解直角三角形(培优)
解直角三角形
1．(2015·湖南省衡阳市,第1２题3分）如图,为了测得电视塔的高度AB，在Ｄ处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔??
顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进1０0米到达Ｆ处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位:米）为( ）.??
?
A． B.51 C.D．１01
2．（2０15?浙江滨州，第12题3分）如图,在x轴的上方,直角∠ＢOA绕原点Ｏ按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于Ｂ、A两点,则∠OＡB大小的变化趋势为( ）??
A.逐渐变小?
B.逐渐变大
C.时大时小?
D.保持不变
3．如图，要在宽为2２米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角,路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DＯ与灯臂CＤ垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BＣ高度应该设计为( ）?
?
(3题) (4题)
A．（11﹣2)米Ｂ.(11﹣2）米 C.(1１﹣２)米?D．（1１﹣4)米
4．（2０1５?山东日照 ,第１0题4分)如图,在直角?ＢAD 中,延长斜边BD 到点Ｃ，使ＤC ＝ＢD ，连接A Ｃ,若tanB =，则t ａｎ?CA Ｄ的值（ ）???
A.? Ｂ.? C ．??D ．
5.湖南路大桥于今年５月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度,在距桥塔ＡB 底部50米的Ｃ处,测得桥塔顶部Ａ的仰角为41．5°(如图).已知测量仪器CD 的高度为1米,则桥塔AB 的高度约为（ ）
??
(6题)
Ａ.３4米?B.?38米?C ． 45米?D ．?5０米
6.如图，斜面ＡＣ的坡度（ＣD 与ＡD 的比)为１：２，A Ｃ＝米,坡顶有一旗杆BC ,旗杆
顶端B 点与A 点有一条彩带相连,若AB ＝10米，则旗杆ＢC 的高度为( )
?? A ．５米 Ｂ.６米 C . ８米 D .
米?
二.填空题? 1. 如图，菱形ABCD 的边长为15，si ｎ?BAC =,则对角线AC 的长为 . ?
(１题） (2题) (3题） （5题)
2.如图,在等边?ＡBＣ内有一点D,AＤ=5，BＤ＝6，CD=4，将?ＡBＤ绕A点逆时针旋转,使AB与ＡC重合，点D旋转至点E,则?ＣDE的正切值为．??
3.（2015?广东广州,第15题３分)如图，?ABC中,ＤＥ是BC的垂直平分线,DE交AC于点E，连接BE.若BE＝9，ＢC=12，则ｃosC= .?
4．在?ABC中，?B＝30°,AB=１2,ＡC=6,则BC=.
5．(2015?山东东营，第1４题３分)4月26日,2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道Ａ处的俯角为，B处的俯角为.如果此时直升机镜头C处的高度ＣD为２00米，点Ａ、D、Ｂ在同一直线上,则AB两点的距离是米．?
6.（20１5湖北荆州第15题3分)15．如图，小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A 的仰角为3０°,然后向山脚直行１00米到达C处，再测得山顶A的仰角为4５°,那么山高A Ｄ为米(结果保留整数，测角仪忽略不计，≈１．414,,1.73２)?
(6题)（7题）
7．(201５?浙江宁波，第１6题4分)如图,在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的Ｃ处测得旗杆底端B的俯角为4５°,测得旗杆顶端A的仰角为3０°,
若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆ＡB的高度是m（结果保留根号）
三解答题
1．如图,热气球的探测器显示,从热气球Ａ处看一栋高楼顶部B的仰角
为30°,看这栋高楼底部C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离ＡD为
1２0m.求这栋高楼的高度.（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示
即可)
2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆ＡB的高度,如图,老师测得升旗台前斜坡FＣ的坡比为ｉFC＝１：10（即EF:CＥ=1:10)，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即ＣE＝３5m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知taｎα=,升旗台高AF ＝１ｍ,小明身高CD=1.6m,请帮小明计算出旗杆AB的高度．???
3．(2015·河南,第20题9分)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BＣ的高度，他们在斜坡上Ｄ出测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角?FAE＝30°,求大树的高度. (结果保留整数,参考数据:siｎ4８°≈０.７4，coｓ48°≈0.67，tan48°≈１.11，3≈１.73)?
4. 如图，海中一小岛上有一个观测点A,某天上午９:0０观测到某渔船在观测点A的西南方向上的Ｂ处跟踪鱼群由南向北匀速航行。当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西6０°方向上的Ｃ处。若该渔船的速度为每小时3０海里，在此航行过程中，问该渔船从Ｂ处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(
?
??
??
5．如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶Ｅ点恰好看到塔的底部D点,且俯角α为45°.从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=6米,求塔CD的高度.（结果保留根号)?
F
D
第20
30°
48°
E A C
B
60°
北
B
C
A
著名机构初中数学培优讲义中考复习.解直角三角形.第11讲(通用讲).教师版
内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 会运用勾股定理解决有关的实际问 题。 解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 锐角三角函数 了解锐角三角函数（正弦、余弦、 正切、余切），知道特殊角的三 角函数值 由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题 模块一、勾股定理 1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三 角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。 C A B c b a 2．勾股定理的证明： （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： 知识点睛 中考要求 解直角三角形
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222 在中如果那么是直角三角形。 ABC AC BC AB ABC ?+=? ,, 4．勾股数： 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。 模块二、解直角三角形 一、解直角三角形的概念 根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系 如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：
浙教版2020学年《解直角三角形》培优提升特训(Word版无答案)
解直角三角形同步复习与提升 一、选择题 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4,3），则cos α的值是（ ) A. 34 B.43 C.35 D.45 2. 如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O 中，圆心O 到弦BC 的距离为3，则∠A 的正切值为（ ） A. 35 B.45 C.34 D.43 3. 已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为点C ，连接AC ，则tan ∠CAB 的值为（ ） A.12 B.55 C.25 5 D.2 4.如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=（ ） A.34 B.43 C.35 D.45 5.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=1 5 ，则AD 等于（ ） A. 2 B.2 C.1 D.2 2 6.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=3 5 ，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（ ） A.12 B.2 C.52 D.55
7.如图，在△ABC 中，若∠B=30°，sinC=3 5 ，AC=10，则AB=( ) A.12 B.14 C.1 6 D.20
8. 如图，△ACB 中，∠ACB=RT ∠，已知∠B=α，∠ADC=β，AB=a ，则BD 的长可以表示（ ） A. a·（cosα-cosβ） B.a tanβ-tanα C.acosa -a ·sinαtanβ D.a ·cos α-asin α·a ·tan β 9. 因为cos60°=12 ，cos240°=- 1 2 ，所以cos240°=cos(180°+60°)=- cos60°；由此猜 想、推理：当α为锐角时有cos （180°+α）= - cosα，由此可知：cos210°=（ ） A. -12 B.- 22 C..- 3 2 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，AB=35，连结AB 并延长至C ，连结OC ，若满足OC 2=BC ·AC ，tanα=2，则点C 的坐标为（ ） A. (-2,4) B.(-3,6) C.(-53，103 ) D.（- 263，283 ） 二、填空题 11. 在△ABC 中，若|sinA-3 2 |+|cosB - 12 |=0，则∠C= ° 12. 若3tan(α+10°)=1，则锐角α= ° 13. 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=40，∠E=140°，AB=EF=5，BC=DE=8，则两个三角形面积的大小关系为：S △ABC S △DEF .（填“＞”，或“=”，“＜”） 14. 已知：实常数a ，b ，c ，d 同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ-c=0；①acosθ-bsinθ+d=0(其中θ为任意角)，则a 、b 、c 、d 之间的关系式是： 15. 如图 ，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，∠AEC=45°，若AC=2，tan ∠ACB=34，则AB 的长为 .
华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习培优测试卷A卷(附答案详解)
华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习培优测试卷A 卷（附答案详解） 1．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是( ) A ．12 B ．1 C ．55 D ．255 2． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝10，sinA ＝ 35，则斜边上的高等于（ ） A ．5 B ．4.8 C ．4.6 D ．4 3．如图，在Rt ABC ?中，90C =∠， 如果5AC =，13AB =，那么cos A 的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．125 D ．512 4．如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测得∠BCD=60°，又测得 AC=60米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ） A ．30 米 B ．30 米 C ．40 米 D ．（30+ ）米 5．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于( ) A ．30° B ．45° C ．50° D ．60° 6．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知,,AB m BAC a =∠=∠则下列结论错．误． 的是（ ） A ．BDC α∠=∠ B ．tan B C m a =? C ．2sin m AO α= D ．cos m BD a = 7．如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，与∠1互余的角有（ ）
A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝2，则sin A的值为（） A．2 3 B． 5 3 C． 25 5 D．5 2 9．计算式子：﹣32+6cos45°﹣8+|2﹣3|的结果为（） A．﹣6+62B．﹣12 C．﹣12﹣2D．﹣6 10．小刚在距某电信塔10 m的地面上(人和塔底在同一水平面上)，测得塔顶的仰角是60°，则塔高（） A．10m B．5m C．10m D．20 m 11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是_____． 12．在△ABC中，若|cos A 1 2 -|＋(1－tan B)2＝0，则△ABC的形状是________________． 13．如图，直线OA与x轴的夹角为α，与双曲线 2 y x =(x>0)交于点A(1，m)，则tana 的值为________. 14．如图，点、、为正方形网格纸中的3个格点，则的值是________. 15．如图①，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若直角三角形一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”设AB＝a，则图中阴影部分面积为_____(用含a的代数式表示)
相似三角形及解直角三角形测试题
解直角三角形复习练习4 九年级数学培优试题 2．如图，△ABC中，AB＝12，AC＝15，为AB上一点，且，在AC上取一点，使以A、D、E 为顶点的三角形和△ABC相似，则AE等于 ( ) A． B．10 C．或10 D．以上答案都不对 3、（2013o宿迁）如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（） A． B． C． D． （第3题图） 4.（2009泰安图18）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为。 A．6 B．3 C．4 D．5 6．（2013o连云港）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA的值为（） A． B． C． D． 7．（2013o荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE= ． （第7题图） 9. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B′的坐标是( ) A．(3,2) B．(－2，－3) C．(2,3)或(－2，－3) D．(3,2)或(－3，－2) 二、填空题。 10.、如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F，与CD 交于G，若AE=4，EG=3，则EF= 。
11．（2013o十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米． 12．（2013o荆州）如图，在高度是21米的小山A处没得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为何45°，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号） 14．（2014?云南昆明，）如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E 处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 cm 15、如图，已知是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=，BC=1，则BF=__________。 16.求值： +2sin30°－tan60°＋cot450 17. 计算： 18. 计算： 19. 计算： + 20、如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）． 21、已知：如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交CD于点F，交BC的延长线于点G，连结EC。（1）求证：△ECF∽△EGC；（2）若EF＝，FG＝，求AE的长。 23．（2014年山东泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=； （2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点， 求证：四边形ABFD是菱形．
解直角三角形(培优)
解直角三角形 1．(2015·湖南省衡阳市,第1２题3分）如图,为了测得电视塔的高度AB，在Ｄ处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔?? 顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进1０0米到达Ｆ处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位:米）为( ）.?? ? A． B.51 C.D．１01 2．（2０15?浙江滨州，第12题3分）如图,在x轴的上方,直角∠ＢOA绕原点Ｏ按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于Ｂ、A两点,则∠OＡB大小的变化趋势为( ）?? A.逐渐变小? B.逐渐变大 C.时大时小? D.保持不变 3．如图，要在宽为2２米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角,路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DＯ与灯臂CＤ垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BＣ高度应该设计为( ）? ? (3题) (4题) A．（11﹣2)米Ｂ.(11﹣2）米 C.(1１﹣２)米?D．（1１﹣4)米
4．（2０1５?山东日照 ,第１0题4分)如图,在直角?ＢAD 中,延长斜边BD 到点Ｃ，使ＤC ＝ＢD ，连接A Ｃ,若tanB =，则t ａｎ?CA Ｄ的值（ ）??? A.? Ｂ.? C ．??D ． 5.湖南路大桥于今年５月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度,在距桥塔ＡB 底部50米的Ｃ处,测得桥塔顶部Ａ的仰角为41．5°(如图).已知测量仪器CD 的高度为1米,则桥塔AB 的高度约为（ ） ?? (6题) Ａ.３4米?B.?38米?C ． 45米?D ．?5０米 6.如图，斜面ＡＣ的坡度（ＣD 与ＡD 的比)为１：２，A Ｃ＝米,坡顶有一旗杆BC ,旗杆 顶端B 点与A 点有一条彩带相连,若AB ＝10米，则旗杆ＢC 的高度为( ) ?? A ．５米 Ｂ.６米 C . ８米 D . 米? 二.填空题? 1. 如图，菱形ABCD 的边长为15，si ｎ?BAC =,则对角线AC 的长为 . ? (１题） (2题) (3题） （5题)
数学 锐角三角函数的专项 培优练习题及答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆， 圆心为E ，直线AC 交E 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是 E 的切线； （2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E 于点G ，连接BG ： ①当1 an 7 t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求 BG CF 的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ?? ??? ，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】 【分析】 （1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可； （2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ??，得1 2 BG CF ≤，从而得解. 【详解】 （1）证明：连接DE ，则： ∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=? ∴90BDA ∠=? ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠ ∵ EB ED = ∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=? ∴90EDO ∠=? ∴直线OD 为 E 的切线. （2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ?? ∴ 11 NF AF AN AB BC AC == ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：10 31 x = ∴150531AF x == 15043 33131 OF =-= 即143,031F ?? ??? 如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ?? ∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241 tan 1037 F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25 x =
九年级(上)培优讲义-第2讲解直角三角形
第2讲：解直角三角形 一、建构新知 1.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=30°, BC=2, 则AB= , AC= ,∠B= °. 2.阅读教材后回答。 （1）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=α, BC=a, 则AB= , AC= , ∠B= °. （2）解直角三角形至少需要个条件，其中关于的条件必须有. （3）课本例题1中给出了一种解的直角三角形的方法，除此之外有没有其它的解法了，请你试着解一下，并且请你比较一下哪种解法更好，为什么？ 3.填写下表：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ,b , c. 已知条件已知条件解法 一边一角一条直角边和一个锐角 （a, ∠A） 斜边和一个锐角 （c, ∠A） 两边 两条直角边 （a,b） 斜边和一条直角边 （a ,c） 4.阅读教材后回答. （1）如图，在斜坡AB上，坡角为, 坡度等于与的比（或叫坡比）， 其实质就是坡角的值，可用字母表示. （2）若∠B逐渐变大，坡度是如何变化的？B A C
A B C 北 北 二、经典例题 例1. 将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD ,求∠ADB 的正弦值． 例2．由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C =90°： （1）已知a =4，b =8，求c ． （2）已知b =10，∠B =60°，求a ，c ． 例3.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A 、B 两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索.接到通知后，“华意”轮测得出事地点C 在A 的南偏东60°、“沪救12”轮测得出事地点C 在B 的南偏东30°.已知B 在A 的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点C 的距离. A B D C A B D C
浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合培优提升训练题1(附答案详解)
浙教版2020九年级数学下册第1章解直角三角形单元综合培优提升训练题1（附答案详解） 1．如图,在四边形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于（） A．0.75B．4 3 C．0.6D．0.8 2．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（） A．140米B．150米C．160米D．240米 3．在Rt△ABC中，∠C=90°， 4 tan 3 A ，若AC=6cm，则BC的长度为 A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm 4．的值为（）A．B．C．D．1 5．如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有（）． A．4个B．3个C．2个D．1个 6．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（） A．2B．3C．4km D．（3）km
7．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（） A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形8．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为（） A．3 2 B． 1 2 C． 2 3 D． 213 13 9．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（） A． 3 2 cm2B．3cm2C．2cm2D． 2 2 cm2 10．如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为B(－1，0)，则sinα的值是（） A．2 5 B． 5 C． 3 5 D． 4 5 11．如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是弧AB上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是 A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）12．上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处(如图)，从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东30°方向，那么
中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案
中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 639=?=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）23 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3， 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=3AC=203 ∴DE=503 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE =503= 2 35 答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是 2 35 ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 3．如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S △ABC = 81 4 ．动点P 从A 点出发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正△PQM
九年级奥数培优 解直角三角形
A 卷 一、填空题 1.一个三角形的一边长为2，这条边上的中线是1 1， 则这个三角形的另两边之长分别是 和 。 2.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=6，CA 的平分线 AD=则AB = 。 3.在Rt △ABC 中，∠C = 90°， BC= AC=A = ，外接圆的半径是 。 4.梯形的两底长分别等于13厘米和5厘米，两底角分别是30°和60°，则梯形的周长是 厘米。 5.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=2，cosB= 3 5 ，则ABC S ?= 。 6.已知直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形的两个锐角度数分别是 度和 度。 7.若0°<α <90°，那么以sin α、cos α、tan α·cot α为三边的三角形ABC 的内切圆半径和外接圆半径这和等于 。 8.计算2001 20001(tan 60)(3tan 30)3 = 。 9.已知tan α＝2，α为锐角，4cos 5sin 2cos 3sin αα αα -=+ 。 10.如果等腰三角形ABC 中，底角是30 °，面积为3 ，那么ABC ?的周长是 。 二、解答题 11.已知等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，点D 在直线BC 上，且BD = AB ，求∠ADB 的余切值。 12.如图，已知△ABC 中，∠C = 90°，E 、F 在AB 边上，AF=EF=EB ，且CF = sin α，CE ＝cos α，求斜边AB 的长。 B 卷 一、填空题 1.在△ABC 中，有一个角为60 °，S ?=20，则它的三边之长分别为 、 和 。 2.如图，在Rt △ABC 中，E 、D 分别是边AC 、 BC 的中点，BE =AB =10，∠C =90°，则AD = 。 3.计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝ 。 4.已知在直角三角形ABC 中，∠C = 90°，tan 2A ＋cot 2 A = 5，则tan A ＋cot A ＝ 。 5.在直角三角形中，斜边长为C ，面积为S ，那么这个三角形的两直角边长 分别是 和 。 6.在△ABC 中，∠B =30°，∠BAC =135°，BC =10，则AB = 。
解直角三角形培优练习题(含答案)
l1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，那么AB的长为（）A．3sinαB．3cosαC．D． 2．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=α，那么AD等于（）A．asin2αB．acos2αC．asinαcosαD．asinαtanα 3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC边上一点，若tan∠DBA=，则tan∠CBD的值为（） A．B．C．1 D． （第3题）（第4题）（第8题） 4．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，∠C=90°，点C的坐标为（，﹣），则点B 的坐标是（） A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0） 5．等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰长为（） A．4 B．2C．2 D． 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=c，那么BC等于（） A．c?sinαB．c?cosαC．c?tanαD．c?cotα 7．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（） A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b 8．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为（） A．90m B．60m C．45m D．30m
9．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若AC=6米，则树高BC为（）A．6sinα米B．6tanα米C．米D．米10．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（） A．2 B．C．D． （第9题）（第10题）（第11题）11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD：AD的值为（）A．B．C．D． 12．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD 的余弦值是（） A．B．C．D． （第12题）（第13题）（第14题） 13．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上，若sin∠DFE=，则tan∠EBF的值为（） A．B．C．D． 14．如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径是OA，点P是优弧 上的一点，则tan∠APB的值是（）
解直角三角形培优提高练习题中考题
解直角三角形中考题汇编 一.选择题 1．（山东省菏泽市·3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等 腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°， 则△ABC与△A′B′C′的面积比为（） A．25：9 B．5：3 C．：D．5：3 2. （重庆市·4分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实 践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°， 然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向 行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么 大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） （） A．18.1米B．17.2米 C.19.7米D．25.5米 3. （浙江省绍兴市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°， 以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心， AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是 （） A．B．C．D． 4. （重庆市B卷·4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底 边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大 楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73， ≈2.45） A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4 二.填空题 1．（山东省菏泽市·3分）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=．
数学九年级下册第一章：解直角三角形培优训练
九年级下解直角三角形训练1 浙教版九下数学第一章：解直角三角形培优训练 1．选择题： 1.如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（） A．250米 B．250米 C．米 D．500米 2.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（） A．160m B．120m C．300m D．160m 3.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（） A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米 4.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（） A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4）米2 5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45） A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4 6.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（） A．2m B．2m C．（2-2）m D．（2-2）m
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲解直角三角形(含答案)
第十一讲解直角三角形 趣题引路】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周用数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220kmB处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km,风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30。方向往C移动，且台风中心风力不变，若城币所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响，若你是该市气象局的首席气象专家, 请你对此次台风对该市的影响情况作出预测。（1）该市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几 B 图11-1 解析（1）作AD丄BC于点D,（如图11-1）, ?, AD = 220.Z5 = 30 , AD = -AB = \ \km. 2 由题意知，当A点距台风中心不超过160km时，就会受台风影响.由于AD=110<160,所以A市会受这次台风影响； （2）在BD及BD的延长线上分别取E、F两点，使AE=AF= 160km,则当台风中心从到达E点时起，直到离开F点，该市都会受到这次台风的影响， :DE = y]AE2-AD2 = J16O'-llO' =30苗伙川）.「. EF = IDE = 60厉伙加）. ???这次台风影响持续的时间为也=4的（力）； 15 （3）当台风中心位于D时，A市所受这次这次台风的风力最大，英最大风力为 12 一舞= 6.5（级） 知识延伸】 解三角形，除运用锐角三角函数知识，往往还要用到我们已经学过的勾股左理，以及另两个非常重要的上理：正弦泄理和余弦是理. A
解直角三角形教学反思
解直角三角形教学反思 解直角三角形教学反思1在解直角三角形中，我们习惯于利用三角函数根据题目中已知的边角元素来求另外的边角元素。其实，有时候利用方程来解决这样的问题甚至能起到更好的效果。 在《解直角三角形》中第四节船有触礁的危险中，其情境引入是这样的： 海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行使20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？ 对于本题，要判断船是否有触礁的危险，只需要判断该船行使的路线中，其到小岛A的最近距离是否在10海里范围内，过A作AD⊥BC于D，AD即为小船行驶过程中，其到小岛A的最近距离，因此需要求出AD的长.根据题意，∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC=20，那么如何求AD的长呢？ 教参中是这样给出思路的，过A作BC的垂线，交直线BC于点D，得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°,CD=ADtan25°,ADtan55°-ADtan25°=20.这样就可以求出AD的长.这里，需要学生把握三点：第一，两个直角三角形；第二，BD-CD=20；第三，用AD正确地表示BD和CD.用这种思路，多数学生也能够理解。 但教学过程中，我发现利用方程的思路来分析这道题
目，学生更容易接受。题目中要求AD的长，我们可以设AD 的长为x海里，其等量关系是：BD-CD=20，关键是如何用x 来表示CD和BD的长。这样，学生就很容易想到需要在两个直角三角形利用三角函数来表示：Rt△ABD中，tan∠BAD=从而，BD=xtan55°;Rt△ACD中，tan∠CAD=,从而，CD=xtan25°，这样根据题意得：xtan55°-xtan25°=20，然后利用计算器算出tan55°和tan25°值，这样就可以利用方程来很容易的解决这样一个题目，并且是大家很熟悉很拿手的一元一次方程。 可见，教学有法，教无定法，同样一道题目，不同的方法，却能够让学生理解起来，减轻许多思维障碍，这不正是我们教学中所要达到效果吗？ 解直角三角形教学反思2本节课是一节复习课，内容是关于解直角三角形的知识的应用复习。在教学设计中，我针对学生对三角函数及对直角三角形的边角关系认识的模糊，计算能力薄弱等特点，我决定把教学的重、难点放在了解决有关实际问题的建构数学模型上。通过对知识点的回顾、基础知识的练习，例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学，绝大部分学生能很好地掌握了如何建构模型的解决方法，很好地达到了本节课的教学目的。 当然由于自己在如何上好一节复习课上还处在摸索阶段，所以在设计与安排上还存在很多不足，如本节课设计容量较大，有4个实际应用问题，学生对每个问题逐个探究解答，时间感觉比较紧。有时就有越俎代庖的感觉;本节课的
第24章《解直角三角形》培优专题3：解直角三角形
同步练习1 B A O 同步练习2 B A C 同步练习3 B A C 同步练习4 B A C 同步练习5 B A C 第24章《解直角三角形》培优习题3：解直角三角形 考点1：解直角三角形（纯数学问题） 题型1：网格图中求锐角三角函数 例1、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形上，AB 与CD 相交于点O ，则AOD ∠tan 等于（ ） A 、 2 1 B 、 2 C 、1 D 、2 【同步练习】 1、在正方形网格中，AOB ?如图放置，则=∠AOB tan （ ） A 、 2 3 B 、 3 2 C 、 1333 D 、13 13 2 2、如图，A 、B 、C 分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则BAC ∠sin 的值为（ ） A 、 2 1 B 、22 C 、1 D 、3 3、如图，在正方形网格中，已知ABC ?的三个顶点均在格点上，则ACB ∠的正弦值为（ ） A 、2 B 、 552 C 、55 D 、 21 4、在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，ABC ?的顶点都是格点，则BAC ∠sin 的值 为（ ） A 、 105 3 B 、 5 5 2 C 、2 D 、 5 5 5、如图，ABC ?的顶点是正方形网格的格点，则=A cos （ ） A 、 2 1 B 、 2 2 C 、 23 D 、5 5 D B C A O
例题2图 E B D 同步练习1 A C B N C D 同步练习3 M A 题型2：锐角三角形跨章节综合应用 例2、如图，已知ABC Rt ?的直角顶点A 落在x 轴上，点B 、C 在第一象限，点B 的坐标为（ 5 34 ，4），点D 、E 分别为边BC 、AB 的中点，且21tan =B ，反比例函数x k y =的图象恰好经过D 、E ，则k 的值为（ ） A 、 18 B 、8 C 、12 D 、16 【同步练习】 1、如图，在四边形ABCD 中，?=∠90DAB ，BC AD //，AD BC 2 1 = ，AC 与BD 交于点E ，BD AC ⊥，则BAC ∠tan 的值是（ ） A 、 4 1 B 、 42 C 、 2 2 D 、3 1 2、已知ABC Rt ?中，?=∠90C ，CD 是AB 边上的高，且5=AB ，5 4 cos =A ， 则CD 的长为（ ） A 、 5 3 B 、 5 4 C 、 5 12 D 、 5 16 3、如图，在ABC Rt ?中，?=∠90A ，6=AB ，8=AC ，点D 为边BC 的中点，点M 为边AB 上的一动点，点N 为边AC 上的一动点，且?=∠90MDN ，则DMN ∠sin 为（ ） A 、 5 3 B 、 5 4 C 、55 D 、510 例3、如图，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，点D 在BC 边上，?=∠45ADC ，2=BD ，4 3 tan =B . （1）求AC 和AB 的长； （2）求BAD ∠sin 的值。 【同步练习】 A
中考解直角三角形培优题
5 F 学习必备 欢迎下载 解直角三角形综合提高题 1. 如图 4，沿 AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处．已知 AB = 8 ， BC = 10 ，则 tan ∠EFC 的值为 ( ) A D E 3 4 Ａ． Ｂ． 4 3 Ｃ． 3 5 Ｄ． 4 B C 2. 如图 5，在直角坐标系中，将矩形 OABC 沿 OB 对折，使点 A 落在 A 处，已知 OA = 3 ， 1 AB = 1 ，则点 A 的坐标是（ ） 1 图 5 3. 如图 6，在等腰直角三角形 ?ABC 中， ∠C = 90? ， AC = 6 ， 1 D 为 AC 上一点，若 tan ∠DBA = ，则 AD 的长为( ) 5 A ． 2 B ． 2 C ．1 D ． 2 2 图 6 4. 如图 8， Rt ?ABC 中， ∠C = 90? , D 是直角边 AC 上的点，且 AD = DB = 2a , ∠A = 15? ，则 BC 边的长为 ． 5. 如图 10，在矩形 ABCD 中， E 、 F 、 G 、 H 分别为 AB 、 BC 、 C D 、 DA 的中点， 4 若 tan ∠AEH = ，四边形 EFGH 的周长为 40 ，则矩形 ABCD 的面积为 ______． 3 图 10 图 12 6. 如图 12 所示， ?ABC 中， AB = AC ， BD ⊥ AC 于 D ， BC = 6 ， DC = 则 cos C = ____． 7. 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为______. 8. 等腰三角形的三边的长分别为 1、1、 3 ，那么它的底角为 1 2 AD ，
第24章《解直角三角形》培优专题1：直角三角形的性质
图 2 P B C A D E C A 图 1 E D C A 图 3 B E D C 图 4 B A 第24章《解直角三角形》培优习题1：直角三角形的性质 考点1：直角三角形30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半 题型1：直接利用30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半 例1、如图1，在ABC Rt ?中，?=∠90A ，?=∠30C ，BC 的垂直平分线交AC 于点D ，并交 BC 于点E ，若3=ED ，则AC 的长为（ ） A 、33 B 、3 C 、6 D 、9 【同步练习】 1、如图2，ABC Rt ?中，?=∠90C ，3=AC ，?=∠30B ，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长可能是（ ） A 、5 B 、6.2 C 、7.8 D 、8 2、如图3，在ABC Rt ?中，?=∠90A ，?=∠30B ，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，若1=AE ，则BE 的长为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、1 3、如图4，在ABC Rt ?中，?=∠60ACB ，DE 是斜边AC 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于D 、E 两点，若1=BD ，则AC 的长是（ ） A 、4 B 、32 C 、6 D 、3 题型2：挖掘题中隐含30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半 例2、如图5，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，?=∠15B ，3=AC ，AB 的垂直平分线l 交BC 于点 D ，连接AD ，则BC 的长为（ ） A 、12 B 、323+ C 、336+ D 、36
D B C 图 5 l A D B C 图 6 E A D B C 图 7 E A F C E 图 10 A D P O A C 图 9 B A M P O B N 图 8 E A D C P B 图 11 E A D B 图 12 E A D C B 图 13 【同步练习】 1、如图6，在ABC Rt ?中，?=∠90C ，?=∠15B ，DE 垂直平分AB ，垂足是点E ，若cm AD 8=，则AC 的长是（ ） A 、4cm B 、5cm C 、cm 34 D 、6cm 2、如图7，在ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，?=∠15B ，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，cm AE 6=，则=AC （ ） A 、6cm B 、5cm C 、4cm D 、3cm 题型3：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与角平分线综合应用 例3、如图8，?=∠30AOB ，P 是角平分线上的点，OB PM ⊥于点M ，OB PN //交OA 于点 N ，若1=PM ，则______=PN . 【同步练习】 1、如图9，?=∠=∠15BOP AOP ，OA PC //，OA PD ⊥，若4=PD ，则PC 的长为 ； 2、如图10，在ABC ?中，?=∠60BAC ，点D 在BC 上，14=AD ，AB DE ⊥，AC DF ⊥，垂足分别为E ，F ，且DF DE =，则DE 的长为 . 题型4：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半与等边三角形综合应用 例4、如图11，BD 是等边ABC ?的角平分线，AB DE ⊥，垂足为点E ，线段BC 的垂直平分 线交BD 于点P ，垂足为F ，若2=PF ，则DE 的长为（ ） A 、2 B 、32 C 、3 D 、4 【同步练习】