精品解析：河南省商丘市夏邑县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(解析版)

2020—2021学年度第一学期期末考试

八年级数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 2020年春，“新冠病毒”肆虐，全国上下齐心协力、众志成城，坚决打赢“新冠肺炎”阻击战，下列防疫的图标中是轴对称图形的是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据这一定义依次进行判断即可．

【详解】A选项，图标不符合轴对称图形的定义，故不符合题意；

B选项，图标不符合轴对称图形的定义，故不符合题意；

C选项，图标符合轴对称图形的定义，故符合题意；

D选项，图标不符合轴对称图形的定义，故不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解答本题的关键是掌握轴对称图形的定义，并熟练运用．

2. 熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口

罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（）

A. 3

0.15610-

? B. 3

1.5610-

? C. 4

1.5610-

? D. 4

15.610-

?

【答案】C

【解析】

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：0.000156用科学记数法可表示为1.56×10﹣4．

故选：C ．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣

n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3. 下列运算正确的是（ ）

A. 236m m m ?=

B. 523m m m ÷=

C. ()325m m =

D. 22()mn mn = 【答案】B

【解析】

【分析】

依据同底数幂的乘除法、幂的运算法则，进行判断即可．

【详解】A 选项，235m m m ?=，故不符合题意；

B 选项，523m m m ÷=，故符合题意；

C 选项，()326m m =，故不符合题意；

D 选项，222()mn m n =，故不符合题意；

故选：B ．

【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 4. △ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝a ，下列数轴中表示的a 的取值范围，正确的是（ ） A.

B. C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据三角形的三边关系确定a 的取值范围，然后在数轴上表示即可．

【详解】解：∵△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝a ，

∴1＜a ＜5，

∴A 符合，

故选：A ．

【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的知识点，准确判断出第三边的取值范围，然后在数轴上进行表

示，注意在数轴上表示的点为空心即可．

5. 如图，在Rt△ACD和Rt△BEC中，若AD=BE，DC=EC，则不正确的结论是（）.

A. Rt△ACD和Rt△BCE全等

B. OA=OB

C. E是AC的中点

D. AE=BD

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】A．∵∠C=∠C=90°，∴△ACD和△BCE是直角三角形，在Rt△ACD和Rt△BCE中，

∵AD=BE，DC=CE，∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），正确；

B．∵Rt△ACD≌Rt△BCE，∴∠B=∠A，CB=CA，∵CD=CE，∴AE=BD，在△AOE和△BOD中，

∵∠A=∠B，∠AOE=∠BOD，AE=BD，∴△AOE≌△BOD（AAS），∴AO=OB，正确，不符合题意；C.AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，错误，符合题意；

D．∵Rt△ACD≌Rt△BCE，∴∠B=∠A，CB=CA，∵CD=CE，∴AE=BD，正确，不符合题意．

故选C．

考点：全等三角形的判定与性质．

6. 如图，在?ABC 中，ED / / BC ，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交ED 于点G 、F ，若FG = 2 ，ED = 6 ,则EB +DC 的值为（）

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】 根据ED ∥BC 和角平分线可得出∠EGB=∠EBG ，∠DCF=∠DFC ，从而得出EG=EB ，DF=DC ，即可解决问题．

【详解】∵ED ∥BC ，

∴∠EGB=∠GBC ，∠DFC=∠FCB ，

∵∠GBC=∠GBE ，∠FCB=∠FCD ，

∴∠EGB=∠EBG ，∠DCF=∠DFC ，

∴BE=EG ，CD=DF ，

∵FG=2，ED=6，

∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG=8，

故选C ．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．

7. 下列关于分式的判断中错误的是（ ）

A. 当2x ≠时，12x x +-有意义

B. 当3x =时，3x x

-的值为0 C. 无论x 为何值，251x +的值总为正数 D. 无论x 为何值，51x 不可能得整数值 【答案】D

【解析】

【分析】

根据分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，且分母不为0依次进行判断即可．

【详解】A 选项，当2x ≠时，

12x x +-有意义，故不符合题意； B 选项，当3x =时，3x x

-的值为0，故不符合题意； C 选项，211x +≥，则无论x 为何值，251

x +的值总为正数，故不符合题意； D 选项，当0x =时，551

x =+，故符合题意；

故选：D ．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为0的条件，掌握运用以上两个知识点是解答本题的关键．

8. 数学兴趣小组开展活动：把多项式

2114x x ++分解因式，组长小明发现小组里有以下四种结果与白己的结果2112x ??+ ???

不同，他认真思考后，发现其中还有一种结果是正确的，你认为正确的是（ ） A. 21(1)2x + B. 21(1)4x + C. 21(2)2x + D. 21(2)4

x + 【答案】D

【解析】

【分析】 首先提出二次项系数

14，再利用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：

2114x x ++ ()21=

444

x x ++ 21=(2)4x + 故选：D ．

【点睛】此题主要考查了分解因式，关键是掌握分解因式首先提公因式，再利用公式法进行分解． 9. 已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项系数皆为正整数，若甲与乙相乘得24x -，乙与丙相乘得2718x x +-，则甲、丙之积与乙的差是（ ）

A . 21020x x ++

B. 2106x x ++

C. 21216x x ++

D. 21220x x ++

【答案】A

【解析】

【分析】 根据平方差公式因式分解可知2

4(2)(2)x x x -=+-，根据十字相乘法因式分解可知2(279)18)(x x x x -+=+-，对以上两个式子进行分析即可得到甲、乙、丙，进而进行计算即可．

【详解】A

∵24(2)(2)x x x -=+-，

∵2(279)18)(x x x x -+=+-，

又∵甲与乙相乘得：24x -，乙与丙相乘得：2718x x +-，

∴甲为(2)x +，乙为(2)x -，丙为(9)x +，

∴甲、丙之积与乙的差是：

(2)(9)(2)x x x ++--，

211182x x x =++-+，

21020x x =++，

故选：A

【点睛】本题主要考查整式的运算、因式分解，解答本题的关键是熟练掌握运用整式运算和因式分解的方法．

10. 如图，若x 为正整数，则表示分式22(2)(1)

x x x x +++的值落在（ ）

A. 线①处

B. 线②处

C. 线③处

D. 线④处

【答案】B

【解析】

【分析】 将分子分母能分解因式的分解因式，然后再约分，再对分式值进行估算，即可得到答案．

【详解】原式(2)(1(2))

x x x x =+++， ∵x 为正整数，

∴20x +≠，

∴原式可化为：(1)

x x +， ∵分子比分母小1，且x 为正整数，

∴(1)x x +是真分数，且最小值是12

，

即，0.51x ＜＜，

∴表示这个数的点落在线②处，

故选：B ．

【点睛】本题考查分式的化简、因式分解、分式值的估算，解答本题的关键是熟悉以上知识点并灵活运用．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 若a ＝(﹣2020)0，b ＝(﹣0.1)﹣1，c ＝(﹣53

)﹣2，则a 、b 、c 的大小关系为_____．(用“＜”号连接) 【答案】b c a <<

【解析】

【分析】

直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简即可得出答案．

【详解】0(2020)1a =-=，111()()1010.10b --==--

=-，22539()()3525c -=-=-=， ∵910125

-<<， ∴b c a <<，

故答案为：b c a <<．

【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，熟记负整数指数幂、零指数幂的运算法则是解题关键．

12. 分解因式：（1）322

2x x y xy -+=________________； （2）()222936x x +-=________________．

【答案】 (1). 2()x x y - (2). 22

(3)(3)x x +-

【解析】

【分析】

（1）先提取公因式x ，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可；

（2）首先将236x 转化为2(6)x ，其次利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行分解即可．

【详解】（1）原式22(2)x x xy y =-+， 2()x x y =-， 故答案为：2

()x x y -； （2）原式222(9)(6)x x =+-， 22(96)(96)x x x x =+++-，

22(3)(3)x x =+-，

故答案为：22(3)(3)x x +-．

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，并灵活运用，同时要注意因式分解要彻底，直到不能分解为止．

13. 在学习了负整数指数幂的知识后，小明和小军两同学做了一个数学游戏，小明出了题目：将

()()24252*2m n m n --?-的结果化为只含有正整数指数幂的形式，其结果为2

416n m

，则“*”处的数是多少？聪明的你替小军填上“*”处的数是___________．

【答案】3-

【解析】

【分析】

先用负整数指数幂将()()24252*2m n m n --?-化简为()2

2452*12m n m n ??? ???-，再结合积的乘方、幂的乘方解题即可．

【详解】解：()()24252*2m n

m n --?- ()

22452*1=2m n m n ??? ???- 4*410481=2m n m n

? 444*+101

=2m n

由题意得，

44*14+01=2m n 2

4

16n m 4*+102=1

n n ∴

(4*+120)=n n -

(4*+10)=2∴-

4*12=-

*3∴=-

故答案为：3-．

【点睛】本题考查负整数指数幂、幂的乘方、积的乘方等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

14. 已知在ABC 中，三边长,,a b c ，满足等式222214100a b c ab bc --++=，请你探究,,a b c 之间满足的等量关系为__________．

【答案】30a c b +-=

【解析】

【分析】

由完全平方公式和平方差公式可得(3)(7)0a c b a b c +-+-=，再由a b c +>，即可求,,a b c 之间满足的等量关系．

【详解】∵222214100a b c ab bc --++=，

∴22(2)(5)0a b c b +--=，

∴(25)(25)0a b c b a b c b ++-+-+=，

∴(3)(7)0a c b a b c +-+-=

∵a b c +>，

∴70a b c +->，

∴30a c b +-=，

故答案为：30a c b +-=

【点睛】本题考查了因式分解的应用、三角形两边之和大于第三边，熟练运用完全平方公式，平方差公式是解答本题的关键．

15. 如图，在ABC 中，90,,,ACB AC BC CE BE CE ∠=?=⊥与AB 相交于点F ，且CD BE =，则ACD CBA DAF ∠∠∠、、之间的数量关系是_____________．

【答案】=ACD CBA DAF ∠∠∠+

【解析】

【分析】

先利用同角的余角相等得到ACD ∠=CBE ∠，再通过证ACD CBE ≌，得到==90ADC CEB ∠?∠即==90ADF CEB ∠?∠，再 利用三角形内角和得=AFD ADF EFB FEB ?--?-∠-180∠∠180∠可得

=DAF EBF ∠∠，最后利用角的和差即可得到答案，ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠．

【详解】证明：∵90ACB ∠=?，CE BE ⊥

∴+90ACD ECB ∠=?∠，+90CBE ECB ∠=?∠

∴ACD ∠=CBE ∠

又∵AC BC =，CD BE =

∴ACD CBE ≌

∴==90ADC CEB ∠?∠即==90ADF CEB ∠?∠

∵=AFD EFB ∠∠

∴=AFD ADF EFB FEB ?--?-∠-180∠∠180∠即=DAF EBF ∠∠

∴ACD ∠==++CBE CBA EFB CBA DAF ∠∠∠=∠∠

故答案为：=ACD CBA DAF ∠∠∠+．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．

16. 如图，已知∠AOB ＝30°

，点P 在边OA 上，OP ＝14，点E ，F 在边OB 上，PE ＝PF ，EF ＝6．若点D 是边OB 上一动点，则∠PDE ＝45°时，DF 的长为_____．

【答案】4或10

【解析】

【分析】

过点P 作PH ⊥OB 于点H ，根据PE=PF ，可得EH=FH=12EF=3，根据∠AOB=30°，OP=14，可得PH=12OP=7，当点D 运动到点F 右侧或当点D 运动到点F 左侧时，分别计算可得DF 的长．

【详解】解：如图，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，

∵PE ＝PF ，

∴EH ＝FH ＝12

EF ＝3， ∵∠AOB ＝30°，OP ＝14，

∴PH ＝12

OP ＝7，

当点D 运动到点F 右侧时，

∵∠PDE ＝45°，

∴∠DPH ＝45°，

∴PH ＝DH ＝7，

∴DF ＝DH ﹣FH ＝7﹣3＝4；

当点D 运动到点F 左侧时，

D ′F ＝D ′H +FH ＝7+3＝10．

所以DF 的长为4或10．

故答案为4或10．

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质，解决本题的关键是分两种情况画图解答．

三、解答题（本大题共7个小题，共72分）

17. 计算：

（1）()()2443252()y y y y ????-÷??-??????

?? （2）23222()x y x x y xy x y ????-÷+? ? ?-???? 【答案】(1)9y ；(2)

23

x xy y -． 【解析】 【分析】(1)根据幂的乘方与积的乘方，先算小括号再算中括号即可求出；

(2)根据分式混合运算，对于同级运算，按照从左往右依次进行计算即可．

【详解】(1)原式=()24852··y

y y y ÷ =2415y y ÷

9y =；

(2)原式=()()

()()22323221x y x y x x y x y x y +-??+- =23

x xy y -.． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确掌握住计算顺序和方法是解题的关键．

18. 解下列分式方程：

（1）21133x x x x -=-- （2）2216124

x x x ++=--- 【答案】（1） 1.5x =；（2）方程无解．

【解析】

【分析】

（1）首先去分母，方程两边同时乘以3(1)x -，然后再移项、合并同类项得230x -=，再系数化1，最后验根，即可得到答案；

（2）首先去分母，方程两边同时乘以(2)(2)x x +-，然后再移项、合并同类项得48x =，再系数化1，最后验根，即可得到答案；

【详解】（1）21133

x x x x -=--， 两边同时乘以3(1)x -得：33(x 1)2x x --=，

移项、合并同类项得：230x -=，

系数化1得： 1.5x =，

检验：当 1.5x =时，3(1)0x -≠，

∴分式方程的解为 1.5x =；

（2）2216124

x x x ++=---， 两边同时乘以(2)(2)x x +-得：22(2)164x x -++=-，

移项、合并同类项得：48x =，

系数化1得：2x =，

检验，当2x =时，(2)(2)0x x +-=，

∴2x =是增根，分式方程无解．

【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解答本题的关键是掌握解分式方程的方法，并注意验根．

19. 先化简，再求值：

（1）x y x y x y 2(23)(2)(2)，其中x y 11,32． （2）222333691

x x x x x x x x +-÷++++-，再求当1x +与6x +互为相反数时，代数式的值． 【答案】（1）21210xy y +，

12；（2）61x x ++，1-． 【解析】

【分析】

（1）利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号、合并同类项，最后再代入数值计算即可；

（2）利用分式的除法法则解题，同时利用提公因式、完全平方公式、平方差公式因式分解，再通分、合并、化简，最后根据相反数的性质解得x 的值，再代入解题即可．

【详解】解：（1）x y x y x y 2(23)(2)(2)

x xy y x y 222

21294(4) x xy y x y 222212944

21210xy y =+

当x y 11,3

2时， 原式21210xy y =+

211112()10()322

=??-+?- 522

=-+ 12

=；

（2）222333691

x x x x x x x x +-÷++++- 2226933=31

x x x x x x x x ++-?+++- 2(3)3(1)=3(1)(1)(1)

x x x x x x x x +-?++++- 33=

11

x x x ++++ 6=1x x ++ 由题意得160x x +++=，

27x =- 解得72x =-

， 当72

x =-时， 原式6=1

x x ++ 6

722

=17--++ =5

252

- 1=-．

【点睛】本题考查整式的化简求值、分式的化简求值，涉及提公因式、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

20. 已知2227,43,628A a B a a C a a =-=-+=+-，其中2a >，

（1）判断A 与B 的大小；

（2）阅读下面对B 分解因式的方法：

22243441(2)1(21)(21)(1)(3)B a a a a a a a a a =-+=-+-=--=-+--=--．请解决下列两个问题：

①仿照上述方法分解因式：2496x x --；

②指出A 与C 哪个大，并说明理由．

【答案】（1）B A >；（2）①()()812x x +-②当 23a <<，A C >，当3a =时，A C =，当3a >时，A C <，理由见解析．

【解析】

【分析】(1)由()2

224327610310B A a a a a a a -=-+-+=-+=-+>可得；

(2)①根据()222249644100210x x x x x --=-+-=--，再利用平方差公式分解可得； ②由()()22

6282742173C A a a a a a a a -=+--+=+-=+-，再分类讨论可得． 【详解】(1)∵24327B A a a a -=-+-+

2610a a =-+

()2

310a =-+>，

∴B A >．

(2)①2496x x -- 244100x x =-+-

()2

2210x =--

()()210210x x =-+--

()()812x x =+-，

②262827C A a a a -=+--+

2421a a =+-

()()73a a =+-，

∵2a >，

∴70a +>，

从而当23a <<时，A C >，

当3a =时，A C =，

当3a >时，A C <．

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法、十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，注意整体思想的运用是解题的关键．

21. 如图（1）在凸四边形ABCD 中，3060ABC ADC AD DC ∠=?∠=?=，，．

（1）如图（2），若连接AC ，则ADC 的形状是________三角形，你是根据哪个判定定理？

答：______________________________________（请写出定理的具体内容）

（2）如图（3），若在四边形ABCD 的外部以BC 为一边作等边BCE ，并连接AE ．请问：BD 与AE 相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．

【答案】（1）等边三角形；一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；（2）BD EA =，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）连接AC ，由AD DC =判定ADC 是等腰三角形，再根据一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形即可解题；

（2）根据等边三角形的性质得，在ADC 中，,60DC AC DCA =∠=?，在BCE 中，

,60CB CE BCE =∠=?，继而证明DCB ACE ∠=∠，得到()BDC EAC SAS ?，最后由全等三角形的对应边相等解题即可．

【详解】解：（1）连接AC ，

在ADC 中，

AD DC =，

∴ADC 是等腰三角形，

又60ADC ∠=?，

∴ADC 是等边三角形（一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形）

故答案为：等边三角形；一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；

（2）BD EA =，理由如下： ADC 是等边三角形，

,60DC AC DCA ∴=∠=?

又BCE 是等边三角形，

,60CB CE BCE ∴=∠=?，

DCA ACB ECB ACB ∴∠+∠=∠+∠

即DCB ACE ∠=∠

()BDC EAC SAS ∴?

BD AE ∴=．

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

22. 甘蔗富含铁、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一．为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了50kg ．

（1）该商家第一次购进云南甘蔗的进价是每千克多少元？

（2）假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？

【答案】（1）2元；（2）4元．

【解析】

【分析】(1)设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x 元，根据题意列出方程即可求出答案；

(2)设每千克的售价为y 元，根据题意列出不等式即可求出答案．

【详解】(1)设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x 元， 根据题意可知：600600500.2x x x

=-+， 2x =，

经检验，2x =是原方程的解，

答：该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克2元；

(2)设每千克的售价为y 元， 第一次销售了6003002

=千克，第二次销售了250千克， 根据题意可知：

()30025060021000y +-?≥，

解得：4y ≥，

答：每千克的售价至少为4元．

【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系．

23. 如图1，在长方形ABCD 中，6cm 10cm AB CD BC ===，，点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿

BC 向点C 运动（点P 运动到点C 处时停止运动）

，设点P 的运动时间为 s t ． （1）PC _____________cm ．（用含t 的式子表示）

（2）当t 为何值时，ABP DCP ≌？

（3）如图2，当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以cm /s v 的速度沿CD 向点D 运动（点Q 运动到点D 处时停止运动，,P Q 两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的υ值使得ABP △与PQC △全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）102t -；（2） 2.5t =；（3）存在，=2.4v 或2，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由路程=速度?时间，解得2BP t ，再由PC BC BP =-即可解题；

（2）由全等三角形对应边相等的性质得BP PC =，即2102t t =-，据此解题；

（3）分两种情况讨论，当,BP CQ AB PC 时或当,BA CQ PB PC 时，ABP △与PQC △全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出t 的值即可解得v 的值．

【详解】解：（1）由题意得，2BP t ，

102PC BC BP t ，

故答案为：102t -；

（2）若ABP DCP ≌

则BP PC =

2102t t 即410t

2.5t ∴=

∴当 2.5t =时，ABP DCP ≌；

（3）存在，理由如下：

当,BP CQ AB PC 时，ABP PCQ ?

6AB =

6PC ∴=

1064BP ∴=-=

24t

2t ∴=

4CQ BP

24v =

2v

； 当,BA CQ PB PC 时，ABP QCP ?

PB PC =

152

BP PC BC ∴=== 25t

2.5t ∴=

6CQ BP 2.56v

2.4v

综上所述，当=2.4v 或2时，ABP △与PQC △全等．

【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．