《空间解析几何》教学指南

《空间解析几何》教学指南

说明：

1．课程性质

空间解析几何是高等师范院校数学专业的一门重要基础课。是初等数学通向高等数学的桥梁。是高等数学的基石。线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。

2．教学目的

本课程的教学目的是培养学生的空间想象能力以及解决问题的能力，并为以后学习其他数学课程作准备，也为日后的中学几何教学打下良好的基础。

（1）对空间的直线和平面，对曲面特别是二次曲面有明晰的空间位置、形状的概念，对于坐标化方法能应用自如，从而达到数与形的统一；

（2）能具备空间想象能力，娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，科学地处理中学数学的有关教学内容。

3．教学内容与学时安排：

第一章矢量与坐标 20学时

第二章轨迹与方程 6学时

第三章平面于空间直线 18学时

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 20学时

第五章二次曲线的一般理论 22学时

第六章二次曲面的一般理论 4学时

4．课程教学重点与难点：

重点：基本概念；矢量计算；做图能力；

难点：一般二次曲线、曲面理论，知识的综合应用。

5．教学方法

本课程以课堂讲授为主，结合课堂提问课堂讨论进行教学，同时对适合的内容以多媒体辅助教学。

6. 课程考核方法与要求：

本课程考核以笔试为主，主要考核学生对基本理论、基本概念、运算技巧的掌握程度，以及学生综合应用知识的能力。

内容：

第一章矢量与坐标（20学时）

1. 主要内容

（1）矢量概念单位矢量零矢量相等矢量反矢量共线矢量共面矢量。

（2）矢量的加法及其运算法则。

（3）数量乘矢量及其运算法则。

（4）矢量的线形运算及矢量的分解。

（5）行列式与线形方程组。 （6）标架与坐标。

（7）矢量在轴上的射影。

（8）两矢量的数性积与矢性积。 （9）三矢量混合积。

(10)三矢量的双重矢性积。 2. 基本要求

1）正确理解矢量、单位矢量的概念，相等矢量、自由矢量、反矢量、共线矢量、平行矢量的 定义。决定一个矢量的两要素（模长与方向），标架、坐标系、矢量及点的坐标定义。方向角与方 向余弦的定义。矢量乘法（叉积，点积，混合积，双重矢性积）的定义。矢量线形相关与矢量共 线、共面之间的关系。射影矢量与射影的定义。

2）掌握横矢量的运算律。理解矢量运算的几何意义，矢量的各种运算与重要几何性质的关系 ，矢量的分解与所在空间的维数无关，矢量代数与实数代数的异同。

3）熟练掌握矢量加、减、数量乘矢量、数量积、矢性积、混合积的运算。矢量线性相关的等 价条件，三矢量线形相关的等价条件，定比分点坐标的表示。方向角与方向余弦的计算。 4）掌握用矢量法证明三点共线与三线共点，理解三矢量的双重矢性积，拉格朗日恒等式。 3. 习题解答

1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点

2. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.

[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点

但 OB

OD OC OA +=+-=-∴=-=-=

由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而不平行于，

∴0=+=+OB OD OC OA ，

从而OA=OC ，OB=OD 。

3.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.

[证明]：设四面体A 1A 2A 3A 4,A i 对面重心为G i , 欲证A i G i 交于一点(i ＝1, 2, 3, 4).

在A i G i 上取一点P i ，使i i A ＝3i i G P , 从而i ＝3

13++i

i OG OA ，

设A i (x i , y i , z i )(i ＝1, 2, 3, 4)，则

G 1??

?

?

?++++++3,3

,34324

324

32

z z z y y y x x x

,

G 2???

?

?++++++3,3,

34314

31431z z z y y y x x x , G 3???

?

?++++++3,3

,34214

214

21

z z z y y y x x x , G 4??

?

?

?++++++3,3

,33213

213

21

z z z y y y x x x , 所以

P 1(

31334321+++?

+x x x x ,31334321+++?+y y y y ,3

1334

32

1+++?+z z z z ) ≡P 1(

4

4321x x x x +++,44321y y y y +++,44

321z z z z +++).

同理得P 2≡P 3≡P 4≡P 1，所以A i G i 交于一点P ，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.

第二章 轨迹与方程（6学时）

1. 主要内容

1）曲面方程、母线平行与坐标轴的柱面方程。 2）空间曲线的方程。 2. 基本要求

1）正确理解曲面方程，点球，虚曲面，曲面的参数方程、柱面、准线、曲线的一般方程，曲 线的坐标式参数方程。

2）理解曲线方程的系数的意义，掌握二次柱面的方程，曲线的矢量式参数方程。

3）熟练掌握曲面方程的导出。母线平行于坐标轴的柱面方程，F （x ，y ）=0，F （x ，z ）=0， F （y ，z ）=0。空间曲线的一般方程及坐标式参数方程。 4）曲面与空间的矢量式参数方程一般理论。 3. 习题解答

1、 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。

（1）???+==-+1022x z z y x ;（2）???=+-==-+--+0

100332322z y z x yz z x

（3）???=--=++71023562z y x z y x （4）?????=-+-+=++1

)1()1(1

2

222

22z y x z y x 解：（1）从方程组???+==-+1

022x z z y x

分别消去变量z y x ,,，得：0)1(2

2

=-+-z y z

亦即： 0132

2

=+-+z y z （Ⅰ）

01=--x z （Ⅱ）

0122=--+x y x （Ⅲ）

（Ⅰ）是原曲线对yoz 平面的射影柱面方程； （Ⅱ）是原曲线对zox 平面的射影柱面方程；

（Ⅲ）是原曲线对xoy 平面的射影柱面方程。

第三章 平面与空间直线（18学时）

1. 主要内容

1）平面方程。

2）平面与点、平面与平面的相关位置。 3）空间直线的方程。

4）直线与平面，直线与直线，直线与点的相关位置。 5）平面束。 2. 基本要求

1）深刻理解下列几个基本概念

（1）法矢量，点法式方程，单位法矢量，法式方程，离差。 （2）直线的方向矢量，方向角，方向余弦，方向数。

（3）直线与平面的交角，异面直线间的距离，公垂线，平面束。 2）切实掌握下列基本方法及内容

（1）求平面法式方程，坐标式参数方程，截距式方程，一般方程。 （2）求点与平面的离差。

（3）两平面相交，平行，重合的条件，平面之间的交角。

（4）直线的坐标式参数方程，对称方程，一般方程，一般方程化为对称方程。 （5）直线与平面相交，平行，直线在平面上的条件。求直线与平面的交角。 （6）直线与直线异面，共面，相交，平行，重合的条件。

（7）求二直线的交角，二直线垂直的条件。两异面直线的距离与公垂线方程。 3. 习题解答

1.确定λ值使下列两直线相交： （1）??

?=-++=-+-0

1540

623z y x z y x λ与z 轴；

（2）

λ

1

2111-=+=-z y x 与z y x ===+11。 解：（1）若所给直线相交，则有（类似题1）：

015

6

2

=--λ

从而 5=λ。

（2）若所给二直线相交，则

01

1

1

2111111=--+λ

从而：4

5=

λ。 2、给定两异面直线：

01123-==-z y x 与1

0211z

y x =-=+，试求它们的公垂线方程。

解：因为{}{}{}1,2,11,0,10,1,2--=?，

∴公垂线方程为：

??

???????

?

?=---+=----01

21

101210121012

1

3z y x z y

x

即??

?=--+=-+-022220

852z y x z y x ，

亦即?

?

?=--+=-+-010

852z y x z y x 。

3.求通过直线???=+-=++0

405z x z y x 且与平面01284=+--z y x 成4π角的平面。

解：设所求的平面为：0)4()5(=+-+++z x z y x λμ 则：2

2)8()4(1)()5()()8()()4(5)(2

22222=

-+-+-+++-?-+-?++±

λμμλμλμμλμ 从而 ，1:0:=λμ或3:4- 所以所求平面为：04=+-z x

或012720=-++z y x 。

4.求通过直线

3

2201-=+=+z

y x 且与点)2,1,4(p 的距离等于3的平面。 解：直线的一般方程为：

?

?

?=++=+02230

1z y x 设所求的平面的方程为0)223()1(=++++z y x μλ， 据要求，有：

34924342

22=++++++μ

μλμ

λμμλ

第四章 柱面、锥面旋转曲面与二次曲面（20学时）

1. 主要内容

1）柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面

2）椭球面。 3）双曲面：（1）单叶双曲面； （2）双叶双曲面。 4）抛物线：（1）椭圆抛物面； （2）双曲抛物面。 5）单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。 2. 基本要求

1）深刻理解柱面的方向、准线、母线、熟练掌握柱面方程的一般形式。锥面的概念、顶点、 准线、母线的概念以及锥面方程的一般形式。旋转曲面的概念、旋转轴、母线、经线、纬圆的概 念，旋转曲面的方程。

2）深刻理解椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面的标准方程、性质和形状、顶点和中心。椭 圆抛物面的标准方程、性质、形状、鞍点。

3）深刻理解直纹面和非直纹面，二阶直纹面的性质。

4）掌握柱面、锥面、旋转曲面方程的建立，用平行截割法研究二次曲面的标准方程确定曲 面的形状。以直线族研究单叶双曲面和双曲抛物面。 3. 习题解答：

1、已知柱面的准线为：

??

?=+-+=-+++-0

225

)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程

??

?=+-+=-+++-0

225

)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z

即：02

3

562

2=-

---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

2、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为

())

3

4,31,3

1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为

)15

13

,1511,152(0--

M ，圆的方程为： ???

??=++=-++++0

7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{

}1,1,1的直线方程为：

???

??-=-=-=?

??

?

??+=+=+=t z z t y y t

x x t

z z t y y t x x 1

11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：

013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x

此即为所求的圆柱面的方程。

第五章 二次曲线的一般理论（22课时）

1. 主要内容

1）二次曲线与直线的相关位置。

2）二次曲线的渐近方向、中心、渐近线。 3）二次曲线的切线。 4）二次曲线的直径。

5）二次曲线的主直径与主方向。 6）二次曲线方程的化简与分类。 7）应用不变量化间二次曲线的方程。 2. 基本要求

1）理解二次曲线的渐近方向、中心、切线、切点、奇点、正常点、共轭方向。 2）理解二次曲线的主直径、共轭直径、主方向、不变量、半不变量。

3）熟练掌握直线与曲线相交的条件、求切线、主直径、主方向、做直角坐标变换，化简二 次曲线的方程。

4）握二次曲线的九种形式。 3. 习题解答：

试求曲线0624222=---+y x y x 通过点)0,8(的直径方程，并求其共轭直径。 解：设过点)0,8(的直径方程形如 0)12()2(=-+-y X x 将点)0,8(代入得6:1:=Y X 因而过点)0,8(的直径方程为 0812=-+y x 其方向为1:12:-=Y X ∴ 其共轭直径为

0),(),(1221=+-y x F y x F 即：0)12()2(12=-+--y x 023212=--y x

第六章 二次曲面的一般理论（4课时）

1. 主要内容

1）二次曲面与直线的相关位置。 2）二次曲面渐近方向与中心。 3）二次曲面的切线与切平面。 4）二次曲面的径面与奇向。

5）二次曲面的主径面与主方向，特征方程与特征根。 6）二次曲面方程的化简与分类。 2. 基本要求

1）理解二次曲面的渐近方向、中心、切线、切点、切平面、奇异点、径面、共轭方向、奇 异方向；

2）理解二次曲面的主径面、主方向、不变量、半不变量；

3）熟练掌握直线与曲面相切的条件、求切平面、求径平面、主径面与主方向。作直角坐标 变换化简二次曲面的方程；

4）了解求二次曲面的不变量与半不变量，二次曲面五种类型的判别，应用不变量化简二次 曲面的方程。 3. 习题解答：

问d 为何值时，

∑=++-++064242:d z y x xz y 表示一个锥面？

解： 解方程组

???

??=+≡=-≡=+≡0320220123

21x F y F z F 得

∑

的中心)2

1

,1,23(--

C 。其渐进锥面为 0)2

1)(23

(4)1(2),,(2

000=+++-≡---Φz x y z z y y x x 即 05642422

=++-++z y x xz y 而锥面与其渐进锥面相同，故5=d 。

参考书目

教材：《解析几何》，苏州大学、吕林根、许子道等编，高等教育出版社，1987年第三版。 参考书：

1、丰宁欣等编，《解析几何解题分析》，江苏科学技术出版社，1990年第1版。

2、陈绍菱、傅若男编，《空间解析几何习题试析》，北京师范大学出版社，1992年第六次印刷。

3、郭健等编，《解析几何方法与应用》，天津科学技术出版社，1998年第1版。

4、南开大学几何教研室编，《空间解析几何引论》，南开大学出版社，1992年第1版。