根式和分数指数幂练习题

一、根式和分数指数幂的互换（a ）0，b>0）

1、43a a ?

2、a a a

3、332a a ?

4、()323ab a ?

二、将下列根式化成分数指数幂的形式

1、a a 31 (a>0)

2、()3252x x 1

3、3

-432

-b ??

??（b>0）三、计算 1、???

???-÷???? ??????? ???6561

312121

3233b a b a b a

2、()15

5172238312???

?????-

[

四、指数幂的综合应用

1、已知x+y=12，xy=9，且x

21y -x (3) x-y

2、化简：()13

53332???

? ?????----a a a a （a 为正数）

3、已知,3a a 2121=+-求-1a a +，-22a a +的值.）

根式与分数指数幂的互化

根式与分数指数幂的互化（一）一．标教学目 1.知识与技能 ①初步了解指数幂和指数函数； ②通过类比平方根、立方根，认识n次方根，进而初步理解根式的概念． 2.过程与方法会求或化简根指数为正整数的根式。 3.情感.态度与价值观通过具体的情景，引发学生思考，激发求知欲，培养学生对数学的情感。二．重点利用n次方根式性质化简n次方根式。三．难点指数幂的含义与根式互化四、教学过程设计（一）教学基本流程（二）教学情景 1．本章学习引导问题1：给出化石图片，归纳出函数关系式。设计意图：引导同学对本章内容有一个概括性的认识，并大致清楚学习的目标和方法．问题2：对于a n，当n是正整数时的意义我们已经知道；当n是有理数时，它的意义又是什么呢？设计意图：引导同学建立与根式的联系．

2．概念的引入问题3：我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根（2次方根）；如果x3=a，那么x 叫做a的立方根（3次方根）．请问：（1）你由此想到，还有哪些方根？（2）你能否根据上述定义，给你所说的这些方根进行定义？设计意图：通过回顾平方根和立方根，让同学在已有认知基础上，与同类概念进行比较，通过类比得到对新概念的认识方法上的启发，并为领会新概念找到一个固着点，从而引出n 次方根的定义．以此促进概括，明确n次方根概念的内涵，进而准确把握此概念．师生活动：为了帮助同学进行类比，可以将平方根和立方根的定义上下对齐写在黑板上，然后让同学将类比出的定义写在它们的下面． 3．概念的形成问题4：根据平方根和立方根的定义，我们可以举例，例如，由于（±2）2=4，所以±2就是4的平方根；由于23=8，所以2就是8的立方根．类似地，请根据你所给出的其他方根的定义，举出相应的例子．设计意图：当n较大时，同学举例困难了，于是引入n次方根的表示．师生活动：可引导同学类比平方根和立方根的表示，给出n次方根的表示：（1）我们知道，4的平方根是±2，可以表示为±4=±2；8的立方根是2，可以表 =-2．那么类似地，16的4次方根怎样表示为38=2；-8的立方根是-2，可以表示为38 示？32的5次方根怎样表示？-32的5次方根怎样表示？a的n次方根又怎样表示？（2）从上述例子中我们是否能看出什么规律？也就是： n是奇数时，正数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？负数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？ n是偶数时，正数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？（3）负数有没有偶次方根？（4）0的n次方根是多少？可以怎样表示？ 4．概念的明确

【教案】4.1.1 《n次方根与分数指数幂》教案

4.1.1 n 次方根与分数指数幂教学设计从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂；1≠ ，且0>(a a a n m 、实数指数幂R)∈1；；≠ 且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 1．掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； 2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质．教学重难点【教学重点】理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 【教学难点】能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 课前准备引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础．二、教学过程：（一）自主预习——探新知：问题导学预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n 次方根是怎样定义的？ 2．根式的定义是什么？它有哪些性质？ 3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？（二）创设情景，揭示课题（1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性．（2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题：４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，类似的，（±2）4 ＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？给出定义．（3）当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，若a >0，则a 的n 次方根为n a 若a =0，则a 的n 次方根为0；若a <0，则a 的n 次方根不存在．即：

根式与分数指数幂题型总结

根式与分数指数幂一、根式性质的应用求下列各式的值： (1)3(－4)3； (2)(－9)2； (3)4 (3－π)4； (4)(a －b )2. （5）(a －1)2＋(1－a )2＋3 (1－a )3＝________. 根式与分数指数幂的互化 (a >0，b >0)： (1)3a ·4a ； (2)a a a ； (3)3a 2·a 3； (4)(3 a )2·a b 3. (5)3 x 6； (6)1x 3； (7)35x -； (8)2 132 x y -. 练习 1．当a ，b ∈R 时，下列各式总能成立的是 ( ) A ．(6a －6b )6＝a －b B.8(a 2＋b 2)8＝a 2＋b 2 C.4a 4－4 b 4＝a －b D. 10 (a ＋b )10＝a ＋b 2．设k ∈Z,2－2k ＋2－2k －1－22k ＋ 1等于 ( ) A ．2 B ．－2 －2k C ．2 －2k ＋1 D ．－2 －2k －1 3.4 a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是 ( ) A ．a ≥2 B ．2≤a <4或a >4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 4．若xy ≠0，则可使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件是 ( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y ≥0 D ．x <0，y <0 5．若a <1 2 ，则化简4(2a －1)2的结果是 ( ) A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a 6. x －2x －1＝x －2x －1成立的条件是 ( ) A.x －2x －1 ≥0 B ．x ≠1 C ．x <1 D ．x ≥2 7．若x 2－2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则y x ＝________. 8．设a ＝424，b ＝3 12，c ＝6，则a ，b ，c 的大小关系是________． 9．把a －1 a 根号外的a 移入根号内等于________． 10．计算下列各式的值： (1)(－3)2； (2)3(－3)3； (3)n (－3)n (n ∈N *，且n >1)； (4)4(3－π)2；(5)(a －3)2； (6)3(－2)3＋4(π－2)4＋3 (2－π)3. 11．求使等式(x －2)(x 2－4)＝(2－x )x ＋2成立的x 的取值范围．

分数指数幂公开课教案

《分数指数幂》教学设计陈炜明(2013/3/5公开课) 一、教学目标：知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。通过具体实例了解实数指数幂的意义。过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质三、教学难点：分数指数幂的概念四、教学过程：【问题情境】里氏震级是目前国际通用的地震震级标准。它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式，计算出来的震源处地震的大小。假设第0级地震所释放的能量为1，且在估算能量的时候，里氏震级每增加1级，释放的能量大约增加31.6227倍，则（1）第3级地震所释放的能量为多少？ 31.6227 答：3 （2）第x级地震所释放的能量为多少？ y 答：31.6227x （3）上一问中的x会出现为分数的情况吗？教师举例

引导学生提出问题：当指数为分数时，应该如何定义？又该如何计算？（此时教师在黑板上画出函数2,x y x Z =∈的图像辅助说明该问题的提出）【温故知新】问题一：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运算都有哪些运算性质？答：m 个a 相乘。 , ,(,0)(), ()m n m n m m n n m n mn m m m a a a a a m n a a a a a b a b +-==>≠== （此处板书）在这里,m n 均为正整数。问题二：若在计算m n a -时，遇到m n =时，有无意义？怎样计算？得出什么结果？若m n <呢？答：当扩展到整数指数幂时候，若要求维持原来的运算性质，可以得到 01a =(0)a ≠。同理，可以对负分数指数幂进行规定。小结：负整指数幂的实质是分式（或分数）形式。在将正整数指数幂推广到整数指数幂时，保持了原有的运算性质不变。（对刚刚运算性质的板书修改）。问题三：为什么对于熟悉的分式还需要用负指数幂来表示呢？

第一课时根式及分数指数幂教案

第一课时根式及分数指数幂教学目的： 1. 掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中 2. 理解分数指数幂的概念.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 4．培养学生用联系观点看问题. 教学重点：1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教学难点：对分数指数幂概念的理解. 授课类型：新授课教学过程：一、复习引入 1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个； )0(10≠=a a ； *),0(1 N n a a a n n ∈≠= - 2．运算性质： ) ()(),()() ,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+ 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=n m a - ② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?=n n b a 二、讲解新课 1、根式知识回顾：中学的平方根和立方根是如何定义的呢？一般地，如果2 x a =，那么x 叫做a 的平方根， a 的正平方根叫做a 的算术平方根，正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，0的算术平方根也是0。一般地，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根。类比上述两定义，一般地，如果一个数的四次方等于a ，则这个数叫做a 的四次方根；一个数的五次方等于a ，则这个数叫做a 的五次方根；…… 定义形成：

一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,且n ∈ N+. 定义1：如果n x a = (n>1, * n N ∈)，那么x 叫做a 的n 次方根。定义2：式子n x a =叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。【小试牛刀1】一、填空：（1）27的立方根等于（2）-32的五次方根等于（3）6a 的三次方根等于（4）25的平方根等于（5）16的四次方根等于（6）0的七次方根等于总结：根式性质： ① 当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数。记作：n a x = ② 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）。记作： n a x ±= ；负数没有偶次方根。 ③ 0的任何次方根为0。记作：00=n ④ a a n n =)( 【师生探究1】a a n n =一定成立吗？总结：当n 为奇数时，a a n n =。当n 为偶数时，{ )0(a ) 0(><-= =a a a n a a n 二、化简下列等式（1）33 8-）（（2）2 10-）（（3）44 -3）（π （4）)(a 2 b a b >-）（【变式】去掉‘a>b ’结果如何？ 2、分数指数幂【师生探究2】：观察下列式子，并总结出一定的规律（a>0）

根式与分数指数幂计算

指数与指数幂的运算（一）一、学习目标 1.了解指数函数的产生背景，认识学习指数与指数幂运算的必要性，理解根式的概念。 2.通过列举，认识根式产生的背景，理解根式的表示、含义，掌握根式化简公式与方法，培养观察、概括能力。 3.于学习过程中理解运算及其要义，建构正确的运算心理与观点。二、学习过程（一）阅读课本，梳理知识 1.阅读课本4750P P -的内容。 2.梳理知识：（1）n 次方根的定义：（2）____，它是____运算的结果，n 叫做____，a 叫做_______。（3）乘方与开方互为逆运算。因此： ① _____n = ；②2_____= ，_____=。（二）基础自测 1.下列说法正确的是___________(符合条件的都填上) （1）加法运算的结果叫和；（2）减法运算的结果叫差；（3）乘法运算的结果叫商；（4）除法运算的结果叫积；（5）乘方运算的结果叫幂；（6）开方运算的结果叫方根。 ____=，____=。 ____=____=，____=。 4. 2 ____=，(2 ____=， 5 ____=，(5 ____=。 ____=____=，____=，____=。（三）疑惑摘要自学之后，你还有哪些没有弄清的问题请记在下面，课堂上我们共同探讨：三、课中互动（一）概念形成 1.本课时的核心概念是什么、它是如何产生的？ 2.小组合作，解决自学“疑惑”，举正、反例理解核心概念。（二）展示交流例1 求下列各式的值：

(1) (2)； (3) ) (4) 例2 设33x -<< 例3 2x =-，求x 的取值范围。（三）课堂小结四、课外延伸（一）练习 1．下列说法错误的是（） A ．正数有两个偶次方根 B ．零的偶次方根是零 C ．负数只有一个偶次方根 D ．负数没有偶次方根 2．已知5 3x =，则x = ________。 3．化简：2____+= 。 4．已知0,1a b n <<>且n N * ∈

分数指数幂教案及练习

分数指数幂复习引入： 1．整数指数幂的运算性质： = == ?n n m n m ab a a a )()( )(),() ,(Z n Z n m Z n m ∈∈∈ 2．根式的运算性质： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =. ②当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n n a =|a|=? ??<-≥)0() 0(a a a a . 用语言叙述上面三个公式： ⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身. ⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值. 3．引例：当a ＞0时 ①5 102 55 2510 )(a a a a === ②=312a ③3 23 3323 2 )(a a a == ④=a 上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义. 一．建构数学： 1.正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N * ,且n ＞1) 要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 2.规定： (1)n m n m a a 1= - (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)； (2)0的正分数指数幂等于0； (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.