2018北师大版下册数学截长补短和半角模型[原创]

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H A B F E 1G

E

F D C B A

D C B A O G A

B C D

A B

C 初中几何之截长补短模型

模型 截长补短 如图①，若证明线段AB 、CD 、EF 之间存在 EF=AB+CD ，可以考虑截长补短法。 截长法：如图②，在EF 上截取EG=AB ，再证明 GF=CD 即可。 补短法：如图③，延长AB 至H 点，使BH=CD ， 再证明AH=EF 即可。

模型分析

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中

截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法

构造全等三角形来完成证明过程。

模型实例

例1．如图，已知在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D 。

求证：AB=AC+CD 。

例2．如图，已知OD 平分∠AOB ，DC ⊥OA 于点C ，∠A=∠GBD 求证AO+BO=2CO 。

精练1．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 是∠BAC 的平分线，且

AC=AB+BD 。

求∠ABC 的度数。

E A

B

C D E A B C D F E

A B C D A

O E

A B C D 2．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD 。求证：AB+CD=BC 。

3．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB 。求证AC=AE+CD 。

4．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∠C=30°，

BE ⊥AD 于点E 。求证：AC-AB=2BE 。

5．如图，Rt △ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CE ⊥AD 交AD 于F

点，交AB 于点E 。求证：AD=2DF+CE 。

6．如图，五边形ABCDE 中，AB=AC ，BC+DE=CD ，∠B+∠E=180°。求证：AD 平分∠CDE 。

D C B A M

N

初中几何之半角模型

模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 已知如图：

①∠2=1

2∠AOB ；②OA=OB 。

连接F ′B ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置，连接F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。

证明：

精品练习1．如图，已知正方形ABCD 中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段

CB 、DC 于点M 、N 。（1）求证：BM+DN=MN ；（2）作AH ⊥MN 于点H ，求证：AH=AB 。

图2A M B D C N 1图B A C D M N A F E B C D A B C D M

N

2．在等边△ABC 的两边AB 、AC 上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点， 且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC 。探究：当M 、N 分别在线段AB 、AC

上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系。

（1）如图①，当DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ；

（2）如图②，当DM ≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想 并加以证明。

3．如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，E 、F 分别是BC 、CD 延长 线上的点，且∠EAF=

12∠BAD 。求证：EF=BE-FD 。

4、如图，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线，∠MAN=45°。 求证：MN=DN-BM 。