第十五届高中数学希望杯竞赛

第十五届（2004年）“希望杯”全国数学邀请赛

高一第2 试

一、选择题

1．已知集合{ | cos , }

2

A y y x x N

π

= = ∈，{ | sin , }

4

B y y x x N

π

= = ∈，则

A、A ?B

B、A ?B

C、A = B

D、A∈B

2．若a+m=b+n=c+p=d+q，其中m< 0,n>0,p<0,q>0 ，且m>p那么a,b,c,d 中最大的是

A、a

B、b

C、c

D、d

3．“a≠b且b≠c”是“a≠c”成立的

A、充要条件

B、充分不必要条件

C、必要不充分条件

D、既不充分也不必要条件

4．已知a,b,c,d 都是整数，且x<2b,b<3c,c<4d,d<50，那么a 的最大值

A、1157

B、1167

C、1191

D、1199

5．设x, y 是任意两个正奇数，且x > y ，若k 总能整除x2?y2，则k 的最大值是

A、2

B、4

C、6

D、8

6．若lg |x|+| tan x|=0 ，则x 的个数是

A、0

B、1

C、2

D、3

7．数列{ } n a 的通项

2004

2008 n

a n

n

?

=

?

，在此数列的前50 项中，最大项和最小项依次是

A、第1 项和第50 项

B、第50 项和第1 项

C、第45 项和第44 项

D、第44 项和第45 项

8．等比数列

sec , sec , sec

3 3 2 3 3

ππθπθ

+ θ+ + 的公比是

A、1/6

B、1/3

C、1/2

D、1

9．已知函数f(x) = (x+1)2 ，若存在实数t ，使得f(x+1)≤x在x ∈[1，m ]时成立，则m的最大值是A、2 B、3 C、4 D、5

10．已知集合M 是满足下列条件的函数f(x)的全体：

①当x∈[0,+∞) 时，函数值为非负实数

②对于任意s,t∈[0,+∞)，橙子奥数工作室录入暗记，都有f (s)+ f (t)≤ f (s+t)．

在函数1 2 3 f (x)=x, f (x)=2x?1, f (x)=ln(x+1)中，属于M 的有

A、1f (x) 和2f (x)

B、1f (x) 和3f (x)

C、2f (x) 和3f (x)

D、1f (x) 、2f (x) 和3f (x)

二、填空题

11．若对于任何非零实数a 和b ，有f(ab)= f(a)+ f(b)，则f (1) = _____．构造一个满足前面条件的函数，它的解析式是f(x) = __________．

12．直角坐标平面内横、纵坐标都是整数的点称为格点．将半径为2 的一个圆片平放在直角坐标系内，让它随意移动，它盖住的格点最多有_____个，最少有_____个．

13．生物小组的一位同学发现随着气温的升高，蟋蟀每分钟的鸣叫次数也在逐渐增加．他每隔1 °C 记录一次，下面是其中的四组数据，有两个已经模糊不清了，但是他知道记录的数据成等差数列．则表格中的数据A=_____，B=_____．

鸣叫次数（次/分）8 29 B 89

温度（°C）9 A 20 36

14．设{a n}是集合，橙子奥数工作室录入暗记，{2s+ 2t+2r| 0≤s

到大地排成的数列，则5 a = __________，50 a = __________．

15．等差数列{ } n a 的前n 项和为n S ，若3 6 S= 21,S= 24 ，则公差d = _____，数列{| |} n a 的前50 项的和

是_____．

16．直角坐标平面内直线l 上所有的点构成的点集是A，将A 中所有的点左移4 个单位再下移5 个单位后得点集B，若恰有集合A=B，直线l 与x 轴成锐角θ，则tanθ= _____．

17．n 个向量的和为零向量，若其中一个向量的坐标为（3，4），则其余n ?1 个向量的和的模是_____．18．已知函数f(x)= |x2 +bx+c| 在[0，2]上的最大值为t ，当b,c变化时，t 的最小值是_____．

19．In a certain formula, p is directly proportional to s and inversely proportional to t . If p = 2 when

s = 15 and t = 2.5 , what is the value of p in terms of t and s ? Answer:__________．

20．一个小于15 个正整数，被4 除余2，被5 除余1，这个数是_____．

三、解答题

21．已知数列：{ } n a 中， 1 2 n n a a n ?= + （其中n 是大于1 的整数）

⑴若{ } n a 是等差数列，求{ } n a 的通项公式．

⑵{ } n a 能否为等比数列？若可能，求其通项公式；若不能，请说明理由．

22．不等式(?2)x a?3x?1?(?2)x<0对于任意正整数x 恒成立，求实数a 的取值范围．

23．如图，一块边长为20cm 的正方形铁片ABCD 已截去一个半径为r cm（r ∈(0, 20] ）的扇形AEF（1/4 个圆），用剩下的部分截成一个矩形PMCN，怎样截可使此矩形的面积最大？最大面积是多少？__

（广西、山东、宁夏、海南卷）（2005年）

一、选择题

1．命题p:?∈{?}；命题q : 若A = {1, 2} ，B={x|x?A}，则A∈B ，那么

A、p 真，q 假

B、p 真，q 假

C、p 假，q 真

D、p 真、q 假

2．设集合

| 1, , | 1, , | 1,

2 4 4 8 8 4

M =??x x=k+ k∈Z??N=??x x=k+ k∈Z??P=??x x=k+ k∈Z??

??????

，则

A、M ∪N=P

B、M ∩N=P

C、M ∩P=N

D、M ∩N=M

3．已知关于x 的不等式

6 0

1

ax b

x

+ + >

?

（a,b∈R）的解集为（?2，?1）∪（1，+∞），则a+b=

A、3

B、4

C、5

D、6

4．下列函数中，值域为R+ 的是

A、y = 2?|x?1|

B、y=3x+1（x > 0 ）

C、y=x2 +x+ 2

D、

2

y 1

x

=

5．偶函数f(x)（x ∈R ）满足f(?4) =f(1) =0，且在区间[0，3]与[3，+∞]上分别递减和递增，则不等式，橙子奥数工作室录入暗记，x3 f (x) <0的解集为

A、(?∞,?4)∪(4,+∞)

B、(?∞,?1)∪(1,4)

C、(?∞,?4)∪(?1,0)

D、(?∞,?4)∪(?1,0)∪(1, 4)

6．已知直线l,m与平面α，则l // m 的一个充要条件是

A、l,m与α等角

B、l⊥α,m⊥α

C、l//α,m//α

D、l⊥α,m//α

7．Four people: A,B,C and D are accused in a trial. It is known that

⑴if A is guilty ,then B is guilty ⑵if B is guilty ,then C is guilty or A is not guilty ⑶if D is not guilty ,then A is guilty and C is not guilty ⑷if D is guilty ,then B is not guilty

how many of the accused are guilty ? Answer:

A、2

B、3

C、4

D、Insufficient information to determine

8．已知1 2 3 1 2 3 f (x) =x+1, f (x) =2x, f (x) = ?3x+5,F(x) =min{f (x), f (2), f (x)}，则F(x) 的最大值是

A、1

B、2

C、4

D、3

9．P 是四边形ABCD 所在平面外一点，若点P 到四边形各边的距离相等，则四边形ABCD 是

A、正方形

B、菱形

C、梯形

D、两组对边之和相等的四边形

10．可将空间分成15 个部分的平面的个数至少是

A、3

B、4

C、5

D、6

二、填空题

11．设集合A={1，2，3，4，5，6}，则从A 到A 的映射f 有___个，其中满足f(a) ≥a的映射有___个．12．正四棱锥P ?ABCD 的侧棱长及底面边长均为a ，点M 是侧棱PA 的中点，点N 是侧棱PB 上的一个动点，点T 是底面ABCD 内的一个动点，则MN+NT 的最小值是_____．

13．已知正四棱锥的底面积为m ，侧面积为n ，则它的体积等于_____．

14．函数，橙子奥数工作室录入暗记，y=3x2?6x+2 2x?x2+4的最大值为_____，最小值为_____．15．如果△ABC 边上的点的坐标(x, y)在映射f: (x,y)→(2x+2,2y?5) 的作用下的象的集合所对应的

图形是△A'B'C'，已知△ABC 的面积为6，则△A'B'C'的面积等于_____．

16．Let a and b be the two real roots of the quadratic equation x2?(k?1)x+k2+3k+4=0, where k is

some real number. The largest possible value of a2+b2 is _____．

17．已知半径为5 的球的两个平行截面的面积分别为9π和16π，则这两个截面之间的距离为_____．18．函数y=x2 （?2≤x ≤2）与函数y=x+m的图象恰有1 个公共点在y 轴的右侧，则m 的取值范围

是_____．

19．直四棱柱1 1 1 1 ABCD ?A B C D 的底面ABCD 是等腰梯形，若1 AD=AB=AA， 1 DC = 2AB ，则异面直

线1 AD 与1 CB 所成角的余弦值为_____．

20．某校高一新生784 人，每班分配56 人，方法是：将每人的入学成绩从高分到低分依次编号（成绩相同的学生按姓氏笔画顺序），然后按S 形顺序编班．例如：若有8 个班，将编号1 至8 号分别编在1 至8 班，9 至16 号分别编在8 至1 班，17 至24 号编在1 至8 班，?，该校高一新生编号为300（每号只对1 人）

的同学编在_____ 班．

三、解答题（每题10 分，共33 分）

21、已知正四棱锥S ?ABCD 中，∠ASB=2θ，AB=a

⑴求侧棱与底面ABCD 所成角的余弦值

⑵求此四棱锥的内切球的半径

22．密码员王超设计了一种给自然数编码的方法

⑴先将自然数表示成五进制（逢5 进1）

⑵再将五进制中的数码与集合{V，W，X，Y，Z}中的元素建立一个一一对应

后来，他发现三个递增的相邻的十进制自然数编成VYZ，VYX，VVW，求被编成VWXYZ 的数所对应的十进制数．

23．已知函数

2

2

( ) 1

1

f x x kx

x x

+ +

=

+ +

⑴当k = 2 时，求f(x)的值域；

⑵若存在实数a,b,c 使f(a)+ f (b)< f (c)，试求实数k 的取值范围．