考试试题同济大学

考试试题同济大学文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

同济大学期末考试试卷（ A 卷）

2005 学年—— 2006 学年第二学期

课程名《物流与供应链管理》

学号姓名成绩

一、简答题（6%×7=42%）

1．简述供应链及供应链管理的含义。

答：供应链是围绕核心企业，通过对信息流、物流、资金流的控制，从采购原材料开始，制成中间产品以及最终产品，最后由销售网络把产品送到消费者手中的将供应商、制造商、分销商、零售商直到最终用户连成一个整体的功能网链结构模式。

供应链管理是指对供应商、制造商、物流者和分销商等各种经济活动，有效开展集成管理，以正确的数量和质量，正确的地点，正确的时间，进行产品制造和分销，提高系统效率，促使系统成本最小化，并提高消费者的满意度和服务水平。

2．简述获取供应链战略匹配的基本步骤。

答：获取供应链战略匹配的3个基本步骤如下：

(1)理解顾客。首先，公司必须理解每一个目标顾客群的顾客需要，它能帮助公司确

定预期成本和服务要求。

(2)理解供应链。供应链有很多种类型，每一种都设计用来完成不同的任务。公司必

须明确其供应链设计用来做什么。

(3)获取战略匹配。如果一条供应链运营良好，但与预期顾客需要之间不相匹配，那

么，公司或者重新构建供应链以支持其竞争战略，或者改变其竞争战略，以适应供应链。

3．总体计划的制定应权衡哪些因素相应的总体计划战略内涵是什么

答：通常来说，计划者要进行的基本权衡有如下几个：

?生产能力（规定时间、加班时间和转包生产时间）

?库存

?库存积压或失去的销售额

在三种成本之间权衡，可以得到以下三种总体计划战略：

(1)追逐战略——当需求变动时，通过改变机器的生产能力或雇用或解雇劳动力，使

生产率和需求率保持一致。适用于库存成本高而改变生产能力和工人人数的成本低的情形。

(2)工人人数或生产能力的弹性时间战略——将利用率作为杠杆。劳动力和生产能力

不变，通过运用不同的加班量或弹性时间表来达到生产与需求的一致。适用于库存成本很高或改变生产能力的代价较小的情形。

(3)水平战略——将库存作为杠杆。在这种战略中，机器生产能力和劳动力人数保持

着一个稳定的产出率，通过保持相应的库存量来应对需求的变化。这种情形下生产与需求不协调，导致库存水平高、积压产品多，适用于库存成本和积压产品成本相对较低的情形。

4．在某一时期进行商业促销，这个时期的需求量通常会上升。请问上升的需求量是由哪些原因造成的

答：

(1)市场增长——指新老客户对该促销产品的消费的增加；

(2)抢占市场分额——指顾客用某公司的促销产品来代替对另一家公司的相同产品的

购买；

(3)提前消费——指顾客将未来的消费转到当前进行消费。

5．回购合同是如何有助于生产商提高其自身收益以及整条供应链受益的

答：回购合同的含义是生产商通过承诺以低于进货的价格买回销售季节结束时所有剩余商品，从而增加零售商进货的数量。

这一措施的作用是，增加零售商每件剩余产品的残价，从而提高零售商的订货量。虽然生产商承担了一些库存积压的费用，但是有可能从中受益，因为从平均来看整条供应链最终会受出更多的产品。

6．试述不同运输方式的优缺点。

答：不同的运输方式包括：水运、铁路、联运、货车、空运、管道运输和包裹运输。

水运最廉价，速度也最慢。空运和包裹运输速度最快，价格也最贵。铁路和水运适合低价值的大批量送货，这类货物在运送速度方面没有太高的要求。航空和包裹运送适合小规模、高价值产品的紧急运送。联运和满载运输比铁路要快但价格也要高一些。LTL运送适合于对包裹运送来说太大，但却小于货车最大装载能力的货物的运送。7．供应链协调的障碍因素有哪些

答：供应链协调的障碍因素主要包括以下5类： (1) 激励障碍 (2) 信息传递障碍 (3) 运营障碍 (4) 定价障碍 (5)

行为障碍

二、计算题（58%）

1．（10%）热比萨公司的比萨饼的周需求量如下表所示：

试依据所给的历史数据，给出利用4周移动平均法和单一指数平滑法（α=）对第9周的比萨饼需求量进行预测的过程。你认为这两种方法哪种更准确解：

(1) 4周移动平均法

计算公式：25.994

112

1029291456789=+++=+++=

D D D F

平均绝对百分比误差MAPE =25.91004185=?∑=t t

D E

(2) 单一指数平滑法

平均绝对百分比误差MAPE=65.71008181=?∑=t t t

D E

2．（12%）同济图书公司是一家网上书店，服务范围为上海市。公司将客户区域划分为外环和内环两个区域，书店在赤峰路设有一个仓库，并从那里向客户送书。送书的收费方式为：内环客户5元/订单，外环客户10元/订单。平均每张订单包含4本书。客户每次订货的平均送货成本为7元。两个区域的周需求量互不影响，符合均值为5000、标准差为2500的正态分布。每本书的平均成本为10元，库存成本占25%。该公司每星期更新一次库存，使补给周期供给水平达到95%。假设库存更新的供货期为一周。

（1）试计算：同济图书公司涉及的各项成本；（2）设公司为提高销售量而采取价格折扣策略，打折之后的周需求量服从均值为7000、标准差为3600的正态分布。试估算在不降低利润的情形下其价格折扣率的范围，设原来每本书的平均售价为16元，成本仅考虑库存成本与运送成本。解：

（1）

1）年运送成本 = 5000/4×7×2×52 = 910000 2）年库存成本 = 20788 × 2 = 41576

考虑任一个区域：

供货提前期为1周，盘点周期为1周，从而

安全库存量5815112500)95.0(1

=+??=-S F ss ，循环库存=（5000×1）/2，

得：平均库存成本=（5815+2500）×10×25% = 20788 （2）设折扣率为x ，即此时平均价格为 16x

1）年运送成本 = 7000/4×7×2×52 = 1274000

2）年库存成本 =

593652]2/)17000(113600)95.0([1

=??++??-S F ——打折前的年总利润

= （16 -10）×5000×2×52+5000/4×（5+10）×52- 910000 – 41576 = 3143424

——打折后的年总利润

= （16x -10）×7000×2×52 +7000/4×（5+10）×52–1274000– 59365 ≥3143424 得：%22.89≥x

即：打折的幅度不能低于%。

3．（14%）某家具制造商的胶合板的月需求量是20000平方尺。卡车公司每次运输原材料的收费是400元，而不考虑定购数量。制造商提供全部单位产品数量折扣，若订购量少于20000平方尺，每平方尺1元；订购量超过40000平方尺，每平方尺为元；订购量在二者之间时每平方尺为元。公司的存储成本为20%。试求：该公司的最优订购批量规模是多少这一订购策略的年成本是多少公司胶合板的循环库存为多少库存平均周转时间是多少

解：

已知条件：需求量R = 20000 平方英尺/月= 240000 平方英尺/年

运输固定费用S = 400 美元/次存储成本h= 20%

全部单位数量折扣方案：

(1) 先求出各个局部最优解

a) ),[10q q Q ∈时

故采购批量应该为1*120000q Q ==，

相应的成本为2419602

11111=++

=h C q S q R

RC TC b) ),[21q q Q ∈时

故采购批量应该为31289*

=Q ，相应的成本为24133421*

2*2

12=++=h C Q S Q R

RC TC

c) ),[2+∞∈q Q 时

故采购批量应该为2*

40000q Q ==，相应的成本为2366402

22223=++

=h C q S q R

RC TC (2) 比较得出全局最优解：

2366403==TC TC ，相应的订购批量40000*=Q

循环库存=200002

=Q 库存周转时间=（月）年

1/240000240000

2*=?=R Q 4．（12%）一款豪华轿车的经销通过9个销售点向某一地区提供产品（分散经营特权）。每个销售点的周需求量都呈正态分布，均值为30辆，标准差为8辆。从制造商到销售点的补给货物交付期为4周。每个销售点覆盖一个单独的区域，各区域的需求量相互独立。公司考虑用一个更大的销售点取代上述9个销售点的可能性（聚集经营权）。假设中心校收取会覆盖9个销售点的需求之和。公司将经营的目标确定为补给周期供给水平为。试求上述两种销售方式所需的安全库存水平。（附：

2815.1)90.0(1=-S F ）

解：（1）分散

每周需求量的标准差8=R σ 补给货物交付期4=L 周

货物交付期期间的需求量的标准差1648=?=?=L R L σσ 理想的补给周期供给水平CSL=

必备的安全库存量21504.2016)90.0()(11≈=?=?=--s L s F CSL F ss σ 必备安全库存总量=21×9=189（辆）（2）聚集

中心销售区周需求量的均值270930=?=C R

中心销售区周需求量的标准差2489=?=C

σ 货物交付期期间中心销售区需求量的标准差48244=?=?=C

R C L

L σσ 必备的安全库存量62512.6148)90.0()(11≈=?=?=--s C

s F CSL F ss σ（辆）三、分析题（10%）

某批发商准备储存一批圣诞树供圣诞节期间销售。由于短期内只能供应一次订货，所以他必须决定订购多少棵圣诞树。该批发商对包括交货费在内的每棵圣诞树要支付20元，树的售价为60元。订购成本可忽略不计，而未售出的树，他只能按10元出售。节日期间，该批发商的圣诞树需求量的概率分布如下表所示（批发商的订货量必须是10的倍数）。该批发商应订购多少棵圣诞树

表：圣诞树需求量概率分布

解：

每棵圣诞树的成本c=20元售价p=60 残值s=10

圣诞树的预期市场需求量=∑=?5.36)(M P M 预期收益

=[P （需求量=10）×收益+ P （需求量=20）×收益+ P （需求量=30）×收益+ P （需求量=40）×收益+ P （需求量=50）×收益+ P （需求量=60）×收益（1）订40棵预期收益

=×[10×(60-20)-(40-10) ×(20-10)]+ ×[20×(60-20)-(40-20) ×(20-10)] + ×[30×(60-20)-(40-30) ×(20-10)]+ ×[40×(60-20)] +×[40×(60-20)]+ ×[40×(60-20)] =10+60+220+560+240+160 = 1250 （2）订50棵预期收益

=×[10×(60-20)-(50-10) ×(20-10)]+ ×[20×(60-20)-(50-20) ×(20-10)]

+ ×[30×(60-20)-(50-30) ×(20-10)]+ ×[40×(60-20)-(50-40) ×(20-10)] +×[50×(60-20)]+ ×[50×(60-20)] =0+50+200+525+300+200 = 1275 （3）订60棵预期收益

=×[10×(60-20)-(60-10) ×(20-10)]+ ×[20×(60-20)-(60-20) ×(20-10)] + ×[30×(60-20)-(60-30) ×(20-10)]+ ×[40×(60-20) -(60-40) ×(20-10)] +×[50×(60-20) -(60-50) ×(20-10)]+ ×[60×(60-20)] = -10+0+180+490+285+240 = 1185

由1185(60)<1250(40)<1275(50)，可知应该订50棵圣诞树。此时的客户服务水平=++++=90%

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 附：试卷中可能用到的数据：2815.1)90.0(1=-S F ，6449.1)95.0(1=-S F

同济大学物理下册答案

同济大学大学物理下册答案（缺11章）第九章热力学基础解答一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 二、填空题 1．传热；做功；其温度的改变量；过程 2．124.7； -84.3 3．21； 2 4．9.52； 570 5．Pa 1058.74 ? 6．等压；绝热；等压；绝热 7．卡诺； %25 8．320K ； 3.9 三、计算题 1．解：(1)等体过程：01=A ()()5J .1246208031.82 5 11211=-???=-= ?=∴T T C M m E Q V 等温过程：02=?E ()J 32033ln28027331812ln d 2222..V V RT M m V p A Q V V =?+??====∴? J 3203321.A A A =+=∴ J 8.93273.20335.124621=+=+=∴Q Q Q J 5.1246=?E (2)等温过程：03=?E ()J 71687ln22027331812ln 133..V V RT M m A Q =?+??===∴ 等体过程：04=A ()()J 5.1246208031.82 5 11244=-???=-=?=∴T T C M m E Q V J 7168743.A A A =+=∴ J 22934512467168743...Q Q Q =+=+=∴ J 5124643.E E E =?+?=? 2．解：γ γ C C B B V p V p = ， 3 m 49.3=B V 由图可看出，C C A A V p V p = ；从状态方程 RT M m pV = 可知 C A T T = 因此在全过程 C B A →→中， 0=?E C B →过程是绝热过程，有0=BC Q B A →过程是等压过程，有

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4 适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。（三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。【教学重点与难点】本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。【教学内容】第一节映射与函数一、映射 1.映射概念

泰勒公式在近似计算中的应用

泰勒公式在近似计算中的应用【摘要】本文给出了泰勒公式在近似计算中的几个应用，如果函数的形式过于复杂，就可以考虑利用泰勒公式将函数用简单的多项式函数近似代替，然后依据具体的精度要求进行计算，如超越函数的近似计算，导数的近似计算以及积分的近似计算。【关键词】泰勒公式；超越函数；数值微分；数值积分在高等数学课程中，泰勒公式一直是学生学习的重点与难点. 很多学生不理解为什么要引入泰勒公式，泰勒公式又由何而来. 实际上，如果教师在授课过程中，让学生多了解一些泰勒公式的应用，那么学生对该部分内容的掌握必然会比较深入. 本文将对泰勒公式在近似计算这一方面的几个应用做简单的介绍. 下面我们先回顾一下泰勒中值定理。如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任意，有其中，这里是介于与之间的某个值。 1.超越函数的近似计算许多超越函数如三角函数，指数函数，对数函数等都无法算出其精确值，但在理论研究和实际应用中，却需要求出来，学习了泰勒公式后，就可以将复杂的函数用简单的多项式函数近似表达，从而求出符合精度要求的近似值. 这部分的应用在高等数学课本中介绍较多，在这里仅通过一个例题来体现，不再赘述. . 3.积分的近似计算众所周知，可以利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分，可是当的结构复杂，求原函数困难时，或的原函数不能用初等函数表示时，很多积分的计算就变得相当困难，如，等，有了泰勒公式这一工具，可以考虑将被积函数用简单的函数表示出来，再进行积分计算求得数值解。从几何意义上来说，就是用矩形面积近似代替了曲边梯形面积，上述两式称为矩形求积公式。参考文献： [1] 常迎香，栗永安等. 高等数学[M]. 北京：科学出版社，2009. [2] 同济大学应用数学系，高等数学（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，

泰勒公式及其在解题中的应用

本科生毕业设计（论文）（ 2014届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级数学与应用数学）论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制

泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.

常见泰勒公式展开式

泰勒公式泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都

可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

同济大学大学物理下册答案

同济大学大学物理下册答案（缺11 12章）第九章热力学基础解答一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 二、填空题 1．传热；做功；其温度的改变量；过程 2．124.7； -84.3 3．21； 2 4．9.52； 570 5．Pa 1058.74? 6．等压；绝热；等压；绝热 7．卡诺； %25 8．320K ；3.9 三、计算题 1．解：(1)等体过程：0 1=A ()()5J .1246208031.82 5 11211=-???=-= ?=∴T T C M m E Q V 等温过程：0 2=?E ()J 32033ln28027331812ln d 2222..V V RT M m V p A Q V V =?+??====∴? J 3203321.A A A =+=∴J 8.93273.20335.124621=+=+=∴Q Q Q J 5.1246=?E (2)等温过程：0 3=?E ()J 71687ln22027331812ln 133..V V RT M m A Q =?+??===∴ 等体过程：04=A ()()J 5.1246208031.82 5 11244=-???=-=?=∴T T C M m E Q V J 7168743.A A A =+=∴J 22934512467168743...Q Q Q =+=+=∴ J 5124643.E E E =?+?=? 2．解：γγ C C B B V p V p =，3 m 49.3=B V 由图可看出，C C A A V p V p =；从状态方程RT M m pV =可知C A T T = 因此在全过程C B A →→中，0=?E C B →过程是绝热过程，有0=BC Q B A →过程是等压过程，有

同济大学大学物理下知识点总结

普通物理（下）学习总结第九章——热力学基础章节概述：热力学整章的重点在于理想气体动态方程、热力学两大定律在各种状态下的应用以及卡诺定理用来计算各种热机的效率。 1、开尔文温度和摄氏温度的换算。t=T-273.15 2、平衡状态、准静态过程和非静态过程的区别。对于一个孤立系统而言，如果其宏观性质经过充分长的时间后保持不变，即系统的状态参量不再随时间改变，此时系统属于平衡态。而如果系统在变化过程中，每一个中间状态都无线接近于平衡态，则称之为准静态过程。 3、理想气体的状态方程：注意玻尔兹曼常量和斯密特常量的定义。 4、焦耳的实验，定义了热功当量。如用做功和传热的方式使系统温度升高相同时，所传递的热量和所做的功总有一定的比例关系，即1卡热量=4.18焦耳的功可见，功与热量具有等效性。做功与传热虽然有等效的一面，但本质上有着区别。做功：通过物体作宏观位移完成。作用是机械运动与系统内分子无规则运动之间的转换。从而改变内能。传热：通过分子间相互作用完成。作用是外界分子无规则热运动与系统内分子无规则热运动之间的转换。从而改变了内能。 5、对微小过程，即准静态过程，dW dE dQ += 6、等温等压过程、绝热过程、多方过程中热力学第一定律的应用。 7、热循环、制冷机与热机的关系、卡诺循环及其效率的计算。

8、热力学第二定律的两种表述（克劳斯修表述和开尔文表述）。开尔文表述（开氏表述）：不可能从单一热源吸取热量，使它完全变为有用功而不引起其它变化。克劳修斯表述（克氏表述）：热量不能自动地从低温物体传到高温物体。第十章——气体动理论章节概述：本章主要讲述了气体动理论的两个基本公式——压强公式和能量公式，理解分子热运动的原理，能够理解热力学第二定律和熵的意义。在本章中还大量地运用了统计规律来对分子的热运动进行分析，即通过对微观物理量求统计平均值的方法得到宏观物理量。 1、自然界的一切宏观物体，无论是气体、液体亦或是固体，都是由大量分子或原子构成。分子间存在相互作用力。构成物质的分子处于永恒的、杂乱无章的运动之中。 2、理想气体的压强公式和气体温度的微观实质。气体的温度其实标志着气体内部分子无规则热运动的剧烈程度，代表了气体分子的平均平动动能。 3、刚性分子的自由度。多原子分子 3 3 6 内能公式为。

同济大学大学物理复习资料

第一章质点运动学班号学号姓名日期一、选择题 1．一个质点在Oxy 平面上运动，已知质点的运动方程为j t i t r 2252 （SI ），则该质点作（A ）匀速直线运动；（B ）变速直线运动；（C ）抛物线运动；（D ）一般曲线运动。（ B ） 2．一个质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，表示曲线的切线方向。下列几个表达式中，正确的表达式为C （A ）a t d d v ；（B ）v t r d d ；（C ） v t s d d ；（D ） a t d d v 。（ C ） 3．沿直线运动的物体，其速度的大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是（A ）与速度大小成正比；（B ）与速度大小的平方成正比；（C ）与速度大小成反比；（D ）与速度大小的平方成反比。（ B ） 4．下列哪一种说法是正确的 (A) 在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心； (B) 匀速率圆周运动的速度和加速度都恒定不变； (C) 物体作曲线运动时，速度的方向一定在运动轨道的切线方向上，法向分速度恒等于零；因此其法向加速度也一定等于零； (D) 物体作曲线运动时，必定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。（ D ） 5．如图所示，路灯距离地面高度为H ，行人身高为h 以匀速v 背向路灯行走，则人头的影子移动的速度为 (A) v H h H ；（B ）v h H H ； (C ） v H h ；（D ） v h H 。（ B ） 6．一物体从某一确定高度以0v 的速度水平抛出，已知它落地时的速度为 t v ，那么它运动的时间是 (A) g t 0v v ； (B) g t 20v v ； (C) g 2120 2 t v v ； (D) g 2120 2 t v v 。选择题5图

数学分析泰勒公式(一)

§3.泰勒公式 [教学目的]掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。 [教学要求]（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。（3）会用带Taylor 型余项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限。 [教学重点]Taylor 公式 [教学难点]Taylor 定理的证明及应用。 [教学方法]系统讲授法。 [教学程序] 引言不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f 在点0x 可导，则有有限存在公式； 0000()()()()0() f x f x f x x x x x '=+-+-即在0x 附近，用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时，其误差为00()x x -。然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00()x x -，其中n 为多项式次数。为此，有如下的n 次多项式： 0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++- 易见： 00()n a p x =，01()1!n p x a '=，02()2!n p x a ''=，…，()0()! n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的取值唯一确定）。对于一般的函数，设它在0x 点存在直到n 阶导数，由这些导数构造一个n 次多项式如下： ()00000()()()()()()1!! n n n f x f x T x f x x x x x n '=+-++- 称为函数f 在点0x 处泰勒多项式，()n T x 的各项函数，()0()! k f x k （k ＝1,2,…,n ）称为泰勒系数。问题当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为0()()0(())n n f x T x x x -=-1、带有皮亚诺余项的泰勒公式定理1若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()0(())n n f x T x x x =+-，即()000000()()()()()()0(())1!! n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-++-+-

浅谈泰勒公式及其应用

论文提要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛，本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值。

浅谈泰勒公式及其应用摘要：本文介绍了泰勒公式及几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了八个问题.即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值. 关键词：泰勒公式泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明. 1 预备知识定义 1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()n n f x T x T x ==+ ()0n o x x +,即 ()()()()()()()()()().! !20002 00000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+?+-''+ -'+=为⑴式. ⑴式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如()n x x o 0-的余项称为佩亚诺型余项.所以⑴式又称为带有佩亚诺余项的泰勒公式. 当00=x 时，得到泰勒公式： ()()()()()()() n n x o n f x f x f f x f ++?+''+'+=! 0!20002. 它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式. 定义1.2 若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[]b a x ,0∈,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得

泰勒公式的深刻理解

泰勒公式的深刻理解 1 学生对泰勒公式的疑惑及其根源分析泰勒公式这一节的教学目标是要求学生理解泰勒公式,并了解它的一些应用。然而,在完成教学任务后仍有相当多的学生心存疑惑,不能不说这是教学上的一个失败。平时和学生聊起数学的学习,谈到泰勒公式, 很多学生都说不理解;讲课中要用到泰勒公式时,学生也会叫喳喳的,表现出畏难的情绪。和同事们谈起这事,上过这门课的教师都有同感。学生在什么地方卡住了呢？在与学生沟通中发现学生通常会这样来描述他们的疑惑:不知道它是什么意思,不知道它有什么用。是什么原因导致了学生的不理解？通过进一步与学生沟通和不断地思考,我们做出如下分析: (1)教科书中泰勒公式的表达方式与学生的思维方式不一致。我们采用的教材是同济大学应用数学系编写的《高等数学》,教材中的泰勒公式以定理的形式给出: 泰勒中值定理如果函数f (x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则对任一 ,(1) 其中 (2) 这里x 为x与x0之间的某个值x。公式(1)称为n阶泰勒公式。刚从中学步入大学,大部分学生还没有完全适应大学的思维方式。公式(1)的右端由两部分构成:x-x0的多项式和余项R n(x),复杂的多项式加上一个需要附加说明的余项和学生心中公式(在中学中认识的公式)的表达方式不一致,由于学生的抽象思维没有达到一定的程度,他们还无法接受这么一个有着附加说明(而且说明也很抽象)的公式,用学生的话说就是不知道它讲的是什么。 (2)泰勒公式证明过程的抽象性加深了学生的疑惑。泰勒公式是通过重复应用柯西中值定理来证明的,过程比较抽象, 由于学生没有理解泰勒公式的表达式,也就是说没有完全弄清楚定理的条件和结论,在这种学生还没有做好准备的情况下,公式证明过程的抽象性只能加深学生的疑惑。 (3)例题的讲解没有给学生的理解带来预期的帮助。由于没有分重视学生思维方式上的差异,教师通常认为给出泰勒公式后,针对一些常见的函数写出相应的泰勒公式,再简单地提一提近似 94 中国科教创新导刊 China Education Innovation Herald 计算就可以达到目标了。的确,学生也能模仿例题完成作业,但是学生仍表示不知道这个公式有什么用。也就是说学生并没有理解例题的作用,没有将例题和泰勒公式的理解联系在一起,认为例题也就是套着公式(1)写出相应的式子罢了。在没有理解泰勒公式的前提下,写出常见函数的泰勒公式对学生来说只是一种机械行为,没有任何意义。 2 教学设计通常的教学过程都是以泰勒公式的证明、常见函数的泰勒公式为重点和难点,基于以上的分析,我们在教学设计时改换思路,教学中对以下三方面进行了尝试,取得了较好的教学效果: (1)把重点放在问题的提出和泰勒公式的引入上。通常情况下教师在这里花的时间并不多,在大部分学生还理不清头绪的时候老师就已经给出抽象的泰勒中值定理了。根据学生的具体情况,我们认为这部分内容对于我们的学生理解泰勒公式有很大的帮助,讲好了有事半功倍的作用,因此我们把重点放在这里。 (2)尝试用另外一种形式来描述泰勒公式,以促进学生的理解。 (3)改变例题的讲解方式。将第一个例题的重点由写出泰勒公式改为近似计算,以加强学生对泰勒公式的理解并了解它的一些应用。具体设计思路如下: (1)问题的提出。微分的近似计算公式的缺点:在实际应用中有可能不满足精度要求。问题:如何才能提高精度？ (2)提出猜想。微分的近似计算公式实质上就是用一次多项式P1(x)=a0+a1(x-x0) 来拟合函数,那么能否用n次多项式P n(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+a n(xx0)n来拟合函数呢？ (3)拟合系数的选取。问题:如果要用多项式来拟合函数:,系数a i(i=1,?n)该如何选取？从微分的近似计算公式出发,研究一次多项式P1(x)的系数与函数f (x)的关系: 1 函数f (x)之间的关系: 。将上述关系作为拟合条件进行推广:如果要用多项式来拟合函数, 即有,那么可以猜想拟合多项式P n(x)与函数f (x)之间应该有下列关系: , 由此可得到拟合系数与函数的之间的关系:于是可选取多项式 ,有 ,由此推出拟合多项式P(x)与

数学分析10.4--二元函数的泰勒公式

§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数x z ??， y z ?? 仍是x 与y 的二元函数。若他们存在关于x 和y 的偏导数，即 x ??（ x z ??）， y ??（ x z ??）， x ??（ y z ??）， y ??（ y z ??）. 称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22 个。通常将 x ??（x z ??）记为 2 2 x z ??或' 'xx f ),(y x . y ??（ x z ??）记为 y x z ???2 或' 'xy f ),(y x . (混合偏导数) x ??（y z ??）记为 x y x ???2 或' 'yx f ),(y x . (混合偏导数) y ??（y z ??）记为 22 y z ??或' 'yy f ),(y x . 一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数. 二元函数的n 阶偏导数至多有2n 个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号 k k n n y x z ???-或 ) (n y x k k n f -),(y x 表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数. 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数. 例1 求函数332 2 3 3 ++-=xy y x y x z 的二阶偏导数. 解 x z ??=2 3 2 63y xy y x +-， y z ??=xy x y x 2332 23+-. 2 2 x z ??=y xy 663 -.

数学分析17.4多元函数微分学之泰勒公式与极值问题

第十七章多元函数微分学 4泰勒公式与极值问题一、高价偏导数概念1：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数有如下四种情形： (1)??? ??????x z x =22x z ??=f xx (x,y); (2)??? ??????x z y =y x z 2???=f xy (x,y); (3)???? ??????y z x =x y z 2???=f yx (x,y); (4)??? ? ??????y z y =22y z ??=f yy (x,y). 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数有共有八种情形，如： ???? ??????22x z x =33x z ??=3x f (x,y)；???? ??????22x z y =y x z 23???=y x 2f (x,y)；…… 例1：求函数z=e x+2y 的所有二阶偏导数和2 3x y z ???. 解：∵z x =e x+2y ; z y =2e x+2y ; ∴z xx =e x+2y ; z xy =2e x+2y ; z yx =2e x+2y ; z yy =4e x+2y ;23x y z ???=???? ???????x y z x 2=2e x+2y . 例2：求函数z=arctan x y 的所有二阶偏导数. 解：∵z x =22x y 1x y -?? ? ??+=-22y x y +; z y =2x y 1x 1? ?? ??+=22y x x +; ∴z xx =222)y (x 2x y +; z xy =-222222)y (x y 2y x +-+=2222 2)y (x x y +-; z yx =222222)y (x x 2y x +-+=2 222 2) y (x x y +-; z yy =-222)y (x 2x y +.

6.3泰勒公式

§6.3 泰勒公式教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.3 泰勒公式教学目标：掌握Taylor 公式,并能应用它解决一些有关的问题. 教学要求：（1）深刻理解Taylor 定理,掌握Taylor 公式,熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式,并能加以应用.（3）会用带Taylor 型余项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限. 教学重点：Taylor 公式教学难点：Taylor 定理的证明及应用. 教学方法：系统讲授法. 教学过程：引言不论在近似计算或理论分析中,我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数,这将会带来很大的方便.一般来说,最简单的是多项式,因为多项式是关于变量加、减、乘的运算,但是,怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？上一节中,讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道,如果函数f 在点0x 可导,则有有限存在公式； 0000()()()()0()f x f x f x x x x x '=+-+- 即在0x 附近,用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时,其误差为00()x x -. 然而,在很大场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为00()x x -,其中n 为多项式次数.为此,有如下的n 次多项式： 0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++- 易见： 00()n a p x =,01()1!n p x a '= ,02()2!n p x a ''=,…,() 0() ! n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的取值唯一确定）. 对于一般的函数,设它在0x 点存在直到n 阶导数,由这些导数构造一个n 次多项式如下：

同济大学普通物理活页作业答案

第一章质点运动学班号学号姓名日期一、选择题 1．一个质点在Oxy 平面上运动，已知质点的运动方程为j t i t r 2 252-=（SI ），则该质点作（A ）匀速直线运动；（B ）变速直线运动；（C ）抛物线运动；（D ）一般曲线运动。（ B ） 2．一个质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，τ表示曲线的切线方向。下列几个表达式中，正确的表达式为C （A ） a t =d d v ；（B ）v =t r d d ；（C ） v =t s d d ；（D ）τa =t d d v 。（ C ） 3．沿直线运动的物体，其速度的大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是（A ）与速度大小成正比；（B ）与速度大小的平方成正比；（C ）与速度大小成反比；（D ）与速度大小的平方成反比。（ B ） 4．下列哪一种说法是正确的 (A) 在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心； (B) 匀速率圆周运动的速度和加速度都恒定不变； (C) 物体作曲线运动时，速度的方向一定在运动轨道的切线方向上，法向分速度恒等于零；因此其法向加速度也一定等于零； (D) 物体作曲线运动时，必定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。（ D ） 5．如图所示，路灯距离地面高度为H ，行人身高为h 匀速v 背向路灯行走，则人头的影子移动的速度为 (A) v H h H -；（B ）v h H H -； (C ） v H h ；（D ） v h H 。（ B ） 6．一物体从某一确定高度以0v 的速度水平抛出，已知它落地时的速度为 t v ，那么它运动的时间是 (A) g t 0v v -； (B) g t 20 v v -；选择题5图

泰勒公式及其在在计算方法中的应用

泰勒公式及其在在计算方法中的应用 Revised on November 25, 2020

泰勒公式在计算方法中的应用摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便. 关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分 §1 引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用. §2泰勒（Taylor ）公式定理1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于 0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得： ()2 0000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n! (1) 其中 (1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++= -+ （2

）公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式（2）称为拉格朗日型余项. 定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有 ()2 00000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n! (3) 公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如0(())n o x x -的余项称为佩亚诺型余项. 特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令 (01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm ）公式: ()()() 1 12(0)(0)()()(0)(0)2!(1)! n n n n f f f x f x f f x x x x n θ++'''=+++++……+n! (01)θ<< （4）在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：

浅谈竞赛中泰勒公式的应用技巧

浅谈竞赛中泰勒公式的应用技巧【摘要】泰勒公式是大学数学重点内容之一，在大学生数学中占有极其重要的地位，而涉及泰勒公式的题目，难度一般偏大.本文主要通过实例展示，对比分析的方法介绍泰勒公式在求解竞赛中的极限题，证明题以及其他题目方面的应用技巧以及注意事项. 【关键词】竞赛；泰勒公式；极限；证明泰勒公式是高等数学中的重点内容，泰勒公式在求函数的导数、函数的极限、函数的近似值、证明不等式以及其他方面都有着重要应用.泰勒公式的基本思想是用n次多项式拟合一个函数，由于拟合是有误差的，所以就用余项表示误差，而常用的余项就有拉格朗日型余项和佩亚诺型余项，下面我们先介绍泰勒公式的基本定义. 泰勒公式的一般形式为：f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+ f″（x0）2！（x-x0）2+…+ f（n）（x0）n！（x-x0）n+Rn（x）. 其中若Rn（x）为拉格朗日型余项，则Rn（x）= f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1，这里ξ介于x与x0之间；若Rn（x）为佩亚诺型余项，则Rn（x）=O[（x-x0）n].使用泰勒公式的前提条件是：函数f（x）在含有x0的某个开区

间（a，b）内具有直到（n+1）阶的导数，且公式中x∈（a，b）[1]. 泰勒公式在数学竞赛中用法灵活，且主要用在求极限和证明题中.在极限题中泰勒公式主要与夹逼准则连用；而在证明题中，泰勒公式经常与函数导数、函数的连续性结合使用.同时，泰勒公式是微分中值定理的高度归纳，在某些方面比微分中值定理解题更简洁，所以在一些竞赛题目中，我们可以见到微分中值定理能解决的题目，泰勒公式也能解决.由于泰勒公式的具有包容性，所以在竞赛题中经常看到泰勒公式的影子. 下面结合几道泰勒公式应用于不同方面的竞赛题，讨论泰勒公式在运用时的关键点和注意事项. 1.利用泰勒公式求极限例1 求极限lim x→∞e-x 1+ 1 x x2（第二届全国大学生数学竞赛非数学专业组试题）分析本题第一想法是利用洛必达法则，但是发现难以解决，所以可以用泰勒公式试试，注意：对于1+ 1 x x2的处理是将其化为ex2ln 1+ 1 x . 解原式=lim x→∞e-xex2ln 1+ 1 x =lim x→∞ex2ln 1+ 1 x -x =lim x→∞ex2[ 1 x - 1 2x2 + 1 3x3 +o（1 x3 ）]-x =lim x→∞e- 1 2 + 1 3x +o 1 x =e- 1 2 .

一元函数的泰勒公式如何理解

泰勒公式难以理解的原因是因为同济大学的教材无论五版还是六版，对此节的论述都过于僵硬——我差点给同济大学写信——一开始就说要把一个函数展开成（x-x0）的多项式，让读者实在摸不到头脑。而且同济教材也没说明泰勒公式所表达的真实含义。希望此文有助于解决这两方面的问题。如果我们不局限于同济教材的章节编排，假设已经知道了一个函数f(x)的一阶导和二阶导的含义。即：一阶导数是代表斜率和单调性，二阶导数是代表凹凸性——都假设在X0的某一邻域有定义——那么我们可以知道，两个函数如果在X0 点的函数值相等，则其在Y坐标的高度相同。如果在X0处一阶导相等，则函数图像在这一点斜率相同。如果在X0处二阶导也相等，则其在X0某一邻域的凹凸性相同。如果，函数值，一阶导，二阶导，都相等，那么这两个函数在X0 处的函数图像就是，高度相同，斜率相同，凹凸性相同，很自然地我们可以猜想：如果在X0 处函数值相同并且各阶导数都相同（假设可以无穷地这样求导——已经是“级数”的部分），那这两个函数的图像在X0的某一个邻域内是重合的，也就是说，这两个函数是同一个函数。下面我们来证明这个猜想。与f(x)在X0处函数值相同，可以假设成最简单的形式f(x0)。与f(x)函数值相同，并且一阶导也相同，最简单的形式就是f(x0)+f'(x0)(x-x0)。与f(x)函数值相同，一阶导也相同，并且二阶导也相同，最简单的形式就是f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2! *

{f''(x0)(x-x0)^2} N阶导之前都相同呢，就是泰勒表达式不算余项那部分。所以到这步，关键问题就是如何理解这个余项：它的含义是这样的，我们事实上是用了一个多项式来代替一个函数，那到底这样代替是有效的还是没有效果的，评价标准就是看这个函数和这个多项式做差之后的那个余项的大小，如果余项很小，甚至在N趋近无穷时，余项R趋近于0，那我们就说，用多项式代替这个函数是有效的，如果余项很大至少不够小，那用多项式代替这个函数毫无意义，我们就是把两个毫无意义的东西做了差。余项R是怎么求出来的呢，是用柯西中值定理证出来的，公式在网上不好打，大家只好看书上的论证了，而且这个论证过程同济教材做得还不错的。看过这个证明过程之后我们就知道了，余项的分母是阶乘，是逐渐变大的，分子是有界函数乘一个数的N次方。一个不变的很多东西相乘除以一个逐渐变大的很多东西相乘。显然，这个余项在N足够大的情况下将趋近于0. 函数和这个多项式在N足够大的时候是相等的。上面论述的其实是泰勒级数，还不是所谓泰勒公式。在N不足够大的时候，比如说只有N阶导，没有N+1阶导，那这个余项如果想写成皮亚诺型，就写成一个N阶导的高阶无穷小量即可。当X0=0时，叫麦克劳林公式，有些常用函数的麦克劳林展开还需要记忆。但是上面写的只是表明f(x)和一个多项式在函数值和各阶