6 第一章 集合与常用逻辑用语 章末复习提升课

章末复习提升课

主题1集合的基本概念

(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()

A．1B．3

C．5 D．9

(2)若－3∈{x－2，2x2＋5x，12}，则x＝________．

【解析】(1)①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；

②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1；

③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0.

综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C.

(2)由题意知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.

①当x－2＝－3时，x＝－1.

把x＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3，12，不满足集合中元素的互异性；

②当2x2＋5x＝－3时，x＝－3

2

或x＝－1(舍去)，

当x＝－3

2时，集合的三个元素为－7

2

，－3，12，满足集合中元素的互异性，

由①②知x＝－3

2.

【答案】(1)C(2)－3 2

解决集合的概念问题应关注的两点

(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．

(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．

已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3

C．0或3 D．0，2，3均可

解析：选B.由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0，3，2}，符合题意．

主题2集合的基本关系

已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，若B?A，则实数a的取值范围为________．

【解析】因为a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠?.

画数轴如图所示．

由B?A知，a＋1＜－1或2a≥1.

即a＜－2或a≥1

2.

由已知a＜1，所以a＜－2或1

2≤a＜1，

即所求a的取值范围是a＜－2或1

2≤a＜1.

【答案】a＜－2或1

2≤a＜1

(1)判断两集合关系的两种常用方法

一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

(2)处理集合间关系问题的关键点

已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏．

1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则下列关系正确的是() A．M＝N B．M N

C．N?M D．N M

解析：选B.由集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，N＝{0，1，2}，可知M N.

2．已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集

共有()

A．1个B．2个

C．4个D．8个

解析：选B.|a|≥2?a≥2或a≤－2.

又a∈M，(a－2)(a2－3)＝0?a＝2或a＝±3(舍)，

即A中只有一个元素2，

故A的子集只有2个，选B.

3．已知集合A＝{x|0＜x≤4}，B＝{x|x＜a}，当A?B时，实数a的取值范围为a＞c，则c＝________．

解析：A＝{x|0＜x≤4}，B＝{x|x＜a}，由A?B，得a＞4.

所以c＝4.

答案：4

主题3集合的运算

(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝()

A．{1，－3} B．{1，0}

C．{1，3} D．{1，5}

(2)若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝()

A．{x|－2

C．{x|－1

(3)设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2

①分别求A∩B，(?R B)∪A；

②已知C＝{x|a

【解】(1)选C.由A∩B＝{1}得1∈B，

所以m＝3，B＝{1，3}．

(2)选A.A∩B＝{x|－2

(3)①A∩B＝{x|3≤x<6}．

因为?R B ＝{x |x ≤2或x ≥9}，

所以(?R B )∪A ＝{x |x ≤2或3≤x <6或x ≥9}． ②因为C ?B ，如图所示．

所以?????a ≥2，a ＋1≤9，

解得2≤a ≤8，

所以所求集合为{a |2≤a ≤8}．

(1)集合基本运算的方法

①定义法或Venn 图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn 图中表示出来，借助Venn 图观察求解；

②数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解．

(2)集合与不等式结合的运算包含的类型及解决办法

①不含字母参数：直接将集合中的不等式解出，在数轴上求解；

②含有字母参数：若字母的取值影响到不等式的解，要先对字母分类讨论，再求解不等式，然后在数轴上求解．

(一题两空)已知集合A ＝{x |－3

M ＝{x |－4≤x <5}，全集U ＝R .

(1)A ∩M ＝________；

(2)若B ∪(?U M )＝R ，则实数b 的取值范围为________． 解析：(1)因为A ＝{x |－3

所以A ∩M ＝{x |－3

又B ＝{x |b －3

所以实数b 的取值范围是－2≤b <－1. 答案：(1){x |－3

(1)“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“－1≤x －1≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】 (1)若x ＝1，则x 2－4x ＋3＝0，是充分条件． 若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3，不是必要条件． 故选A.

(2)由－1≤x －1≤1，得0≤x ≤2，因为0≤x ≤2?x ≤2，x ≤2?＼0≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“－1≤x －1≤1”的必要不充分条件，故选B.

【答案】 (1)A (2)B

判断充分、必要条件的方法

(1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．

(2)等价法：利用A ?B 与﹁B ?﹁A ，B ?A 与﹁A ?﹁B ，A ?B 与﹁B ?﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A ?B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．

1．(2020·济南高一检测)“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

解析：选B.因为“a ≠1或b ≠2”包括三种情况，即a ≠1，b ＝2，或a ＝1，b ≠2，或a ≠1且b ≠2，所以a ≠1或b ≠2?＼a ＋b ≠3，a ＋b ≠3?a ≠1或b ≠2，所以“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的必要不充分条件．故选B.

2．若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab ＞0中选出满足下列条件的式子，用序号填空：

(1)使a ，b 都为0的必要条件是________； (2)使a ，b 都不为0的充分条件是________； (3)使a ，b 至少有一个为0的充要条件是________． 解析：①ab ＝0?a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；

②a ＋b ＝0?a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正数一负数； ③a (a 2＋b 2)＝0?a ＝0，b 为任意实数； ④ab ＞0??????a ＞0，b ＞0或?????a ＜0，b ＜0，

即a ，b 同为正数或同为负数．

综上可知：(1)使a，b都为0的必要条件是①②③；

(2)使a，b都不为0的充分条件是④；

(3)使a，b至少有一个为0的充要条件是①.

答案：(1)①②③(2)④(3)①

主题5全称量词命题与存在量词命题

写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：每一个素数都是奇数；

(2)p：能被3整除的数，也能被4整除；

(3)p：有些实数的绝对值是正数；

(4)p：某些平行四边形是矩形．

【解】(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，﹁p：存在一个素数不是奇数，是真命题．

(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题．

(3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，﹁p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题．

(4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，﹁p：每一个平行四边形都不是矩形，是假命题．

全称量词命题、存在量词命题的真假判定

(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可．

(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题为假．

1．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()

A．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2

B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2

C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2

D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2

解析：选 D.将“?”改写为“?”，“?”改写为“?”，再否定结论可得，命题的否定为“?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”．

2．判断下列命题的真假．

(1)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；

(2)任何实数都有算术平方根；

(3)每个平面四边形的内角和都是360°；

(4)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数．

解：(1)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，故该命题为假命题．

(2)当a＜0时，实数a不存在算术平方根，故该命题为假命题．

(3)任意平面四边形的内角和都是360°，是真命题．

(4)因为n2＋n＝n(n＋1)，当n为奇数时，n＋1为偶数；当n为偶数时，n＋1为奇数，故n(n＋1)一定是偶数，所以不存在一个整数n，使得n2＋n为奇数．故该命题为假命题．