高等数学 定积分及其应用复习题
第五、六章 定积分及其应用
(1)
一.判断题
( )1.函数)(x f 在区间],[b a 上有界,则)(x f 在],[b a 上可积.
( )2.若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续. ( )3.设)(x f 在),(+∞-∞内连续,则?
=x a
dt t f x G )()(是)(x f 的一个原函数.
( )4.
?
?=b
a
b a
dx x f k dx x kf )()(,??=dx x f k dx x kf )()(都对.
( )5.函数)(x f 在],[b a 上有定义,则存在一点],[b a ∈ξ,使
)()()(a b f dx x f b a
-=?
ξ. ( ).
二.填空题 1.设?=
x
x tdt x f 2
ln )(,则=')2
1(f . 2.?=x tdt dx d 1sin , dx d ?b a
x 2
s i n dx = . 3.若),1(2)
(0
2x x dt t x f +=?
则=)2(f .
4.1
1xdx -?
= .
5.
?
+21
42
)1
(dx x x = , ?-10241dx x = .
三.计算题 1.
?
-e e
dx x 1
ln 2.dx x x ?-π
53sin sin
3.设????
?>-≤=1
,
11,
)(2
x x x x x f ,求
?
20
)(dx x f .
4.dt t
dx d x x ?+32411 5.20
0arctan lim x tdt x
x ?→ 四.对任意x ,试求使
?
-+=x a
x x dt t f 352)(2成立的连续函数)(x f 和常数a .
五.证明题:设)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且0)('≤x f ,证明
函数?-=
x a
dt t f a x x F )(1
)(在),(b a 内单调递减.
第五、六章 定积分及其应用
(2)
一.判断题
( )1.???---+-=?+=+112
11
221
12)1
()(111)(111x
d x
dx x x x dx
2
1arctan
1
1
π
-
=-=-x .
( )2.
2)2(10
=+?
dx k x ,则1=k .
( )3.设函数?-=
x
dt t y 0
)1(,则y 有极小值2
1
. ( )4.设
2
1
)(21)(0
-=
?
x f dt t f x ,且1)0(=f ,则x e x f 2)(=. ( )5.只要)(x f 可积,则
0)(11
2=?
-dx x xf .
二.计算题
1.dx x x ?+1
021arctan 2.?+20ln 1e x x dx 3.dx x ?-π03
)sin 1(
4.
dx e x ?
-2
ln 1
1 5.?
-51
1
dx x
x 6.?-2ln 01dx e x
7.
?
-20
224dx x x 8.
?
10
arctan xdx x 9.
?
2
cos π
xdx e x
10.
dx x
x ?
+3
1
2
11
三.证明题 (1) ??
-=-1
10
)1()1(dx x x dx x x m n n
m )0,0(>>n m ;
(2)
??
-+=b
a
b a
dx x b a f dx x f )()(;并由此计算dx x x x
?-3
6
2)
2(cos π
π
π
第五、六章 定积分及其应用
(3)
一.填空题 1.dx x ?
∞+1
4
1
= . 2.
dx xe
x
?
∞
+-0
2= ,
dx xe
x ?
∞+-0
22
= ,
dx e
x x ?
∞+-0
222
= .
3.写出下列各图中阴影部分面积的公式.
图)(a 图)(b 图)(c
图)(a 的为 , 图)(b 的为 , 图)(c 的为 . 二.计算题 1.
dx x x ?
∞+1
2arctan 2.dx x x ?∞++12)
1(1
3.
btdt e
at
cos 0
?
∞+- )0(>a 4.
dx x ?1
)sin(ln
三.当k 为何值时,广义积分dx x x k
?
∞+2
)
(ln 1
收敛?当k 为何值时,广义积分发散? 四.求由曲线3
x y =及直线0,2==y x 所围成的平面图形分别绕x 轴及y 轴旋转所得旋转
体的体积.
五.已知某产品生产x 个单位时,总收益R 的变化率(边际收益)为
100
200)(x
x R R -
='=' (0≥x ) (1)求生产了50个单位时的总收益;
(2)如果已经生产了100个单位,求再生产100个单位时的总收益.
高数一全面复习总汇
《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续(左、右连续)与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法 A.极限的求法(1)用定义求 (2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极限法 (5)用夹逼定理和单调有界定理求 (6)等价无穷小量替换法 (7)洛必达法则与Taylor级数法 (8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)
1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x (等价小量与洛必达) 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-,求 解:2 0303')(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x (洛必达) 3.1 21)1 2(lim ->-+x x x x x (重要极限) 4.已知a 、b 为正常数,x x x x b a 3 0)2(lim +>-求 解:令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-(变量替换) 5.) 1ln(1 2) (cos lim x x x +>- 解:令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x (变量替换) 6.设)('x f 连续,0)0(',0)0(≠=f f ,求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f (洛必达与微积分性质) 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续,求a 解:令2/1/)ln(cos lim 2 -==>-x x a x (连续性的概念)
大学微积分复习题
0201《微积分(上)》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括: 选择题(10道题,每题2分或者3分)。 填空题(5-10道题,每题2分或者3分)。 计算题(一般5-7道题,共40分或者50分)。 证明题(2道题,平均每题10分)。 考试时间:90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1.考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算,函数的定义,函数的表示法,分段函数,反函数,复合函数,隐函数,函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性),基本初等函数,初等函数。 2.考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像,了解初等函数的概念。 (二)极限 1.考试内容 数列极限的定义与性质,函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性,有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1.考试内容 函数连续的概念,左连续与右连续,函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,零点定理)。 2.考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
大学微积分l知识点总结 二
【第五部分】不定积分 1.书本知识(包含一些补充知识) (1)原函数:F ’(x )=f (x ),x ∈I ,则称F (x )是f (x )的一个“原函数”。 (2)若F (x )是f (x )在区间上的一个原函数,则f (x )在区间上的全体函数为F (x )+c (其中c 为常数) (3)基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1(α≠1,α为常数) (4)零函数的所有原函数都是c (5)C 代表所有的常数函数 (6)运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① (7)[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分: c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地, (9)连续函数一定有原函数,但是有原函数的函数不一定连续,没有原函数的函数一定不连续。 (10)不定积分的计算方法 ①凑微分法(第一换元法),利用复合函数的求导法则 ②变量代换法(第二换元法),利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法: 【解释:一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 (8
释义:函数 对应:y=f(u) 说明: (11)c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 (12)分段函数的积分 例题说明:{} dx x ??2,1max (13)在做不定积分问题时,若遇到求三角函数奇次方的积分,最好的方法是将其中的一 (16)隐函数求不定积分 例题说明: (17)三角有理函数积分的万能变换公式 (18)某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 (19)其他形式的不定积分 2.补充知识(课外补充) ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 (1)定义:若函数f(x)在区间I 上连续,则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数),则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c (2)一般积分方法 值得注意的问题:
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
高等数学微积分复习题
第五章 一元函数积分学 1.基本要求 (1)理解原函数与不定积分的概念,熟记基本积分公式,掌握不定积分的基本性质。 (2)掌握两种积分换元法,特别是第一类换元积分法(凑微分法)。 (3)掌握分部积分法,理解常微分方程的概念,会解可分离变量的微分方程,牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 (4)理解定积分的概念和几何意义,掌握定积分的基本性质。 (5)会用微积分基本公式求解定积分。 (6)掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 (7)知道广义积分的概念,并会求简单的广义积分。 (8)掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2.本章重点难点分析 (1) 本章重点:不定积分和定积分的概念及其计算;变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式;定积分的应用。 (2) 本章难点:求不定积分,定积分的应用。 重点难点分析:一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分,不定积分可看成是微分运算的逆运算,熟记基本积分公式,和不定积分的性质是求不定积分的关键,而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题,理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3.本章典型例题分析 例1:求不定积分sin3xdx ? 解:被积函数sin3x 是一个复合函数,它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成,因此,为了利用第一换元积分公式,我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ,故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2:求不定积分 (0)a > 解:为了消去根式,利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=,可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ,则 cos a t ==,cos dx a dt =,因此,由第二换元积分法,所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ,所以sin x t a = ,arcsin(/)t x a =,利用直角三角形直接写