北京市高一数学竞赛初赛试题与答案

北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛

试题参考解答

选择题答案 填空题答案

一、选择题:

1．集合A ={2, 0, 1, 7}，B ={x | x 2?2∈A , x ?2?A }，则集合B 的所有元素之积为 （A ）36． （B ）54． （C ）72． （D ）108． 答：A ．

解：由x 2?2∈A ，可得x 2=4，2，3，9，即x =±2，，，±3． 又因为x ?2?A ，所以x ≠2，x ≠3，故x = ?2，，?3． 因此，集合B ={?2, ,

, , ，?3}．

所以，集合B 的所有元素的乘积等于(?2)()()(?3)=36． 2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2

BAC

∠)= （A （B ）2

． （C ）1． （D 答：A ．

解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在

形内．

连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O e 的直径. 连接AK ，CK ．

因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB =∠KCB =90°．于是KA//CE ，KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形．

所以KC =AH =AO =

1

2

BK ． 在直角△KCB 中，由KC =1

2

BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°． 故tan(

2

BAC ∠)= tan30°

．

3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n ?1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为

（A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B.

解：数2017是数列a n = 2n ?1的第1009项．设2017位于第k 组，则

1+3+5+…+(2k ?1)≥1009，且1+3+5+…+(2k ?3)＜1009．

即k 是不等式组22

1009

(1)1009

k k ?≥?-

1

x

在第I 象限的图象上两点，满足∠OAB =90°且AO = AB ，则等腰直角△OAB 的面积等于

（A ）

12

． （B ）

2． （C

）2． （D

）2．

答：D ．

解：依题意，∠OAB =90°且AO = AB ，∠AOB =∠ABO =45°．过点A 做y 轴垂线交y 轴于点C ，过点B 做y 轴平行线，交直线CA 于点D ．

易见△COA ≌△DAB ． 设点A (a ,

1a )，则点B (a +1a , 1

a

? a )．

因为点B 在函数y =1x 的图象上，所以(a +1a )(1a ? a )=1，即21

a

? a 2=1．

因此S △ABC =

12OA 2=12(21a + a 2) =1

2

= 5．已知f (x ) = x 5 + a 1x 4 + a 2x 3 + a 3x 2 + a 4x + a 5，且当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，则f (10)?f (?5)=

（A ）71655． （B ）75156． （ C ）75615． （ D ）76515． 答：C ．

解：因为 当m =1, 2, 3, 4时，f (m )=2017m ，所以1, 2, 3, 4是方程f (x )?2017x =0的四个实根，由于5次多项式f (x )?2017x 有5个根，设第5个根为p ，则

f (x )?2017x = (x ?1)(x ?2)(x ?3)(x ?4)(x ?p )

即 f (x ) = (x ?1)(x ?2)(x ?3)(x ?4)(x ?p )+2017x ．

所以f (10)=9×8×7×6(10?p )+2017×10，f (?5)=?6×7×8×9(5+p )?2017×5， 因此f (10)? f (?5)=15(9×8×7×6+2017)=75615．

6．已知函数2||,,

()42,.x x a f x x ax a x a ≤?=?-+>?若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x )=m

有四个不同的实根，则a 的取值范围是

（A ）17a >． （B ）16a >． （C ）15a >． （D ）1

4

a >． 答：D ．

解：要使方程f (x )=m 有四个不同的实根，必须使得y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点．而直线与y =|x |的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y =m 与函数y =|x |, x ≤a 的图像和y =x 2?4ax +2a , x ＞a 的图像的交点分别都是2个．

而存在实数m ，使y =m 与y =|x |, x ≤a 的图像有两个交点，需要a ＞0，此时0＜m ≤a ；

又因为y =x 2

?4ax +2a , x ＞a 顶点的纵坐标为2

42(4)4

a a ?-，所以，要y =m 与y =x 2?4ax +2a ,

x ＞a 的图像有两个交点，需要m ＞2

42(4)4

a a ?-．

因此y =m 的图像与y =f (x )的图像有4个不同的交点需要满足：

0＜m ≤a 且m ＞2

42(4)4

a a ?-，

解得14

a >．

二、填空题:

1. 用[x ]表示不超过x 的最大整数，设S =++++L ，求的值． 答：24．

解：因为12≤1, 2, 3＜22，所以1,

, ＜2，因此

1===，共3个1；

同理，22≤4, 5, 6, 7, 8＜32，因此，2=====，共5个2；

又32≤9, 10, 11, 12, 13, 14, 15＜42，因此3===K ，共7个3；

依次类推，4=====K ，共9个4；

5=====K ，共11个5；

6=====K ，共13个6；

7=====K ，共15个7；

8=====K ，共17个8；

9=====K ，共19个9.

S = (++)+(++++)+…+(++L ) = 1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8×17+9×19=615．

因为242=576＜615=S ＜625=252，即2425，所以，．

2．确定(201721

log 2017

×201741log 2017

×201781log 2017

×2017161log 2017

×2017321log 2017

)15

的值． 答：8．

解：原式=(2017

2017log 2

×2017

2017log 4

×2017

2017log 8

×2017

2017log 16

×2017

2017log 32

)1

5

=(2×4×8×16×32)1

5

= (21×22

×23

×2

4

×25)1

5

=(21+2+3+4+5)1

5

=(215)1

5

=23=8．

3．已知△ABC 的边AB 厘米，BC CA 厘米，求△ABC 的面积．

答：9.5平方厘米．

解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为5厘米的正方形AMNP ，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图．根

据勾股定理，可知，AB

=BC

=CA

米，因此△ABC 的面积可求．

△ABC 的面积=5×5?

12×3×5?12×2×5?1

2

×2×3=9.5（平方厘米）． 4.

设函数22(1))

()1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，试确定M +N

的值．

答：2．

解：由已知得2

2)

()11x x f x x ++=++ 因为

)())(())]x x x x ++-=--

=22ln(()1())ln10x x -+--==，

所以()))x x -=-，

因此，)x 是奇函数．

进而可判定，函数22)

()1x x g x x +=+为奇函数．

则g (x )的最大值M 1和最小值N 1满足M 1+N 1= 0． 因为M =M 1+1，N = N 1+1，所以 M + N = 2．

5．设A 是数集{1, 2, …, 2017}的n 元子集，且A 中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n 的最大值．

答：504．

解：在数集{1, 2, …, 2017}中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2, 4, …, 2016}共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A ={1010, 1012, 1014, …, 2016}中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A 中恰有504个元素．

N

A M

B

P

事实上504是n 的最大值．

因为若从{1009, 1011, …, 2017}中任取一个奇数，会与A 中的与它相邻的偶数互质；若从{1, 2, 3, …, 1008}中任取一数，则它的2倍在A 中，存在整除关系．

6．如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心、2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线于点E 和F . 再分别以A 、B 为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE 于点C ，交射线BE 于点D . 再以E 为圆心DE 为半径画圆

弧?DC

，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”?AFBCDA 的面积．（圆周率用π表示，不取近似值）

答：(12?

)π?4平方厘米． 解：半圆(O , 2)的面积=

1

2

π×22=2π． 因为AO=OB =2，所以AB=AC=BD =4，AE =BE

，ED =EC =4?

． 又∠AEB =∠CED =90°，∠EAB =∠EBA =45°，

因此，扇形BAD 的面积=扇形ACB 的面积=18π×42=2π，△AEB 的面积=12

×4×2=4，

直角扇形?EDC

的面积=1

4

π(4?

2= 6π?

π， 卵形?

AFBCDA 的面积 = 半圆(O , 2)的面积+扇形BAD 的面积+扇形ACB 的面积 ?△AEB 的面积+直角扇形?EDC

的面积 = 2π+2×2π?4+6π?

4π = (12?

)π?4（平方厘米）．

7. 已知2

2()1005000x f x x x =-+，求f (1)+f (2)+…+f (100)的值．

答：101．

解：设g (x ) = x 2?100x +5000，则

g (100?x ) = (100?x )2?100(100?x )+5000=1002?200x +x 2?1002+100x +5000

= x 2?100x +5000= g (x )，

即 g (k ) = g (100?k )．

B F

A

D

C

E

O

所以 f (k ) + f (100?k ) =22(100)()(100)k k g k g k -+

- =22

(100)()

k k g k +-=2， 又 f (50) =2250=150100505000-?+， f (100)2

2

100==2.1001001005000-?+ 所以， f (1)+ f (2)+…+ f (100)

= (f (1)+ f (99))+ (f (2)+ f (98))+…+ (f (49)+ f (51))+ f (50)+ f (100) = 2×49+1+2=101．

8．如图，在锐角△ABC 中，AC = BC = 10，D 是边AB 上一点，△ACD 的内切圆和△BCD 的与BD 边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB 的长．

答：

解：线段AB 被两圆与AB 的切点及点D 分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a , b , b , c ，由于圆O 2的切线长CE = CG ，所以BC +a = CD +b = (AC ?c +b )+b ，而AC = BC ，所以a +c = 2b ．

由等角关系可得△AO 1F ∽△O 2BE ，得

12O F BE

AF O E

=

，即22

a

c =，由此推出ac = 4． 分别计算△BCD 和△ACD 的面积：

12(),2

BCD S BC CD BD ?=

?+-1

2()2ACD S AC CD AD ?=?++

所以

24ACD BCD S S AD BD AB a c b b ??-=+==++=. ①

又设由C 引向AB 的高为h ，可得

1()2ACD BCD S S c a h ??-=-=

②

由①、②两式可得

4b =

将a +c = 2b ，ac = 4代入，化简得4

2

251000b b -+=

D

A

C B

D A C

B E G F

O 1 O 2 · a b b c

·

解得b2=5或b2=20，即b b （负根舍）．

于是，AB = a+c+2b = 4b ，或AB ．

若AB ，△ABC为钝角三角形，不合题设△ABC是锐角三角形的要求．

所以AB的长为．