高考文科数列知识点总结(全)

数列知识点

内容4

要求层次

A

B C 数列

数列的概念 数列的概念和表示法

√ 等差数列、 等比数列

等差数列的概念

√ 等比数列的概念 √ 等差数列的通项公式与前n 项和公式 √ 等比数列的通项公式与前n 项和公式

√

二．知识点

(一)数列的该概念和表示法、

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作n a ，在数列第一

个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；

数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个

数列的通项公式

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：

序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点

看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤

立的点

（4）数列分类：

①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；

②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列

（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间

的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式

（二）等差数列

1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；

2．等差数列通项公式：

*

11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a

推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m

n a a d m

n --=；

3．等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

b

a A +=

或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a

4．等差数列的前n 项和公式：

1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项

()()()12121121212

n n n n a a S n a +++++=

=

+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )? {}n a 是等差数列．

（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4） 数列{}n a 是等差数列?2

n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )? {}n a 是等差数列．

7.等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函 数，且斜率为公差

d ；前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列

(5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*

N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数 列

（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和

1.当项数为偶数n 2时，

()

121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++???+=

=奇

()

22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++???+==偶

()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇

11

n n n n S na a S na a ++==奇偶

2、当项数为奇数12+n 时，则

21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+??

??=??

-==????

n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+

(9)求n S 的最值

法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要 注意数列的特殊性

*n N ∈。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当，，001<>d a 由??

?≤≥+00

1

n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．

（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当，，001>

1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．

或求{}n a 中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则其对称轴为2

p q

n +=

（三）等比数列

1. 等比数列的定义：()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2. 通项公式：

()11110,0n n

n n a a a q q A B a q A B q

-==

=??≠?≠， 首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q -=， 从而得n m n m a q

a -=

或n q =3. 等比中项

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2

A ab =

或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列{}n a 是等比数列?2

11n n n a a a -+=?

4. 等比数列的前n 项和n S 公式： (1) 当1q =时， 1n S na =

(2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q

S q

q

--=

=

--

5. 等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有1

1(0)n n n n n

a a qa q q a a ++==≠或

为常数，?{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：2

11n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）?{}n a 为等比数列

（3） 通项公式：()0n n a A B A B =??≠?{}n a 为等比数列

（4） 前n 项和公式：()

'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为 等比数列

6. 等比数列的证明方法 依据定义：若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时

①等比数列通项公式()1

110n n

n n a a a q

q A B A B q

-==

=??≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a

S q A A B A B A q

q q q

--=

=-=-?=-----，

系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q

(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ?=?.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=???

(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n k

a ,{}n k a ?,{}k n a ,{}n n k a

b ??{}n n

a b (k 为非零常数) 均为等比数

列.

(5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等比数列 (6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列

(8) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ??????, 122n n n a a a ++??????, 21223n n n a a a ++???????成等比数列

(9) ①当1q >时， ②当1q <0<时，

110{}0{}{

n n a a a a ><，则为递增数列

，则为递减数列, 110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;

④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,

1S S q

=奇偶,. (11)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+?

数列

教学目标 （一）知识与技能目标：要求学生理解并掌握等差数列的概念，理解等差数列的通项公式的推导过程及思想，初步引入“数学建模”的思想方法并能应用

（二）过程与方法目标：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移到研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。

（三）情感态度价值观目标：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索，勇于发现的求索精神，使学生逐步养成细心观察，认真分析，善于总结的良好思维习惯。 二、教学重点、难点

重点：等差数列的概念以及等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：应用不完全归纳法和迭加法是这节课的一个难点，同时，用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。1、由引入得出等差数列的概念：

如果一个数列,从第二项起，每一项与它的前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。 强调：

① “从第二项起”满足条件； ②公差d 一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；

一．数列考点：1.等差数列、等比数列的求通项及球和；2.数列的递推；3.数列的实际运用。 二．数列常用数学思想：1.方程思想 2.函数思想 3.转化思想 4.观察、归纳、猜想、证明 5.整体思想 6.特殊化思想 7.类别思想

2.等差数列的性质 若{}a ，{}b 是等差数列

{}n a 中取一部分连续的项，仍然是等差数列、通项公式

在归纳等差数列通项公式中，我采用学生分组的教学方法。给出等差数列的首项a ，公差d ，由学生研究分组讨论n a 的通项公式。归纳n a 的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。 若一等差数列{ n a }的首项是1a ,,公差是d, 则据其定义可得：

21a a d -= 即：21a a d =+ 32a a d -=即：32a a d =+= 12a d +

……

猜想: 1(1)n a a n d =+-

进而归纳出等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-

此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：

21a a d -= 32a a d -=

1n n a a d --=

将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到 1(1)n a a n d =+- 即1(1)n a a n d =+-（1）当n=1时，（1）也成立，

所以对一切n ∈N ﹡，上面的公式都成立 因此它就是等差数列｛n a ｝的通项公式。 所以对一切n ∈N ﹡，上面的公式都成立 因此它就是等差数列｛n a ｝的通项公式。

在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求 1）

2）若m+n=q+p (m n q p +∈N ) ，则p q m n a a a a +=+

若n n n n n m m m +++=+++..............2121 则k k n n n m m m a a a a a a ............2121++=++ 3）{}q a n +是一个等差数列，且d=d {}n pa 仍是等差数列，且d=pd

4）{}n n b a +仍是一个等差数列，且d=21d d + {}n n b a -仍是一个等差数列，且21d d d -=

{}n n qb pa +仍是等差数列 {}n n b a 不一定的等差数列

························

则k s k k s s -2 k k s s 23-·····组成等差数列，公差为d k 2

2）B An n s n += 点列(n ，n s n )一定同线 ，则3

232212

13

2

2

1

n n n s n s n n n s n s n n n n --=

--

3）设{}n a {}n b 都是等差数列，记前n 项和分别是An Bn ，则有：

1

21

212112122----=++==n n n n n n n n B A b b a a b a b a 1

21

2221212121121--?=++==----n m B A b b a a a b a m n n n m n m n 4）若{}n a 是等差数列，则当d>0,a>0时，1s 最小：当d>0,a<0时，n s 最小（n a <0,1+n a >0) 当d<0,a<0时，1s 最大；当d<0,a>0时，n s 最大(n a >0,1+n a <0)

在等差数列{an}中：

(1)a5=6,a7=16,则a1= ,公差d=

(2)a3=20,a10=-1,则a15=

思考：等差数列可以运用于哪些方面 重要性

数列是高中数学的重要内容之一，而等差数列作为一类重要的特殊数列，一方面它的定义、通项、求和、性质及运算是历年高考的热点，另一方面学生学习等差数列是探究特殊数列的开始，可以为今后学习数列提供帮助，更为等比数列提供了学习对比的依据。 等差数列的概念 等差数列的通项公式

等差数列前n 项的和的求和公式

一、基本概念

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

+1

n n ??

??

??????--??

??数列的项、数列的项数表示数列的第n 项与序号n 之间的关系的公式通项公式：不是所有的数列都有通项公式符号控制器：如（1）、（1）递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

222??

????

?????有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第项起，每一项都不小于它的前一项的数列．数列分类递减数列：从第项起，每一项都不大于它的前一项的数列．常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

二、等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列的公差．

1,2n n a a d n n Z --=≥∈且，或1,1n n a a d n n Z +-=≥∈且

1、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则有()()111111n m n n m n a a n d a n m d kn b a a a a d n n m a a n d ?

=+-=+-=+??

--?

==?--?

-?=+?? 性质：23

22,{+}{+}n p q n m n p q

n m m k m k m k n n n n n a a a b n p q a a a a m n p q a a a a a a a a a a b a a b λμλμ+++?+??

=+?=+???

?

?+=+?+=+????

???

L 等差中项：三个数，G ，b 组成的等差数列，则称G 为与b 的等差中项2G=若{}是等差数列，则若{}是等差数列，则、、、、

构成公差公差kd 的等差数列若{}、{}是等差数列则、是等差数列 2、等差数列的前n 项和的公式： ()()

121122

n n n a a n n S na d pn qn +-=

=+=+ 等差数列的前n 项和的性质：

（1）()()()()()*211*212212111n n n n n n n n n n S S nd

n n S n a a S a S a S S a n n S n a S na S n a S n S n ++-?-=???∈N =+??=?????

-=??

??-∈N =-==-??=?-???

偶奇奇偶奇偶奇

偶奇偶若项数为，则，若项数为，则，， （2） 232S S S ,S S S {}m m m m m n

n

--?????，成等差数列是等差数列

若等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和为,n n S T ,,则

1

21

2--=n n n n T S b a （3）等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若??

?<>0

1d a ，则n S 有最大值，当n=k 时取到的最大值k 满足???≤≥+001k k a a

②若??

?><0

1d a ，则n S 有最小值，当n=k 时取到的最大值k 满足???≥≤+001k k a a

三、等比数列：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等比数列的公比．

1、通项公式及其性质

若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则1111,n n m n m n n m n n m a a q a q a a q q a a

----?==?

?==??

．

22

232{}n p q

n m n p q k m m k m k m k a a G ab

n p q a a a a m n p q a a a a a a a a q +++??=??=+?=?????

+=+??=????

?

?L ，G ，b 成等比数列，则称G 为与b 的等比中项性质：若是等比数列，则、、、、

成公比的等比数列 2、前n 项和及其性质

()()()11111

111,(1)

1,111111n n

n n n n na q q S a q a a q a a q a a q Aq A q q

q q q q ==??

=-?--===-+=-+≠?

-----?． 2322322S S S ,S S n n m n m

n n n n n m m m m m S S q S S S S S S S n q S +?=+??

--???=???--?偶

奇、、成等比数列性质若项数为，则，成等比数列

． 四、(1)n a 与n S 的关系：()()

1

11;2n n n S n a S S n -=??=?

-≥??（检验1a 是否满足1n n n a S S -=-）

(2)2222223333(1)1232(1)(2)1236(1)1234

n n n n n n n n n n +?

++++=??

++?

++++=??

?+++++=??L L L

五、一些方法

1、等差数列、等比数列的最大项、最小项；前n 项和的最大值、最小值

2、求通向公式的常见方法

（1）观察法；待定系数法（已知是等差数列或等比数列）； （2）1(),n n a a f n --=累加消元;

1

(),n

n a f n a -=累乘消元。 （3）

11

11

,()n n n n n a a k a k a a --=-=-+倒数构造等差:；

111

11,(1)n n n n n n a a a a a a ----=-=两边同除构造等差:

； （4）1,n n a ka b -=+化为1()()n n a x k a x -+=+构造等比

()()11,1n n n n a qa pn r a xn y q a x n y --=++++=+-+（构造等比数列：）

1n n n a qa p -=+，化为

111n n n n a a q p p p --=+，分q

p

是否等1讨论。 3、求前n 项和的常见方法

公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和

数列知识点巩固练习 一、选择题

1、一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是（ ）

A

B

．C

． D ．不确定 2、等差数列}{n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于( )

A 4-

B 6-

C 8-

D 10-

3、等比数列｛a n ｝的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比（ ）

A ．－2

B ．1

C ．－2或1

D ．2或－1

4、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于（ ）．

A ．

2

45

B ．12

C ．

4

45 D ．6

5、等比数列{}n a 中,0n a >,a 5a 6=9,则313233310log log log log a a a a +++???+=( )

A.12

B.10

C.8

D.32log 5+

6、等比数列{a n } 的前n 项和为S n ， 若S 4=1，S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=（ ）．

A ．7

B ．16

C ．27

D ．64

7、数列{}n a 的通项公式1

1++=

n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9

A 98

B 99

C 96

D 97

8、在等比数列{a n }中,a 5a 7=6,a 2+a 10=5,则

10

18

a a 等于( ) A.2

3

32--或 B.32 C. 23 D. 32或23

9、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若

231n n S n

T n =+,则n n

a b =（ ）

A

23 B 2131n n -- C 2131

n n ++ D 2134n n -+ 10、已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511

--++-+-+-=+n S n n Λ,

则312215S S S -+的值是（ ）

A. -76

B. 76

C. 46

D. 13 二、填空题

1、数列?--,9

24

,715,58,1的一个通项公式是

2、数列1111

1,2,3,,,2482

n n +

+++……的前n 项和是 3、在数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝

4、已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=

+ )1(≥n ， n a =_____________ 5、已知数列的12

++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=_____________

6、等差数列{a n }中，39||||,a a =公差0,d <那么使前n 项和n S 最大的n 值为__________ 三、解答题

1、已知数列{}n a 的前n 项和n

n S 23+=，求n

a

2、已知数列{}n a 满足11

2

a =

, 112n n n n a a a a ++=-,求数列{}n a 的通项公式。 3、数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =+++L ，求n S 。 4、已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，已知,153,1193==S a

（1）求数列}{n a 的通项公式 （2）设n n b a 2log =，证明}{n b 是等比数列，并求其前n 项和T n 5、已知数列{}n a 是等差数列，且1

2a =，12312a a a ++=.

⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 令n

n

n b a =?３

*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和的公式.