2020年四年级奥数春季班-第5讲等积变形(下)
2020年四年级奥数春季班
【动手算一算】
⑴
⑵
⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？
②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF 的面积。
等积变形（下）
(★★)
(★★★)
如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形BDE的面积是多少？
(★★★)
(★★★★) (★★★) (★★★★) (★★★)
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF的面积。
(★★★★★)
如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE的面积是多少？
【大海点睛】
一、重要结论
1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等
结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等
如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，那么S△ACD＝S △BCD
2．结论㈡
⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个
三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个
三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
二、技巧方法
1．平行线的来源
⑴平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形
⑵已知平行
⑶并排摆放的正方形的同方向对角线
2．已知做底边，等高优先找
三、经典例题
等积变形(上)：例3，例5，例6，例7
等积变形(下)：例2，例4，例5，例7
小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)
小学奥数精讲：等积变形求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目 地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积? 例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3 1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积． 例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角 基本概念 例题分析
三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积． 1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？ 练习提高
小学五年级奥数 等积变形
奥数拓展：等积变形 （一）故事导入： 有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗 根据这个问题，你能得出什么结论 结论一：。 （二）即学即练： 1.你有什么方法将任意一个三角形分成3个面积相等的三角形 2.如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么 如图．三角形ABC中．D是AB的中点．点E、F．G、H把BC平均分成五份．阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？ （三）思维探索： （平行线间的等积变形）如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和△BCD的面积关系是怎样的为什么
（四）即学即练： 1.如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对 （五）结论总结： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； （3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （六）例题梳理 【例 1】等积变形的等分点应用 1.如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米．求△ABC的面积 结论2：夹在间的一组同底三角形面积相等
五年级下册数学奥数试题-等积变形(无答案)(人教版)
第3讲等积变形 一、知识点 等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有： 1.等底等高的两个三角形面积相等； 2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等； 3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍； 4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等. 二、例题精讲 例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？ 例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________. 例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍.
例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米. 例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米. 例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD 的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积. 例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________. 例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是
五年级奥数等积变换
第二十一讲等积变换 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形 OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面 积。 直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）× 2 ÷ 2=17（厘米2）。 答：阴影部分的面积是17厘米2。 例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10 厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10 厘米2，求平行四边形ABCD的面积。 解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10 厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10 厘米 2，所以平行四边形ABCD的面积等于 10× 8÷2+10=50（厘米2）。
答：平行四边形ABCD的面积是50cm.
例题 3：在右图中， AB=8厘米， CD=4厘米， BC=6厘米，三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18厘米 2 。求 ED 的长。 解：因为三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 厘 米 2 三角形都加上四边形 FDCB 后，其差不变，所以梯形 ABCD 比三角形 ECB 的面积大 18 厘米 2。 梯形 ABCD 面积 =（8+4）× 6÷2=36（厘米 2）， 三角形 ECB 面积 =36-18=18（厘米 2 ）， EC=18÷6×2=6（厘 米）， ED=6-4=2（厘米）。 答： ED 的长 2 厘米。 例 4：下页上图中， ABCD 是 7× 4 的长方 形， 长方形，求三角形 BCO 与三角形 EFO 的 面积之差。 解法一 ：连结 B ，E （见左下图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都 加上三角形 BEO ，则原来的问题转化为求三角形 BEC 与三角形 BEF 的面积之差。所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。 ：连结 C ，F （见右上图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都 CFO ，则原来的问题转化为求三角形 BCF 与三角形 ECF 所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。 答：三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差是 3. 解法二 加上三角形 的面积之
小升初奥数等积变形
一、学奥数到底有什么用 对目前绝大部分学奥数的孩子和他们的家长来说，那就是通过各种杯赛获奖得到一个上 重点中学试验班的机会，因为现在的升学制度决定了奥数已经成为升学的一个重要手段。其实我们目前学的某些内容，比如抽屉原理等，可能以后在初中甚至高中的课本里我们都根本 不可能接触到的，但是我们学习的其实是一些思想方法，更具体的说，是培养一种解决问题的能力。能把小学奥数学好的同学，我相信学习中学的知识的时候，至少在理科方面，那绝对是游刃有余的。 二、怎样学好奥数 学奥数最佳的起步时间应该是三年级，这个时间启蒙教育特别重要，能不能尽快入门， 或者说“开窍“，这是一个很重要的时期。五年级的时候最好就应该把六年级的内容学的差不 多了. 下面具体谈一下奥数的学习方法学奥数有诀窍吗？根据我学习奥数的经验，答案是没 有。但如果非要我说一个的话，那就是“做题”。 那么这里就有两个问题了，一是我该做哪些题呢？二是我该做多少，应该怎么做呢？ 我们先说一下做哪些题，现在市面上的奥数书种类繁多。我觉推荐《华罗庚学校数 学课本》，这本书内容不难，适合入门学习。《华罗庚思维训练导引》是一本分类习 题集，每个专题15个题目，虽然有的题目偏难，但这本书选题都非常有代表性，值 得一做（做三星题目为主）。 除了专题训练外，大量的综合练习也是必不可少的，《小学数学ABC》《小学数学奥林匹克试题详解》和刘京友编写的《题库》这3本书非常好。 通过做综合练习找出自己问题所在，再集中的有针对性的加强这方面的练习，达到差漏补缺的目的。这就要求我们每次做完题，不会的或者做错的一定要弄明白为 止。有的同学可能一天做好几套题目，做完了对对答案，每套错的都不多，自我感 觉也不错，做了半天也累了就把书扔下不管了。这样的学习是没有效果的，因为你 原先会的还是会，不会的那些呢？还是不会！ 因此题目不在于你做了多少，关键是你遇到的每一道题目无论你当时是否会做，事后你是否都真正理解了，再遇到类似的题目还会不会做。如果我真正能做到做一 套题就把里面所有的题目吃透，那么我学习的效果要比刚才提到的一天做好几套但 不注意总结的同学好的多。 其实你好好把题目总结一下花不了太多时间，而且对自己的帮助真的很大。希望同学们也能做到这点，至少，对于做错的题目一定要引起重视。每天学习完或者做 完题，自己都问问自己，我今天学到了什么新的方法，我哪个题目思路上有问题以
等积变形习题
六年级奥数解析（七十）形体的等积变形 [ 2013-3-21 2:57:00 | By: spring ] 4 推荐 《奥赛天天练》第42讲《形体的等积变形》。 在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的等积变形。 本专题学习，需要学生熟练掌握并能灵活运用长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式。解答此类问题的关键是抓住题中隐藏的等量关系：物体在改变形状的过程中体积不变，即形状发生改变前后物体的体积相等。 《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习1 【题目】： 在底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有7厘米高的水，把一小块铁浸入水中，这时水面上升到9厘米，问这块铁块的体积有多大？ 【解析】： 这块铁块的体积就是圆柱形杯中上升的那部分水的体积（即底面半径为10厘米，高为2厘米的圆柱形体积）： 3.14×102×（9－7）＝628（立方厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习2 【题目】： 有甲、乙两个容器如图所示，（长度单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 【解析】： 先求出倒入甲容器的水的体积： 3.14×62×10×1/3＝376.8（立方厘米）
再用水的体积除以乙容器的底面积，求出乙容器的水深： 378.6÷（3.14×42）＝7.5（厘米）。 注：此类习题列综合算式，先约分再计算，可以使计算更加简洁。 《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题1 【题目】： 把一块长19厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体铝块和一个棱长为7厘米的正方体铝块熔铸成一个底面周长为31.4厘米的圆柱形的铝块，求圆柱形铝块的高是多少厘米？ 【解析】： 熔铸成的圆柱形铝块的体积就等于长方体铝块和正方体铝块的体积之和：19×5×3＋73＝628（立方厘米） 用圆柱形铝块的体积除以它的底面积，可以求出它的高为： 628÷[3.14×（31.4÷3.14÷2）2]＝8（厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题2 【题目】： 在一个底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一个底面半径为10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中，当钢材从桶里取出后，桶里的水面下降3厘米，求这段钢材的长。 【解析】： 圆柱形钢材的体积就等于水桶里下降的那部分水的体积（即底面半径为20厘米，高为3厘米的圆柱形体积）： 3.14×202×3＝3768（立方厘米） 所求钢材的长为： 3768÷（3.14×102）＝12（厘米）。 《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题1 【题目】： 有两个等高的圆柱体，小圆柱体底面积是50平方厘米，大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％，大圆柱体的体积为360立方厘米，求小圆柱体的体积。 【解析】： 要求出小圆柱体的体积，已知小圆柱体的底面积，还需要先求出小圆柱体的高。因为两个圆柱体等高，只求出大圆柱体的高就等于小圆柱体的高。 由“大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％”，可以求出大、小圆柱体底面直径之比为： （1＋20％）：1＝6 ：5 则两个圆柱的底面积比为：62：52＝36 ：25 解法一：又因为小圆柱体底面积是50平方厘米，可以求出大圆柱体的底面积为： 50×36/25＝72（平方厘米）
五年级下册奥数讲义试题-第四讲 水面高度变化和等积变换全国通用
第四讲水面高度变化和等积变换 水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。 例题选讲 例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米?、 【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。 解：50厘米一5分米 5÷(25X20)+15 =O．25+15 =15．25(分米) 答：容器中水深15．25分米。 例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米? 【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的20厘
米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。 解：25×25×20÷(50×50)+20 =5+20 =25(厘米) 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。 例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。 【分析与解答】将一个小长方体铁块和一个小正方体铁块熔铸成一个大长方体，形状虽然变了，但体积和没有发生变化，因此大长方体铁块的体积就等于小长方体铁块与小正方体铁块的体积和。然后根据体积除以底面积求出高。 解：(9×7×3+5。)÷20 =314÷20 =15．7(厘米) 答：这个长方体的高是15．7厘米。 练习与思考 1．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。现在在水中沉入一个棱长15分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分 米?2．一个长方体容器．，长90厘米，宽40厘米。容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0．5米。 3．一个棱长6分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12分米，宽6分米，高5分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。
等积模型
五年级奥数-等积变形模型-第3次课 等积变形模型 【典型例题】 例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？ 【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点
【典型例题】 例1将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？ 【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点
例2：如图，在梯形 A B C D中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ M P Q N O 例3：正方形A B C D和正方形C E F G，且正方形 A B C D边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ A D G F H B C E 【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。
例5：如图，三角形ABC 的面积为1，AE=ED ，BD= 32 BC ，求阴影部分的面积。 巩固1：如图所示，BD=3 2 BC ，AE=ED ，若三角形ABC 的面积是14平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ A B A B
巩固2：如图，三角形ABC 的面积为40平方厘米，AE=DE ，DC=2DB ，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 巩固3：如图，三角形ABC 的面积是12平方厘米，EC=2AE ，F 是AD 的中点，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 例6：如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米。 巩固：如图，正方形的边长分别是10厘米、6厘米，求阴影部分的面积。 A A
五年级奥数-等积变换求面积
等积变换求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道：等底等高的两个三角形面积相等. 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形Ａ １ ＢC与A 2 BC、A 3 BC的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法,常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案.不要盲目地乱动手．本讲中.的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形AＢＣ的面积为1，BＥ= 2AB，BC＝CD，求三角形BDＥ的面积? 例2、如下图，A为△CDＥ的DE边上中点,BC= 3 1 CD，若△ＡBC(阴影部分）面积为5平方厘米,求△ＡBD及△ACＥ的面积. 基本概念 例题分析
例3、２00２年在北京召开了国际数学家大会,大会会标如下图所示,它是由四个相同的直角三角形拼成(直角边长为2和3),问:大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和ＤEF是两个完全相同的直角边长等于９厘米的等腰直角三角形,求阴影部分的面积． 练习提高 1、如图,已知平行四边形AＢCD的面积是６０平方分米，E、Ｆ分别是AB、AＤ边上的中点,图中阴影部分的面积是多少平方分米 ? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米,AF＝BE,图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？
小学五年级 等积变形
1 第五讲 等积变形 答案 方法与技巧： （1）等底等高的两个三角形面积相等。 （2）两个三角形如果有相等的底（或高），且其中一个三角形的高（或底）是另一个三角形高（或底）的若干倍，那么，这个三角形的面积是另一个三角形面积的若干倍。 【例1】如下图所示，四边形ABCD 是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为4平方厘米和8平方厘米，求直角梯形ABCD 的面积。（18） 【练习1】如图所示，三角形ABO 的面积为9平方厘米，线段BO 的长度是OD 的3倍，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？（48） 【例2】如图所示，把三角形ABC 的一条边AB 延长1倍到D 点 ，把它的另一条边AC 延长2倍到点E ，得到一个较大的三角形ADE ，三角形ADE 面积是三角形ABC 面积的多少倍？（6） 【练习2】如图所示，AE=3AB ，BD=2BC ，△DEC 的面积是△ABC 面积的 倍。（4）
【例3】已知三角形ABC面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（14） 【例4】如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM与三角形BCN的面积和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是多少平方厘米？（1.8） 【例5】如图所示，点M、N、P、Q分别在平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且PE//GM//CB，HN//QF//AB。若平行四边形ABCD的面积为600平方厘米、阴影部分的面积为80平方厘米。请问四边形MNPQ的面积为多少平方厘米？（340） 【例6】如图所示，在正方形ABCD的BC边上取一动点E，以DE为边作矩形DEFG，且FG边通过点A。在点E从点B移动到点C过程中，矩形DEFG的面积（）（E）Array（A）一直变大。 （B）一直变小。 （C）先变小后变大。 （D）先变大后变小。 （E）保持不变。 2
2020年四年级奥数春季班-第5讲等积变形(下)
2020年四年级奥数春季班 【动手算一算】 ⑴ ⑵ ⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF 的面积。 等积变形（下） (★★) (★★★)
如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？ 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？ 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形BDE的面积是多少？ (★★★) (★★★★) (★★★) (★★★★) (★★★)
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF的面积。 (★★★★★) 如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE的面积是多少？ 【大海点睛】 一、重要结论 1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等 结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等 如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，那么S△ACD＝S △BCD 2．结论㈡ ⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个 三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 ⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个 三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 二、技巧方法 1．平行线的来源 ⑴平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 ⑵已知平行 ⑶并排摆放的正方形的同方向对角线 2．已知做底边，等高优先找 三、经典例题 等积变形(上)：例3，例5，例6，例7 等积变形(下)：例2，例4，例5，例7
五年级奥数五个几何模型
直线形面积计算的五个模型 知识点精讲 一、 等积变换模型 （1） 等底等高的两个三角形面积相等； （2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比 等于他们底的比） AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ??= 1h 为公共的高，所以 12::BD DC s s = （3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。 底和高均不同，所以()21 ::)(ABD CDE BD DC h s s h ??=?? 比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6， 那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6） 二、 鸟头模型（共角模型） 两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。 BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ??=??所以 E :E:DA BAC DA A BA AC s s ??∠=??A 为公共角，所以 推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。 三、 蝴蝶定理模型 1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）
1243::s s s s =或者1342s s s s ?=? 14231243+AO:OC s s s s s s s s == =：：（）：（+） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。 2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理） 22 13:a b s s =： 22 1324 ::a b s s s s =：：：ab ：ab 整个梯形对应的面积份数为： 2(a+b) 四、 相似模型 相似三角形性质： （金字塔模型） （沙漏模型） 下面的比例关系适用如上两种模型： 1、AD AE DE AF AB AC BC AG === 2、 22::ADE ABC s s AF AG ??= 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下： （1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。 五、 燕尾定理
(完整版)五年级奥数题集锦答案
五年级奥数题集锦 1、甲乙两数的和是32，甲数的3倍与乙数的5倍的和是122，求甲、乙二数各是多少？ 解：设甲数为X，乙数为（32－X）。 3X＋（32－X）×5=122 3X＋160－5X=122 2X=38 X=19 32－X=32－19=13 答：甲数是19，乙数是13。 2、弟弟有钱17元，哥哥有钱25元，哥哥给弟弟多少元后，弟弟的钱是哥哥的2倍？ 解：设哥哥给弟弟X元后，弟弟的钱是哥哥的2倍。 （25－X）×2=17＋X 50－2X=17＋X 3X=33 X=11 答：哥哥给弟弟11元后，弟弟的钱是哥哥的2倍。 3、有两根绳子，长的比短的长1倍，现在把每根绳子都剪掉6分米，那么长的一根就比短的一根长两倍。问：这两根绳子原来的长各是多少？ 1＋1=2 1＋2=3 解：设原来短绳长X分米，长绳长2X分米。 （X－6）×3=2X－6 3X－18=2X－6 X=12 2X=2×12=24 答：原来短绳长12分米，长绳长24分米。 4、有大、中、小三筐苹果，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的4倍，大、中、小筐共有苹果多少千克。 解：设小筐装苹果X千克。 4X=2X＋16 2X=16 X=8 8×2=16（千克） 8×4=32（千克） 答：小筐装苹果8千克，中筐装苹果16千克，大筐装苹果32千克。
5、30枚硬币，由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各多少枚？ 9角9分=99分 解：设2分硬币有X枚，5分硬币有（30－X）枚。 2X＋5×（30－X）=99 2X＋150－5X=99 3X=51 X=17 30－X=30－17=13 6、搬运100只玻璃瓶，规定搬一只得搬运费3分，但打碎一只不但不得搬运费，而且要赔5分，运完后共得运费2.60元，搬运中打碎了几只？ 2.60元=260分 解：设搬运中打碎了X只。 3×（100－X）－5X=260 300－3X－5X=260 8X=40 X=5 答：搬运中打碎了5只。 7、参加校学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人，参加表演的运动员有多少人？ 解：设团体操原来每行X人。 2X－1=33 2X=34 X=17 17×17=289（人） 答：参加团体操表演的运动员有289人。 8、京华小学五年级的学生采集标本，采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人，全班学生共有40人，没有采集标本的有多少人？ 解：设没有采集标本的有X人。 25＋19－8＋X=40 36＋X=40 X=4 答：没有采集标本的有4人。 9、一个四位数，最高位上是7，如果把这个数字调动到最后一位，其余的数字依次迁移，则这个数要减少864，求这四位数。 解：设四位数的末三位为X。 7000＋X=10X＋7＋864 9X=6129 X=681 7000＋681=7681 答：这四位数是7681。
五年级奥数第5讲等积变形
第五讲长方体、正方体的表面积和体积 等积变形 例一、一个装有水的长方体水槽，底面积为80平方厘米，水深8厘米。现将一个底面积为16平方厘米的长方体铁块竖放入水底，仍有部分铁块露在外面，现在水深多少厘米？分析：根据题意可知，水槽中的水的体积在放入铁块后没有变化，依然是80×8=640（立方厘米），这时底面积为80-16=64（平方厘米）。根据体积=底面积×高，再求出现在的水深。 80×8÷（80-16） =640÷64 =10（厘米） 答：现在水深是10厘米。 巩固练习1 （1）一个底面积为360平方厘米的水槽内，水深12厘米，现将一个底面积为72平方厘米的长方体铁块竖放入水槽底部，仍有部分铁块露在外面，现在水深多少厘米？ （2）在一个长5分米、宽4分米、高6分米的水箱中，水深4分米，现将一个底面边长20厘米、高10分米的的长方体铁块，竖放入水底，现在水面距离水箱口多少分米？ （3）一个底面积为1200平方厘米、深为30厘米的水槽内，水深10厘米，现将一个底面边长为20厘米的长方体铁块竖放入水底，这时铁块仍高于水面，现在水面高是多少厘米？
例二、有一个长方体水槽，它的底面是边长是边长为20厘米的正方形，有一段横截面积是80平方厘米的长方形钢材浸没在其中，当钢材从水槽中取出以后，水槽的水面下降了3厘米，求这段钢材的长。 分析：根据题意可知，钢材的体积相当于水槽内下降部分的体积，即20×20×3=1200（立方厘米），再根据横截面面积×长=体积，求出这段钢材的长。 20×20×3÷8 =1200÷80 =15（厘米） 答：这段钢材的长是15厘米。 巩固练习2 （1）在一个棱长是24厘米的正方体容器中注入水。有一根横截面积是192平方厘米的长方形铁棒浸没在水中，当把铁棒从容器中取出后，容器中的水面下降了5厘米，求这根铁棒的长度。 （2）有一个装有水的小鱼缸，长4分米，宽2分米，水深2分米。把一块石头浸没在水中，水面上升了1分米。这块石头的体积是多少立方分米？ （3）有一个棱长是4厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁块后，水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？
五年级奥数——等积变形
年 级 授课日期 授课主题 第5讲——等积变形 教学内容 i.检测定位 两个平面图形面积相等，称为这两个图形等积.解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积.其中三角形的等积变形的技巧是各种等积变形的核心，都要运用到“等（同）底、等（同）高的两个三角形面积相等”这个基本规则，并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧. 【例1】如图5-1，ABCD 是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形.已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米，求直角梯形ABCD 的面积. 分析与解 因为三角形ADC 和三角形ADB 同底等高，所以ADB ADC S S ??=，又三角形AOD 是公共部分，可知).(3平方厘米==??COD AOB S S 在三角形BOC 与三角形DOC 中，BO 、OD 边上的高相等， 6是3的2倍，可知OD BO 2=，得AOD AOB S S ??=2，这样).(5.123平方厘米=÷=?AOD S 因此，).(5.13)36(3336平方厘米梯形=÷÷+++=ABCD S 随堂练习1 如图5-2，三角形ABO 的面积为9平方厘米，线段BO 的长度是线段OD 的3 倍，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？ 【例2】如图5-3，把三角形ABC 的一条边AB 延长1倍到D ，把它的另一边AC 延长2倍到E ，得到一个较大的三角形ADE ，三角形ADE 的面积是三角形ABC 面积的多少倍？
分析与解 如图5-4，连结BE ，因为AC CE 2=，所以ABC BCE S S ??=2，即ABC ABE S S ??=3.又因为BD AB =，则BDE ABE S S ??=，ABC ADE S S ??=6. 随堂练习2 如图5-5，DBE BC BD AB AE ?==,2,3面积是ABC ?面积的________倍. 【例3】如图5-6，已知三角形ABC 的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC 的2倍，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 分析与解 如图5-7，连结EC .EC 为平行四边形DEFC 的对角线.平行四边形DEFC 的面积是（平方厘米）28256=÷，由平行四边形的性质有.2S DEC ÷=?DEFC S 平行四边形 在ED CED AED 中，与??为公共底，,AC DE 平行于则 ED 边上的高相等，因此.DEC AED S S ??= ).(1422562平方厘米=÷÷=÷==??DEFC DEC AED S S S 随堂练习3 如图5-8，ABC ?的面积等于24平方厘米，M 为AB 中点，E 为AM 上任意一点，MD 与EC 平行.求EBD ?的面积.
等积变形一(4年级培优)教师版
（1）等底等高的两个三角形面积相等。 （2）夹在一组平行线之间的等底的三角形面积相等。 （3）等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看做特殊的平行四边形）（4）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形的一半。 （5）两个三角形高相等，面积比等于它们底之比；两个三角形底相等，面积比等于高之比。 两个平面图形面积相等，称为这两个图形等积。将所求的平面图形转化为已经学过的基本图形，这就是等积变形的基本方法。然而只有仔细观察、综合分析，不断提高识图能力，才能逐步形成在解题过程中进行等积变形的技能技巧。 在梯形中阴影部分面积是150平方厘米，求梯形面积。 25 15 解析：已知梯形上下底长为15、25.令梯形高为h。则由已知三角形面积为150平方厘米，有150=15×h÷2求得h=20（厘米）所以梯形面积S=（15+25）×20÷2=400（平方厘米）知识点：图形面积出处：五年级奥数教程难度系数：A 如图，已知平行四边形面积是48平方厘米，求阴影部分面积。 6 5 解析：已知梯形的高为6，面积是48平方厘米，可求得平行四边形的底为48÷6=8（厘米）所以阴影部分的底为8－5=3（厘米），即阴影部分的面积S=6×3÷2=9（平方厘米） 知识点：图形面积出处：五年级奥数教程难度系数：A
如图是两个完全相同的等腰直角三角形叠在一起，求阴影面积。（单位：分米） 33 8 G F E D C B A 解析：如图所示，由于a+b 的面积和b+c 的面积相等，我们可以得出：a 与c 的面积相等，题目要求c 的面积，其实只要求出a 的面积就可 以了。 则EF=8－3=5（分米） S=（5+8）×3÷2=19.5（平方分米） 知识点：图形面积 出处：五年级奥数教程 难度系数：A 如图是由两个完全相同的梯形重叠在一起而组成，求图中阴影部分的面积。（单位： 厘米） 2 5 10 解析：如图所示，a 的面积等于c 的面积，要求阴影部分c 的面积只要求出 a 的面积就可以了。 则梯形S=（10+8）×5÷2=45（平方厘米） 知识点：图形面积 出处：五年级奥数教程 难度系数：A 如图，求长方形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 15 10 解析：阴影部分的三个三角形高相等，那么它们的面积和就是它们的底的和乘以高除以2. 15×10÷2=75（平方厘米） 知识点：简单等积变形 出处：五年级奥数教程 难度系数：B 如图所示，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，图中阴影部分的面积与空白面积 c b a 338 G F E D C B A 2 510 c b a
五年级奥数一半模型教师版
一半模型 知识结构 一、三角形当中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。 在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2 特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2 ? 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2 二、平行四边形中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2， 平行四边行的面积公式S=底×高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！ 同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： 【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。 （）（）（）（） （）（） 三、梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。 如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2 如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。 四、任意四边形中的一半模型 如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2 【能力提升】
【巩固练习 】 【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。 24÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。 6×4÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【例2】如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，阴影部分面积是（ ）平方厘米． 【例3】 如图,长方形 AFEB 和长方形 FDCE 拼成了长方形 ABCD ,长方形 ABCD 的长是 20，宽是 12，则它内 部阴影部分的面积是多少？ 例题精讲 4 6
苏教版五年级上册同步奥数培优 第三讲多边形的面积(等积变形)
苏教版五上同步奥数培优第三讲多边形的面积(等积变形) 【知识概述】 三角形面积的公式是底×高÷2，两个三角形只要是底和高分别相等，它们的面积就相等，而这两个三角形的形状不一定完全相同，例如，下面的两个三角形面积就是相等的。 在解答一些平面图形的面积4时，我们可以巧用等底等高两个三角形面积相等的方法来 解答。 例题1：四边形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，如果四边形ABCD的面积是80平方厘米，求阴影部分BNDM的面积是多少平方厘米。 练习一： 1.如图，六边形ABCDEF的面积是16平方厘米，M，N，P，Q分别是AB，CD，DE，AF的中点。求图中阴影部分的面积。 2.如图，平行四边形的面积为50平方厘米，P是其中任意一点，求阴影部分面积。 3.如图，正方形的边长是6厘米，E，H是所在边的二等分点，F, G，L，M是所在边的三等分点，求阴影部分的面积和。 例2：如下图，三角形ABC为等边三角形，D为AB边上的中点。已知
三角形BDE的面积为 5平方厘米。求等边三角形ABC的面积。 练习二： 1.如图，平行四边形ABCD中，AE＝EF＝FB，AG＝2CG，三角形GEF的面积是6平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米? 2.如图，已知长方形ABCD，三角形ABG的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米。 3.如图，在一个等边三角形中任意取一点P，连接PA，PB，PC，过P点作三角形三边的垂线，E，F，G分别为垂足。三角形ABC被分成6个三角形。已知三角形ABC的面积为40平方厘米，求图中阴影部分的面积。 例3：下图中正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG＝5厘 米，问长方形的宽DE为多少厘米? 练习三： 1.如图，两个相同的直角三角形叠放在一起，求阴影部分的面积。(单位:分米) 2.如图，ABCD为长方形，AB＝10厘米，BC＝6厘米，E，F分别为AB，AD的中点，且FG＝2CGE。求阴影部分的面积。
五年级奥数培优教程之等积变形求面积
第2课等积变形求面积 一、知识要点 如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的2倍，大三角形高是小三角形高的。 如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的3倍，大三角形高是小三角形高的。 如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的4倍，大三角形高是小三角形高的。 如果两个三角形底相等，大三角形面积是小三角形面积的n倍，大三角形高是小三角形高的。 如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的2倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。 如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的3倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。 如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的4倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。 如果两个平行四边形形底相等，大平行四边形面积是小平行四边形形面积的n倍，大平行四边形高是小平行四边形高的。 二、典型例题分析 【例1】四边形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，如果四边形ABCD的面积是 80平方厘米，求阴影部分BNDM的面积是多少？【练一练】如图，六 边形ABCDEF的面积 是16平方厘米，M、N、P、Q分别是AB、CD、DE、AF的中点。 求图中阴影部分的面积。
【例2】如图，平行四边 形ABCD中，AE=EF= FB，AG=2CG，三 角形GEF的面积 是6平方厘米，平行四边形的面积是多少平方厘米？【练一练】如图，在一个等边三角形中任意取一点P，连接PA、PB、PC，过P点作三角形的垂线，E、F、G分别为垂足。三角形ABC被分成6个三角形。已 知三角形ABC的面积为40 平方厘米，求图中阴影 部分的面积。 【例3】下图中正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG=5厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？【练一练】两个相同的直角三角形叠放在一起，求 阴影部分的面积。（单位：分米）