最新高中数学导数专题讲义(答案版)

导数专题讲座内容汇总

目录

导数专题一、单调性问题 (2)

导数专题二、极值问题 (38)

导数专题三、最值问题 (52)

导数专题四、零点问题 (76)

导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118)

导数专题六、渐近线和间断点问题 (168)

导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (187)

导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (198)

导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (211)

导数专题十、极值点偏移问题 (216)

导数专题十一、构造函数解决导数问题 (224)

导数专题一、单调性问题

【知识结构】

【知识点】

一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；

二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤：

第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；

第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；

第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）； 第四步、（列表）根据第五步的草图列出()'f x ，()f x 随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间；

第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值.

四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系；

4.根与定义域端点讨论等。

五、求解函数单调性问题的思路：

（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为或恒成立； （2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；

（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.

六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 （1）参变分离；

（2）导函数的根与区间端点直接比较；

()0f x '≥()0f x '≤

（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。

七、求解函数单调性问题方法提炼：

（1）将函数单调增（减）转化为导函数恒成立；

（2），由（或）可将恒成立转化为

（或）恒成立；

（3）由“分离参数法”或“分类讨论”，解得参数取值范围。

()f x ()()0f x '≥≤()()()f x g x h x '=()0g x >()0g x <()()0f x '≥≤()()0h x ≥≤()()0h x ≤≥

【考点分类】

考点一、分类讨论求解函数单调性；

【例1-1】（2015-2016朝阳一模理18）已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；

（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由． 【答案】（Ⅰ）函数的定义域为．． （1）当时，恒成立，函数在上单调递增； （2）当时， 令，得． 当时，，函数为减函数； 当时，，函数为增函数．

综上所述，当时，函数的单调递增区间为．

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当时，即时，函数在区间上为增函数， 所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；

（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以．

依题意有，解得，所以． （3）当时，即时，在区间上为减函数， 所以．

依题意有，解得，所以． ()f x =ln ,x a x a +∈R ()f x []1,2x ∈()0f x >a (1

3)P ，()y f x =()f x {}

0x x >()1a x a

f x x x

+'=+

=0a ≥()0f x '>()f x (0,)+∞0a <()0f x '=x a =-0x a <<-()0f x '<()f x x a >-()0f x '>()f x 0a ≥()f x (0,)+∞0a <()f x (0,)a -(+)a -∞，

1a -≤1a ≥-()f x []1,2[]1,2min ()(1)1f x f ==()f x []1,212a <-<21a -<<-()f x [)1

a -，(],2a -min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-min ()ln()0f x a a a =-+->e a >-21a -<<-2a -≥2a ≤-()f x []1,2min ()(2)2+ln 2f x f a ==min ()2+ln 20f x a =>2ln 2a >-

2

2ln 2

a -

<≤-

综上所述，当时，函数在区间上恒大于零． （Ⅲ）设切点为

，则切线斜率， 切线方程为． 因为切线过点，则． 即． ………………① 令 ，则 ． （1）当时，在区间上，， 单调递增；

在区间上，，单调递减， 所以函数的最大值为． 故方程无解，即不存在满足①式． 因此当时，切线的条数为．

（2）当时, 在区间上，，单调递减，

在区间上，，单调递增， 所以函数的最小值为．

取，则．

故在上存在唯一零点．

取，则． 设，，则． 2

ln 2

a >-

()f x []1,2000,ln )x x a x +（0

1a k x =+0000

(ln )(1)()a

y x a x x x x -+=+

-(1,3)P 0000

3(ln )(1)(1)a

x a x x x -+=+

-00

1

(ln 1)20a x x +

--=1()(ln 1)2g x a x x =+

--(0)x >2211(1)()()a x g x a x x x

-'=-=0a <(0,1)()0g x '>()g x (1,)+∞()0g x '<()g x ()g x (1)20g =-<()0g x =0x 0a <00a >(0,1)()0g x '<()g x (1,)+∞()0g x '>()g x ()g x (1)20g =-<2

1+1e

e a

x =>22

1112()(1e 1)2e 0a

a g x a a a

----=++--=>()g x (1,)+∞2-1-21e

x =221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--2

12

[e 2(1)]a a a

+=-+21(1)t t a

=+

>()e 2t u t t =-()e 2t

u t '=-

当时，恒成立．

所以在单调递增，恒成立．所以． 故在上存在唯一零点．

因此当时，过点P 存在两条切线． （3）当时，，显然不存在过点P 的切线． 综上所述，当时，过点P 存在两条切线； 当时，不存在过点P 的切线． 【例1-2】（2015-2016海淀一模理18）已知函数，. （Ⅰ）求函数的最小值； （Ⅱ）求函数的单调区间；

(Ⅲ) 求证：直线不是曲线的切线.

【答案】（Ⅰ）函数的定义域为，

当变化时，，的变化情况如下表：

函数在上的极小值为， 所以的最小值为 （Ⅱ）解：函数的定义域为，

由（Ⅰ）得，，所以

1t >()e 2e 20t

u t '=->->()u t (1,)+∞()(1)e 20u t u >=->2()0g x >()g x (0,1)0a >(1

3)，0a =()f x x =(1

3)，0a >(13)，0a ≤(1

3)，1()ln 1f x x x =+-1

()ln x g x x

-=()f x ()g x y x =()y g x =()f x (0,)+∞22111

'()x f x x x x -=

-=x '()f x ()f x ()f x (,)+∞01()ln1101

f a =+-=()f x 0()

g x (0,1)(1,)+∞U 22211

ln (1)

ln 1

()'()ln ln ln x x x f x x x g x x

x x

--+-=

==()0f x ≥'()0

g x ≥

所以的单调增区间是，无单调减区间. （Ⅲ）证明：假设直线是曲线的切线.

设切点为，则，即

又，则. 所以, 得，与 矛盾 所以假设不成立，直线不是曲线

的切线

【练1-1】（2015-2016西城一模理18）已知函数1()x x f x xe ae -=-，且'(1)f e =. (Ⅰ) 求a 的值及()f x 的单调区间；

(Ⅱ) 若关于x 的方程2()2(2)f x kx k =->存在两个不相等的正实数根12,x x ，证明：

124

ln x x e

->.

【答案】（Ⅰ）对()f x 求导，得1()(1)e e x x f x x a -'=+-， 所以(1)2e e f a '=-=，解得e a =. 故()e e x x f x x =-，()e x f x x '=. 令()0f x '=，得0x =.

当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：

所以函数 （Ⅱ）解：方程2()2f x kx =-，即为2(1)e 20x x kx --+=，

设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+. 求导，得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-．

由()0g x '=，解得0x =，或ln(2)x k =. 所以当(0,)x ∈+∞变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：

()g x (0,1),(1,)+∞y x =()g x 00(,)x y 0'()1g x =00

20

1ln 11ln x x x +

-=000001,ln x y y x x -=

=000

1

ln x x x -=0000

11

ln 1x x x x -=

=-0'()0g x =0'()1g x =y x =()g x

在单调递减，在上单调递增 由2k >，得ln(2)ln 41k >>.

又因为(1)20g k =-+<， 所以(ln(2))0g k <.

不妨设12x x <（其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根），

因为函数()g x 在(0,ln 2)k 单调递减，且(0)10g =>，(1)20g k =-+<，

所以101x <<. 同理根据函数()g x 在(ln 2,)k +∞上单调递增，且(ln(2))0g k <， 可得2ln(2)ln 4x k >>，

所以12214||ln 41ln e

x x x x -=->-=，

即 124

||ln e

x x ->.

【练1-2】（2011-2012石景山一模文18）已知函数. （Ⅰ）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x

+=+= …………1分

由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分

（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.

（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；……5分

（2）当0a <时'()f x =

.

当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：

2

()2ln f x x a x =+()f x (2,(2))f 1a ()f x 2

()()g x f x x

=

+[1,2]a

由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；

单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =

++得222'()2a

g x x x x

=-++，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，

则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，

即22220a x x x -

++≤在[1,2]上恒成立. 即2

1a x x

≤

-在[1,2]上恒成立. …………11分

令21()h x x x =

-，在[1,2]上2211

'()2(2)0h x x x x x

=--=-+<， 所以()h x 在[1,2]为减函数. min

7

()

(2)2

h x h ==-, 所以7

2

a ≤-

. …………14分 【练1-3】（2015-2016朝阳期末文19）已知函数()(21)ln 2k

f x k x x x

=-++，k ∈R . （Ⅰ）当1k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当e k =时，试判断函数()f x 是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数()f x 的单调区间.

【答案】函数()f x 的定义域：),0(+∞∈x .

2

222)

12)(()12(2212)(x x k x x k x k x x k x k x f -+=--+=+--='.