选修2-1 常用逻辑用语(全章复习专用)

精心整理基础典型题归类与解析

C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数

解析：选D.x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．

二、题型二：复合命题的结构

例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.

解析：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．

(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．

因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x＝.

(3)已知x、y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．

变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：

(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；

(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；

(3)相等的两个角的正切值相等．

解析：(1)条件p：整数a是偶数，

结论q：a能被2整除，真命题．

(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，

即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．

条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，

结论q：该四边形是矩形，真命题．

．

例

求使p

q是假

例

A

B

C

D．与原命题同为真命题

解析：选D.原命题显然为真，

原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．故选D.

例6．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )

A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

答案： B

例7．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是( )

A．若x≤y，则x2≤y2B．若x>y，则x2

C．若x2≤y2，则x≤y D．若x

解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．

例8．．给出下列命题：

①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；

y，则非x

例

∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．

又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．

六、题型六：判断条件关系及求参数范围

例10．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：当x＝2kπ＋时，tan x＝1，

而tan x＝1得x＝kπ＋，

所以“x＝2kπ＋”是“tan x＝1”成立的充分不必要条件．故选A.

例11、设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A 的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

解析：由题意得：

例

x|2

的范围为{m|

已知条件：p：y( )

大集合，

p q

围．

则p?q但qp.

∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.

∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤.

∴满足条件的a的取值范围为.

七、充要条件的论证

例13求证：0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．

证明：充分性：∵0

∴Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，

则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．

而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0可变成1>0.

显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．

必要性：∵ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，

∴a＝0或

解得0≤a<.

例

A

B

C

D

例

变式练习2：(2010年高考安徽卷)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．解：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3

变式练习3．写出下列命题的否定，然后判断其真假：

(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；

(2)p：函数y＝tan x是周期函数；

(3)p：??A；

(4)p：不等式x2＋3x＋5<0的解集是?.

解析：

例

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)

(2)

但

(3)

(4)

例) A．

C．a>－2 D．－2

解析：依题意：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，

即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，

所以有：

??a≥2.

所以选B

变式练习1：已知命题p：?x0∈R，tan x0＝；命题q：?x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且q”

是________命题．(填“真”或“假”)

解析：当x0＝时，tan x0＝，

∴命题p为真命题；

x2－x＋1＝2＋>0恒成立，

∴命题q为真命题，

∴“p且q”为真命题．

所以填：真

变式练习2：已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1

④命题“?p

例

(1)

(2)

所以q为真时实数x的取值范围是2

若p∧q为真，则?2

所以实数x的取值范围是(2,3)．

(2)非p是非q的充分不必要条件，

即非p?非p且非q非q.

设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，

则A B.

所以03，即1

所以实数a的取值范围是(1,2]．

例19．若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；

(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，

即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0，a∈[－1,1]．

(1)

(2)

即

(2)

∴m

∵f

∴m

q：关于x

＝[

∴－(a2－a)≤－2，

即a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.

即p：a≤－1或a≥2

由不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R得，

即

解得0≤a＜4

∴q：0≤a＜4.

∵p∧q假，p∨q真．

∴p与q一真一假．

∴p真q假或p假q真，

即或

∴a≤－1或a≥4或0≤a＜2.

所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．