简论中国古代数学中的“黄金分割率”
简论中国古代数学中的“黄金分割率”
黄金分割,被誉为数学上的“黄金”与“宝石”。
古代希腊毕达哥拉斯学派以及大几何学家欧几里德
等都曾深入研究过黄金分割问题。中世纪时,这一
数学命题又与著名的斐波那契数列联系起来,从而
获得许多新的性质。在西方数学传入中国之前,中
国人不曾直接论述黄金分割问题。但是,中国古代
数学中实际上也蕴含着黄金分割问题,只是其表达
方式有所不同。中国古代数学中的黄金分割率不像
欧几里德几何那样演绎得清楚明白,需要我们去发现。我们无法确证中国古代数学家是否明确意识到“黄金分割率”,但仍可以从许多中国古代数学问题
中推导和演绎出“黄金分割率”,这有助于充分认识
中国古代数学的价值。
1 勾股术与黄金分割率
明末清初西方数学传入中国,中国数学家知道
了黄金分割率,开始有人试图论证黄金分割率在中
国是“古已有之”。例如,清代数学家梅文鼎(公元
1633 - 1721 年) 曾在《几何通解》自序中说:“惟理分中末线(即黄金分割率———引者注) 似与勾股异源,. . . . . . 而仍出于勾股。信古九章之义包举无方。”他是这样推导的:假如一直角三角形的股长是
其勾长的二倍,则这个直角三角形的勾弦之和等于
勾弦之差再加上股,其勾弦之和就被勾弦之差和股
分成中末比。他还说:“《几何原本》理分中末线,但
求作之法而莫知所用。今依法求得十二等面体及二
十等面体之体积,因得其各体中棱线及轴心、对角诸线之比例,又两体互相容及两体与立方、立圆诸体相容各比例, 并以理分中末为法, 乃知此线原非徒设。”〔1〕
按照梅文鼎的观点,中西数学虽然形式上有所
不同,理论上是可以会通的;西方的几何学,无非是
中国的勾股术,中末线也可以从勾股术中导出。应
当说,梅文鼎在中西数学比较中看出了两者的异中
之同,以及黄金分割率与勾股术的联系(现在中学教
科书通常用代数法解作图题,其中运用勾股定理) ,
但中国古代数学毕竟没有明确作出“中末线”,梅文
鼎还是夸大了中西数学的异中之同,他没有看到欧
几里德给黄金分割率严格而清晰的证明的独特价
值。欧几里德在其《几何原本》卷Ⅱ第11 题中表述: “分已知线段为两部分,使全线段与一小线段构成的
矩形的面积等于另一小线段上的正方形的面积。”这
里,欧氏几何学给黄金分割的证明结果上升到定理
的高度。关于这一点,梅文鼎本人也慨叹,中国古代
数学家没有从勾股术中看出黄金分割率是非常可惜
的。
2 “河图”、“洛书”与黄金分割率
从数学上说,河图洛书是一种古老的数字组合
方式,也是中国古代数学的源头。其中也隐含着黄
金分割率。
清代著名学者江永(江慎修) (公元1681 - 1762）
年) 在《河洛精蕴》中已经指出河图中的黄金分割率
(他称之为“神分线”) 。他将河图中宫十数为股,五
数为勾,然后各自自乘,再开方得弦,即:
52 (勾) + 102 (股) = 11. 182 (弦)
再,5 (勾) + 11. 18 (弦) = 16. 18 (勾弦和)
11. 18 (弦) - 5 (勾) = 6. 18 (勾弦较)
10 (股) - 6. 18 (勾弦较) = 3. 819
这样,以16. 18 (勾弦和) 为长,
则,6. 18 (小段) / 10 (大段) = 0. 618
其中,16. 18 (勾弦长) ×6. 18 (勾弦较) = 99. 99
10 (股) ×10 (股) = 100
若,以10 (股) 为长,
则3. 819 (小段) / 6. 18 (大段) = 0. 6179
其中,10 (股) ×3. 819 = 38. 19
如是,江永说:“八线表半径用全数如十,则勾弦
较六一八O 三三九,即十边三十六度之通弦。其列
率即《洛书》三率连比例之理。其所得十边通弦之
数,实生于五与十,而五十即《河图》之中宫,至平中
有至奇焉。西人秘惜其法,谓此线为神分线,岂知神
奇即在目前哉”〔2〕?
这里,我们看到,从河图演算出的黄金分割率是
与数“五”与“十”密切相关的。在河图中,“五”与
“十”两数具有特殊的意义。河图由一、二、三、四、
五、六、七、八、九、十共十个数字组成,其中一、二、三、四、五称为生数,六、七、八、九、十称为成数。十
个数相加为55 ,被古人称为“天地之数”。《周易·系
辞传》曰:“天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、地八、天九、地十。天数五,地数五,五位相得,而各
有合,天数二十有五,地数三十,凡天地之数五十有
五,此所以成变化而行鬼神也。”其实,“五十”之为
“天地之数”,并非它能行鬼神之变化,这当中反映出
上古先民所创造的十进制的计数方法,而十以内的
任何数字都可以运用四则运算法加以计算。也就是说,任何一个数的平方都可以用这种简单的加法求
出来,利用它的逆运算,任何一个数的开方也可以用
简单的减法求出来。《周易·系辞传》曰:“大衍之数
五十,其用四十有九。”《周髀算经》解释说:“禹治洪水,始广用勾股弦,故称其为大衍数。”可见,运用勾
股定理对“天地之数”或“大衍之数”“五”与“十”进行
简单的运算即可求出其中蕴含的黄金分割率。这说明,黄金分割率并非什么神秘之物,它可以明白地表
现在线段和图形之比例关系当中,也可以表现在非
常简单的数字关系中。
至于洛书,它与黄金分割率也有联系。由洛书
演化的“九宫图”,如果将其与斐波那契数列相联系,
亦可找到其中的内在联系。
有趣的是,生活在与贾宪年代相差不远的哲学
家程颐在其《易程传》中,对64 卦按所含阳爻数目
的多少进行分类。其结果正好是杨辉记录的贾宪三
角形的最后一层的数据。
后人将《易程传》原文对
64 卦按阳爻的数目进行组合分类的排列进行统计
的时候,又发现,这个分布图与贾宪三角形十分相
像。从64 卦的分布可以直接导出一个贾宪三角
形〔5〕! 这恐怕不是巧合。联系到八卦与河图、洛书,河图、洛书与黄金分割和斐波那契数列的内在联系,我们有理由得出64 卦也与黄金分割、斐波那契
数列有内在联系的结论,由此还可看出,黄金分割率
决不只是单纯的几何学问题,它也广泛地蕴含于以
数值化为特征的中国古代数学中。
4 “五运六气”学说与黄金分割率
我们知道,正五角星形各线段之比为黄金分割
值,而中国传统医学的“五运六气”学说中实际上已
经蕴含了正五角星形,因此也蕴涵了黄金分割率。
“五运六气”学说与五行思想有密切关系。《国
语·郑语》曰:“先王以土与金木水火杂,以成百物。” 《尚书·洪范》曰:“五行:一曰水,二曰火,三曰木,四
曰金,五曰土。”后来“五行”与“五方”联系起来,即
中、东、南、西、北五方。在这种观念中“, 土”居中,起支配作用“, 五方”并不构成五个角。到了战国时期,
五行思想有了进一步的发展,形成了以邹衍为代表
的阴阳五行学说。其相生相克的原理突破了殷人以
土居中的“五方”观念,用正五边形和五角星形来形
象地表示这一学说是再恰当不过的了。
5 黄赤交角与黄金分割率
我国是世界上天文学发达最早的国家之一。在
天文观测实践中,古代数学获得了长足进步。特别
是投影几何学、三角函数学等测量数学在当时世界
上取得领先成绩。这其中,黄道面与赤道面交角数
值的确定以及与之相关的36°角、72°角的形成皆与
黄金分割率有明显的联系。
关于黄赤交角。据史料记载,世界上最古老的
星表之一———我国的《石氏星经》已经确定了赤道座标体系,而且已经知道了黄道倾角。成书于公元前
一世纪的《周髀算经》有用圭表测影并用勾股定理进行天文计算的记录。当时用垂直于地面的高八尺
表,在中午测日影长,用日影长度来定义每年二十四
节气,这是治历各家的重要参数。关于两至影长的
具体数字,东汉的贾逵在注释《周髀算经》时说:“冬
至日距极为百一十五度,夏至日距极六十七度。”
(《后汉书》卷十二) 以二除两者之差,得整数二十四
度(折合现在的23°39’18 〃) 。东汉另一位天文学家张衡(公元78 - 139 年) 在《浑仪》一书的残篇中有如下记载:“赤道横带浑天之腹,去极九十一度十九分
之五。黄道斜带其腹,出赤道表里各二十四度。故
夏至去极六十七度而强,冬至去极百一十五度亦强也。”张衡再次给出了黄赤交角的具体数值。隋唐以降,黄赤交角的数值计算得越来越精确。徐昂的宣
明历(公元822 年) 所用的黄赤交角值为23°34′55″,
仅比理论值小37″。元代数学家郭守敬等人于《授
时历》中多次应用了沈括的“会圆术”,并配合使用相
似三角形各线段间的比例关系,从而在推算“赤道积度”、“赤道内外度”方面创立了新的方法。从数学意
义上来讲,新的方法相当于开辟了通往球面三角法
的途径。由于采用了新的方法“, 中国的一整套观测
值(以郭守敬极精确的数值为最高峰) ,曾为18 世纪
天文学家关于所谓黄道倾角易变性的讨论提供了证据”
6 结语
以上通过对中国古代数学中蕴涵的“黄金分割
率”的分析和论证,我们至少可以得到两点启发:
第一,黄金分割率普遍地蕴含于数学的许多分
支学科中,中国古代数学作为世界数学发展的一种
类型,同样与黄金分割率有着内在的联系。
如前所述,有关黄金分割的数学问题非常广泛,
而尤以斐波那契数列所蕴涵的数学问题最为丰富。
例如,在欧几里德算法的计算过程中,为了求出两个
给定正整数的最大公因数,数学家G. 拉梅(Lame , 1795 - 1870 年) 提出了下述巧妙的定理:为了求出
两个正整数的最大公因数,所需进行的除法的次数
决不大于较少整数的位数的五倍。而这个定理的证
明首先要用到斐波那契数列的某些性质〔9〕。我们
知道,欧几里德关于求取两个正整数的最大公因子
的算法同我国古代《九章算术》中的“更相减损术”是相同的。这也就是说,“更相减损术”与斐波那契数
列的某些性质也是有联系的。相关的问题,我们甚
至还可以在数论的重要分支丢番图逼近(Diophan2 tine Approximation) 中找到。我国著名数学家华罗
庚在其数论研究中涉及到的丢番图逼近方程与斐波
那契数列有关〔10〕。上个世纪数学界的领军人物大卫·希尔伯特在1900 年巴黎国际数学家代表大会上
的演讲中曾提到的第十个问题是丢番图方程可解性
的判别。1970 年,前苏联科学家马蒂雅舍维奇在前
人研究的基础上,引入了斐波那契数列,从而解决了
希尔伯特第十个问题〔11〕。这表明,黄金分割率不只是在初等数学有,而且在高等数学甚至数学的前沿
学科中也广泛蕴涵着;不只在西方数学体系中广为
存在,而且在东方诸国的数学体系中也时隐时现。
因此,在西方以外的数学体系中“发掘”出黄金分割
率并不是值得大惊小怪的事情。
第二,黄金分割问题的解决有赖于东西方数学
思想和方法的互补。古代希腊数学家们热衷于对纯
粹几何图形的演绎证明,这使他们作出了包括黄金
分割线段在内的许多几何证明,但他们往往与无理
数概念及离散、无穷、极限等思想失之交臂〔12〕。与此相反,古代东方的印度、中国、阿拉伯诸国,其算术和代数学发展较快。例如中国很早就有了负数《, 九章算术》中明确规定了分数的四则运算;在无理数方面,中国将有理数和无理数同样看待,在开方不尽时
利用十进小数近似地表示之。而从数论角度来看,
最无理的数就是黄金分割数;无理数用有理数是很
难逼近的。这是否昭示人们,那些最早认识到无理
数的国家有可能最早接触到黄金分割数值。这一
点,中国的河图、洛书提供了有力的证明。还有一个
事实,即斐波那契数列是与东方数学密切相关的。
我们已经知道,文艺复兴前哨的意大利,由于其特殊
的地理位置和贸易联系而成为东西方文化的“熔炉”。意大利学者早在12 - 13 世纪就开始翻译、介绍希腊与阿拉伯的数学文献。斐波那契早年随父在北非师从阿拉伯人习算,后又游历地中海沿岸诸国,
其代表作《算盘书》、《几何实践》等也是根据阿拉伯文与希腊文材料编译而成的。《算盘书》最大的功绩是系统地介绍印度记数法,并影响和改变了欧洲数
学的面貌。有资料表明《, 算经》中的“契丹算法”,即我国的“盈不足术”、“物不知其数”和“百鸡问题”等,
它们是经由印度、阿拉伯国家传到欧洲的。对此,我们似乎可以作出一个大胆的推测:斐波那契数列很
可能是从东方诸国传到西方的,或至少是在受到了
东方特别是中国的算术和代数学的启发而形成的!
此外“, 巴斯卡三角形”也不是巴斯卡最早发现的。
大量研究资料表明,在全世界范围内,东方各国比欧
洲更早知道数字三角形。而关于这一三角形的发明者贾宪的记载是最早的。至于巴斯卡本人,他在算
术三角形的研究中将经典的几何命题同三角形中数值关系结合起来进行考虑,并得出一系列新的性质。这进一步说明,西方数学的发展是在与东方数学的
交流和互动中前进的,不能认为,只有严格的演绎推
理才能发现和证明黄金分割率的存在,算术的直觉
常常能直接洞悉数学命题的真谛。
另一方面,东方的算术和代数学必须依赖于严
密的逻辑体系才能获得大的发展。在黄金分割问题方面,中国古代数学家也不是没有遇到与之相关的
几何学问题。中国先秦时期的五行观念是与毕达哥拉斯的五边形数的观念有相似之处的(李约瑟曾指
出两者的共同点)〔13〕。但是,中国古代数学终究难以在几何学上形成正五边形或五角星形。《周髀算经》中已给出了“勾股定理”和“弦图”,只要将勾为股
的一半,即可推演出黄金分割率。但《周髀算经》的作者没有这样做。其中的一个原因,可能是这样做
对于当时的天文观测或其他实际问题的解决并无多大用处。中国古代数学多是为解决实际问题而提出的,它往往给出了解决具体问题的算法,却没有上升
到一般公理和定义的高度,没有形成严密的逻辑演
绎体系,因而不可能从几何学上证明黄金分割率。
至于中国古代数学中与黄金分割率相近的“今有术”,虽然包含着比例问题,并且得出了“二内项之积
等于二外项之积”这一结论,但是它仍然同印度的
“三率法”一样,没有明确地表示出二比率相等的意义,因此它不是真正意义上的黄金分割率。总之,
“与希腊人的几何学天才相比,中国人的数学是代数
和算法的”〔14〕。中国古代数学没有建立严密的公理体系和公理化方法,这是它的特点,也是它的局限
性。因此,尽管中国古代数学在数值计算方面触及
到黄金分割率,但终因逻辑思维和几何学的不发达
而未能摘取几何学上的“宝石”。
大自然中的黄金分割
初中数学综合实践课题设计—— 大自然中的黄金分割 龙翔学校 周福兰 ◆ 黄金分割的由来 一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。经过反复比较，他最后确定了 0.618：1的比例截断最优美。后来古希腊美学家柏拉图将这比例称为黄金分割律。中世纪的数学家开普勒对黄金分割作了很高的评价。他说：几何学有两大宝藏：一个是勾股定理，另一个是黄金分割。 那么，什么是黄金分割？ ◆ 黄金分割自述 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和CB ，如果AB AC AC CB =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。 那么，黄金比又是多少呢？如何计算呢？ 分析：设线段AB 的长度为1个单位，AC 的长度为x 个单位，则CB 为 ()x -1个单位，根据题意列出方程： 11x x x =- 由比例的基本性质得： 21x x =- 即 012=-+x x 解这个方程求得：AC= 21 5- 所以，求出黄金比为 ≈-=215AB AC 618.0
◆你知道为什么女性爱穿高跟鞋吗? 中世纪意大利的数学家菲波那契测定了大量的人体后得知，人体肚脐以下的长度与身高之比接近0.618，其中少数人的比值等于0.618的被称为：“标准美人”。因此，艺术家们在创作艺术人体时，都以黄金比为标准进行创作。 周老师的身高为162cm，肚脐眼以上的长度为70cm，你能帮周老师挑一双最适合她身高的鞋子吗？试试吧！ ◆趣味问答 （问题一）：报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳？ （问题二）：人的正常体温是37℃，对大多数人来说，体感最舒适的温度是22 ℃~23 ℃。你能解释吗？ ◆动动脑，画一画 你能利用黄金分割的数学知识设计一幅图案，送给老师吗?动动脑，画一画
中国古代数学
第三章 中国古代数学 教学重点：1理解并掌握《九章算术》的主要贡献。2能叙述《算经十书》的名称；掌握祖冲之的贡献，知道密率及约率值。3 掌握宋元数学家的贡献。 3.1《九章算术》 1 介绍 中国古典数学最重要的著作，成书1cen B.C 《九章算术》：问题集，共九章，分别为：方田，粟米，衰分，少广，商功；均输 ，盈不足，方程，勾股。 面积、体积：方田，商功； 比例：粟米，衰分，均输 ； 开方：少广 贡献一：正负数加减法则 正负数的加减运算法则 李文林在《数学史教程》中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。” 国外首先承认负数的是7世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。 贡献二：方程术 线性方程组求解：消元法 例：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？ 贡献三：开方术 今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。 “开方术”演变为”增乘开方法“，开高次方，求高次方程数值解； “开方术”：包含求 方法； 02=++c bx ax
接受开方不尽的数——无理数； 贡献四：盈不足 例：今有共买物，人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何？ “盈不足”：线性插值法； “盈不足”可以解决非盈亏类问题； “盈不足”通过丝绸之路传入阿拉伯国家，被称为“契丹算法”。 贡献五：几何 “方田”：各种图形的面积计算； “商功”：各种土木工程中的体积计算。长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式正确；只是圆周率取3，误差较大。 “勾股”：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。 评价 小苍金之助（日）：《九章算术》是中国的《几何原本》。 吴文俊：《九章算术》和刘徽的《九章算术注》，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与《几何原本》东西辉映，各具特色。 1968年德国沃格尔（V ogel）把《九章算术》译成德文出版时的评论：“在古代算术中，包含如此丰富的246个算题，现存的埃及和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。” 《九章算术》数学理论门类繁多，依题列术，术文不附原理说明。刘徽注《九章》，一面阐明每个具体算法的理论依据，一面揭示各种算法之间的内在联系，使之成为一个严谨、完整的理论体系。 刘徽(魏晋, 公元3世纪)，幼习《九章》，长再详览。知识渊博，精通四书五经、诸子，谙熟前人数学，《周髀算经》、张衡数学。 刘徽集前辈之大成，又不迷信古人。注方田章圆田时，由于前人用径一周三，古率失之于粗，刘徽注说：“世传此法，莫肯精核，学者踵古，习其谬失”。 在中国古代数学中的地位、影响：阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理；《九章算术注》中有的注文千字以上，是一篇高水平的数学论文；公元263
数学之美——黄金分割(图形相似)汇总
数学之美——黄金分割 前 言 数学可以说是各学科的灵魂，数学中蕴涵着文化价值、美学价值、以及经济价值，而这些价值究竟是如何体现的?随着我国教育水平的逐步提高，我们对数学这门科学的学习更加透彻，我们就以数学中的两大宝藏之一“黄金分割”为例，黄金分割是我们最常见的一种和谐比例关系，即是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”又称“黄金段”或“黄金率”。在初中教学中对黄金分割的了解还不是很深，只是对黄金分割的定义做了简单的说明和简单的练习。随着我们数学能力水平的提升，我们了解到了许多重要的与黄金分割相关联的数学知识，本节主要解决杨辉三角形等数学量与黄金分割的关系，以及与黄金分割有关的一些概念，最后，将进一步阐述黄金分割的实际应用，可见黄金分割用途之广泛，影响之深远。 另外，我真诚的希望通过本节学习，能够让学生更多的了解黄金分割的实质和内涵，对以后的学习有进一步的帮助。 一、黄金分割的起源与发展 1.1 黄金分割的定义 古希腊雅典学派的第三大数学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。证明方法为： 设有一根长为1的线段AB 在靠近B 端的地方取点C ，)(CB AC >使AC AB CB AC ::= 则点C 为AB 的黄金分割点。 设x AC =，则x BC -=1 代入定义式AC AB CB AC ::= 可得 x x x :1)1(:=- 即 012 =-+x x 解该二次方程：2151--= x 2 152-=x 其中1x 为负值舍掉。 所以 2 15-=AC 约为618.0.
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。 1.2黄金分割的发展史 据记载黄金分割是在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关“黄金分割”，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边 形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《帕乔利》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。 其实，黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多
浅论中国古代数学
作为世界四大文明古国之一，中国从很早开始就发展出了自己地数学体系.商代地甲骨文上出现了完整地十进制，春秋时代严格地筹算已经成型并得到了广泛地应用，战国时代《考工记》中实用地几何知识流传到今天. 然而直到西方在年以后大规模地接触中国，完整地数学体系和先进系统地数学思想才开始传入中国，就如同西方科学史专家认为，中国只有学科（），没有科学（）一样，李约瑟也认为中国古代地数学成就是达芬奇式而不是伽利略式地，这其中自然有其理由.文档来自于网络搜索 《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展地总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著.这本书在例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算地加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数地方法)等问题上，达到了很高地水平.其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先地.就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同地独立体系.文档来自于网络搜索 《九章算术》有几个显著地特点：采用按类分章地数学问题集地形式；算式都是从筹算记数法发展起来地；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等.文档来自于网络搜索 向对于古代希腊哲学化和几何化地数学，中国数学地特点在一开始就非常明显，即极其明显地追求实用性地倾向.数学问题集地形式，本来就是为了解决实际中遇到地数学问题，所有数学问题都没有推导地过程，就仿佛这只是一本常见数学问题解决说明书.又例如“方田”一章中，对于圆周率只取到，这显然和古代已经相当先进地建筑技术相矛盾，只能认为这是出于“实际当中取就足够了”地考虑.文档来自于网络搜索 数学地实用化这个问题在中国古代数学发展史地整个过程中始终存在.先秦时代在数学和其他自然科学上达到最高水平地是由手工业者等发展来地墨家.比如对于名家提出地“一尺之棰，日取其半，万世不竭”地命题，墨家就不同意，提出一个“非半”地命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割地“非半”，这个“非半”就是点.也就是说，指出了无限分割地变化和结果.文档来自于网络搜索 纵观整个中国古代数学发展史，数学大发展地时代，往往却是社会环境不怎么稳定或者数学并未得到大量应用地时代.春秋战国时代地数学大发展，而秦汉时代只是继承了这些数学成就而没有相应地发展.文档来自于网络搜索 三国到南北朝地社会秩序混乱，战争饥荒横行，数学却得到了极大地发展，魏、晋时期出现地玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高.吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期.赵爽与刘徽地工作为中国古代数学体系奠定了理论基础.祖冲之父子地工作在经济文化南移以后，发展了具有代表性地工作，他们在刘徽注《九章算术》地基础上，把传统数学大大向前推进了一步.他们计算出圆周率在～之间，提出了祖暅原理以及二次与三次方程地解法等.文档来自于网络搜索 到了隋唐时期，国子监设立了算学馆，科举中也有“明算科”，出于实际地需求，天算学家创立了二次函数地内插法，唐中期以后，改革了计算方法，简化乘、除算法，唐代地算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算.然而隋唐虽然是盛世，数学上也有设立算学馆，整理算经十书等举措，但除在天文历法地计算中先后使用了等间距和不等间距内插法外，几无创造.隋唐时期没有出现过一位可以与刘徽、祖冲之等比肩地数学家，也没有创作过一部可以与《九章算术》、《九章算术注》、《缀术》等等量齐观地数学著作.王孝通地《缉古算经》在
高中数学史集黄金分割素材
黄金分割 （浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）余满龙 在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ ）分成两条线段，使其 中较大的线段（PC ）是原线段（PQ ）与较小线段（CQ ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。（如图1） 世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他发现: 在这个几何问题里，若CQ 与PC 之比等于PC 与PQ 之比， 那么这一比值就等于…，用式子表示就是: 618.0215=-==PQ PC PC CQ 这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们 从 Andros 神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops (公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论着。欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C 点分PQ 所成的比PC:CQ 叫做“中外比”。欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。如正五边形中， Kheops (公元前Q C P 图1
莱奥纳多·达·芬奇 相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。 文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达芬奇等人。他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。 1228年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》的修订本中提出“兔子问题”，导致斐波那契数列：1，1 ，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，它的每一项与后一项比值的极限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。(即设F 1 =1，F 2 =1，F n = F n-2 + F n-1，n ≥3，则) 1525年丢勒制定了充分吸收黄金分割几何意义的比例法则，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位。丢勒以为，在所有矩形中，黄金分割的矩形，即短边与长边之比为2 15 的矩形最美观。因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个 正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是 一个黄金分割形的矩形”，这使人们产生一种 “和谐”的感觉。 后来意大利伟大画家达·芬奇(1452-1519)(如右图)把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。这一命名一直延用至今。 欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（J ．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商
简述中国数学发展史
中国数学发展史 【摘要】数学发展史就是数学这门学科的发展历程。人们的思想在不断的发生变化，数学中的很多思想也是人类不断发展的体现。该论文就围绕中国数学的发展历程和思想进行了简单的概括和论述。介绍了从古至今中国数学的发展历程，讲述了中国数学思想的特点及中国数学对世界的影响以及中外数学文化的交流影响，总结了从数学发展史中得到的启示。 【关键词】中国数学；数学发展史；数学思想 一、中国数学的发展历程 1.1中国数学的起源与早期发展 据《易·系辞》记载：“伏羲作结绳”，“上古结绳而治”，后世圣人易之以书契。其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。这是位值制的最早使用。算筹是中国古代的计算工具，这种方法称为筹算。筹算在春秋时代已很普遍。 在几何学方面《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理﹝西方称勾股定理﹞的特例。在公元前2500年，我国已有圆、方、平、直的概念。对几何工具也有深刻认识。 算术四则运算在春秋时期已经确立，乘法运算已广为流行。“九九表”一直流行了约1600年。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题。《庄子》中则强调抽象的数学思想。其中几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想。此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。 1.2 中国数学体系的形成与奠基 这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。秦汉是中国古代数学体系的形成时期。在这一时期，数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。 现传中国历史最早的数学专著是1984年在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简《算数书》。 西汉末年﹝公元前一世纪﹞编纂的《周髀算经》，尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1)分数、等差数列、勾股定理于测量术；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。此外，还有比例知识。 《九章算术》是一部经几代人整理、删减补充和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年。全书编排方法是：先举出例子，然后给出答案，通过对一类问题解法的考察和研究，最后给出“术”。它的成书标志着我国传统数学理论体系——初等数学理论体系的形成。比欧洲早了1400多年。
黄金分割中的数学文化
黄金分割中的数学文化 姓名：邱秀林班级：工业工程121 学号：5404312093 摘要：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”数学中蕴涵的文化价值是客观存在的，数学的本质是一种文化，数学不仅闪烁着理性智慧的光芒，更有艺术审美的享受以及厚重的文化意向。“黄金分割”被誉为数学的两大宝藏之一，它来源于实际生活，并在实际生活中得到应用，只要留心，到处都可发现这位美的“使者”的足迹。黄金分割对我们的审美、思维方式、价值观念以及世界观等方面将产生重要的影响。 关键词：文化价值黄金分割数学美思想方法 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。 一、黄金分割的起源 人们认为，黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关——特别是由五角星形作图的需要引起的。五角星形是一种很耐人寻味的图案，世界许多国家国旗上的“星”都画成五角形。现今有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上有五角星。为什么是五角而不是其他数目的角？也许是古代留下来的习惯。 五角星形的起源甚早，现在发现最早的五角星形图案是在幼发拉底河下游马鲁克地方（现属伊拉克）发现的一块公元前3200年左右制成的泥板上。 古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星形作为他们的徽章或标志，称之为“健康”。可以认为毕达哥拉斯已熟知五角星形的作法，由此可知他已掌握了黄金分
中国数学发展的简单历史知识
中国数学发展的简单历史知识 中国古代是一个世界上数学先进的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方面都十分发达。现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。 （一）属于算术方面的材料 大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。 乘除的运算规则在后来的“孙子算经”（公元三世纪）内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。” 和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简（公元前一世纪）上面写有九九的乘法口诀。 现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”（约公元一世纪前后）的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。 古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”（公元三世纪）和“夏候阳算经”（公元六、七世纪）在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。 小数的记法，元朝（公元十三世纪）是用低一格来表示，如13.56作1356 。 在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶（公元1247年）的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。 宋朝杨辉所著的书中（公元1274年）有一个1—300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，（11＝10十1叫加一，9＝10—1叫损一）。杨辉还用“连身加”这名词来说明201—300以内的质数。 （二）属于代数方面的材料 从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。 “九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。 我们古代的方程在公元前一世纪的时代已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。 一元二次方程是借用几何图形而得到证明。 不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。 具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答（可惜原解法失传了），不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。 十一世纪的贾宪已发明了和霍纳（1786—1837）方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。 在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。
初二数学知识点归纳：黄金分割数1
初二数学知识点归纳：黄金分割数1 初二数学知识点归纳：黄金分割数1 黄金分割数： 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。 黄金分割: 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0618或1618∶1，即长段为全段的0618。0618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割线: 黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条下大胆断言： 一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0618，那么，这样比例会给人一种美感。
后，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。 黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点： （1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。 （2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。 （4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。 （）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。 理顺下，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。 即：（1）0．191、0．382、0．、0．618、0．809 （2）1、1．382、1．、1．618、2、2．382、2．618 黄金分割点: 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√-1)/2，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（gldensetinrati通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0618近似表示，通过简单的计算就可以发现：(1-0618)/0618=06一条线段
初二数学知识点归纳：黄金分割数1
初二数学知识点归纳：黄金分割数1 黄金分割数： 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。 黄金分割: 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0618或1618∶1，即长段为全段的0618。0618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割线: 黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条下大胆断言： 一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0618，那么，这样比例会给人一种美感。 后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，
在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。 黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点： （1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。 （2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。 （3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。 （4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。 （）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。 理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。 即：（1）0．191、0．382、0．、0．618、0．809（2）1、1．382、1．、1．618、2、2．382、2．618 黄金分割点: 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为/2，取其前三位数字的近似值是0618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（gldensetinrati通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0618来近似表示，通过
简论中国古代数学中的“黄金分割率”
简论中国古代数学中的“黄金分割率” 黄金分割,被誉为数学上的“黄金”与“宝石”。 古代希腊毕达哥拉斯学派以及大几何学家欧几里德 等都曾深入研究过黄金分割问题。中世纪时,这一 数学命题又与著名的斐波那契数列联系起来,从而 获得许多新的性质。在西方数学传入中国之前,中 国人不曾直接论述黄金分割问题。但是,中国古代 数学中实际上也蕴含着黄金分割问题,只是其表达 方式有所不同。中国古代数学中的黄金分割率不像 欧几里德几何那样演绎得清楚明白,需要我们去发现。我们无法确证中国古代数学家是否明确意识到“黄金分割率”,但仍可以从许多中国古代数学问题 中推导和演绎出“黄金分割率”,这有助于充分认识 中国古代数学的价值。 1 勾股术与黄金分割率 明末清初西方数学传入中国,中国数学家知道 了黄金分割率,开始有人试图论证黄金分割率在中 国是“古已有之”。例如,清代数学家梅文鼎(公元 1633 - 1721 年) 曾在《几何通解》自序中说:“惟理分中末线(即黄金分割率———引者注) 似与勾股异源,. . . . . . 而仍出于勾股。信古九章之义包举无方。”他是这样推导的:假如一直角三角形的股长是 其勾长的二倍,则这个直角三角形的勾弦之和等于 勾弦之差再加上股,其勾弦之和就被勾弦之差和股 分成中末比。他还说:“《几何原本》理分中末线,但 求作之法而莫知所用。今依法求得十二等面体及二 十等面体之体积,因得其各体中棱线及轴心、对角诸线之比例,又两体互相容及两体与立方、立圆诸体相容各比例, 并以理分中末为法, 乃知此线原非徒设。”〔1〕 按照梅文鼎的观点,中西数学虽然形式上有所 不同,理论上是可以会通的;西方的几何学,无非是 中国的勾股术,中末线也可以从勾股术中导出。应 当说,梅文鼎在中西数学比较中看出了两者的异中 之同,以及黄金分割率与勾股术的联系(现在中学教 科书通常用代数法解作图题,其中运用勾股定理) , 但中国古代数学毕竟没有明确作出“中末线”,梅文 鼎还是夸大了中西数学的异中之同,他没有看到欧 几里德给黄金分割率严格而清晰的证明的独特价 值。欧几里德在其《几何原本》卷Ⅱ第11 题中表述: “分已知线段为两部分,使全线段与一小线段构成的
黄金分割比例
黄金分割比例—— 相信学过数学的同学一定对不陌生，自从我们学习了后，就会发现其实这在我们实际生活中有很多的应用。所谓的是指事物各部分间的一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶或∶1，即长段为全段的。被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割。后来成为一种重要的审美法则.世界上着名的金字塔之所以能屹立数千年不倒，与其高度和基座长度的比例有很大关系，这个比例就是5：8，与0．618极其相似。，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。人体的好多部位的比例如果达到黄金分割就会给人以非常完美的视觉效果。例如最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=；最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=，等等。 在生活中无处不在。医学与也有着千丝万缕的联系，它可解释人为什么在环境22至24℃时感觉最舒适。因为人的体温为37℃与的乘积为22.8℃，而且这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的倍时，人会感到最舒服。高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。画家们发现，按:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的，因此古希腊 维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与 身高的比值为，从而创造艺术美。世界上着名的画像蒙娜丽莎之所以 给人留下难以忘怀的印象与其画像给人的美感分不开。
黄金分割
《黄金分割》教案 李鹏辉 一、教材分析 《黄金分割》是北师大版数学八年级下册的一节内容。在以往的教学中，大都将“黄金分割”作为比例线段的应用来处理，学生学过以后，丝毫感受不到“黄金分割”的实用价值，体会不到“黄金分割”所带来的美的享受。因此，本节课除了讲授黄金分割的定义及其作图方法之外，让学生阅读有关资料，从日常生活中找出一些黄金分割的例子，使学生亲身感到数学知识的作用，从而更促进对知识的理解，体会黄金分割的文化价值以及在人类历史上的作用和影响。 二、教学目标 1．知识与技能 （1）了解黄金分割的有关概念。 （2）在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容。 2．过程与方法 （1）通过自主探究学习，体验黄金分割的尺规作图的方法。 （2）通过本课知识的学习，体验问题解决的过程与方法。 3．情感态度与价值观 （1）通过发现学习，树立学习的自信心。 （2）通过学习，体会黄金分割的文化价值以及在人类历史上的作用和影响。 三、教学重点、难点分析 1．教学重点：黄金分割的定义以及应用。 2．教学难点：黄金分割的引入以及学生对黄金分割的价值的理解。 四、教学策略选择 主要采用自主学习、自我探究的学习策略。 五、教学过程 1．问题引入，引发思考 教师：利用Flash将有关图片以滚动的形式出现，教师根据图片的内容提出问题： （1）五星红旗为什么做成这种形状，不是正方形或其他形状？ （2）为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚尖? （3）为什么世界上许多人都对维纳斯着迷？ （4）两幅相片中你觉得那幅构图美观？ 学生：对问题进行思考、猜想并进行回答。 设计意图：问题的提出，激发学生学习本节课的兴趣，为本节课的内容进行了铺垫。 2．投票选举，激发兴趣 教师：让学生进行投票——在给出的一组矩形选出一个自己心目中觉得漂亮的矩形（如图2）。 学生：进行投票 设计意图：从投票中引入黄金矩形的一个典故，从中引入新课。 3．动手操作，发现新知 教师：布置任务——测量黄金矩形的长与宽，五角星中的对角线所分成的线段的比 （1）学生从操作中归纳概念。 （2）介绍黄金分割的有关概念。 学生：动手操作，并互相交流，发现黄金比，并用自己的语言说出黄金分割的概念。 设计意图：让学生主动参与学习活动，经历发现黄金比，让学生感受发现知识的乐趣，增强学习的自信心。 4．运用新知，练习训练 设计意图：通过巩固练习加深学生对黄金分割的理解（进行巡视，及时发现问题）。 5．介绍作图，验证作图
数学中的美黄金分割
数学中的美黄金分割 The following text is amended on 12 November 2020.
数学中的美——黄金分割 黄金分割点是分割线段时最能体现审美愉悦的美点，黄金分割比被视为最美丽的几何比率。让我们走近黄金分割，来感知数学的美，寻找“美”的秘密。 一、 首先让我们从黄金分割比的由来中体会数学的美，我们会被源于历史的美所陶醉。 古希腊的数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前400至公元前347年）发现：如图， 将一条线段AB 分割成长短两条线段PA 、PB ，若较短线段PB 与较长线段AP 的长度之比等于较长线段与全线段AB 的长度之比，即PB ：AP ＝AP ：≈（精确值为2 15-），P 为AB 的黄金分割点。数学家把这个的数（）叫做“黄金数”。黄金数不是指用黄金筑就的数，而是指身价与黄金一样贵重的数。古希腊人最早发现一个长方形，它的长和宽的比等于时，看上去最协调、最好看；古希腊闻名于世的古建筑巴台农神庙，它的高和宽之比恰好是；古希腊人认为，最优美的人体体型应该是肚脐把身长作黄金分割。保存下来的古希腊雕塑作品“执矛者”、“宙斯”以及爱与美之神“维纳斯”，都是按黄金分割来制作的，无不表现出最美的人体造型。文艺复兴时期的画家也十分重视黄金分割。达·芬奇闻名于世的作品《蒙娜丽莎》就是按着黄金分割的比例来构图的。神密的埃及金字塔的高和底座的边长之比也是。黄金分割是最完美的分割，这种美学观点长时间统治着西方的建筑界。着名的巴黎圣母院就是杰出的代表。它整个结构是按着黄金分割来建造的。17世纪欧洲着名科学家开普靳曾说过：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。” 二、 通过欣赏生活中含有黄金分割比的图形，我们会为这种直觉美惊喜不已。 1、黄金扇形：如图，把一个圆分成两部分，期中阴影部分的扇形的圆心角为135°,空白部分的扇形的圆心角为225°，而135与225的比值接近黄金比。因此，阴影部分的扇形就是黄金扇 形，如果以135°为圆心角做成的扇子，那它就是外形较美观的扇子。 2、 黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形叫黄金三角形，其底与腰之比为黄金数。如图， 顶角为36°的等腰三角形，它的两底角的度数均为72°，而72°=36°×2，所以把一个底角角比平分就能得到两个36°，其中一个与△ABC 的顶角∠A 在一个三角形中，构成等腰三角形，另一个36°角与△ABC 的底角∠C 在一个三角形中，构成与△ABC 具有相同角度的三角形。 即 AD=BD=BC △ABC ∽△ BC CD =AC BC BC=AD C B A
浅论中国古代数学
浅论中国古代数学 作为世界四大文明古国之一，中国从很早开始就发展出了自己的数学体系。商代的甲骨文上出现了完整的十进制，春秋时代严格的筹算已经成型并得到了广泛的应用，战国时代《考工记》中实用的几何知识流传到今天。 然而直到西方在1840年以后大规模地接触中国，完整地数学体系和先进系统的数学思想才开始传入中国，就如同西方科学史专家认为，中国只有学科（sciences），没有科学（science）一样，李约瑟也认为中国古代的数学成就是达芬奇式而不是伽利略式的，这其中自然有其理由。 《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。这本书在例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等问题上，达到了很高的水平。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。 《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。 向对于古代希腊哲学化和几何化的数学，中国数学的特点在一开始就非常明显，即极其明显的追求实用性的倾向。数学问题集的形式，本来就是为了解决实际中遇到的数学问题，所有数学问题都没有推导的过程，就仿佛这只是一本常见数学问题解决说明书。又例如“方田”一章中，对于圆周率只取到3，这显然和古代已经相当先进的建筑技术相矛盾，只能认为这是出于“实际当中取3就足够了”的考虑。 数学的实用化这个问题在中国古代数学发展史的整个过程中始终存在。先秦时代在数学和其他自然科学上达到最高水平的是由手工业者等发展来的墨家。比如对于名家提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的命题，墨家就不同意，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。也就是说，指出了无限分割的变化和结果。 纵观整个中国古代数学发展史，数学大发展的时代，往往却是社会环境不怎么稳定或者数学并未得到大量应用的时代。春秋战国时代的数学大发展，而秦汉时代只是继承了这些数学成就而没有相应的发展。 三国到南北朝的社会秩序混乱，战争饥荒横行，数学却得到了极大的发展，魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。祖冲之父子的工作在经济文化南移以后，发展了具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间，提出了祖暅原理以及二次与三次方程的解法等。 到了隋唐时期，国子监设立了算学馆，科举中也有“明算科”，出于实际的需求，天算学家创立了二次函数的内插法，唐中期以后，改革了计算方法，简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算。然而隋唐虽然是盛世，数学上也有设立算学馆，整理算经十书等举措，但除在天文历法的计算中先后使用了等间距和不等间距内
数学人教版九年级上册黄金分割教案
黄金分割 一、教学目标： 1、知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段 的黄金分割点； 2、通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解与动手能力。 3、理解黄金分割的意义，黄金分割在社会以及自然界的广泛应用。 二、教学重点：了解黄金分割的意义并能简单运用 三、教学难点：找出黄金分割点 四、教学过程 （一）情境导入 1.展示课件，提出问题： 问题⒈ 从几幅国旗中找出共同的图案 问题⒉ 度量点C 到A 、B 的距离，AC BC AB AC 与相等吗？ 教师操作课件，提出问题与共同学交流、观察 回答问题⒈ 五角星、矩形 回答问题⒉ 相等 展示课件，导入新知 在线段AB 上，点C 把线段分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =，那么称线段AB 被点C 分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫黄金比。 2.用方程的思想探究黄金分割比 3.从形式和比值上理解黄金分割的定义 其中618.01:215:≈-= AC AB :1 即618.0≈AB AC 教师讲解，学生观察、思考、交流，并能自己画条线段找到它的黄金比例。 4.如何做一条线段的黄金分割点 5.认识黄金三角形和黄金矩形，并用超链接几何画板验证 （二）例题讲解 B C
例1：如图，点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，如果AB=10，求线段AC的长度． 例2：．科学研究表明，在人体下半身与身高的比例上，越接近0.618，越给人美感，某女士身高153厘米，下肢长为62厘米，该女士穿的高跟鞋鞋跟最佳高度约为多少呢？（精确到0.1cm）； 例3：电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20米，试计算主持人应走到离A点至少多少米处是比较得体的位置？ 3.据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值时, 人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合? （人的正常体温36.2℃～37.2℃） （三）黄金分割的应用 活动内容： 第一幅：芭蕾舞上半身和下半身的比值大约是0.168。 第二幅：在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美，并播放视频链接．第三幅：苹果logo中的黄金分割应用 第四幅：黄金分割在摄影中的应用 第四幅：黄金分割在大自然中的存在，植物叶柄之间的夹角 第五幅：黄金分割在艺术绘画中的应用 第六幅：一些神庙在建筑时的高和宽也是按黄金比例来建造的。 第七幅：列举黄金纬度30度和蝴蝶树叶的黄金分割比等等一些耐人寻味的黄金分割比 五、课堂小结 1、知道了什么是黄金分割，黄金比，如何作黄金分割点及认识黄金三角形和黄金矩形， 以及黄金分割在社会以及自然界的广泛应用。 2、会运用黄金分割知识解决简单的问题。 六、布置作业 初中数学作业本 七、教学反思 1.让学生通过动手测量两条线段的比来探究出黄金分割，直观地感知和体验更有利于知识的挖掘和掌握，更好的体现了学生的课堂主体地位 2.通过多媒体让学生充分感知感受黄金分割的美感和价值，让学生更能和生活实际联系起来，激发学生的学习兴趣。