2016年石家庄市数学二模理科试卷及答案

2016年石家庄市第二次模拟考试试题答案

（数学理科）

一、选择题

1-5 BAACB 6-10CABBA 11-12CC

二、填空题

13. 5

4 14. 240 15. -6 16. 1或9

三、解答题

17.（I ）由正弦定理

2sin sin sin a b c R A B C

===可得： 2s i n =32s i n c o R A R B C ?…………………1分

A B C π++= sin sin()=3sin cos A B C B C ∴=+， -------------------------3分

即sin cos cos sin =3sin cos B C B C B C +

cos sin =2sin cos B C B C ∴ c o s s i n =2sin cos B C B C ∴

故tan =2tan C B

． -------------------------5分 （II ）（法一）由A B C π++=，得tan()tan()3B C A π+=-=-, 即

tan tan 31tan tan B C B C +=--?, 将tan 2tan C B =代入得：23tan 312tan B B

=--，-------------------------7分 解得tan 1B =或1tan 2

B =-， 根据tan 2tan

C B =得tan tan C B 、

同正， 所以tan 1B =,tan 2C =. …………………8分 则tan 3A =

，可得sin sin sin B C A ===

，

∴b =10分

所以11sin 3322ABC S ab C ?==?=.-------------------------12分 （法二）由A B C π++=得

tan()tan()3B C A π+=-=-, 即

tan tan 31tan tan B C B C +=--?, 将tan 2tan C B =代入得：23tan 312tan B B

=--，-------------------------7分

所以tan 1B =,tan 2C =．………………8分

又因为3cos 3a b C ==，所以cos 1b C =，

∴cos 3ab C =

cos tan 6ab C C ∴=． -------------------------10分

11sin 6322ABC S ab C ?∴=

=?=．-------------------------12分 18.

D A

B E C

P

解析：（1）在矩形ABCD

中，:AB BC =，且E 是AB 的中点，

∴tan ∠ADE =tan

∠CAB =

……………1分 ∴∠ADE =∠CAB ,

∵∠CAB +∠DAC 90= ,∴∠ADE +∠DAC 90= ,即AC ⊥DE .…………3分 由题可知面PAC ⊥面ABCD ，且交线为AC ，∴DE ⊥面PAC .∴…………5分

(2) 解法一：令AC 与BD 交于点O ，∵PA PC =,且O 是AC 的中点，∴PO AC ⊥.

∵面PAC ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD .

取BC 中点F ,连接,OE OF ,因为底面ABCD 为矩形，所以OE OF ⊥.

建立如右图所示的空间直角坐标系：

(1,(1

(1,),(0,0,),A B D P a -(1)AP a =- ……………6分

设PBD

面的法向量为111(,,)c x y z =

，DB = ,(0,0,)OP a =

由11102000c DB x az c OP ???=+=??

???=?=???

? ,

111x y ==-令则 ∴PBD 面的法向量为1

,0)c =-

由1c AP a c AP

?=?= …………8分 设平面PAD 的法向量为222(,

,),(2,0,0)m x y z AD ==-

，(1AP =-

由222220000x m AD x z m AP -=???=?????-

+=?=????

221,y z ==令则(0,1,m ∴=

设平面PAB 的法向量为33

3(,,)n x y z = ，

(1

AB AP ==-

由3333333001,0, 1.00n AB x y z n AP x z ??=?=????===???=-++=????

令则 (1,0,1)n ∴= ……………………………10分

cos m n m n

θ?===

∴二面角D PA B --的余弦值为 ……………12分

∵PA PC =,且O 是AC 的中点，∴PO AC ⊥.

∵面PAC ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD . D

A B E C O

P

H

F

∴PO AH ⊥，∵AH BD ⊥，∴AH ⊥面PBD .

∴∠APH 为PA 与面PBD 所成的角. …………………

7分

∴sin ∠AH APH PA =

=，∵AH = ∴2PA PB PC PD ====.……………8分

取PA 的中点F ，连结,FD FE .∵2PA AD PD ===,∴PA FD ⊥

在AB △P

中，2PA PB ==，AB =222PA PB AB +=,即PA PB ⊥

∵,E F 分别是,AB AP 的中点，∴EF ∥PB ,∴PA FE ⊥.

所以∠DFE 是二面角D PA B --的平面角.

……………10分

在DFE △

中，∵FD =,ED =,

1FE =.∴cos ∠3

DFE =

∴二面角D PA B --的余弦值为3

-12分 19.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，

三阶的有2户。

第二阶梯水量的户数X 的可能取值为0,1,2,3 ………………1分

30463101(0)30C C P X C ?=== 21463103(1)10C C P X C ?=== 12463101(2)2C C P X C ?=== 03463101(3)6

C C P X C ?=== 所以X 的分布列为

………………………5分 EX=13110123301026?+?+?+?95

= ……………………………6分 (2)设Y 为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y ～B 3

(10)5，, 所以10103

2

()()()55k k k P Y k C -==，其中0,1,2,,10k =L ………………8分 设101011111032()()()3(11)5532(1)2()()55

k k k k k k C P Y k k t P Y k k

C ----=-====- …………………10分 若1t >，则 6.6k <，(1)()P Y k P Y k =-<=；

若1t <，则 6.6k >，(1)()P Y k P Y k =->=。

所以当6k =或7，()P Y k =可能最大，664107731032()()(6)755132(7)6

()()55

C P Y P Y C ===>= 所以n 的取值为6。………………12分

20.解析：（1）120000(,)(,)DF DF c x y c x y ?=----- 2

2222220002c x c y x b c a

=-+=+-，………2分 因为2200x a ≤≤，所以当220x a =时，12DF DF ? 得最大值2b .………………………………3分 所以22

4a b =,

故离心率e =4分 （2）由题意知1b =，可得椭圆方程为：2

214

x y +=， 设1122(,),(,),(,)B x y C x y H x y

由2244

y kx m x y =+??+=?，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=， 122814kmx x x k -+=+，21224(1)14m x x k

-=+ ……………………………6分 由0AB C ?= A 得：1212(1)(1)0x x y y +--=

即221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m ++-++-=，……………………………8分 将韦达定理代入化简可得：35

m =-

……………………………10分 所以直线BC 的方程为：35y kx =-，即直线BC 恒过定点3(0,)5

D - 由AH ⊥DH 可知，点H 的轨迹为以AD 为直径的圆，圆心1(0,)，半径为4

故动点H 的轨迹方程为2

2116()(1)525

x y y +-=≠……………………………12分 21. 解析：（Ⅰ）当1k =时，()(1)(1)x f x e x =--，(1)0f =，(1)1f e '=- 所以在(1,(1))f 处的切线方程是(1)(1)y e x =--………………………2分

所证问题等价于(1)(1)(1)(1),(1)x e x e x x -->--≠…………………………3分

即()(1)0,(1)x e e x x -->≠

当1x >时，0,10,()(1)0x x e e x e e x ->->-->

当1x <时0,10,()(1)0x x e e x e e x -<-<-->

命题得证！…………………………5分

（Ⅱ）当2k =时，2()(1)(1)x f x e x =--，(2,)x ∈+∞

2()(1)2(1)(1)(1)[(1)2]x x x f x e x e x x e x '=-+--=-+-……………………6分

因为

(2,)x ∈+∞(1)0,(1)2,()0x x e x f x '->+->> 即函数在(2,)x ∈+∞单调递增………………………8分

设3213322112),(),,(),,(x x x y x C y x B y x A <<<，且，

∴123()()()f x f x f x <<．∵)),()(,()),()(,(23232121x f x f x x x f x f x x --=--= ∴))()())(()(())((23212321x f x f x f x f x x x x BC BA --+--=?． ············ 10分

∵,0)()(,0)()(,0,023212321>-<->-<-x f x f x f x f x x x x ∴B B ∠<∴

(注意：利用图象说明，需画图准确，说明充分,可给四分；只画图，不说明，给2分)

选做题

22．（I ）证明： 在O 中，弦AC BF 、相交于E ，

FE EB AE EC ∴?=?，

又E 为AC 的中点，所以2

FE EB AE ?=，-------------------------2分

又因为OA AD ⊥,OE AE ⊥，

根据射影定理可得2AE DE EO =?,-------------------------4分 ∴DE EO FE EB ?=?， ------------------------5分

（II ）因为AB 为直径，所以0

=90C ∠，

又因为o 45CBE ∠=，所以BCE ?为等腰直角三角形． ………………6分 2AC BC ∴=，根据勾股定理得222580AC BC BC +==，解得4BC =，-------------------------8分

所以AD ==． ------------------------10分

23解：（I

）由2cos ρθθ=，

得22cos sin ρθθ=，………………2分

∴曲线1C

的直角坐标方程为2x =， -----------------------------------4分

（II ）将=3π

α代入22cos :2sin x C y αα=??=?

得(1P ，由题意可知切线AB 的倾斜角为

56π， --------------------------6分 设切线AB

的参数方程为1212

x y t ?=-????=??（t 为参数），

代入2x

得：21(1))2

t =，

即232042

t --=， --------------------------8分 设方程的两根为1t 和2t

可得：12t t +=

所以12||||2

t t MP +==分 24解：（I ）()|||||()()|f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，--------------------------2分

所以()f x 的最大值为a b +，

3a b ∴+=,--------------------------4分

（II ）当x a ≥时，()||||=()3f x x a x b x a x b a b =--+--+=--=-， --------------------------6分 对于x a ?≥，使得()()g x f x <等价于x a ?≥，max ()3g x <-成立，

()g x 的对称轴为2

a x a =-<， ∴()g x 在[,)x a ∈+∞为减函数，

()g x ∴的最大值为222()23g a a a b a a =---=-+-，--------------------------8分

2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >

， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以

132a <<．--------------------------10分