.若'2'

()A A a A A =，求证'm A A a E =.

（五）设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上线性变换，若1

0,0n n

A

A

-≠=求证：存在

a V ∈，使2

2

1

1

,,,,n n n a A a A a A a A

a A

a A

a a ---++++ 为V 的一组基，并求A 在此组

基下的矩阵.

（六）设A 是欧式空间V 上的对称变换.求证：对任意0a ≠，都有()0,0a A a a ≠

β-??

=

???

，其中A 为n 阶负定矩阵，a 为n 维列实向量，β为实数.求证B 正定的充分必要条件为'

1

0a A a β-+>.

（八）若A 是正交阵，且A -特征值为1的重数是S ，求证：(1)s

A =-（A 为A 的行列式）.

2002 上海大学 高等代数

（一）计算行列式：若1232n

x a a a a

x a a

A B a

a x a a

a

a

x ==

，求A

B A B

A ??=

???

. （二）设A 是n 阶可逆方阵，0A A B A ??=

???

. （1）计算k

B （K 是整数），

（2）假设1

00

1

101

1

1

A =，C 为6阶方阵，而且2

B

C C E =+，求C .

（三）设(1)(1)(1)(1)p p p n p p

p n p p A p n p p p n p

p

p

p

--------=

--------

，A 是n 阶矩阵（0p ≠），

求0A X =的基础解系.

（四）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量(1,1,1)，(2,2,1).

（五）设向量组A ：123,,n a a a a ??的秩为r （r n <），则A 中任意r 个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量1

2

1

,,r i i i a a a + ，若1

2

11

2

10r i i r

i

ka k a k a +

+++= ，则121,r k k k +

或全为0或全不为0.

（六）设A 为n 阶正定矩阵，n m B ?为秩为m 的实矩阵，求证'

B A B tE +（0t >，E 为单位矩阵）为正定矩阵.

（七）设A 为欧式空间V 上的线性变换，且2A E =.

（1）求证：A 是V 上的正交变换的充分必要条件为A 是V 上的对称变换. （2）设{}1,V a a V A a a =∈=，求证：12V V V =+是直和.

（八）设A 为n 阶实正交矩阵，123,,n a a a a ??为n 维列向量，且线性无关，若

12,n A E a A E a A E a +++ 线性无关，则1A =.

2003上海大学 高等代数

（一）计算行列式：x a a a a

x a a

A a a x a a

a

a

x

=

（A 为n 阶矩阵）

，2A

A B A

A ??

= ???

（1）求A （2）求B

（二）设A 为21n k =+阶反对称矩阵，求A .

（三）设,A B 为n 阶整数方阵（,A B 中元素为整数），若A B E A =- （1）求证：1A =±，

（2）若2001

2023

2B -??

?

=- ? ?-?

?

，求A . （四）设12(,)n A a a a = 为n 阶方阵，()1r A n =-，且121

n n a a a a -=++ 121n n a a a a β-=+++ ，求A X β=的解.

（五）设A 是n 阶可逆方阵，且A 每行元素之和为a ，求证：k A -的每行元素之和为k

a -（k 为正整数）

（六）设A 为n 阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵G 使1

r

s E G

A G E -??=

?-??

. （七）设2A A =，且A 为n 阶方阵，()R A r =.

（1）求证：2r

E A += （2）求证：()()R A R A E n +-=（3）若1r =，求0A X =的解.

（八）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量(1,1,1). （九）设二次型

2

2

2

2

1234121314232434()222222f X x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++---

（1）求()f X 对应的实对称矩阵A .

（2）求正交变换X P Y =，将()f X 化为标准型.

（十）设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，12,k a a a 是对应的不同特征值12,k λλλ 的特征向量.若12k a a a W ++∈ ，而W 是A 的不变子空间，则有维（W ）k ≥ （十一）设B 为欧式空间V 上的变换，A 为欧式空间V 上的线性变换且有：

(,)(,),,A a a B a V βββ=?∈.证明：

（1）B 为欧式空间V 上的线性变换. （2）1

(0)()A B V -⊥

=

2004 上海大学 高等代数

（一）设n 阶可逆方阵()ij A a =中每一行元素之和为(0)a a ≠，证明：

（1）1

1

(1,2)n

ij j A a

A i n -===∑ ，其中i j A 为ij a 的代数余子式.

（2）如果ij a 都是整数(1,2)i n = ，则a 整除A . （二）设12121

2

1

n n n

n n a a a a A b b b b -?-??

= ???

为实矩阵，且()2r A =. （1）求行列式'E A A λ-.

（2）求'

0A A X =的解（X 是n 维列向量）.

（三）设,A B 为n 阶整数方阵，若2

B E A B =-.

（1）求证：2

1A B

+=.

（2）若1001

1023

1B -??

?=- ? ?-?

?

，求1(2)A B -+. （四）若A 为非零的半正定矩阵，B 为正定矩阵，求证： （1）求证：存在实矩阵T ，使'T T B =. （2）1A E +>. （3）A B B +>.

（五）设λ为A 的特征值的最小者.求证:对任意的n 维列向量a ,有'

'

a A a a a λ≥. (六) 设123,,λλλ为3阶方阵A 的特征值,且()()()111,01

1,0

1分别为其

对应的特征向量,求n

A .

(七) V 是n 维欧氏空间, σ是n 维空间V 上的线性变换,如果1231,,n a a a a - 是V 中

1n -个线性无关的向量,且(),σββ分别与1231,,n a a a a - 正交(β不为0).求证: β为σ的

特征向量.

(八)设3223

3

0306030

3A B ???? ?

= ? ??

?

，求证： （1）()()2r A r B == （2）题型与钱吉林书习题类示。

（九）设F 为数域，A 为数域上n 阶方阵，且{}10V x F A x =∈=，

{}2()0V x F A E x =

∈-= 求证：2

A

A =?12F V V =⊕。

（十）设2

4a

βγ=，a

a

A a a γ

βγ

β

γβ

?? ?

?

?= ? ? ??

?

为n 阶方阵，B 为n 阶正交方阵，求证：

2

22

(1)

24

n n

B A a

n B

A

=+

（十一）设221231(1)(1)()()()()(2)n n n n n n

n x x f x xf x x f x x f x n --??--++++≥??

求证：(1)()(1,21)i x f x i n -=- 。

（十二）设A 为n 阶实可逆矩阵，则A 为正定矩阵充分必要条件为存在n 阶上三角实可逆矩阵L ，使A L L ⊥=。

（十三）设A 为秩为r 的n 阶矩阵，证明：2A A =的充要条件是存在秩为r 的r n ?阶矩阵B 和秩为r 的n r ?矩阵C ，使A C B =且B C E =。

（十四）设V 为数域F 上n 维线性空间，设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，()A V 为A 的值域，1

(0)A -为A 的核。 （1） 求证：维1

(()(0))2n A V A -+≥ ，

（2） 求证：维1(()(0))2

n A V A -+=

充分必要条件为：1

()(0)A V A -=，并举出这样的

线性变换A 。

2005

上海大学 高等代数

（一） 已知1

()2n n

f x x

x +=+-，求()f x 在有理数域上的不可约多项式并说明理由。

（二） 已知1001

10,0

11

1A A A B A ??

??

?

== ?

?

??

??

?

，C 是6阶方阵，2B C C E =+。求C 和C *

。 （三） β是方程组A X b =的一个解，12,,n r a a a - 是其导出组的一个基础解系。求证：

（1） 12,,n r a a a - ，β线性无关，

（2） 12,,,n r a a a ββββ-+++ 也线性无关。 （四）同2007年第一大题.

（五）A 是复矩阵，2

230A A E +-=，求证：在复数域上A 相似于一个对角阵。

（六）A 是3阶实对称方阵，1,1,λ，是A 的特征值，2A =，101,101???? ? ?

? ? ? ?????

是对应的特征向

量，求矩阵A 。

（七）W 是反对称变换A 的不变子空间，求证：W

⊥

也是A 的不变子空间。

（八）已知A 是n 阶实对称方阵，求证：'

(0)A A k E k +>正定。 （九）n

F

是n n

?矩阵的全体，已知{}

10,n

V x A x x F

==∈，

{}2()0,n

V x

A E x x F

=

-=∈求证：12

n

F

V V =⊕的充分必要条件为2A A =。

（十）已知2

4a

βγ=，0000

,,200

a A A A B A

A a γ

β

γβ

??

??

?

== ? ?

?? ??

?

求证：22(1)4

n

n

a

B n =+。 （十一）设221231(1)(1)()()()()n n n n n n

n x x f x xf x x f x x f x --??--++++??

求证：(1)()(1,21)i x f x i n -=- 。

（十二）A 是n 阶实对称方阵，证明：A 正定的充要条件是存在实n 阶上三角阵L ，使

'

A L L =。

（十三）A 是n 阶矩阵，C 是n m ?阵，()()R B R C m ==。求证：2

A A =的充要条件是

A C

B =且B

C E =。

（十四）A V 是n 维线性空间V 的象，1

(0)A -是V 的核。求证： （1）1

2d im ((0))A V A n -+≥，

（2）12d im ((0))A V A n

-+=的充要条件是1

(0)A V A -=，举个例子。

2006 上海大学 高等代数

(一) 设()f X 是有理数域上的多项式。

（1） 如果()f X 是二次多项式，求证：()f X 不可约的充分必要条件是()f X 没有有理

根；

（2） 试举例说明当()f X 的次数大于3的时候，()f X 没有有理根只是()f X 不可约的

必要条件。

（3） 试举例说明艾森斯坦判别法只是判别()f X 不可约的充分条件，而不是必要条件。 （二）（1）设矩阵1122(,)n n A a a a βββ=++???+ 12,(,)1n r a a a ???=且,(1,2)

i i a i n β=???为n 维列向量，求证：121111

(,)(,,,)n

n i i i n i A a βββββββ-+==???+

??????∑

（2）用上面的公式计算行列式123n

x a a a a

x a a a

a x a a

a

a

x ???????????????????????????

。 （三）设0A C D B ??

=????

，其中,A B 分别为,n m 阶可逆矩阵。 （1）求1

D

-；

（2）设2

110

210

2A ???

?

=??????

，B C A ==，如果D H E H =+，求H 和H *

。

（四）设12,n a a a ???为一组同型向量，1122231,n n a a a a a a βββ=+=+???=+，求证： （1）若1212(,)(,)n n r a a a r n βββ???=???=，则n 为奇数；

（2）若12,r a a a ???为12,n a a a ???极大无关组，且12(,)1n r r βββ???=-，如果

11122r r r

a k a k a k a +=+

???+，求证：1

11(1)1r r r k k k ---+???+-=-。

（五）设()ij n n A a ?=为实矩阵，已知0(1,2)ii a i n >=???，0(,1,2;)ij a i j n i j <=???≠且

1

0(1,2)n

ij j a i n ===???∑

。求证：

（1）()1r A n =-； （2）()1r A *

=.

（六）已知1

0(1,2)n

i i a i n ===???∑（其中12,n a a a ???为不全为0的实数且2n >）如果：

12

1

21111

11n n a a a a a A a ?? ??????

?= ? ??????????

??

???

，求A 的所有特征值；进一步当0是A 的特征值时，求A 关于特征值为0的所有特征向量.

（七）设A 是n 阶实对称方阵且可逆，12(,)T

n X x x x =???是n 维实列向量，λ是实数.对于

实二次型：12(,)T

T

n X

X X

f x x x X A

λ???=

（1）求证：12(,)n f x x x ???是正定二次型的充分必要条件是矩阵A E A λ*

-是正定矩阵；

（2）当0λ=，n 是偶数时，求证：12(,)n f x x x ???是负定二次型的充分必要条件是A 为正定矩阵.

（八）设A 是n 阶复矩阵，如果3

330A A E --=. （1）求A 的最小多项式；

（2）求证：A 在复数域上与对角矩阵相似； （3）求证：A E -可逆.

（九）设A 是n 维线性空间V 上的非零线性变换，且

{}()()

A V A v v V

=

∈，{}1

(0)()0A

v V A v -=∈=

（1）求证：{}1

(0)()0A A V -?=充分必要条件是1

(0)()A A V V -+=；

（2）试举一个1

(0)()A A V V -+≠的例子.

（十）设A 为欧式空间V 上的线性变换，记：{}1,V a A a a a V ==∈，{}2V a A a a V =-∈，显然1V ，2V 为V 的子空间，试分别就A 是V 上的对称变换和正交变换求证：12V V V =⊕

2007上海大学 高等代数

（一） 设111,11a ?? ? ?= ? ???211,01a ?? ? ?= ? ???331,12a ?? ? ?= ? ???433,2a a ?? ? ?= ? ???511

,00a ?? ?- ?= ? ???

求此向量组的极大无

关组，并将其它向量用此向量组的极大无关组表示出来.

（二） 设1110

110

1A ??

?

?

=??

????

，0A B A

A ??

=????

，C 为6阶方阵，且2B C C E =+，求C 和C *

.

（三） 设2

0A A +=，且A 是n 阶矩阵，若()R A r =。 （1） 求证：A 与对角矩阵相似. （2） 求证：2r

E A -=.

（四） 设σ是数域F 上n 维线性空间V 上的线性变换.如果存在向量η，使得

1

0n σ

η-≠，但0n

ση=，证明：

（1） 1

,,n ησηση-???线性无关.

（2） 在某一组基下的矩阵为：00001

0000

1000

1

????????????????????????. （五） 设12()()()()1n f x x a x a x a =--???-+，其中12,n a a a ???为互不相同的整数，

求证：如果n 为奇数，则()f x 在有理数域上不可约.

（六） 设21111

2

n A n ??????=

????

??

. （1） 求行列式'

E A A λ-.

（2） 求'

0A A X =的解（X 为n 维列向量）. （七） 已知经过一个正交变换X P Y =可以把二次型：

2

2

2

123121323()22222f X x a x x b x x x x x x =+++++

化为标准型222

123()4f Y y y y =++.

求：a ，b 及正交矩阵P .

（八） 设()()()f X g X h X =，而且()g X ，()h X []P X ∈，其中[]P X 为数域P 上

多项式环.假设A 是数域P 上n 维线性空间V 上的线性变换.

（1） 如果((),())1g X h X =，求证：()()()K erf A K erg A K erh A =⊕，

（2） 利用上面结论求证：3

2

()()A E R E A R E A A n =?-+++=（其中E 为V 上

的恒等变换）.

（九） 设,A C 是n 阶实对称矩阵，且矩阵方程A X X A C +=有唯一矩阵解B . （1） 求证：B 为实对称矩阵.

（2） 如果,A C 为正定矩阵，求证：B 为正定矩阵.

2008上海大学 高等代数 （一）设

1231

231

231

2

3

n

n

n n

x a a a a x a a A a a x a a a a x ??????=?????????????????????

，(1)(2)n A

n C B A C ++??

=?

??

?

，

其中C 为n 阶矩阵，且1C =，求B .

（二）设A 是n 阶可逆方阵，0A A B A ??

=????

. （1）计算k

B （k 是整数）.

（2）假设2

110

210

2A ??

?

?

=??????

，C 为6阶矩阵，且32C B C E =+，求C . （三）设A 是n 阶矩阵，如果的伴随矩阵不为零矩阵，且 （1）求线性方程组的通解。

（2）进一步如果A 为3阶对称矩阵，且每行只有两个非零元素，求A .

(四) 设12()()()()1n f x x a x a x a =--???-+,其中12,n a a a ???为互不相同的整数，求证:存在整系数多项式()g x 其在有理数域上不可约和整数k 使得2()()k

f x

g x =.

(五) 设A 是n 阶实对称矩阵,而且A 正定. (1)求证:存在正定矩阵B 使得2A B =,而且B 唯一.

(2)如果6555

6555

6A ??

?= ? ??

?

,求A 的特征值和特征向量,由此求(1)中正定矩阵B 使得2A B =. (六) 设1V ，2V 为n 维空间V 的子空间,且12d im ()V V +=12d im ()1V V ?+,则121V V V +=且

122V V V ?=,或者122V V V +=而且121V V V ?=.

(七) 设V 为n 维欧式空间, A 为欧式空间V 上的线性变换,若对任意的,a V β∈,有

(,)(,)A a a A ββ=-,则称A 为反对称变换.

(1)求证: A 为反对称变换的充要条件是A 在任意一组标准正交基下矩阵为反对称矩阵. (2)若W 是反对称变换A 的不变子空间,求证: W

⊥

也是A 的不变子空间.

(八) 设V 为线性空间, V 上线性变换A 称为幂等变换,如果2

A A =,现设12,A A 为V 上的两

个幂等变换.求证: 12A A +是幂等变换的充分必要条件是12210A A A A +=;进一步证明:12210A A A A ==也是12A A +是幂等变换的充分必要条件.

2009上海大学 高等代数 (一) 填空

（1）33F ?为F 上所有三阶矩阵组成的集合,令{}33

V A A F ?=∈（其中()0T r A =且A 为

上三角矩阵），则d im V =

.

（2）(),()f x g x 为F 上多项式，且在复数域上无公共根，则()f x ，()()f x g x +在F 上的首相系数为1的最大公因式为

.

（3）设A 是n 阶矩阵，则23456789A

A A A

A A A

A

A

=.

（4）A 为3阶对称矩阵, 1,2,3为其特征值，则A 的伴随矩阵A *

与对角矩阵相似.

（二）不定项选择

（三）计算或证明

（16）求1211

1

1

1

1

2

1

1

11n n n n n n n n

a x x x x A x x x x ------=

（17）V 为F 上n 维线性空间，且,u w 为V 的子空间，证明：

d im ()d im ()d im d im u w u w w u ++?=+

（18）R 为实数域，σ为3

R 上的线性变换，且σ在3R 基：()10

1e =，()20

1

0e =，

()31

0e =下的矩阵是3

000

3100

3??

?

? ??

?

.证明： （1）若112(,)W L e e =，则1W 是σ的不变子空间.

（2）不存在σ的不变子空间2W ，使3

12R W W =⊕.

（19）32441

42

43

()1,()n

m k l f x x x x g x x

x

x

x

+++=+++=+++（,,,n m k l 为正整数），证明：

()f x 整除()g x .

（20）已知n 阶矩阵A ，A 满足1

0n A -=，而2

0n A

-≠，则称A 的幂零指数为1n -，证明：

幂零指数为1n -的矩阵都相似.

（21）设A 是n 阶矩阵，证明：2

2(2)()A I A r A I r A I n =-?++-=. （22）F 上齐次方程组11n n m n X A O ???= (1)，令[]n m

n C A I ?=，对C 做一系列的初等变

换化为0D r P ??

??

? ?

???

?

，其中D r 为一行满秩，()r r A =，P 为n 阶可逆方阵. 证明：P 的最后n r -行即为(1)的一个基础解系.

（23）n 阶实对称矩阵,A B 的特征值都是正数，C 为正定矩阵，A 的特征向量都是B 的特征向量.

证明：（1）A B 为正定阵（2）()0T r A B C ≥