中考数学压轴题专项汇编专题角含半角模型

专题15 角含半角模型

破题策略

1． 等腰直角三角形角含半角

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D ，E 在BC 上且∠DAE ＝45° （1） △BAE ∽△ADE ∽△CDA

（2）BD 2＋CE 2＝DE 2

．

45°

E

A B

C

D

证明（1）易得∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠EAB ， 所以△BAE ∽△ADE ∽△CD A ．

（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACF ，连结EF ．

45°

F

E

A B

C

D

则∠EAF ＝∠EAD ＝45°，AF ＝AD ， 所以△ADE ∽△FAE （ SAS ）． 所以DE ＝ EF ．

而CF ＝BD ，∠FCE ＝∠FCA ＋∠ACE ＝90°，

所以BD 2＋ CE 2＝CF 2＋CE 2＝EF 2＝DE 2

．

方法二（翻折法）：如图2，作点B 关于AD 的对称点F ，连结AF ，DF ，EF ．

45°

E

A B

C

D

因为∠BAD ＋∠EAC ＝∠DAF ＋∠EAF ， 又因为∠BAD ＝∠DAF ，

则∠FAE ＝∠CAE ，AF ＝AB ＝AC ， 所以△FAE ∽△CAE （SAS ）． 所以EF ＝ E C ．

而DF ＝BD ， ∠DFE ＝∠AFD ＋ ∠AFE ＝90°，

所以BD 2＋ EC 2＝ FD 2＋ EF 2＝ DE 2

． 【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的

延长线上，且∠DAE ＝45°，则BD 2＋CE 2＝DE 2

．

E

D

可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：

E

A

D

F

E

A

D

②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 在

BC 上，且∠DAE ＝1

2

∠BAC ，则以BD ，DE ，EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180°

－∠BA C ．

B

可以通过旋转、翻折的方法将BD ，DE ，EC 转移到一个三角形中，如图：

B

C

E

B

D

2． 正方形角含半角

如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF ＝45°，连结EF ，则：

45°

图1

A

B

C

D E

图2

G

F E A B 45°

图3

H F E

A

B

D

C

（1）EF ＝BE ＋DF;

（2）如图2，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，则AG ＝AD ;

（3）如图3，连结BD 交AE 于点H ，连结FH ． 则FH ⊥AE ．

（1）如图4，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADI 证明．

图4

I

E

A

B D

则∠IAF ＝∠EAF ＝45°，AI ＝AE ， 所以△AEF ∽△AIF （SAS ），

所以EF ＝IF ＝DI ＋DF ＝BE ＋DF ．

（2）因为△AEF ∽△AIF ，AG ⊥EF ，AD ⊥IF ， 所以AG ＝A D ．

（3）由∠HAF ＝∠HDF ＝45°可得A ，D ，F ，H 四点共圆， 从而∠AHF ＝180°－∠ADF ＝90°， 即FH ⊥AE ．

【拓展】①如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边CB ，DC 的延长线上，∠EAF ＝45°，连结EF ，则EF ＝DF －BE ．

F B

C E

可以通过旋转的方法来证明.如图:

E

B

A

②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD +∠C =180 °，点E ，F 分别在BC 、CD 上，∠EAF =

1

2

∠BAD ，连结EF ，则EF=BE+DF. A

D

C

E

可以通过旋转的方法来证明.如图:

A

F

D

C

E G

例题讲解

例1 如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°.

（1） 试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系.

（2） 如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB ＝AD ．∠B ＋∠D ＝180°，点E 、

F 分别在BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍

有EF ＝BE ＋FD .

（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD .已知AB ＝AD ＝80m ，∠B ＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD ＝150°，道路BC ，CD 上分别有景点 E ，F ，且AE ⊥AD ．DF ＝40（3－1）m ．现要在E 、F 之间修一条笔直的道路，求

这条道路EF 的长．（结果取整数，参考数据：2＝1.41，3＝1.73）

图1

F

A D C

B

E

图2

A

D C

F

图3

F

C

A E

B

D

解： （1）由“正方形内含半角模型”可得EF ＝BE ＋FD ． （2）∠BAD ＝2∠EAF ，理由如下：

如图4，延长CD 至点G ，使得DG ＝BE ．连结AG. 易证△ABE ≌△ADG （SAS ）. 所以AE ＝AG ，

即EF ＝BE ＋DF ＝DG ＋DF ＝GF . 从而证得△AEF ≌△AGF （ SSS ）．

所以∠EAF ＝∠GAF ＝

12∠EAG ＝1

2

∠BAD . 图4

A

D F

图5

H

F

C

G

A B

E

D

（3）如图5，将△ABE 绕点A 逆时针旋转1 50°至△ADG ．连结AF ．

由题意可得∠BAE ＝60°

所以△ABE 和△ADG 均为等腰直角三角形. 过点A 作 AH ⊥DG 于点H ．则

DH ＝

1

2

AD ＝40m ，AH ＝32 AD ＝3 m.

而DF ＝4031）m. 所以∠EAF ＝∠GAF ＝45°.

可得△EAF ≌△GAF （SAS ）．

所以EF ＝GF ＝80m+403l ）m ≈109. 2m.

例2如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM 、DN 分别平分正方形的两个外角，且满足∠MA N ＝45°．连结MC 、NC 、MN ．

（1）与△ABM 相似的三角形是 ，BM g DN ＝ （用含有a 的代数式表示）； （2）求∠MCN 的度数；

（3）请你猜想线段BM 、DN 和MN 之间的等量关系，并证明你的结论. N

A

C B

解：（1）△NDA ，2

a . （2）由（1）可得BM AB

AD ND

=

， 所以

BM DC

BC DN

=

． 易证∠CBM ＝∠NDC ＝45°， 所以△BCM ∽△DNC ． 则∠BCM ＝∠DNC ，所以

∠MCN =360°一∠BCD 一∠BCM 一∠DCN ＝270°－ （∠DNC +∠DCN ） ＝270°－（180°－∠DNC ） ＝135°．

（3） 2

2

2

BM DN MN +=，证明如下：

如图，将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，连结EM. 易得AE ＝AN . ∠MAE ＝∠MAN ＝45°，∠EBM ＝90°， 所以△A ME ≌△AMN .（SAS ）. 则ME ＝MN ．

在Rt △BME 中，222

BM BE EM += 所以2

2

2

BM DN EM +=.

E

N

B

C A

M

倒3 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＋AD ，∠DAC ＝45°，E 为CD 上一点，且∠BAE ＝45°.若CD ＝4，求△ABE 的面积.

图1

B

A

D

C

E

解：如图1．过点A 作CB 的垂线，交CB 的延长线于点F .由∠DAC =45°，∠ADC ＝90°，可得AD ＝CD.

所以四边形ADCF 为正方形. 从而AF ＝ FC ＝4．

令BC ＝m ，则AB ＝4＋m ，BF ＝4－m ．

在Rt △AFB 中，有16＋（4－m ）2一（4＋m ）2

所以AB ＝5，BF ＝3．

如图2．将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°至△AFG. 易证△AGH ≌△AEB ．

令DE ＝n ，则CE ＝4 －n ，BE ＝BG ＝3＋n

在Rt △BCE 中，有1+（4－n ）2

＝（3＋n ）2

，解得n ＝47

. 所以BG ＝

257

. 从而15027

ABE ABG S S AF BG ??==

=g . 图2

F

A

D

C

E

G

进阶训练

1.如图，等边△ABC 的边长为1，D 是△ABC 外一点且∠BDC ＝120°，BD ＝CD ，∠MDN ＝60°，求△AMN 的周长．

N

D

A

B

C

M

△AMN 的周长是2

【提示】如图，延长AC 至点E ，使得CE ＝BM ，连结DE .先证△BMD ≌△CED ，再证△MDN ≌△EDN 即可.

E

N

C B

M

2．如图，在正方形ABCD 中，连结BD ，E 、F 是边BC ，CD 上的点，△CEF 的周长是正方形ABCD 周长的一半，AE 、AF 分别与BD 交于M 、N ，试判断线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系，并证明．

N

M

C

D

F

E B

A

解：BM 2

＋DN 2

＝MN 2

．

【提示】由△CEF 周长是正方形ABCD 周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构造辅助线解决问题（如图1），证△AEF ≌△AGF ，得∠MAN ＝1

2

∠BAD ＝4，然后，再由“等腰直角三角形含半角”（如图2）即可证得．

H G G

图2

图1

A

F

D

M N

N

M

D

F

A

3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AB 上，DE ⊥BC 于点E ，且DE ＝BC ，点F 在边AC 上，连结BF 交DE 于点G ，若∠DBF ＝45°，DG ＝

27

5

，BE ＝3，求CF 的长． G F E

D

C

B

A

解：CF ＝

125

． 【提示】如图，将DE 向左平移至BH ，连结HD 并延长交AC 于点I ，则四边形HBCI 为正方形．将△BHD 绕点B 顺时针旋转90°至△BCJ ，则点J 在AC 的延长线上．连结DF ，由“正方形角含半角模型”可得DF ＝DH ＋CF ，∠DFB ＝∠JFB ＝∠DGF ，所以DF ＝DG ，从而求得CF 的长．

J

I

H

A

B

C D

E

F G