空间解析几何
第6章空间解析几何
空间解析几何是学习多元函数微积分的基础，空间向量是研究空间解析几何最有效的工具，它本身在工程技术中有着广泛的应用．本章将进一步研究空间向量，并以空间向量为工具讨论空间中的直线、平面、曲线与曲面．为了更方便地讨论以上问题，我们还要学习有关向量代数的基本知识．
空间直角坐标系
学时：２学时
目的要求：
１.理解空间直角坐标系是如何建立的以及如何确定空间点的坐标．
２．能熟练运用空间两点间距离公式及中点坐标公式．
为了确定直线上一点的位置，建立了数轴，用一个实数x来确定该点的位置；为了确
x y来确定该点的定平面上一点的位置，建立了平面直角坐标系，用两个有序的实数组(,)
位置；若想确定空间一点的位置，就需要建立新的坐标系，可以想到自然用三个有序实数来决定其位置．本节我们将通过空间直角坐标系，建立空间中的点与由三个实数组成的有序数组的关系，即空间中点与坐标之间的关系．
6.1.1 空间直角坐标系
Ox Oy Oz，这样就构成了空间直角坐标过空间一点O，作三条两两互相垂直的数轴,,
系，记作Oxyz（如图6-1）．
Ox Oy Oz统称为坐标轴，分别简称为横轴、纵轴和竖轴点O称为坐标原点；三条轴,,
（竖轴也称为立轴）；每两个坐标轴所决定的平面称为坐标平面，我们分别把它们叫做xOy 平面，yOz平面，zOx平面；这三个平面将空间划分成八个部分，称为空间直角坐标系的八个卦限（如图6-2）．
144 第6章 空间解析几何
图6-1 图6-2
在空间直角坐标系中，轴, , Ox Oy Oz 的方向一般我们都采用右手系，即以右手四指握拳方向沿Ox 轴正向到Oy 轴正向握住Oz 轴，姆指伸开的方向为Oz 轴的正向（如图6-3）．
6.1.2 空间点的直角坐标
取定了空间直角坐标系后，就可建立空间的点与由三个实数组成的有序数组的一一对应关系．
设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图6-4．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．
图6-3 图6-4
反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．
注 A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．
x y z
O
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
Ⅴ Ⅵ Ⅶ
Ⅷ y x z
O y x z A
B C
(,,)M x y z
y x z O
y x z O
第6章 空间解析几何 145
例1 在空间直角坐标系Oxyz 中，画出点(0, 0, 1)A ，(2, 1, 0)B ，(1, 2, 3)C ．
图6-5 解 根据点A 的坐标特征可知：A 点在z 轴上，B 点在x O y 平面上．画点C 时，先在x 轴的正方向上取1个单位的点，y 轴的正方向上取2个单位的点，过这两点在xOy 平面上分别作y 轴与x 轴的平行线，交于点M ，过M 作Oz 的平行线MN ，在直线MN 上，点M 的上方取3个单位便得到点C (图6-5)．
例2 求点(3, 2, 1)A 关于各坐标平面对称的点的坐标．
解 点(3, 2, 1)A 关于xOy 平面对称的点的坐标为(3, 2, 1)A -，关于yOz 平面对称的点的坐标为(3, 2, 1)A -，关于zOx 平面对称的点的坐标为(3, 2, 1)A -．
例3 求点(4, 2, 3)A -到xOy 平面及y 轴的距离．
解 点A 到xOy 平面的距离即为点A 的竖坐标的绝对值，即点A 到xOy 平面的距离为3．
过A 作AB ⊥xOy 平面，垂足为B ，过B 作BC ⊥y 轴，C 为垂足，如图6-6所示，由三垂线定理知AC ⊥y 轴，即AC 为点A 到y 轴的距离，在直角三角形ABC 中
5AC ===．
图6-6 图6-7
6.1.3 空间两点间的距离
A 1 C A
146 第6章 空间解析几何
设111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z 为空间两点，则M 与N 之间的距离为
212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=． （6-1）
事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图6-7）．
由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：
21221211)()(||y y x x N M -+-=．
过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且
212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，
在直角三角形N MN 2中，
||||122z z N N -=，
所以点M 与N 间的距离为
2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．
例4 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离．
解 由公式（6-1）可得A 与B 两点间的距离为
d ==
例5 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．
解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于
MA MB =，
由公式（6-1），得
222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．
从而解得
72=
z ， 即所求的点为2
(0, 0, )7
M ． 课堂练习：
1．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号．
2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？
3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：
(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -．
4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标．
5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标．
第6章 空间解析几何 147
6．求下列各对点间的距离：
(1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ； (2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．
7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点．
8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．
6.2 向量的概念及运算
学时：２学时
目的要求：
1．理解向量、单位向量、零向量、自由向量等相关概念，会表示向量。
２．理解向量加法、向量减法的三角形法则及数与向量的乘法的意义、性质。
３．理解向量的坐标表示，能熟练进行向量的代数运算．
6.2.1 向量的基本概念
在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．
通常我们用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时写成, ,,a b c ；或用一个带箭头的线段（有向线段）AB 来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．
向量的大小称为向量的模，记作a ，AB ，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向不确定，可以是任意方向．
本书我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等的向量，记作a =b ，即向量在空间中平行移动后仍为相同的向量．如图6-8中a =b =c ．
与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作-a ．
平行于同一直线的一组向量称为平行向量，零向量与任一向量平行．
图6-8
6.2.2 向量的线性运算
a b
c
148 第6章 空间解析几何
1．向量的加法
我们在物理学中知道，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们要类似地定义两个向量的加法．
定义6.1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB 、AD 分别表示a 与b ，然后以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC 称为向量a 与b 的和，记作a +b ．
图6-9 图6-10
这种求和方法称为平行四边形法则(如图6-9)．
由于向量可以平移，所以，若将向量b 平移，使其起点与向量a
的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量c 就是a 与b 的和(图6-10)，该法则称为三角形法则．
多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d (图6-11）．
对于任意向量a ，b ，c ，有以下运算法则：
(1) a +b =b +a (交换律)．
(2) ()()a +b +c =a +b +c (结合律)．
(3) 0a +=a ．
(4) ()-0a +a =．
2．向量的减法
定义6.2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即
()--a b =a +b ．
由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA ，OB 分别表示a ，b ，则
()OA OB OA OB --=+-a b =
OA BO BO OA BA =+=+=．
也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图6-12）．
a b
c =a +b a b
A
第6章 空间解析几何 149
图6-11 图6-12 3．数乘向量
定义6.3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是a 的模的λ倍，即
λλ=a a ，
且当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．
对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ，有以下运算法则：
(1) ()()λμλμa =a ．
(2) ()+λμλμ+a =a a ．
(3) ()+λλλ+a b =a b ．
定理6.1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b 证明略．
向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．
6.2.3 向量在坐标轴上的投影
设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影．
若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图6-13所示．
a a b
b -a b B A C
a b c
d
a +b+c +d
150 第6章 空间解析几何
图6-13 AB 为空间一个向量，
设点A 和B 在轴u 上的投影分别为'A 与'B ，则向量AB 在轴u 上的投影是指投影向量A B ''的长冠以恰当正负号，当A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''与轴u 反向时，投影取负号．
注 (1) 向量在轴上投影是标量．
(2) 设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -．
6.2.4 向量的坐标表示
取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．
空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和．
事实上，设MN a =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图6-14所示．
MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC a =．
由于MA 与i 平行，MB 与j 平行，MC 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得
MA x =i ，MB y =j ，MC z =k ，
即
x y z a =i +j +k ． (6-2)
图6-14 我们把(6-2)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．
第6章 空间解析几何 151
显然，(6-2)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．
因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．
例1 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN 及NM 的直角坐标．
解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以
向量MN 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM 的坐标为{5, 4, 4}-．
设(, , )M x y z 为空间直角坐标系Oxyz 中的一点，则向量OM 的坐标为{, , }x y z ，即向量OM 的坐标与点M 的坐标相同，我们把起点在原点的向量叫做定位向量．每个定位向量被它的终点所决定．
例2 设向量a 的直角坐标为{1, 3, 2}，在空间直角坐标系中画出其定位向量．
图6-15 解 要画出定位向量，只需找到向量的终点M ，而点M 坐标与向量a 的坐标相同，即{1, 3, 2}M (如图6-15)．
对应于坐标为{1, 3, 2}的向量可以画出无数个，它们都可以通过其定位向量OM 平移得到．
6.2.5 用向量的坐标进行向量的线性运算
引入向量的坐标以后，就可将向量的运算转化为代数运算，计算起来比较方便． 首先，在有序数组(, , )x y z 组成的集合中，规定：
两个有序数组111(, , )x y z 与222(, , )x y z ，如果满足
121212, , x x y y z z ===，
则称111(, , )x y z 与222(, , )x y z 相等，记作111222(, , )(, , )x y z x y z =．
且规定加法、减法及数乘运算：
(1) 111222121212(, , )(, , )(, , )x y z x y z x x y y z z +=+++．
(2) 111222121212(, , )(, , )(, , )x y z x y z x x y y z z -=---．
(3) (, , )(, , )x y z kx ky k kz =．
下面，我们来研究如何利用向量的坐标进行向量的线性运算．
152 第6章 空间解析几何
设在平面直角坐标系Oxyz 中，向量111{, , }x y z a =及222{, , }x y z b =，则由向量坐标定义有
111x y z ++a =i j k ,
222x y z ++b =i j k ,
因此
111222()()x y z x y z ±++±++a b =i j k i j k
121212()()()x x y y z z =±+±+±i j k ；
111111()=()()()x y z x y z λλλλλ++++a =i j k i j k ．
所以±a b 与λa 的坐标分别为
121212{, , }x x y y z z ±±±与111{,,}x y z λλλ ．
也就是说，向量的和(差)向量的坐标等于它们的坐标的和(差)．数乘向量λa 的坐标等于数λ乘以a 的坐标．
容易证明：向量111{, , }x y z a =与222{, , }x y z b =平行的充要条件是其对应坐标成正比，即
2
12121z z y y x x ==． 若某个分母为零时，我们约定相应的分子也为零．
课堂练习：
1．设ABCD 为平行四边形，M 为其对角线的交点，用, AB AD 表示向量, , AB AC CM ．
2．求坐标向量, , i j k 的坐标．
3．设在空间直角坐标系中有三点(2, 1, 1)A -，(4, 2, 3)B --，(0, 0, 2)C ，求向量, , AB BC CA ．
4．设向量{1,2,1}-a = ，{3,2,0}--b = ，求a +b ，-b a ，123
a +
b ． 5．已知向量5λ-a =i +j k 与2μ-+b =i +j k 平行，求λ与μ的值．
6．已知三个力1527-F =i +j k ，2364+F =i +j k ，31215+=i +j F k ，求它们的合力F ．
7．已知两力123-F =i +j k ，223-+F =i j k 作用于同一点，问要用怎样的力才能使它们平衡？
8．求向量34--a =i +j k 在三个坐标轴上投影． 6.3 向量的数量积与向量积
学时：4学时
第6章 空间解析几何 153
目的要求：
１．理解数量积与向量积的定义及运算性质，能进行数量积与向量积的代数运算。
2．理解两向量垂直与平行的充分必要条件。
6.3.1 两向量数量积的定义及性质
在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量AB 的夹角为θ，则力F 所作的功为
||||cos W F AB θ=??．
在实际生活中，我们会经常遇到由两个向量所决定的象这样的数量乘积．由此，我们引入两向量的数量积的概念．
定义6.4 设a ，b 为空间中的两个向量，则数
cos ,a b a b
叫做向量a 与b 的数量积(也称内积或点积)，记作?a b ，读作“a 点乘b ”．即
cos ,?a b =a b a b （6-3） 其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．
由向量数量积的定义易知：
(1) 2
?a a =a ，因此
=a ． (6-4)
(2) 对于两个非零向量a ，b ，有
cos , ?=a b a b |a ||b |
． (6-5) (3) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即
⊥a b ?0?a b =． （6-6)
注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用．
数量积的运算满足如下运算性质：
对于任意向量a ，b 及任意实数λ，有
(1) 交换律：??a b =b a ．
(2) 分配律：()???a b +c =a b +a c ．
(3) 与数乘结合律：()()()λλλ??=?a b =a b a b ．
(4) 0?≥a a 当且仅当0a =时，等号成立．
下面仅证(3)
证明 ① 当0λ=时，式子两端都是0，自然成立．
② 0λ>时，
cos , cos , λ=a b a b ，
所以
()cos , λλλ?a b =a b a b
cos , λ=a b a b ()λ?=a b ．
因此
()()λλ??a b =a b ．
154 第6章 空间解析几何
同样可以证明
()()λλ?=?a b a b ．
故性质(3)成立．
注 由性质(2)与(3)可得推论：两个向量的线性组合的数量积可以按多项式相乘的法则展开．
例1 对坐标向量i ，j ，k ，求?i i ，?j j ，?k k ，?i j ，?j k ，?k i ．
解 由坐标向量的特点及向量内积的定义得
1???i i =j j =k k =，
0???i j =j k =k i =．
例2 已知2=a ，3=b ，2, 3
π=a b ，求a b ?，(2)()-+a b a b ?，+a b ． 解 由两向量的数量积定义有
2cos , 23cos 3π?=??a b =a b a b 123()=32
=??--． (2)()=22-?+??-?-?a b a b a a +a b b a b b
22
=2-?-a a b b 222(3)23=11=---?-．
2()()+=?+a b a +b a b =??+?+?a a +a b b a b b
222=+?+a a b b 2222(3)3=7=+?-+，
因此
+=a b ．
6.3.2 两向量数量积的直角坐标运算
在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即
111x y z ++a =i j k ,
222x y z ++b =i j k ．
则
111222()()x y z x y z ?++?++a b =i j k i j k
121212()()+()x x x y x z ?+??=i i i j i k
121212()()+()y x y y y z ?+??+j i j j j k
121212()()+()z x z y z z ?+??+k i k j k k ．
由于
1???i i =j j =k k =，
0???i j =j k =k i =，
所以
121212x x y y z z ?++a b =． (6-7)
也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和． 同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件，即
第6章 空间解析几何 155
设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则
==a (6-8)
cos ||||
?=a b a,b a b
=． (6-9)
⊥a b ?1212120x x y y z z ++=． (6-10)
例3 设向量a 与b 的直角坐标为{2, 2, 0}与{0, 2, 2}-，求?a b ，a ，b ，, a b ． 解 20+22+0(2)=4????-a b =；
===a ，
===b
1cos , ||||2
?===a b a b a b ， 因此
π, 3
=a b ． 例4 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ?是直角三角形．
证明 由题意可知
{2, 6, 0}AB =-，={3, 1, 1}AC ---，
则
(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ?=-?-+?-+?-=，
所以
AB AC ⊥．
即ABC ?是直角三角形．
6.3.3 两向量的向量积的定义及性质
在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA 的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为
||||||sin OA OA =M F ,F ．
M 的方向与OA 及F 都垂直，且OA ，F ，M 成右手系，如图6-16所示．
156 第6章 空间解析几何
图6-16 在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．
定义6.5 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为
sin , c =a b a b ． (6-11)
其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系，则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作?a b ，读作“a 叉乘b ”．
注 (1) 两向量a 与b 的向量积?a b 是一个向量，其模?a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．
(2) 对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．
a ∥
b ??0a b =． (6-12)
向量积的运算满足如下性质：
对任意向量a ，b 及任意实数λ，有
(1) 反交换律：?-?a b =b a ．
(2) 分配律: ()???a b +c =a b +a c ，
()???a +b c =a c +b c ．
(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ???a b =a b =a b ．
下面仅证(1)．
证明 ① 若a 与b 平行，则
?0a b =，
()-?0b a =．
结论成立；
② 若a 与b 不平行，由向量积定义，?a b 与?b a 的模相等，但方向相反，
即
()?-?a b =b a
所以性质(1)成立．
例5 对坐标向量i ，j ，k ，求?i i ，?j j ，?k k ，?i j ，?j k ，?k i ． 解 ???0i i =j j =k k =．
?i j =k ，?j k =i ，?k i =j ．
6.3.4 向量积的直角坐标运算
O
第6章 空间解析几何 157
介绍向量积的直角坐标表示之前，先简单介绍一下二阶行列式与三阶行列式的有关内容． 把四个数排成形如
1122x y x y 的式子，叫做二阶行列式，其中的每个数叫做行列式的元
素，且约定 1
112212
2x y x y x y x y =-， 上式等号右边称为二阶行列式的展开式． 把九个数排成形如33
322
2111
z y x z y x z y x 的式子，叫做三阶行列式，且约定 1112
22222222111333333333
x y z y z x z x y x y z x y z y z x z x y x y z =-+， 上式等号右边称为三阶行列式按第一行元素展开的展开式．
在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即
111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，
因为
???0i i =j j =k k =．
?i j =k ，?j k =i ，?k i =j ，
?-j i =k ，?-k j =i ，?-i k =j ．
则
111222()()x y z x y z ?++?++a b =i j k i j k
121212()()+()x x x y x z ?+??=i i i j i k
121212()()+()y x y y y z ?+??+j i j j j k
121212()()+()z x z y z z ?+??+k i k j k k
121212121212()()+()()()()
x y y x y z z y x z z x -?-?--?=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．
为了便于记忆，结合前面介绍的二阶行列式及三阶行列式有
1111112
22222y z x z x y y z x z x y ?-a b =i j +k 1
11222
x y z x y z =i
j k ． (6-13) 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则
a ∥
b ??0a b =
158 第6章 空间解析几何
?12120y z z y -=，12120x z z x -=，12120x y y x -=，
或
2
12121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．
例6 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求?a b 的坐标．
解 211112*********
201----?--=-i
j
k a b =i j +k 234=--i j +k ．
因此?a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．
例7 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．
解 设向量?c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而
302111
?--i
j k c =a b =
023*********
-----=i j +k 23=-+i j +k ．
所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．
再将c 单位化，得
02,1,3}={=-c ． 0±c 就是同时垂直于a ，b 的单位向量．
即{
与-- 为所求的向量． 例8 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC ?的面积．
解 由两向量积的模的几何意义知：以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为AB AC ?，由于
{3, 3, 4}AB =--，{2, 1, 1}AC =--，
因此
33453211
AB AC ?=--=++--i j k
i j k ，
第6章 空间解析几何 159
所以
21AB AC ?==
故ABC ?的面积为
2
35=?ABC S ． 课堂练习： 1．设2=a ，4=b ，3
π a,b =，求?a b ，(2)-?a b b ，-a b ． 2．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模及d,a ．
3．证明：()()??-??b c a a c b 与c 垂直．
4．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求：
(1) ?a b ； (2) 25?a b ； (3) a ； (4) cos a,b ．
5．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若⊥a b ，求k 的值．
6．在空间直角坐标系中，已知三点(2, 3, 1)A -，(1, 4, 1)B -，(3, 3, 2)C -，求AB 与AC 的夹角．
7．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求?a b ．
8．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．
9．已知三角形的三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ?的面积．
10．已知力{2, 3, 1}-F =作用于杠杆上的点(4, 1, 0)A -处，求此力F 关于杠杆上另一点(3, 2, 1)B -的力矩．
6.4 平面方程
学时：３学时
目的要求：
１．理解平面的点法式方程和截距式方程，并能根据条件求平面的方程。
2．能根据平面方程判断平面间的关系、会求点到平面间的距离。
6.4.1 平面及其方程
本节将利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将推导几种由不同条件所确定的平面的方程．
160 第6章 空间解析几何
1.平面的点法式方程
若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．
显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量． 由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．
下面推导平面π的方程．
设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥n ．由两向量垂直的充要条件，得
00M M =?n ．
而
0000{, , }M M x x y y z z =---，{, , }A B C n =，
所以由公式(6-10)可得
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (6-14)
由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(6-14)，而不在平面π上的点都不满足方程(6-14)，因此方程(6-14)就是平面π的方程．
由于方程(6-14)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(6-14)叫做平面π的点法式方程．
例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．
解 由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为
3(1)2(2)1(4)=0x y z --?++?-，
整理，得
32110x y z -+-=．
例2 求通过点0(1, 2, 3)M --且与xOy 平面平行的平面方程．
解 显然{0, 0, 1}k =为所求平面的一个法向量，因此所求平面的方程为
0(1)0(2)1(3)=0x y z ?++?-+?+，
即
30z +=．
2.平面的截距式方程
例3 求过三点(, 0, 0)A a ，(0, , 0)B b ，(0, 0, )C c (0)abc ≠的平面π的方程． 解 所求平面π的法向量必定同时垂直于AB 与AC ．因此可取AB 与AC 的向量积AB AC ?为该平面的一个法向量n ．即
AB AC ?n =．
由于
{, , 0}AB a b =-，{, 0, }AC a c =-，
因此
第6章 空间解析几何 161 00AB AC =a b a c
?--i j k
n =
bc ac ab =++i j k ．
即
{, , }bc ac ab =n ．
因此所求平面π的方程为
0)0()0()(=-+-+-z ab y ac a x bc ，
化简得
abc abz acy bcx =++． 由于0abc ≠，将两边同除以abc ，得该平面的方程为
1=++c
z b y a x ． (6-15) 此例中的A 、B 、C 三点为平面与三个坐标轴的交点，我们把这三个点中的坐标分量
, , a b c 分别叫做该平面在x 轴，y 轴和z 轴上的截距，
方程(6-15)称平面π的截距式方程． 注 利用截距式方程，为画不过原点的平面图象提供了极为便利的方法：只需找出平面与各坐标轴的交点，连结这三个点即为该平面，如图6-17所示．
图6-17 3.平面的一般式方程
展开平面的点法式方程(6-14)，得
0)(000=++-++Cz By Ax Cz By Ax ，
设)(000Cz By Ax D ++-=，则
0=+++D Cz By Ax (, , A B C 不全为零)． (6-16)
即任意一个平面的方程都是, , x y z 的一次方程．
反过来，任意一个含有, , x y z 的一次方程(6-16)都表示一个平面．
事实上，设0000(, , )M x y z 是满足方程(6-16)的一组解，则
0000=+++D Cz By Ax ． (6-17)
式(6-16)减去式(6-17)，得
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (6-18)
162 第6章 空间解析几何
由(6-18)可决定一非零向量{, , }A B C n =，它与向量0000{, , }M M x x y y z z ---垂直，其中0000(, , )M x y z ，(, , )M x y z ．而0M 为一固定点，M 为任一点．因此平面(6-16)上任一点M 与0M 的连线均与n 垂直，即方程(6-16)表示一个平面．
我们称方程(6-16)为平面的一般式方程．其中{, , }A B C 为该平面的一个法向量． 例4 求过两点(3, 0, 2)A -，(1, 2, 4)B -且与x 轴平行的平面方程．
解 要求出平面的方程，关键要找出平面所过的一个点以及平面的一个法向量n ． 由已知，所求平面的法向量同时与AB 和x 轴垂直．即法向量同时与{4, 2, 6}AB =-和{1, 0, 0}i =垂直．因此，可取AB ?i 作为该平面的一个法向量．
426100
AB =?-i j k
n i =264642001010--=-+i j k 062=+-i j k ．
所以{0, 6, 2}n =为所求平面的一个法向量．
再由平面的点法式方程(6-14)得所求平面的方程为 0(3)6(0)2(2)0x y z ?-+--+=，
整理得
320y z --=．
6.4.2 两平面间的关系
我们知道，两个平面之间的位置关系有三种：平行、重合和相交．
下面根据两个平面的方程来讨论它们之间的位置关系．
设有两个平面1π与2π，它们的方程为
1π：01111=+++D z C y B x A (111, , A B C 不同时为零)，
2π：02222=+++D z C y B x A (222, , A B C 不同时为零)，
则它们的法向量分别为1111{,,}A B C =n 和2222{,,}A B C =n ．
(1) 两平面平行?1n ∥2n ?11112222
A B C D A B C D ==≠． (2) 两平面重合?212121C C B B A A ==2
1D D =． (3) 两平面相交?111, , A B C 与222, , A B C 不成比例．
当两平面相交时，把它们的夹角θ定义为其法向量的夹角12,n n ，且规定02πθ≤≤．
即 121212||cos cos ,||||
θ?==n n n n n n
第六章-空间解析几何要求与练习(含答案)
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
§ 7 空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.
3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
空间解析几何考题
《 空 间 解 析 几 何 》 试卷A 班级： 姓名： 学号： 分数： 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。 试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一．选择题（每小题3分，共10分） 1. 平面的法式方程是 （ ）. Ａ. 0=+++D Cz By Ax Ｂ. 1=++r z q y p x Ｃ. ()0,1cos cos cos 0cos cos cos 2 2 2 >=++=-++p p z y x γβαγβα其中 Ｄ. ()0,1cos cos cos 0 cos cos cos 2 22>=++=+++p p z y x γβαγβα其中 2. 两向量 21,n n 互相垂直的充要条件是 （ ）. Ａ. 021=?n n Ｂ. 021=?n n Ｃ. 21n n λ=. Ｄ. 以上都不对 3. 平面 0:11111=+++D z C y B x A π 与平面 0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直 的充要条件是 （ ）. Ａ. 2 12 12 1C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A A Ｃ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对. 4. 1 11 11 11: n z z m y y l x x l -= -= -与2 22 22 22: n z z m y y l x x l -= -= -是异面直线，则必有 （ ）. Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ. 0212121≠++n n m m l l Ｃ. 021212122 2 1 11 =---z z y y x x n m l n m l Ｄ. 02 1212122 2 1 11 ≠---z z y y x x n m l n m l . 5. 若向量γβα ,,线性无关，则在该向量组中必有 （ ） Ａ. 每个向量都可以用其它向量表示。 Ｂ. 有某个向量可以用其它向量表示。
《空间解析几何2》教学大纲.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）
空间解析几何答案word
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为 k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册
第七章 空间解析几何 一、选择题 1.在空间直角坐标系中，点( 1,— 2, 3 )在[D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2 2 2.方程2x y 2在空间解析几何中表示的图形为 [C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 X —1 y + 1 z +1 ” _x + y _1 = 0 3.直线11 j 与 >2 : — —> 的夹角是[C ] 4 2 3 x+y+z-2=0 A Ji n n A.— B. — C.— D. 0 4 3 2 4.在空间直角坐标系中，点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) A. 2 2 2 a b (a ?b) B. a 2 b 2=(a b)2 C. 2 2 (a 叱)=(a b) 2 2 2 2 D. (a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是 [B ] A. z 2 二 4(x y) B. z 2 _ _4.. x 2 y 2 C. y 2 z 2 =4x D. 2 2 y z = 4x 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 2 C. 3 关于 [B ] A 1 1 A. B.— 3 3 7.在空间直角坐标系中，点( B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3) C. (-1,-2,3) 1，2,3) 2 D.— 3 yoz 平面的对称点是[A ] 2 2 8.方程—2 弓二z ， a 2 b 2 表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D.球面 9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2}, 则 proj a b =[ C ] A. 1 3 B. 3 C. -1 D. 1 10.
03级空间解析几何期末试卷B
2003--2004学年第一学期补考试题（卷） 03级数教《空间解析几何》 一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、若a ,b ,c 共面, c ,d ,e 共面,则a , c , e ( ) （A ）不一定共面 （B ）一定共面 （C ）一定不共面 （D ）一定共线 2、关于零矢量的描述不正确的是 ( ) （A ）模不定 （ B ）方向不定 （ C ）模为零 （ D ）模定方向不定 3、i i j j k k ?+?+?= ( ) （A ）0 （B ）3 （C ）1 （D ）0 4、若a ,b ,c 两两互相垂直,且模均为1,则a +b +c 的模为 ( ) （A （B ）3 （C ）0 （D ）1 5、平面的法式方程中的常数项必满足 ( ) （A ）≤0 （B ）≥0 （C ）< 0 （D ）＞0 6、将平面方程Ax+By+Cz=0化为法式方程时,法式化因子的符号 （ ） （A ）任意 （B ）与B 异号 （C ）与A 异号 （D ）与C 异号 7、直线通过原点的条件是其一般方程中的常数项D 1,D 2必须满足 ( ) （A ）D 1=D 2=0 （B ）D 1=0,D 2≠0 （C ）D 1≠0,D 2=0 （D ）D 1≠0,D 2≠0 8、两平面2x+3y+6z+1=0与4x+6y+12z+1=0之间的距离是 ( ) （A ）0 （B ）1 2 （C ）1 7 （D ） 114 9、设一直线与三坐标轴的夹角为,,λμν则下列式子中不成立的是 ( ) （A ）2 2 2 sin sin sin 1λμν++= （B ）2 2 2 cos cos cos 2λμν++= （C ）222cos cos cos 1λμν++= （D ） 222sin ()sin ()sin ()1πλπμπν-+-+-= 10、下列方程中表示双曲抛物面的是 ( ) （A ）222x y z += （B ）2232x y z -= （C ）222x y z -= （D ）222x y z += 二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。把答案填在题中横线上。 1、平行于同一直线的一组矢量叫做 矢量。 2、三矢量不共面的充要条件是 。 3、 叫方向余弦。 4、两矢量a ⊥b 的充要条件是 。 5、给定直线000 : x x y y z z l ---== ＸＹＺ 和平面:0Ax By Cz D π+++=,则l π与平行的充要条件是 。 6、给定直线 111 1111: x x y y z z l X Y Z ---==与2222222 :x x y y z z l ---==ＸＹＺ则12l l 与异面的充要条件是 。 7、在空间过一点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做 。 8、在直角坐标系下,单叶双曲面的标准方程是 。 9、柱面,锥面,椭球面,单叶(双叶)双曲面,椭圆(双曲)抛物面是直纹曲面的 有 。 10、单叶双曲面过一定点的直母线有 条。 三、判断题：本大题共10小题，共10分，正确的打”√”,错误的打”×”。 1、若a ,b 共线, b ,c 共线,则a ,c 也共线。 ( ) 2、自由矢量就是方向和模任意的矢量。 ( ) 3、若a ⊥b , 则|a +b |=|a -b |。 ( ) 4、若a ,b 同向,则|a -b |=|a |+|b |。 ( ) 5、若a ,b 反向,则|a +b |=|a |-|b |。 ( ) 6、两坐标面xoy 与yoz 所成二面角的平分面方程是x+y=0。 ( ) 7、第Ⅴ卦限内点(x,y,z)的符号为(+,+,-)。 ( ) 8、(a ,b ,c )=(c ,b ,a )。 ( ) 9、点到平面的离差等于点到平面的距离。 ( ) 10、将抛物线220 y pz x ?=?=?绕z 轴旋转所得曲面方程为222x y pz +=( ) 四、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
高等数学-向量代数与空间解析几何复习
第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：? ?? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ ο a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→a 与→ b 夹角为3 π ，求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+
空间解析几何(练习题参考答案)
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴
向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为
空间解析几何简介
153 自测题七解答 一、填空题(本题共2小题，每空3分，满分33分) 1．点)4,1,2(--位于第( Ⅵ )卦限；关于y 轴的对称点是( (2,1,4) )；到z O x 平面的距离是( 1 )． 2．下列方程：(1)0222=--z y x ；(2)044222=+-+xy z y x ；(3) z y x 364922-=+； (4) 1=x ；(5)364922=+z x ；(6)1222=+-z y x 中， 方程( (4) )和( (5) )表示柱面；方程( (1) )和( (6) )表示旋转曲面；方程( (6) )表示旋转双曲面；方程( (3) )表示椭圆抛物面；方程( (1) )表示锥面；方程( (2) )表示两个平面． 二、单项选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分) 1．下列点在球面02222=-++z z y x 内部的是〖 C 〗． (A ) )2,0,0(； (B ) )2,0,0(-； (C ) ()5.0,5.0,5.0； (D ) ()5.0,5.0,5.0-． 2．方程组22 1,492.x y y ?+=???=? 在空间解析几何中表示〖 B 〗． (A ) 椭圆柱面； (B ) 两平行直线； (C ) 椭圆； (D ) 平面． 3．圆? ??=--+=++-+-09336)1()7()4(222z y x z y x 的中心M 的坐标为〖 A 〗． (A ) )0,6,1(； (B ) )1,7,4(-； (C ) )0,1,6(； (D ) )1,6,0(． 提示：只有点)0,6,1(到球心)1,7 ,4(-(球心)1,7,4(-到平面的距离)． 4．下列平面通过z 轴的是〖 D 〗． (A ) 013=-y ；(B ) 0632=--y x ；(C ) 1=+z y ；(D ) 03=-y x ． 三、(本题满分15分) 求过点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 且平行于z 轴的平面方程． 解 因为平面平行于z 轴，所以设平面的方程为0Ax By D ++=(缺z 项)． 又点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 在平面上，所以00A D B D +=??+=?，得A D B D =-??=-?． 则平面方程为0Dx Dy D --+= (0D ≠)，即 10x y +-=． 四、(本题满分15分)求母线平行于x 轴，且通过曲线???=+-=++0 162222222z y x z y x 的柱面方程．
空间解析几何习题答案解析(20210120005111)
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一
实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0
空间解析几何习题答案解析
一、计算题与证明题 1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ?+?+?. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向 因此0=?b a ,0=?c b ,0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?. 解:3cos ||=?=?θb a b a (1) 4sin ||=?=?θb a b a (2) ()222)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ ρ, 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π ()30325110cos 22222 2222?++=-++?++?==z y x z y x a x 整理得 10 3222=++z y x (3) 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为??? ??-51,21,101
空间解析几何试题
空间解析几何试卷 一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是 _______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{ }{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→→b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+= -3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线123z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线? ??=-+-=-+0201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线???+==-+1 022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的方程分别 是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是________________(请用 x y x ,,的一个方程表示). 10. 曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面.
《空间解析几何》学习指导
《空间解析几何》学习指导 一、教学目的与课程性质、任务。 《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。 二、教学要求 通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握几何向量，n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。具体要求如下： 第一章向量与坐标 1 使掌握矢量的概念和记法，矢量相等和反矢量的概念 2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念 3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则 4理解矢量加法的运算律，矢量减法的定义 5理解数乘矢量的概念，掌握数乘矢量含义及运算律 6理解线性相关和线性无关的含义 7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系. 8掌握空间标架的构成及坐标系的概念，掌握空间点和矢量坐标的定义，坐标与矢量的关系 9掌握投影与矢量模及夹角的关系. 10利用数积判断两矢量是否垂直；掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念，掌握矢积的计算；矢积坐标的公式；能利用矢积判断两矢量是否共线 12了解矢量的混合积的概念，掌握混合积与矢量坐标的关系 第二章轨迹与方程 1系统地理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参数方程的求法及关系 2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征 3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法，空间曲线在坐标面上的投影及求法 4 了解螺旋线的方程. 第三章平面与空间曲线 1 认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程 2 熟练掌握平面方程几种形式的求法 3 熟练掌握点到平面的距离公式 4 熟练掌握平面与平面的夹角公式
高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何
高等数学期末复习 第八章 向量代数与空间解析几何 一、容要求 1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标 2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系 3、会运用定义和运算性质求向量数量积 4、会运用定义和运算性质求向量的向量积 5、掌握向量数积和向量积的定义形式 6、掌握向量模的定义与向量数量积关系 7、掌握向量的方向余弦概念 8、掌握向量的平行概念 9、掌握向量的垂直概念 10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双 曲面 11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量 13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量 14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量 二、例题习题 1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； （容要求1） A. )2,4,1(-Q B. )2,0,1(-Q C. )0,4,1(-Q D. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D 2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。（容要求2） 3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2 ,,0321π θθθ≤ ≤），则 =++322212cos cos cos θθθ ; 解：222 123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。（容要求2） 4、向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )； A. 0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(---
空间解析几何与向量代数复习题答案
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1
7. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ?r r 是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b 12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）； A 5 3； B 5； C 3；
高等数学 空间解析几何与向量代数练习题与答案
空间解析几何与矢量代数小练习 一 填空题 5’x9=45分 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二 计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点(1,2,3)且平行于直线51 132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线???=+-+=-+-012530 742z y x z y x 垂直的平面方 5、已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ?的面积。
参考答案 一 填空题 1、?????? -±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22 cos ,21 cos ==-=γβα,3 ,43,32π γπ βπ α=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y 3、53 1221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x 5 219 ==?S