高二上学期期末考试数学试卷含答案(上海市)

高二第一学期期末考试试卷

数学试题

注意：1．答卷前，将姓名、班级、层次、学号填写清楚．答题时，书写规范、表达准确．

2．本试卷共有21道试题，满分100分．考试时间90分钟．

一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写在答题纸相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律零分．

1．若矩阵110A ?? ?

=- ? ???

，()121B =，则AB =__________．

2．求行列式的值：111

111124

-=__________．

3．经过点()2,1P -且与直线0l ：20x y -=平行的直线l 的点法向式方程为__________．

4．椭圆2

2

14y x +=的焦距为__________．

5．双曲线22

1916

y x -=的渐近线方程是__________．

6．平面上的动点P 到定点1F 、2F 距离之和等于12F F ，则点P 的轨迹是__________．

7．已知圆()2

24x a y -+=被直线1x y +=

截得的弦长为a 的值为_________．

8．将参数方程22

2sin sin x y θ

θ

?=+?=?（θ为参数）化为普通方程为__________． 9．若,x y 满足条件3

2x y y x

+≤??≤?，则34z x y =+的最大值为__________．

10．设P 是抛物线22y x =上的一点，(),0A a （01a <<），则PA 的最小值是__________．

11．过直线y x =上的一点作圆()()2

2

512x y -+-=的两条切线1l ，2l ，当1l 与2l 关于直线y x =对称时，它们之间的夹角为__________．

12．已知点(),P x y 是线段220x y +-=（,0x y ≥）上的点，则

1

x y

x ++的取值范围是______． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律零分． 13．直线3450x y ++=的倾斜角是

（ ）

（A ）3arctan 4

- （B ）3arctan

4

π+ （C ）3arctan 4π??

+-

???

（D ）3arctan 24π+

14．若点M 在曲线sin 2cos sin x y θ

θθ=??=+?

（θ为参数）上，则点M 的坐标可能是 （ ）

（A ）1,2? ?

（B ）31,42??

- ???

（C ）(

（D ）(

15．若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是 （ ）

（A ）,33?

-

?? （B ）0,3??

? ??? （C ）3??- ? ???

（D ）13??-

- ? ???

16．关于曲线C ：441x y +=，则下列四个命题中，假命题．．．

是

（ ）

（A ）曲线C 关于原点对称

（B ）曲线C 关于直线y x =-对称

（C ）曲线C 围成的面积小于π （D ）在第一象限中y 随x 的增大而减小

三、解答题（本大题共5题，满分52分）每题均需写出详细的解答过程．

17．（本题8分）已知两条直线1l ：5560x my ++=，2l ：()21520m x y m -++=． （1）当m 为何值时，1l 与2l 相交； （2）当m 为何值时，1l 与2l 平行．

18．（本题8分）已知动点(),A x y 到点()2,0F 和直线2x =-的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程；

（2）记点()2,0K -，若AK AF =，求AFK △的面积．

19．（本题10分）已知点()2,2P ，()0,4Q ，动点M 满足0PM QM ?=，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程；

（2）当OP OM =时，求POM △的面积．

20．（本题12分）设椭圆22

1925

x y +=的两焦点为1F 、2F ．

（1）若点P 在椭圆上，且123

F PF π

∠=

，求12F PF △的面积；

（2）若AB 是经过椭圆中心的一条弦，求1F AB △面积的最大值．

21．（本题14分）抛物线2

2y x =的准线与x 轴交于点M ，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点． （1）求直线l 的斜率的取值范围；

（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于()0,0N x ，求证：032

x >； （3）若直线l 的斜率依次为

1111

,,,,,2482n ，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为123,,,

,,

n N N N N ，求12231111

n n

N N N N N N -+++．

参考答案

一、填空题

1．121121000?? ?--- ? ???

2．6-

3．()()2210x y --+=

4

．5．34

y x =± 6．线段12F F 7．3或1- 8．2y x =-，[]2,3x ∈

9．11 10．a 11．

3

π 12．1,22

?????

?

二、选择题 13．C

14．B

15．D

16．C

三、解答题 17．【解】

()()55553215

m

D m m m =

=--+-，()()651033215

x m

D m m m -=

=+--，

()56

4322y D m m m

-=

=-+--．

当5m =时，两直线平行；当5m ≠且3m ≠-时，两直线相交．

18．【解】（1）点A 的轨迹是以点F 为焦点，直线2x =-为准线的抛物线，所以2

8y x =．

（2）过点A 作直线2x =-的垂线，垂足为H ，则AH AF =

，所以AK =

，所以三角形AHK

是等腰直角三角形，所以AF KF ⊥，所以三角形AFK 的面积8S =． 19．【解】（1）M 的轨迹是以线段PQ 为直径的圆，所以点M 的轨迹方程为()()()2420x x y y -+--=，即()()2

2

132x y -+-=．

（2）设圆心为C ．因为OP OM =，所以()1,3OC =垂直于直线MP ，所以直线MP 的方程为

()()2320x y -+-=，即380

x y +-=．圆心到直线MP

的距离5d =

，

故弦长5

MP =，点O 到直线MP

的距离5h =，所以三角形POM

的面积116

2555

S =??=．

20．【解】（1）设1P F m =

，2PF n =，在三角形12PF F 中，由余弦定理，()()2

221212122cos 21cos F F m n mn F PF m n mn F PF =+-∠=+-+∠，解得12mn =，所以三角形12F PF

的面积121

sin 2

S mn F PF =

∠= （2）因为直线AB 斜率存在，所以设其方程为y kx =，则点1F 到直线AB

的距离d =

．设

()11,A x y ，()

22,B x y ，联立直线与椭圆的方程：2

21925

y kx

x y =???+=?

?x ?=．则

21AB x x =

=-=

所以三角形1F AB

的面积12S AB d =

??=，当且仅当0k =时，取得最大值12． 21．【解】（1）1,02M ??- ???，设l ：12y k x ?

?=+ ??

?，联立直线与抛物线的方程：

2122y k x y x

??

?=+? ????

?=?

()2222

204k k x k x ?+-+=（*）．因为l 交抛物线于两点，所以0k ≠且二次方程（*）根的判别式0?>，解得()()1,00,1k ∈-?．

（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理，2122

2

k x x k

-+=-，()121221y y k x x k +=++=，所以AB 中点的坐标为2221,2k k

k ??-- ???，所以AB 中垂线方程为221122k y x k k k ??--=-+ ???，所以02113

22x k =+>． （3）设(),0m m N x ，则1

42

m m x =

+，所以1114434m m m m m N N ---=-=?，所以

112231111

11194n n n N N N N N N --????+++=-?? ???????

．