(完整版)中考数学轨迹问题集锦

动点问题讲义

1、如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧

分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移

动的路径长度为_______．

2、正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ 沿着边AB，BC，CA逆时针连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来位置，则点P运动的路径长为_______ cm．（结果保留π）

3、如图，AB为⊙O的直径，AB=8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O上运动一周，点D运动的路径长为_______

4、如图，一块边长为6cm的等边三角形木板ABC，在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C′的位置，则边AB的中点D运动的路径长是_______

5、如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O=60°，OA=1．

（1）求O点所运动的路径长；

（2）O点走过路径与直线L围成图形的面积．

6、如图，OA⊥OB，垂足为O，P、Q分别是射线OA、OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C运动形成的路径长是______

7、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为______ ．

8．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接

EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG．

（1）设AE＝x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．

A M

9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．

问题思考：

如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．

（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．

（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．

问题拓展：

（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．

10、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t ≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=____ ,PD=____

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

11、在直角坐标系中，O是坐标原点，点A坐标为（0，-1），点C是x轴上一个动点。

（1）如图1，△AOB和△BCD都是等边三角形，当点C在x轴上运动时，请探究点D的运动轨迹；

（2）如图2，△ABO和△ACD都是等腰直角三角形，当点C在x轴上运动时，请探究点D的运动轨迹；（3）如图3，四边形OABE是正方形，请你画出正方形BCDF（BCDF按照逆时针顺序），并探究当点C在x轴上运动时，点D的运动轨迹。

12、如图，在直角坐标系中，A点坐标为（0，6），B点坐标为（8，0），点P沿射线BO以每秒2个单位的速度匀速运动，同时点Q从A到O以每秒1个单位的速度匀速运动，当点Q运动到点O时两点同时停止运动．（1）设P点运动时间为t秒，M为PQ的中点，请用t表示出M点的坐标为________

（2）设△BPM的面积为S，当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

（3）请画出M点的运动路径，并说明理由；

（4）若以A为圆心，AQ为半径画圆，t为何值时⊙A与点M的运动路径只有一个交点？

13、如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形A OB（此时点P与点B重合）．

（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？

（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．

14、如图，边长为4的等边三角形AOB 的顶点O 在坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限．一动点P 沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ，过点P 作PD ⊥OB 于点D ．

（1）填空：PD 的长为

用含t 的代数式表示）；（2）求点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？求t 的值．若不能，说理由；（4）填空：在点P 从O 向A 运动的过程中，点C 运动路线的长为 .

15、等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连结AF ，BE 相交于点P . （1）若AE =CF .①求证：AF =BE ，并求∠APB 的度数.②若AE =2，试求AP AF 的值. （2）若AF =BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长.

x y O

A B D C P x y O A B

16、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 _________ ．

20、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；

（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；

（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．

17、如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作⊙O，点F 为⊙O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与⊙O相交于点G，连接CG．

（1）试说明四边形EFCG是矩形；

（2）当⊙O与射线BD相切时，点E停止移动．在点E移动的过程中，

①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；

②求点G移动路线的长．

18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；

（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？

（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；

（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长.

19.如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了x秒．

（1）Q点的坐标为( , )（用含x的代数式表示）；

（2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？

（3）记PQ的中点为G．请你直接写出点G随点P，Q运动所经过的路线的长度．

C B

O P x

C B

O P x

20、问题探究：

（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点，并说明理由．

（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．

问题解决：

（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP'D=60度．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出△APB 的面积（结果保留根号）．