黄金分割的数学知识和数学文化

黄金分割的数学知识和数学文化

“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”。数学中蕴涵的文化价值是客观存在的，数学的本质是一种文化，数学不仅闪烁着理性智慧的光芒，更有艺术审美的享受以及厚重的文化意向。“黄金分割”被誉为数学的两大宝藏之一，它在生活中无处不在，它的数学知识和渗透的数学文化不仅在社会的发展中起着重要的作用，而且在教学过程中也起着重要的作用。

对于黄金分割的发现历史，早在公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十五边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他认为所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21……第三位起相邻两位数之比，即2∕3，3∕5，5∕8，8∕13，13∕21……的近似值。

把任一段线段分割成两段，使大段∕全段=小段∕大段，这样的分割叫黄金分割，这样的比叫黄金比。这个比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1∕0.618≈0.618。（1-0.618）∕0.618≈0.618。

黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的数学知识和美学价值。这种美不仅在艺术、建筑、自然界，甚至在我们的生活中都存在。

在正五边形中，正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18。而黄金矩形即为：矩形的宽与长的比约等于0.618。

人们发现长宽之比为1：0.618的矩形很协调，古代的建筑大师和塑料家们就巧妙地利用黄金分割比创造出了雄伟壮观的建筑杰作和令人倾倒的艺术珍品：公元前3000年建造的胡夫大金字塔，其塔高（137m）与底边长（227m）之比为0.629；公元前5世纪建造的庄严肃穆的雅典巴特农神殿，其大理石柱廊的高度占整个神殿高度的0.618，都为黄金比的近似值。

黄金分割是一种数学上的比例关系。在高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和

和甜美。黄金矩形的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1.618倍。黄金分割率和黄金矩形能给画面带来美感，令人愉悦。在很多艺术品以及大自然中都能找到它。达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形。《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。

在人身上我们同样也可以看到黄金分割，人体是美的，这是因为人体的许多部分存在黄金分割、黄金比。肚脐分割头和脚；印堂穴分割口和头顶；肘关节分割肩和中指尖；膝盖分割髋关节和足尖等都是黄金分割。

另外，在其它方面同样也应用到了黄金分割。比如，人体的体温37度，室温25度是人们感到最舒适的温度，而25÷37=0.676，很接近0.618。电脑显示器长与宽比值约为 1.6（1／0.618=1.618）。理想体重计算很接近身高×（1-0.618）。普通人一天上班8小时，8×0.618=4.944，上班第五个小时是最需要休息的时候，同时也是开始期待下班的时候。在战争中也有黄金分割，在冷兵器时代，虽然人们还根本不知道黄金分割率这个概念，但人们在制造宝剑、大刀、长矛等武器时，黄金分割率的法则也早已处处体现出来，因为按这样的比例制造出来的兵器，用起来会更加得心应手。实际上，从飞机进入俯冲轰炸状态的最佳投弹高度和角度，到坦克外壳设计时的最佳避弹坡度，我们也都能很容易地发现黄金分割率无处不在。

在教学中，黄金分割渗透着许多数学文化。

1、在黄金分割教学中渗透数学美；数学文化价值的教育目的之一是让学生在学习中潜移默化的鉴赏和感受数学之美，这有利于促进学生逐步形成良好的数学观，进而提高学生数学兴趣，有助于学生塑造完善的人格，提高发现美、鉴赏美的能力。

2、黄金分割教学中渗透数学的价值观；“数学很有用”，它是被千百年来人们的生活实践所证实了的，这是数学的文化价值所在．但它不是每个学生都能感受到的，这就需要我们教师去创设生活情景，采撷生活实例，与学生一起走进生活，捕捉数学信息。

在黄金分割教学中，我通过引入的情境“一支粉笔多长最好？”，让学生了解黄金分割的实际应用价值，向学生介绍如何运用黄金分割法得到一枝粉笔最合适的长度。然后，再向学生介绍我国著名数学家华罗庚用“优选法”即黄金分割法帮助五粮液集团研制低度酒和发现煤矿创造了几十亿的经济效益。这些，都能让学生感受数学在生活中的应用价值。

学习黄金分割后我还让学生走进生活中引导他们发现黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩；而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。在日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为0.618，甚至连火柴盒、国旗的宽长比例设计，都恪守0.618之处；二胡要获得最佳音色，其“千

金”则须放在琴弦长度的0.618处。最有趣的是，在消费领域中也可妙用0.618这个“黄金数”，学生觉得数学神奇美丽。

3、在黄金分割教学中渗透世界观的教育；数学的人文价值是指通过数学教育培养学生形成一种良好的人生观和世界观，数学教育不仅仅是知识的传授、能力的培养，更是一种文化的熏陶、素质的培养，数学教育的过程就是学习者文化素养的养成过程。

课本中，对国歌中的黄金分割进行了文字说明。我在上《黄金分割》一课时，为了让学生感受《中华人民共和国国歌》中黄金分割的应用，在播放国歌的同时，用多媒体展示升旗的画面。在歌曲达到高潮(我们万众一心……)的时候，画面旗杆的对应部分出现闪烁的红点。这样，把歌曲中的黄金分割转化为线段中的黄金分割，让学生直观地体验国歌的庄严雄壮之美，从而激发学生的爱国之情。这样，可以提升数学课堂文化的影响力和精神的感召力，对于促进学生的心灵成长有着深远的意义。

4、在黄金分割教学中渗透数学思想方法的训练；新课程数学教学不应仅仅是单纯的知识传授，更应注意对其所蕴含的数学思想方法提炼和总结，使之逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用，能更好地理解数学的本质。

黄金分割中特别引人注目的是“数形结合”的思想，它被世人称之为和谐性的最完美的表现，“0.618”被誉为黄金数、神圣的比例、宇宙的美神。可以在教学中引用学生非常熟悉的五角形和舞台报幕员所站位置的现实情境，将抽象的数字与其所反映的图形有机地结合起来，通过对直观图形的观察与分析，化抽象为直观，化直观为精确，进一步了解“黄金分割”的数学特征。数学教学中用“数形结合”的思想引导学生思考，在培养形象思维能力的同时，也促进了逻辑思维的发展。

可见，黄金分割在数学中的作用非常重要，它不仅体现出了许多数学知识，更重要的是，它渗透了数学文化的美学价值、教育价值。“黄金分割”被誉为数学的两大宝藏之一，它来源于实际生活，并在实际生活中得到应用，只要留心，到处都可发现这位美的“使者”的足迹。