高考数学经典常考题型之抽象函数 含详解
1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ,x ≠0)对任意的非零实数1x ,2x ,恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),
试判断f (x )的奇偶性。
2 已知定义在[-2,2]上的偶函数,f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m ) 3. 设f(x)是R 上的奇函数,且f(x+3) =-f(x),求f(1998)的值。 4. 设函数f (x )对任意 ? ? ? ???∈21,0,21x x 都有f ()21x x +=f ()()21x f x ?, 已知f (1)=2,求f ();41 (),21 f 5. 已知f (x )是定义在R 上的函数,且满足:f (x+2)[1-f (x )]=1+ f (x ),f (1)=1997,求f (2001)的值。 6. 设f (x )是定义R 在上的函数,对任意x ,y ∈R ,有 f (x+y )+f (x-y )=2f (x )f (y )且f (0)≠0. (1)求证f (0)=1; (2)求证:y=f (x )为偶函数. 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++) ()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0 对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取 值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()() f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,* (2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2 f m n f m f n +=++, 且1 ()02f =,当12 x > 时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意 ,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; (3)若0a b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>. 15.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=?,且当 x >时,0()1f x <<. (1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1; (2)证明: ()f x 在R 上单调递减; (3)设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f ?>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B =Φ,试确定a 的取值范围. 16.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. (1)用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; (2)证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a 成中心对称图形. 17.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称. (1)求(0)f 的值; (2)证明: 函数()f x 是周期函数; (3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数 ()f x 至少一个周期的图象. 18.函数()f x 对于x>0有意义,且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。 (1)证明:(1)0f =; (2)若()(3)2f x f x +-≥成立,求x 的取值范围。 19.设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+,(7)(7)f x f x -=+,且在闭区间[0,7]上,只有(1)(3)0f f ==. (1)试判断函数()y f x 的奇偶性; (2)试求方程()f x =0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论. 20. 已知函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )>0,f (-1)=-2,求f (x )在区间[-2,1]上的值域。 21. 已知函数f (x )对任意 ,满足条件f (x )+f (y )=2 + f (x +y ), 且当x >0时,f (x )>2,f (3)=5,求不等式的解。 22. 设函数f (x )的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在 ,使得 ,对任何x 和y , 成立。求: (1)f (0); (2)对任意值x ,判断f (x )值的正负。 23. 是否存在函数f (x ),使下列三个条件:①f (x )>0,x ∈N ;② ;③f (2)=4。同时成立?若存在,求出f (x ) 的解析式,如不存在,说明理由。 24. 设函数y =f (x )的反函数是y =g (x )。如果f (ab )=f (a )+f (b ),那么g (a +b )=g (a )·g (b )是否正确,试说明理由。 25. 己知函数f (x )的定义域关于原点对称,且满足以下三条件: ①当 是定义域中的数时,有 ; ②f (a )=-1(a >0,a 是定义域中的一个数); ③当0<x <2a 时,f (x )<0。 答案: 1. 解:令1x = -1,2x =x ,得f (-x )= f (-1)+ f (x ) ……①为了求f (-1)的值,令 1x =1,2x =-1,则 f (-1)=f (1)+f (-1),即f (1)=0,再令1x =2x =-1得 f (1)=f (-1)+f (-1)=2f (-1) ∴f (-1)=0代入①式得 f (-x )=f (x ),可得f (x )是一个偶函数。 2. 分析:根据函数的定义域,-m ,m ∈[-2,2],但是1- m 和m 分别在[-2,0]和[0,2]的哪个区间内呢?如果就此讨论,将十分复杂,如果注意到偶函数,则f (x )有性质f (-x )= f (x )=f ( |x | ),就可避免一场大规模讨论。 解:∵f (x )是偶函数, f (1-m ) -,∴f (x )在[0,2] 上是单调递减的,于是 ?? ???≤≤≤-≤>-202101m m m m ,即??? ??≤≤-≤-≤->+-22212212 2m m m m m 化简得-1≤m < 2 1。 3. 解:因为f(x+3) =-f(x),所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x),故6是函数f(x)的一 个周期。又f(x)是奇函数,且在x =0处有定义,所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。 4. 解:由f ()21x x +=f ()()21x f x ?,?? ????∈21,0,21x x 知 f (x )=f ()2()2x f x ?≥0,x []1,0∈ 2 )]2 1([)21()21()21 2 1()1(f f f f f =?=+ = , f (1)=2, .2)2 1 (21 =∴ f 同理可得4 1 2)41 (=f 5.解:从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看,易联想到函数f (x ) 是周期函数。由条件得f (x )≠1,故 f (x+2)= ,) (1)(1x f x f -+f (x+4)= ) (1 ) (1)(11)(1)(11x f x f x f x f x f - =-+- -++ . 所以f (x+8)=) () 4(1x f x f =+- . 所以f (x )是以8为周期的周期函数, 从而f (2001)=f (1)=1997 说明:这类问题出现应紧扣已知条件,需用数值或变量来迭代变换,经过有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。 6.证明:(1)问题为求函数值,只需令x=y=0即可得。 (2)问题中令x=0即得f (y )+f (- y )=2f (0)f (y ), 且f (0)=1.所以f (y )+f (-y )=2f (y ),因此y=f (x )为偶函数. 说明:这类问题应抓住f (x )与f (-x )的关系,通过已知条件中等式进 行变量赋值。 7. 解:由y=f(x)是偶函数且在(2,6)上递增可知,y=f(x)在(-6,-2)上递减。令u=2-x ,则当x ∈(4,8)时,u 是减函数且u ∈(-6,-2),而f(u)在(-6,-2)上递减,故y=f(2-x)在(4,8)上递增。所以(4,8)是y=f(2-x)的单调递增区间。 8. 解:(1).因为a >b ,所以a-b >0,由题意得 b a b f a f --+) ()(>0,所以f (a )+f (-b )>0,又f (x )是定义在R 上的奇函 数,所以f (-b )=-f (b ), f (a )-f (b )>0,即f (a )>f (b ) (2).由(1)知f (x )在R 上是单调递增函数,又f )3(x k ?+f )293(--x x <0,得f )3(x k ?<f )239(+-x x ,故x k 3?<239+-x x ,所以k <13 23-+ x x 令t = ]3,3 1[3∈x ,所以k <t+12 -t ,而 t+t 2 ≥22,即k <22-1 9.解:22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++等价于 2 2 222 2222 2sin 33sin 311cos 3 2cos 205sin 1cos 1cos sin 14 a x a x a a x a x a a x a x a a x x a a ???-≤-≤?-≤-???++≤?-≤-?-≤??????-≥++--≥+???--≥ ?? 12 21122 a a a a a ? ?≤≤?-? ≤?≤≤?? -+?≤≥?? 10.(1)证明:令y x =-,得()()()f x x f x f x -=+-?()()(0)f x f x f +-= 令0x y ==,则(0)2(0)f f =()00f ?= ∴()()0f x f x +-=()()f x f x -=- ∴()f x 是奇函数。 (2)∵(24)(3)(21)2(3)(18)...8(3)f f f f f f =+=+== 又∵(3)(3)f a f a -=?=-?(24)8f a =- 11.(1)解:令0a b ==,则(0)0f = 令1a b ==,则(1)2(1)(1)0f f f =?= (2)证明:令1a b ==-,则(1)2(1)f f =-,∵(1)0f =,∴(1)0f -= 令,1a x b ==-,则()(1)()()f x xf f x f x -=--=- ∴()f x 是奇函数。 (3)当0ab ≠时, ()()()f a b f b f a ab b a ?= + ,令()()f x g x x = ,则()()()g a b g a gb ?=+ 故()()n g a ng a =,所以1()()()()n n n n n f a a g a na g a na f a -=?== ∴1 (2) 11()22 n n n f u f n --?? = =? ??? ∵()1 11(2)2,(1)(2)220 2 22 f f f f f ??==?=+ = ??? ∴ 111(2)242f f ?? =-=- ??? ,故()1 1122n n u n N -???? =-?∈* ? ? ???? ∴()11122111212 n n n s n N ????--?? ??????? ??==-∈* ???- 12.解:(1)∵对任意x R ∈,函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+,且 (2)2f = ∴ 22((2)22)(2)22,(1)1f f f f -+=-+=则 ∵(0)f a =,∴22((0)00)(0)00f f f -+=-+=200a -+?f(a)=a (2) ∵对任意x R ∈,函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+,有且仅有一 个实数0x ,使得00()f x x = ∴对任意x R ∈,有20()f x x x x -+= 上式中,令0x x =,则20000()f x x x x -+= ∵00()f x x =,故2000x x -=?0001x x ==或 若00x =,则2()0f x x x -+=,则2()f x x x =-,但方程2x x x -=有两个不相同的实根与题设茅盾,故00x ≠ 若01x =,则2()1f x x x -+=,则2()1f x x x =-+,此时方程 2 2 1(1)0x x x x -+=?-=有两个相等的实根,即有且仅有一个实数0x ,使得 00()f x x = ∴()2()1f x x x x R =-+∈ 13.(1)解:令12 m n ==,则1111()2()2 2 22 f f +=+ 1(1)2 f ?= (2)∵1(1),2 f = 111(1)(1)()()()122 2 f n f f n f n f n +=++=++ =+ ∴(1)()1f n f n +-= ∴数列{}()f n 是以 12 为首项,1为公差的等差数列,故 (1)(2)(3)...()f f f f n ++++= (1)2 2 n n n -+ =2 2 n = (3)任取1212,,x x R x x ∈<且,则 21211121112111()()[()]()()()()()2 2 f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-++ -=-+ =211 ()02 f x x -+> ∴12()()f x f x < ∴函数()f x 是R 上的单调增函数. 14.(1)解: ∵对任意x R ∈,有()f x >0, ∴令0,2x y ==得,2(0)[(0)](0)1f f f =?= (2)任取任取1212,,x x R x x ∈<且,则令112211,33 x p x p = = ,故12 p p < ∵函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13f > ∴1 2 12121111 ()()()()[()][()]3333 p p f x f x f p f p f f -=-=-0> ∴12()()f x f x > ∴函数()f x 是R 上的单调减函数. (3) 由(1)(2)知,()(0)1f b f >=,∴()1f b > ∵[][]()()(),()()a c b b a c f a f b f b f c b f b b b ? ?=?==?= ?? ? ∴[][]()()()()a c b b f a f c f b f b +=+>,而2a c b +>== ∴2()f b >= ∴()()2()f a f c f b +> 15. (1)证明:令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=? ∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x >时,0()1f x << ∴当0x <时,0x ->,则(0)1()()()()1() () f f x x f x f x f x f x f x -+=-??== >-- (2)证明: 任取1212,,x x R x x ∈<且,则 2121112111()()[()]()()()()f x f x f x x x f x f x x f x f x -=-+-=-?-211[()1]()f x x f x =-- ∵210x x ->,∴0<210()1f x x <-<,故21()1f x x --<0,又∵1()0,f x > ∴211[()1]()0f x x f x -->,故12()()f x f x > ∴函数()f x 是R 上的单调减函数. (3) ∵{}{}2222(,)()()(1)(,)()(1)A x y f x f y f x y f x y f =?>?+> 由(2)知,()f x 是R 上的减函数,∴221x y +< ∵B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈}=(){},20,x y ax y a R -+=∈ 又∵A B = ?, ∴方程组221 20 x y ax y ?+-+=?无解,即直线22201ax y x y -+=+<与单位圆的内部无公 共点 1≥?2 3a ≤?- a ≤≤ a 的取值范围是a ≤≤16.(1)任取1212,,x x R x x ∈<且,则 F 121122()()[()()][()()x F x f x f a x f x f a x -=-----=[ 1212[()()][()()]f x f x f a x f a x -+--- ∵12x x <, ∴12,x x ->-∴12,a x a x ->- 又∵函数()f x 是定义在R 上的增函数, ∴ 12()()f x f x ->-,12()()f a x f a x ->- 故1212()()0,()()0f x f x f a x f a x ->---> ∴1212[()()][()()]f x f x f a x f a x -+--->0 ∴()F x 是R 上的增函数; (2)设00(,)M x y 为函数y =()F x 的图象上任一点,则点00(,)M x y 关于点(,0)2a 的 对称点为N(,m n ),则 00,022 2 x m y n a ++== ,故00,m a x n y =-=- ∵把0,m a x =-代入F ()()()x f x f a x =--得, 0000()()()()f a x f a a x f a x f x ---+=--=-0y ∴函数y =()F x 的图象关于点(,0)2 a 成中心对称图形. 17.(1)解:∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-,令 0,x =则(0)(0)f f -=- ∴(0)f =0 (2)证明: ∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-, ∵()f x 的图象关于直线1x =对称, ∴对任意,x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-, ∴ 用1x +代x 得,(2)[1(1)]()()f x f x f x f x +=-+=-=- ∴[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x ++=-+=--=,即(4)()f x f x += ∴()f x 是周期函数,4是其周期. (3)当[)1,3x ∈-时,(11)()2(13) x x f x x x -≤≤?=? -+< 当4141k x k -≤≤+时,()4f x x k =-,k Z ∈ 当4143k x k +<<+时,()24f x x k =-+-,k Z ∈ ∴4(4141)(),24(4143) x k k x k f x z R x k k x k --≤≤+?=∈? -+-+<<+? 图象如下: x 18.(1)证明:令1x y ==,则(11)(1)(1)f f f ?=+,故(1)0f = (2)∵(2)1f =,令2x y ==,则(22)(2)(2)2f f f ?=+=, ∴(4)2f = ∴ ()(3)2f x f x +-≥? 2 2 [(3)](4)(3)(4)3414 f x x f f x x f x x x -≥?-≥?-≤?-≤≤ ∴()(3)2f x f x +-≥成立的x 的取值范围是13x -≤≤。 19.解:(1)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和, 从而知函数)(x f y =不是奇函数, 由)14()4() 14()()4()()7()7() 2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-????-=-=??? ?+=-+=- )10()(+=?x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T 又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数; (2) 由 )14()4()14()() 4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-?? ??-=-=??? ?+=-+=-)10()(+=?x f x f 又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解. 20. 解:设,∵当 ,∴ , ∵, ∴ ,即,∴f (x )为增函数。 在条件中,令y =-x ,则 ,再令x =y =0,则f (0)=2 f (0),∴ f (0)=0,故f (-x )=f (x ),f (x )为奇函数, ∴ f (1)=-f (-1)=2,又f (-2)=2 f (-1)=-4, ∴ f (x )的值域为[-4,2]。 21. 解:设 ,∵当 ,∴ ,则 , 即 ,∴f (x )为单调增函数。 ∵ , 又∵f (3)=5,∴f (1)=3。∴ ,∴ , 即 ,解得不等式的解为-1 < a < 3。 22. 解:(1)令y =0代入 ,则 ,∴ 。若f(x)=0,则对任意,有,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。 (2)令y=x≠0,则,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。 23. 分析:由题设可猜想存在,又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数,用数学归纳法证明如下: (1)x=1时,∵,又∵x∈N时,f(x)>0,∴,结论正确。 (2)假设时有,则x=k+1时, ,∴x=k+1时,结论正确。 综上所述,x为一切自然数时。 24.解:设f(a)=m,f(b)=n,由于g(x)是f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b,从而,∴g(m)·g (n)=g(m+n),以a、b分别代替上式中的m、n即得g(a+b)=g(a)·g (b)。 25.解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且是定义域中的数时有 ,∴在定义域中。∵ , ∴f(x)是奇函数。 (2)设0<x1<x2<2a,则0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上f(x)<0, ∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知中的 ,于是f(x1)<f(x2),∴在(0,2a)上f(x)是增函数。 又,∵f(a)=-1,∴,∴f(2a)=0,设2a<x<4a,则0<x-2a<2a, ,于是f(x)>0,即在(2a,4a)上f (x)>0。设2a<x1<x2<4a,则0<x2-x1<2a,从而知f(x1),f(x2)均大 于零。f(x2-x1)<0,∵,∴,即f(x1)<f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f += 因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(, 抽象函数经典综合题33例(含详细解答) 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答) 1.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2 )>1,求x 的取值范围。 解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令a=x ,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ,f(x)>0 (3)任取x 2>x 1,则f(x 2)>0,f(x 1)>0,x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0), f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得:3x-x 2 >0 ∴ 0 抽象函数经典综合题33例(含详细解答) 整理:河南省郸厂城县才源高中 王保社 抽象函数,是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数,抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点,又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例(含详细解答) 1.定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a 、b ∈R ,有f(a+b)=f(a)f(b), (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f(x)>0; (3)证明:f(x)是R 上的增函数; (4)若f(x)·f(2x-x 2 )>1,求x 的取值范围。 解 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令a=x ,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时,f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ,f(x)>0 (3)任取x 2>x 1,则f(x 2)>0,f(x 1)>0,x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0), f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得:3x-x 2 >0 ∴ 0 冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<,则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<,则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +,且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立,若(8)4f =,则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中,令4x y ==,得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==,(4)2f ∴=,又令2x y ==,得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞,对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =,则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =,则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n = 高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->,2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
高一数学抽象函数常见题型
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
【智博教育原创专题】抽象函数常见题型解法
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