求解二进制二次规划问题的一种连续化方法

第23卷第3期2006年06月

工程数学学报

CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS

Vol.23No.3

June2006

文章编号:1005-3085(2006)03-0499-06

求解二进制二次规划问题的一种连续化方法?

李兴斯,谭涛

(大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，大连116024)

摘要:本文提出了一种求解二进制二次规划问题的连续化方法。首先利用NCP函数方法，将二进制变量转化为等价的非光滑方程，再用凝聚函数法对其进行光滑化处理，从而把原来的组合优化问题

转化成了一般的可微非线性规划问题。通过对一些标准考题进行计算，表明了该连续化方法的可

行性、高效性以及稳定性。

关键词:二进制规划；连续化方法；NCP函数；非线性规划；凝聚函数法

分类号:AMS(2000)90C27中图分类号:O221.7文献标识码:A

1引言

二进制二次规划问题（BQP）就是选取合适的二进制设计变量，使得二次目标函数值极大（极小）化的优化问题。这个问题可以代表组合优化中的一大类重要问题，并且已经在社会心理学、经济分析、计算机辅助设计、交通管理、机器编制安排、蜂窝式移动通信频率分配以及分子构造等领域得到非常广泛的应用。除此以外，许多典型的组合优化问题诸如最大割问题与最小覆盖问题等都可以转化为这样一个问题进行求解。鉴于该问题的广阔应用背景和NP-hard性质造成的求解困难，因此研究求解这类问题的有效算法具有重要的学术价值。

二进制二次规划（BQP）可以写成下面的一般形式为

(P1)max x T Qx(1)

s.t.x i∈{l i,u i},i=1,2,···,n,(2)

其中Q为n×n对称矩阵，x为n维向量。虽然在上述问题的目标函数上还可以带上一个一次项，但因其对本文介绍的方法没有实质性影响，故予以省略。在以下讨论中，我们主要针对所谓的无约束0-1二次规划

(P2)max x T Qx

s.t.x i∈{0,1},i=1,2,···,n.(3)

但所介绍的求解方法，可以方便地移植到一般的二进制规划问题。

众所周知，上述组合优化问题会随着问题规模增大，其计算量呈指数增长。因此，如何有效地求解这一类组合优化问题，一直是许多学者研究的热点。近年来求解这类问题的主流方法有中心割平面算法、半定松弛算法及随机搜索算法等[1?5]。本文讨论的连续化方法是最近几年才受到关注的一种新方法，由于该方法将组合优化问题转化为等价的连续优化问题求解，这样

收稿日期:2004-11-03.作者简介:李兴斯(1942年12月生)，男，教授，博士生导师，研究方向：优化理论与算法.

?基金项目:国家自然科学基金重点基金(10332010)；教育部博士点专项基金(1999014122).

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