高中数学平面向量知识点总结及常见题型

平面向量

一.向量的基本概念与基本运算

1

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a

,,……来表示，或用有向线段的起点与终

点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a

向

量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a

｜

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0

｜a

｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）

的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量0a 为单位向量 ｜0a

｜＝1

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直

线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b

由于向量可以进行任意的平移(即

自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a

大

小相等，方向相同),(),(2211y x y x

2

12

1y y x x

2

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u

r u u u r =AC uuu r

（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

L ，但这时必须“首尾相连”．

3

① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a

的相反向量

记作a

,零向量的相反向量仍是零向量

关于相反向量有： （i ）)(a =a

； (ii) a +(a )=(a )+a =0 ； (iii)若a 、b

是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b

的差，

记作：(b a b a

求两个向量差的运算，叫做向量的减法

③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b

有共同起点）4

①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa

，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）a a

；

（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a

的方向

相反；当0 时，0

a ，方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律

5

向量b 与非零向量a

共线 有且只有一个实数 ，使得b =a

6

如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a

，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

7特别注意:

（1）向量的加法与减法是互逆运算

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

二.平面向量的坐标表示 1

在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r

作为基底量的基本定理知，该平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r r r

，由于a r 与数对(x,y)是一一

对应的，因此把(x,y)叫做向量a r 的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r

在x 轴上的坐标，y

叫做在y 轴上的坐标

(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

2

(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y r

r (2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r

(3) 若a r =(x,y)，则 a r

=( x, y)

(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y r

r (5) 若 1122,,,a x y b x y r r

，则1212a b x x y y r r

若a b r

r ，则02121 y y x x

3及其各运算的坐标表示和性质

三．平面向量的数量积 1

已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r ︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r

的数量积（或内积） 规定0a r r

2︱b r ︱cos =||

a b

a r r r ∈R ，称为向量

b r 在a r 方向上的投影为射影

3a r ·b r 等于a r

的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积

42||a a a a r r r r

5

2

222a b a b a b a b r r r r r r r r ；

2

2

2

2a b a a b b

r r r r r r 222a a b b r r r r

6

①交换律成立：a b b a r r r r

②对实数的结合律成立：

a b a b a b R r r r r r r

③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b r

r r

特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r

；

（2）消去律不成立a b a c

r r r r 不能得到b c r r

（3）a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =r

7

已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r

，则a r ·b r =121x x y y 已知两个非零向量a r

与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=

（0

1800 ）叫做向量a r 与b r

的夹角

cos =cos ,a b

a b a b ? ?r r r r r r =2

2

2221212121y x y x y y x x

当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800

，同时0r 与

其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9：如果a r 与b r 的夹角为900

则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r

10两个非零向量垂直的充要条件：

a ⊥

b a ·b

＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质

题型1.基本概念判断正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD u u u r u u u r

. （5）若AB CD u u u r u u u r

，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.

（7）若a r 与b r 共线， b r 与c r 共线，则a r 与c r

共线. （8）若ma mb r r ，则a b r r

.

（9）若ma na r r

，则m n .

（10）若a r 与b r 不共线，则a r 与b r

都不是零向量. （11）若||||a b a b r r r r

，则//a b r r . （12）若||||a b a b r r r r

，则a b r r .

题型2.向量的加减运算

1.设a r 表示“向东走8km ”, b r 表示“向北走6km ”,则||a b r r

.

2.化简()()AB MB BO BC OM u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r

.

3.已知||5OA u u u r ,||3OB u u u r ,则||AB uuu r

的最大值和最小值分别为 、 .

4.已知AC AB AD u u u r u u u r u u u r 为与的和向量，且,AC a BD b u u u r r u u u r r ，则AB u u u r ，AD u u u r

.

5.已知点C 在线段AB 上，且35

AC AB u u u r u u u r ,则AC u u u r BC uuu r ，AB u u u r

BC uuu r .

题型3.向量的数乘运算

1.计算：（1）3()2()a b a b r r r r （2）2(253)3(232)a b c a b c r r r r r r

2.已知(1,4),(3,8)a b r r ，则132

a b r

r .

题型4.作图法球向量的和

已知向量,a b r r ，如下图，请做出向量132

a b r r

和322a b r r .

a r

b r

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC u u u r u u u r ，

表示AD u u u r

. 2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b u u u r u u u r r

r ，求AB AD u u u r u u u r 和.

题型6.向量的坐标运算

1.已知(4,5)AB u u u r

，(2,3)A ，则点B 的坐标是 .

2.已知(3,5)PQ u u u r

，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 .

3.若物体受三个力1(1

,2)F r ,2(2,3)F r ,3(1,4)F r

,则合力的坐标为 .

4.已知(3,4)a r

，(5,2)b r ，求a b r r ，a b r r ，32a b r r .

5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y r

与AB u u u r 相等，求,x y 的值. 6.已知(2,3)AB u u u r ，(,)BC m n u u u r ，(1,4)CD u u u r ，则DA u u u r

.

7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B ，且30AB BC u u u r u u u r r ，求OC uuu r

的坐标.

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知12,e e u r u u r

是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e u r u u r u r u u r 和 B.1221326e e e e u r u u r u u r u r 和4 C.122133e e e e u r u u r u u r u r 和 D.221e e e u u r u u r u r 和

2.已知(3,4)a r ，能与a r

构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55 D.4(1,)3

题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA u u u r ，150xOA o

，求OA u u u r 的坐标.

2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||OA u u u r ，60xOA o

，求OA u u u r 的坐标.

题型9.求数量积

1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o

，求（1）a b r r ，（2）()a a b r r r ， （3）1()2

a b b r r r ，（4）(2)(3)a b a b r r r r .

2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（2）a b r r ，（3）(2)a a b r

r r ，

（4）(2)(3)a b a b r r r r

.

题型10.求向量的夹角

1.已知||8,||3a b r r

，12a b r r ，求a r 与b r 的夹角.

2.已知(2)a b r r

，求a r 与b r 的夹角.

3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC . 题型11.求向量的模

1.已知||3,||4a b r r ，且a r 与b r 的夹角为60o

，求（1）||a b r r ，（2）|23|a b r r .

2.已知(2,6),(8,10)a b r r ，求（1）||,||a b r r ，（5）||a b r r ，（6）1||2

a b r

r .

3.已知||1||2a b r r ，

，|32|3a b r r ，求|3|a b r r .

题型12.求单位向量 【与a r 平行的单位向量：||

a

e a r

r r 】

1.与(12,5)a r

平行的单位向量是 . 2.与1(1,)2

m r

平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直

1.已知(6,2)a r

，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）//a b r r ？（2）a b r r ？

2.已知(1,2)a r

，(3,2)b r ，（1）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 垂直？ （2）k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r

平行？

3.已知a r 是非零向量，a b a c r r r r ，且b c r r ，求证：()a b c r r

r .

题型14.三点共线问题

1.已知(0,2)A ，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线.

2.设5),28,3()2

AB a b BC a b CD a b

u u u r r

r u u u r r r u u u r r r ，求证：A B D 、、三点共线.

3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b u u u r r r u u u r r r u u u r r r

，则一定共线的三点是 .

4.已知(1,3)A ，(8,1)B ，若点(21,2)C a a 在直线AB 上，求a 的值.

5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B ，(1,1)C ，是否存在常数t ，使

OA tOB OC u u u r u u u r u u u r

成立？

题型15.判断多边形的形状

1.若3AB e u u u r r ，5CD e u u u r r ，且||||AD BC u u u r u u u r

,则四边形的形状是 .

2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形.

3.已知(2,1)A ，(6,3)B ，(0,5)C ，求证：ABC 是直角三角形.

4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC u u u r u u u r u u u r

,求证：ABC 是等腰直角

三角形.

题型16.平面向量的综合应用

1.已知(1,0)a r

，(2,1)b r ，当k 为何值时，向量ka b r r 与3a b r r 平行？

2.已知a r

，且a b r r ，||2b r ，求b r 的坐标. 3.已知a b r r 与同向，(1,2)b r

，则10a b r r ，求a r 的坐标.

3.已知(1,2)a r ，(3,1)b r ，(5,4)c r

，则c r a r b r .

4.已知(5,10)a r ，(3,4)b r ，(5,0)c r

，请将用向量,a b r r 表示向量c r .

5.已知(,3)a m r

，(2,1)b r ，（1）若a r 与b r 的夹角为钝角，求m 的范围；

（2）若a r 与b r

的夹角为锐角，求m 的范围.

6.已知(6,2)a r

，(3,)b m r ，当m 为何值时，（1）a r 与b r 的夹角为钝角？（2）a r 与b

r 的夹角为锐角？

7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A ，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC ，

2AB CD ，求点C 的坐标.

8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B ，(3,4)C ，求第四个顶点D 的坐标.

9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30o 角，求水流速度与船的实际速度.

10.已知ABC 三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ，

（1）若0AB AC u u u r u u u r

，求c 的值；（2）若5c ，求sin A 的值.

【备用】

1.已知||3,||4,||5a b a b r r r r ，求||a b r r 和向量,a b r r

的夹角.

2.已知x a b r r r ，2y a b u r r r ，且||||1a b r r ，a b r r ，求,x y r u r

的夹角的余弦.

1.已知(1,3),(2,1)a b r r ，则(32)(25)a b a b r r r r

.

4.已知两向量(3,4),(2,1)a b r r

，求当a xb a b r r r r 与垂直时的x 的值. 5.已知两向量(1,3),(2,)a b r r

，a b r r 与的夹角 为锐角，求 的范围.

变式：若(,2),(3,5)a b r r

，a b r r 与的夹角 为钝角，求 的取值范围.

选择、填空题的特殊方法： 1.代入验证法

例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c r r r

，则c r （ ）

A.1322a b r r

B.1322a b r r

C.3122a b r r

D.3122

a b r r

2.排除法

例：已知M 是ABC 的重心，则下列向量与AB u u u r

共线的是（ ）

A.AM MB BC u u u u r u u u r u u u r

B.3AM AC u u u u r u u u r

C.AB BC AC u u u r u u u r u u u r

D.AM BM CM u u u u r u u u u r u u u u r