测不准关系理论推导

课程论文

学院：物理电子工程学院

专业：物理学

年级： 2012级物理学班

姓名：李赵坤

论文题目：测不准关系的理论推导成绩：

2016 年 1 月 2 日

目录

摘要 (1)

Abstract (1)

1.引言 (1)

2.历史发展 (1)

3.测不准关系实验验证 (3)

4.相关质疑 (3)

5.意义 (4)

5.1理论意义 (4)

5.2现实意义 (4)

6.总结 (4)

参考文献 (4)

测不准关系的理论推导

学生姓名：李赵坤学号：20125041015

学院：物理电子工程学院专业：物理学

摘要：在量子力学里，测不准关系表明，粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性与动量的不确定性遵守不等式。一个微观粒子的某些物理量，如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等，不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。

关键词：波粒二象性，不确定原理

1引言

测不准原理，又称“不确定性原理”、“不确定关系”，是量子力学中的一个重要关系，也是一个相当深奥的问题[1]。表明粒子的位置与动量不可同时被确定，它反映了微观客体的特征。即一个微观粒子的某些成对的物理量不可能同时具有确定的数值。例如位置与动量、力一位角与角动量，其中一个量越确定，另一个量就越不确定。它来源于物质的波粒二象性，测不准关系是从粒子的波动性中引出来的。

2历史发展

1900年普朗克为了解释黑体辐射的实验规律提出能量量子化的概念；1905年爱因斯坦为了解释光电效应引入光子的概念；1913年玻尔提出的氢原子理论中运用光子概念构造了频率条件；1923年，德布罗意提出物质波假设：实物粒子与光相似，也具有波粒二象性。1925年6月，维尔纳·海森堡发表论文《运动与机械关系的量子理论重新诠释》创立了矩阵力学。旧量子论渐渐式微，现代量子力学正式开启[2]。海森堡在论文里提出，只有在实验里能够观察到的物理量才具有物理意义，才可以用理论描述其物理行为。海森堡抓住云室实验中观察电子径迹的问题进行思考。他试图用矩阵力学为电子径迹作出数学表述，意识到关键在于电子轨道的本身有问题。人们看到的径迹并不是电子的真正轨道，而是水滴串形成的雾迹，所以人们也许只能观察到一系列电子的不确定的位置，而不是电子的准确轨道。

因此，在量子力学中，一个电子只能以一定的不确定性处于某一位置，同时也只能以一定的不确定性具有某一速度。可以把这些不确定性限制在最小的范围内，但不能等于零。据海森堡晚年回忆，爱因斯坦1926年的一次谈话启发了他。爱因斯坦和海森伯讨论可不可以考虑电子轨道时，曾质问过海森堡：“难道说你是认真相信只有可观察量才应当进入物理理论吗？”对此海森堡答复说：“你处理相对论不正是这样的吗？你曾强调过绝对时间是不许可的，仅仅是因为绝对时间是不能被观察的。”爱因斯坦承认这一点，但是又说：“在原则上试图单靠可观察量来建立理论，那是完全错误的。实际上恰恰相反，是理论决定我们能够观察到的东西，只有理论，即只有关于自然规律的知识，才能使我们从感觉印象推论出基本现象。”

因此，海森堡避开任何涉及粒子运动轨道的详细计算，例如，粒子随着时间而改变的确切运动位置。因为，这运动轨道是无法直接观察到的。替代地，他专注于研究电子跃迁时，所发射的光的离散频率和强度。他计算出代表位置与动量的无限矩阵。这些矩阵能够正确地预测电子跃迁所发射出光波的强度。

同年6月海森堡的上司马克斯·玻恩，在阅读了海森堡交给他发表的论文后，发觉了位置与动量无限矩阵有一个很显著的关系──它们不互相对易。这关系称为正则对易关系，以方程表示为：

[] i

-

,, (1)

=

x=

p

px

xp

在他著名的1927年论文里，海森堡写出以下公式：

?, (2)

?

p

h

x≈

在海森堡的芝加哥讲义里，他又进一步改善了这关系式：

?, (3)

?

h

x≥

p

1927年厄尔·肯纳德首先证明了现代不等式：

按照肯纳德的表述，位置的不确定性与动量的不确定性是粒子的秉性，无法同时压抑至低于某极限关系式，与测量的动作无关。其中，是位置标准差，是动量标准差，是约化普朗克常数。这公式给出了任何位置测量所造成的最小无法避免的动量不确定值[3]。

3测不准关系实验验证

海森堡测不准原理是通过一些实验来论证的。设想用一个γ射线显微镜来观察一个电子的坐标，因为γ射线显微镜的分辨本领受到波长λ的限制，光的波长λ越短，显微镜的分辨率越高，从而测定电子坐标不确定的程度△q就越小。但另一方面，光照射到电子，可以看成是光量子和电子的碰撞，波长λ越短，光量子的动量就越大。再比如，用将光照到一个粒子上的方式来测量一个粒子的位置和速度，一部分光波被此粒子散射开来，由此指明其位置。但人们不可能将粒子的位置确定到比光的两个波峰之间的距离更小的程度，所以为了精确测定粒子的位置，必须用段波长的光。量子会扰动粒子，并以一种不能预见的方式改变粒子的速度。所以，位置要测得越准确，所需波长就要越短，单个量子的能量就越大，这样粒子的速度就被扰动得更厉害。经过一番推理计算，海森堡得出：

海森堡写道：“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。”海森堡还通过对确定原子磁矩的斯特恩-盖拉赫实验的分析证明，原子穿过偏转所费的时间△T越长，能量测量中的不确定性△E 就越小。再加上德布罗意关系，海森伯得到

并且作出结论：“能量的准确测定如何，只有靠相应的对时间的测不准量才能得到。”

4相关质疑

随着时代的发展科技的进步，20世纪80年代以来，有声音开始指出测不准原理有一定不足。日本名古屋大学教授小泽正直在2003年提出“小泽不等式”，认为“测不准原理”可能有其缺陷所在。为此，其科研团队对与构成原子的中子“自转”倾向相关的两个值进行了精密测量，并成功测出超过所谓“极限”的两个值的精度，使得小泽不等式获得成立，同时也证明了与“测不准原理”之间存在的矛盾[4]。

5意义

5.1理论意义

该原理表明：一个微观粒子的某些物理量，如位置和动量，或方位角与动量矩，还有时间和能量等，不可能同时具有确定的数值，其中一个量越确定，另一个量的不确定程度就越大。测量一对共轭量的误差的乘积必然大于常数，h是普朗克常数，是海森堡在1927年首先提出的，它反映了微观粒子运动的基本规律——以共轭量为自变量的概率幅函数构成傅立叶变换对；以及量子力学的基本关系，是物理学中又一条重要原理。

5.2现实意义

这个概念的本意是：在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。精确地知道其中一个变量的同时，必定会更不精确地知道另外一个变量。这就有点像是这样的一个情况：我们可以从一个条件甲推导出结论乙，但是我们是否知道条件甲会影响到结论乙。这种情况在恋爱中很常见，很多妻子都想考验一下自己的丈夫是否忠诚，但是经常会有这样一个结果，丈夫发现你在考验他以后就不爱你了。这样我们就发现，如果假设妻子的考验丈夫一定会发现，且丈夫一定会生气，那么我们就发现，貌似没办法测试出丈夫是否会真心了，这种没法知道一个事情的情况，就是测不准原理。

6总结

测不准原理对我们的世界观有非常深远的影响。直到50多年以后，仍然是许多争议的主题。不确定性原理使拉普拉斯科学理论寿终正寝：如果人们甚至不能准确地测量宇宙的现在的态，就肯定不能准确地预言将来的事件了。对于一些超自然的生物，存在一组完全地决定事件的定律，这些生物能够不干扰宇宙地观测它现在的状态。20世纪20年代。在不确定性原理的基础上，海森堡、厄文·薛定谔和保尔·狄拉克运用这种手段将力学重新表达成称为量子力学的新理论。在此理论中，粒子不再有分别被很好定义的、能被同时观测的位置和速度，而代之以位置和速度的结合物的量子态。

参考文献：

[1]黄湘友.不确定关系的经典类比[J].物理学报，1996，45(3)：353-359.

[2]程守洙，江之永.普通物理学[M].北京：高等教育出版社，1998.

[3]张三慧.大学物理学[M].北京：清华大学出版社，1996.

[4]余虹.大学物理学[M].北京：科学出版社，2001.