第7讲 高中数学分布列与数学期望(解析版)
第7讲 分布列与数学期望
高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型 类型一：利用古典概型求概率
1．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W 型号，T 型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表
（Ⅰ）若在10月1日当天，从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X 表示其中W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）经测算，W 型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部)满足关系34ηξ=+．若表中W 型号手机销量的方差20(0)S m m =>，试给出表中5个手机店的W 型号手机销售成本的方差2S 的值．（用m 表示，结论不要求证明）
【解析】解：()I 设事件1M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机， 设事件2M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机， 则事件1M ，2M 相互独立，且161()6123P M =
=+，262
()695
P M ==+， ∴抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率为13
2212335
35355
P =⨯+
⨯+⨯=． ()II 由表格可知W 型号手机销售量超过T 型号手机的店有2个，故X 的可能取值有0，1，2
．
且33351(0)10C P X C ===，12233
53(1)5
C C P X C ===，2123353
(2)10C C P X C ===． X ∴的分布列为：
数学期望为1336()012105105
E X =⨯
+⨯+⨯=． 2
0()
()III D s m ξ==，34ηξ=+，
2()9()9S D D m ηξ∴===．
2．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；
（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；
（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）
【解析】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y 的值小于60， 答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为： 1535010
p =
=． （2）由图知：A 、C 两人指标x 的值大于1.7，而B 、D 两人则小于1.7，
可知在四人中随机选项出的2人中指标x 的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，
1，2，
2411(0)6
P C ξ==
=， 1122242
(1)3
C C P C ξ===，
2411(2)6
P C ξ==
=， ξ∴的分布列如下：
答：121
()0121636
E ξ=⨯+⨯+⨯=．
（3）答：由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大．
3．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和数学期望．
【解析】解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，
则P （A ）11232
5233
2010
A A A ⨯===； （2）X 的可能取值为200，300，400，
222521
(200)2010
A P X A ====
， 311232323
562323
(300)6010
A C C A P X A ++⨯⨯====， 133
(400)1(200)(300)110105
P X P X P X ==-=-==--=；
所以X 的分布列为：
数学期望为133
20030040035010105
EX =⨯
+⨯+⨯=． 类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率 4．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢．“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(1k =，2，3，4，5，6)．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．
【解析】解：（Ⅰ）设事件A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为140503002008005102000+++++=部， 第四类电影中获得好评的电影有：2000.2550⨯=部，
∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：
P （A ）50
0.0252000
=
=． （Ⅱ）设事件B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”， 第四类获得好评的有：2000.2550⨯=部， 第五类获得好评的有：8000.2160⨯=部，
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：
P （B ）50(800160)(20050)160
0.35200800
⨯-+-⨯=
=⨯．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：
0,1,k k k ξ⎧=⎨
⎩
第类电影没有得到人们喜欢
第类电影得到人们喜欢，
则k ξ服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：
1()10.400.60.4E ξ=⨯+⨯=，
221()(10.4)0.4(00.4)0.60.24D ξ=-⨯+-⨯=．
第二类电影：
2()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=，
222()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．
第三类电影：
3()10.1500.850.15E ξ=⨯+⨯=，
223()(10.15)0.15(00.15)0.850.1275D ξ=-⨯+-⨯=．
第四类电影：
4()10.2500.750.25E ξ=⨯+⨯=，
224()(10.25)0.25(00.25)0.750.1875D ξ=-⨯+-⨯=．
第五类电影：
5()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=，
225()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．
第六类电影：
6()10.100.90.1E ξ=⨯+⨯=，
225()(10.1)0.1(00.1)0.90.09D ξ=-⨯+-⨯=．
∴方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系为：
632541D D D D D D ξξξξξξ<<=<<．
5．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为2
3
．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）设甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为X ，求0X =，1X =，2X =，3X =时的概率(0)P X =，(1)P X =，(2)P X =，(3)P X =．
（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．
【解析】解：（1）321(0)(1)327
P X ==-=，
1
23
222(1)(1)339
P X C ==-=， 223224
(2)()(1)339P X C ==-=，
33
328(3)()327
P X C ===
． （2）设乙同学上学期间的三天中在7:30之前到校的天数为Y ， 则1(0)(0)27P Y P X ====
，2
(1)(1)9
P Y P X ====， 4(2)(2)9P Y P X ====
，8(3)(3)27
P Y P X ====， 418220
()(2)(0)(3)(1)927279243
P M P X P Y P X P Y ∴===+===⨯+⨯=
． 类型三：利用条件概率公式求概率
6．如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到)B ；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到)C ，当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到)D ．在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
（1）求点P 恰好返回到A 点的概率；
（2）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求
ξ的分布列及数学期望．
【解析】解：（1）投掷一次正方体玩具，因每个数字在上底面出现是等可能的，故其概率121
63
P ==． 易知只投掷一次不可能返回到A 点．
①若投掷两次质点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字，
应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为2211
()333
P =⨯=．
②若投掷三次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字，
应依次为：(1，1，2)、(1，2，1)、(2，1，1)三种结果，其概率为3311
()339
P =⨯=
． ③若投掷四次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1，1，1，1)，
其概率为4411
()381
P ==．
所以，质点P 恰好返回到A 点的概率为：234
11137
398181
P P P P =++=++=． （2）由（1）知，质点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种情况， 且ξ的可能取值为2，3，4． 则1
27
3(2)373781
P ξ===，1
99(3)373781
P ξ==
=，1
181(4)373781
P ξ===，故ξ的分布列为：
所以，279185
23437373737
E ξ=⨯
+⨯+⨯=
．
7．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：)mm 对工期的影响如下表：
300700X <700900X
<
900
2 6 10
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
()I 工期延误天数Y 的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
【解析】()I 由题意，(300)0.3P X <=，(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X <=<-<=-=，(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X <=<-<=-=，(900)10.90.1P X =-=
Y 的分布列为
()00.320.460.2100.13E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=
∴工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8；
（Ⅱ）(300)1(300)0.7P X P X =-<=，(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X <=<-<=-= 由条件概率可得(300900)0.66
(6|300)(300)0.77
P X P Y X P X <=
==．
类型四：利用统计图表中的数据求概率
8．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C)︒有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
【解析】解：（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，
216
(200)0.290P X +===， 36
(300)0.490
P X ==
=，
2574
(500)0.490
P X ++==
=， X ∴的分布列为：
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，
∴只需考虑200500n ，
当300500n 时，
若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；
若最高气温位于区间[20，25)，则63002(300)412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-， 20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=-，
当200300n 时，
若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=，
若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-， 2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n ∴=⨯++-⨯=+．
300n ∴=时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．
9．某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）．
（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？
（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为(0，0.5]，(0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]．如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；
（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？
附：2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
02)k
【解析】解：（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应收集手机4500.145⨯=户山区家庭的样本数据．
（2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为(0.5000.3000.100)0.50.45++⨯=． （3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为(0.3000.100)0.515030+⨯⨯=户． 而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：
所以22
150(2540580)200 3.175 2.706301201054563
K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”．
高考预测二：超几何分布和二项分布 类型一：超几何分布
10．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；
()ii 设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”
，求事件A 发生的概率． 【解析】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2， 从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，
随机变量X 的取值为：0，1，2，3，343
3
7
()k k
C C P X k C -⋅==，0k =，1，2，3． 所以随机变量的分布列为：
随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=； ()ii 设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”
， 设事件B 为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C 为抽取的3人中， 睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人， 则：A B
C =，且P （B ）(2)P X ==，P （C ）(1)P X ==，
故P （A ）6()(2)(1)7
P B C P X P X ===+==
． 所以事件A 发生的概率：
67
． 11． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物． 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；
在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的 2.5PM 监测数据如茎叶图所示．
（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天 2.5PM 日均监测数据未超标的概率；
（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求ξ的分布列
及期望．
【解析】解：（1）记“当天 2.5PM 日均监测数据未超标”为事件A ， 因为有24+天 2.5PM 日均值在75微克/立方米以下， 故P （A ）243
105
+=
=． （2）ξ的可能值为0，1，2，3．
由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．
363101(0)6C P C ξ===，21643101
(1)2
C C P C ξ===，
12643103(2)10C C P C ξ===
，343101
(3)30
C P C ξ===． ξ的分布列如下表：
11316
01236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．
类型二：二项分布
12．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为X ，求X 的分布列、数学期望和方差．
【解析】解：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P
．
11
6511101037
111010
C C P C C =-=-=，
（2）设该顾客在一次抽奖中获一等奖的概率为1P ，
1145112
101015
C C P C C ==， 故而1
?(3,)5
X B ．
3464(0)()5125P X ∴===，12
31448(1)()55125P X C ===
， 2231412(2)()55125P X C ===
，311
(3)()5125
P X ===． 故X 的分布列为
数学期望13()3
55E X ==，方差1412()35525
D X ==． 13．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数(,)AirQualityIndex AQI 是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0~50为优；51~100为良；101~150为轻度污染；
151~200为中度污染；201~300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔
滨市10天的AQI 的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良(100)AQI 的天数；（按这个月总共30天计算）
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．
【解析】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4， 故该样本中空气质量优良的频率为
63
105
=，从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究， 基本事件总数2615n C ==，
抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，
∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：
2
426315
C p C =-=．
（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为3
5，
ξ∴的所有可能取值为0，1，2，3，且3
~(3,)5B ξ，
328
(0)()5125P ξ===
， 12
33236(1)()55125P C ξ===
， 2233254
(2)()55125P C ξ===
， 3327
(3)()5125
P ξ===
， 故ξ的分布列为：
3~(3,)5B ξ，33 1.85
E ξ=⨯=．
高考预测三：概率与其他知识点交汇 类型一：以其他知识为载体
14．已知正四棱锥PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：
若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；
若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）． （1）求(0)P ξ=的值；
（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．
【解析】解：（1）根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，
PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：0，
3π，2
π
， 在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数2828n C ==种情况， 当0ξ=时有2种，当3
πξ=
时有342420⨯+⨯=种，当2
πξ=
时有246+=种．
21
(0)2814
P ξ∴==
=． （2）21(0)2814
P ξ==
=． 205()3287
P πξ===，
63()22814
P πξ===．
随机变量ξ的分布列如下表：
15329()0143721484
E ξ=⨯
+⨯+⨯=
． 15．从集合{1M =，2，3，4，5，6，7，8，9}中抽取三个不同的元素构成子集1{a ，2a ，3}a ． （1）求对任意的i 和(1j i =，2，3，1j =，2，3，)i j ≠满足||2i j a a -的概率；
（2）若1a ，2a ，3a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ．
【解析】解：（1）由题意知基本事件数为3
9
84C =， 而满足条件||2i j a a -，即取出的元素不相邻，
则用插空法有3
735C =种，
故所求事件的概率为355
8412
P =
=； （2）分析1a ，2a ，3a 成等差数列的情况：
1ξ=的情况有7种：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，{7，
8，9}，
2ξ=的情况有5种：{1，3，5}，{2，4，6}，{3，5，7}，{4，6，8}，{5，7，9}． 3ξ=的情况有3种：{1，4，7}，{2，5，8}，{3，6，9}．
4ξ=的情况有1种：{1，5，9}．
故ξ的分布列如下：
所以753115()1234161615168
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=． 类型二：构造递推关系求概率问题
16．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0i p i =，1，⋯，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11(1i i i i p ap bp cp i -+=++=，2，⋯，7)，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=． ()i 证明：1{}(0i i p p i +-=，1，2，⋯，7)为等比数列； ()ii 求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．
【解析】（1）解：X 的所有可能取值为1-，0，1．
(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--，(1)(1)P X αβ==-，
X ∴的分布列为：
（2）()i 证明：0.5α=，0.8β=，
∴由（1）得，0.4a =，0.5b =，0.1c =．
因此110.40.50.1(1i i i i p p p p i -+=++=，2，⋯，7)， 故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即11()4()i i i i p p p p +--=-， 又
1010p p p -=≠，1{}(0i i p p i +∴-=，1，2，⋯，7)为公比为4，首项为1p 的等比数列；
()ii 解：由()i 可得，
881887761001(14)41
()()()143p p p p p p p p p p --=-+-+⋯+-+==-，
81p =，183
41
p ∴=
-， 444332*********
()()()()3257p p p p p p p p p p p -∴=-+-+-+-+==
． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率．
由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为41
0.0039257
p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 17．从原点出发的某质点M ，按向量(0,1)a =移动的概率为2
3
，按向量(0,2)b =移动的概率为13，设M 可
到达点(0，)(1n n =，2，3，)⋯的概率为n P ． （1）求1P 和2P 的值；
（2）求证：2111
()3
n n n n P P P P +++-=--；
（3）求n P 的表达式．
【解析】解：（1）123P =
，22217
()339
P =+= （2）证明：M 点到达点(0,2)n +有两种情况 ①从点(0,1)n +按向量(0,1)a =移动 ②从点(0,)n 按向量(0,2)b =移动
∴2121
33
n n n P P P ++=
+ ∴2111
()3
n n n n P P P P +++-=-
- 问题得证．
（3）数列1{}n n P P +-是以21P P -为首项，13-
为公比的等比数列 1111211111
()()
()()3933n n n n n P P P P --++-=--=-=- 11
()3
n n n P P -∴-=-
又因为111221()()()n n n n n P P P P P P P P ----=-+-+⋯+-
12111()()()333n n -=-+-+⋯+-
111
[1()]123
n -=
-- 11n n P P P P ∴=-+
∴113
()434
n n P =
⨯-+． 类型三：利用导数研究概率问题
18．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()()f p f p 的最大值点0p （即()f p 取最大值时对应的p 的值）．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值，已知每件产品的检验费用为3元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用
()i 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为X 求()E X ； ()ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解析】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，
则221820()(1)f p C p p =-，
2182172172020()[2(1)18(1)]2(1)(110)f p C p p p p C p p p ∴'=---=--，
令()0f p '=，得0.1p =， 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>， 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<， f ∴()p 的最大值点00.1p =．
（2）()i 由（1）知0.1p =，
令Y 表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知~(180,0.1)Y B ，
20328X Y =⨯+，即6028X Y =+，
()(6028)6028()60281800.1564E X E Y E Y ∴=+=+=+⨯⨯=．
()ii 如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为600元， ()564600E X =<，
∴应该对余下的产品不进行检验．
19．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各个水果是否为不合格品相互独立．
（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为()f p ，求()f p 取最大值时p 的值0p ；
（Ⅱ）现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以（Ⅰ）中确定的0p 作为p 的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a 元的赔偿费用(*)a N ∈．
（ⅰ）若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？
【解析】解：（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格的概率为()f p ，则2
2810()(1)f p C p p =-，
282710()[2(1)8(1)]f p C p p p p ∴'=---，
由()0f p '=，得0.2p =．
且当(0,0.2)p ∈时()0f p '>，当(0.2,1)p ∈时，()0f p '<， ()f p ∴的最大值点00.2p =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知00.2p =．
（ⅰ）令Y 表示余下的70个水果中的不合格数，依题意~(70,0.2)Y B ，10 1.515X aY aY =⨯+=+． ()(15)15()15700.21514E X E aY aE Y a a ∴=+=+=+⨯⨯=+．
（ⅱ）如果对余下的水果作检验，则这箱水果的检验费为120元， 由1514120a +>，得105
7.514
a >
=，且*a N ∈， ∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．
高考预测三：决策问题
20．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个300元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X 的分布列；
（2）若要求()0.5P X n ，试确定n 的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？
高中离散型随机变量的分布列、期望与方差
第51讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 【学习目标】 1．了解离散型随机变量的期望、方差、标准差的概念，会求某些简单的离散型随机变量的概率分布． 2．会根据离散型随机变量的分布列求期望、方差或标准差，并能解决一些实际问题． 3．理解超几何分布、二项分布的试验模型，会将某些特殊离散型随机变量的分布列、期望与方差转化化归为二项分布求解． 【知识要点】 1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量 如果随机试验的每一个试验结果都可以用一个确定的数字表示，数字随着试验结果的变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示． (2)离散型随机变量 对于随机变量可能取到的值，可以按一定顺序一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量． (3)分布列 设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，而每一个值的概率为P(X＝x i)＝p i (i＝1，2，…，n)． 则称表 为随机变量X的概率分布列． (4)分布列的两个性质 ①0≤p i≤1，i＝1，2，…，n. ②p1＋p2＋…＋p n＝1． 2．两点分布 如果随机变量X 的分布列为 (其中0 分布列、期望、方差知识总结 一、知识结构 二、知识点 1.随机试验的特点: ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 2.分类 随机变量 （如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。） 离散型随机变量 在上面的射击、产品检验等例子中，对于随 机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一 一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变 量． 连续型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变 量.连续型随机变量的结果不可以一一列出. 随机变量 条件概率 事件的独立性 正态分布 超几何分布 二项分布 数学期望 方差 离散型随机变量的数字特征 离散型随机变量 连续性随机变量 3.离散型随机变量的分布列 一般的,设离散型随机变量X可能取的值为 x1,x2, ,x i , ,x n X取每一个值xi(i=1,2,）的概率 P(ξ=x i）＝P i，则称表 为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列 性质： ①pi≥0, i =1，2，…； ②p1 + p2 +…+p n= 1． ③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。 4.求离散型随机变量分布列的解题步骤 例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列. 解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0 且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3 因此所求分布列为： 引出 二点分布 如果随机变量X的分布列为： 其中0 离散型随机变量的分布列与数学期望 班级姓名 如右表：则x= 。 ，，三个空邮箱，则 2.两封信随机投入A B C A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ=． 3.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的 干部竞选． （1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 4.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球， 现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （1）求取出的4个球均为黑球的概率； （2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率； （3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ数学期望． 5、为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. （I）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； （II）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望. 6.（本题满分12分） 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情 况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)， 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第 2小组的频数为12. (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望. 7．某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为 2 1 ,32,32，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。 (Ⅰ)求该项技术量化得分不低于8分的概率； (Ⅱ)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望。 8.某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回． （1）设第一次训练时取到的新球个数为 ，求 的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率． 高三数学离散型随机变量的分布列、期望与方差 【本讲主要内容】 离散型随机变量的分布列、期望与方差 求解某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差． 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 离散型随机变量的分布列 （1）随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母ξ、η表示． 例如课本上的两个例子： ①某人射击一次可能出现的命中环数ξ是一个随机变量，ξ可取值为：0，1，2， (10) ②某次产品检验所取4件产品中含有的次品数η是一个随机变量，η可取值为：0，1，2，3，4． ③一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3只球， 被取出的球的最大数ξ是一个随机变量，ξ可取值为3，4，5． ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3； ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4； ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或 2，4，5或3，4，5． 随机变量最常见的两种类型： ①离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． ②连续型随机变量：如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量． （2）离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ的可能取值为x 1，x 2，…，x i ，…， ξ取每一个值x i （i ＝1，2，…）的概率P （＝x i ）＝p i ，则表 例如抛掷一个色骰子得到的点数ξ可能取值为1，2，3，4，5，6．ξ取各值的概率都等于 6 1． 此表从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况． 离散型随机变量的分布列具有下列性质： ①,2,1(0=≥i p i ...)；②p 1＋p 2＋ (1) 一般地，离散型随机变量在某一取值X 围内取值的概率等于它取值这个X 围内各值的概 6.6 分布列基础（精讲）（基础版）思维导图 考点呈现 考点一 超几何分布 【例1】（2022·四川绵阳）某校高一，高二年级的学生参加书法比赛集训，高一年级推荐了4名男生，2名女生，高二年级推荐了3名男生，5名女生，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队参加市上比赛. (1)求高一恰好有1名学生入选代表队的概率； (2)正式比赛时，从代表队的6名队员中随机抽取2人参赛，设ξ表示参赛的男生人数，求ξ的分布列和数学期望 【答案】(1)435；(2)ξ的分布列见解析，()1E ξ=. 【解析】(1)从参加集训的男生中随机抽取3人， 女生中随机抽取3人组成代表队的抽取方法数为3377C C 1225⋅=， 代表队中恰好有1名高一学生的抽取方式中， 恰有1名高一学生，若学生为男生，则抽取方法数为123435C C C 120⋅⋅=， 若学生为女生，则抽取方法数为312325C C C 20⋅⋅=， ∴高一恰好有1名学生入选代表队的概率120204122535 P +==； (2)依题意得，ξ的所有可能取值为0,1,2， 则()2326C 310C 155 P ξ====， ()113326C C 3331C 155 P ξ⨯====， ()2326C 312C 155 P ξ====，ξ∴的分布了如下： 例题剖析 ()1310121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=. 【一隅三反】 1．（2022·全国·高三专题练习）一个袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出3个球． (1)求至少摸到1个红球的概率； (2)求摸到红球的个数ξ的概率分布及数学期望． 【答案】(1)5556.(2)分布列见解析，()158 E ξ=. 【解析】(1)设至少摸到1个红球为事件A ，则3338C 55()1C 56 P A =-=. (2)ξ服从超几何分布，3 5338 C C (C k k P k ξ-⋅=)=(0,1,2,3)k =， 035338C C 1(C 56P ξ⋅=0)==，125338 C C (C P ξ⋅=1)==1556， 215338C C (2C P ξ⋅=)==30155628=，305338C C (3C P ξ⋅=)==1055628 =. 所以摸到红球的个数ξ的概率分布列为 11515515()0123565628288 E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 2．（2022·北京·景山学校模拟预测）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14，(]14,16，(]16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． 随机变量的分布列 一、【考点系统归纳】 1.离散型随机变量——如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的概率分布（离散型随机变量的分布列） X 1x 2x ⋯ i x ⋯ n x P 1p 2p ⋯ i p ⋯ n p 离散型随机变量的分布列的性质： （1）；，，，，n i p i ⋯=≥321,0 （2）121=⋯++n p p p . 3.离散型随机变量的期望与方差： (1)期望: =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ 的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有 =1p =2p …n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 (2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝12 1)(p E x ⋅-ξ＋22 2)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 4.几种分布列： （1）二点分布： 其中p q p -=<<1,10，则称离散型随机变量的X 服从参数为p 的二点分布. 举例：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得一分，不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中得概率为0.8，则他罚球一次的得分的分布列为随机变量X 服从参数p 的二项分布. 二点分布的期望与方差：期望p X E = )(,方差)1()(p q pq X D -==. (2).超几何分布： 设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率P (X ＝m )＝ C M m C N －M n －m C N n (0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小 的一个)，称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布．超 X 1 0 P p q 频率组距 岁 （17）（本小题满分13分） 为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表： 成绩等级 A B C D E 成绩（分） 90 70 60 40 30 人数（名） 4 6 10 7 3 其成绩等级为“A 或B ”的概率； （Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选 3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ； （Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率． （16）（本小题共13分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示． （Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如 图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，） 岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 分组 （单位：岁） 频数 频率 [)20,25 5 050.0 [)25,30 ① 200.0 [)30,35 35 ② [)35,40 30 300.0 []40,45 10 100.0 合计 100 00.1 第7讲分布列与数学期望(解析版)第7讲分布列与数学期望(解析版) 在统计学中，分布列与数学期望是常用的分析工具。它们能够帮助我们理解随机变量的分布和特征。本文将对分布列与数学期望进行解析，并探讨它们在实际问题中的应用。 一、分布列 分布列是用来描述离散型随机变量的概率分布的一种方式。对于一个具体的随机变量X，其可能取到的数值通常是有限个或可数个。我们可以列出每个数值对应的概率，形成一张分布列。分布列通常以表格的形式呈现，其中包括随机变量的取值和对应的概率。 举个例子，假设随机变量X表示投掷一个骰子后的点数。在这种情况下，X可以取到1、2、3、4、5、6这六个数值。我们可以计算出每个数值对应的概率，得到如下的分布列： | X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------| | P(X) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 通过分布列，我们可以清晰地看到每个点数出现的概率是相等的。 除了离散型随机变量外，连续型随机变量也可以通过分布列进行描述。连续型随机变量的分布列变成了概率密度函数，其中表示为概率的数值变为密度。 二、数学期望 数学期望是随机变量的平均值，在概率论中有着重要的意义。数学 期望反映了随机变量取值的中心位置。 对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)定义为： E(X) = ∑(x·P(X=x)) 其中，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示该取值的概率。 以前述的投骰子问题为例，我们可以计算出随机变量X的数学期望：E(X) = (1/6)·1 + (1/6)·2 + (1/6)·3 + (1/6)·4 + (1/6)·5 + (1/6)·6 = 3.5 可以看出，投骰子问题中，骰子点数的数学期望是3.5。这意味着 在长期投掷骰子的过程中，平均每次投掷的点数将接近于3.5。 对于连续型随机变量，数学期望的计算方式有所不同。其定义为：E(X) = ∫(x·f(x))dx 其中，f(x)表示连续型随机变量X的概率密度函数。 三、应用示例 分布列与数学期望在实际问题中有着广泛的应用。以下是一些示例： 1. 财务分析：通过分布列和数学期望，我们可以计算出企业的收入、成本、利润的概率分布，并进一步分析风险和回报的情况。 专题35分布列与期望及决策问题 【高考真题】 1．(2022·全国甲理)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望． 2．(2022·北京)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上(含9.50m) 的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证 【知识总结】 离散型随机变量X 的分布列为 则，(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n . (2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. (3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n . (4)D (X )＝ i ＝1n [x i －E (X )]2p i . (5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X )． 【题型突破】 1．某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1，2，3，4班准备从《唱 作业：分布列练习 【时间：60分钟】 1．从装有3个白球，4个红球箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球概率是( )．A.435 B.635 C.1235 D.36343 2．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为： 则q 等于( )．A ．1 B ．1±22 C ．1－2 2 D ．1 ＋ 2 2 3．设某项试验成功率是失败率2倍，用随机变量X 去描述1次试验成功次数，则P (X ＝0)等于( )．A ．0 B.12 C.13 D.2 3 4．在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄 中交通不方便村庄数，下列概率中等于C 47C 6 8 C 1015 是( )． A ．P (X ＝2) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝4) D ．P (X ≤4) 5．随机变量X 概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋1 (n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则 P ⎝ ⎛⎭ ⎪⎪⎫12 专题06 概率及分布列及数学期望（专题测试） 【基础题】 1、（2020·西北师大附属中学高二期末）袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能取值为( ) A ．1,2，…，6 B ．1,2，…，7 C ．1,2，…，11 D ．1,2,3… 【答案】B 【解析】 从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球. 2、（2020·宁夏银川一中高二期末）已知离散型随机变量X 的概率分布列如下： 则实数c 等于( ) A ．0.5 B ．0.24 C ．0.1 D ．0.76 【答案】C 【解析】 据题意得0.20.30.41c +++=，所以0.1c = ，故选C. 3、（2020·江苏省南京外国语高二期末）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X ，男生的人数为变量Y ，则 ()()22P X P Y =+=等于( ) A ．22 10203 30 C C C B ．2210203 30 C C C + C ．2112102010203 30 C C C C C + D ． ()( )211210201020 3 30 C C C C C +⋅+ 【答案】C 【解析】 由题得211210201020 33 3030 (2),(2)C C C C P X P Y C C ====, 所以(X 2)P(Y 2)P =+==211210201020 3 30 C C C C C +.故选：C. 4、（2020·四川省棠湖中学高二月考）某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布() 2 10,0.1N （单 位：kg ）现抽取500袋样本，X 表示抽取的面粉质量在()10,10.2kg 的袋数，则X 的数学期望约为（ ） 附：若() 2 ,Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+≈，()220.9544P Z μσμσ-<≤+≈ A ．171 B ．239 C ．341 D ．477 【答案】B 【解析】 设每袋面粉的质量为Z kg ，则由题意得() 210,0.1Z N ， ∴()()()11 1010.29.810.2220.477222 P Z P Z P Z μσμσ<≤=<≤=-<≤+≈. 由题意得(500,0.47)72X B ， ∴0.4772()500238.6239E X =⨯=≈．故选B ． 5、（2020·山东省实验中学高二期末）设离散型随机变量X 的分布列为 若离散型随机变量Y 满足21Y X =+，则下列结果正确的有（） A ．0.1q = B ．2EX =， 1.4DX = C ．2EX =， 1.8DX = D ．5EY =，7.2DY = 【答案】ACD 【解析】 因为0.40.10.20.21q ++++=，所以0.1q =，故A 正确； 又00.110.420.130.240.22EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 22222(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.2 1.8DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故C 正确；因为 21Y X =+，所以215EY EX =+=，47.2DY DX ==，故D 正确.故选：ACD. 高考大题规范解答系列(六)——概率与统计 考点一 离散型随机变量的分布列与期望 例1 (2021·山西联考)已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白 球，球除颜色外完全相同．现从甲盒中任取三个球放入乙盒中． (1)求乙盒中红球个数X 的分布列与期望； (2)求从乙盒中任取一球是红球的概率． 【标准答案】——规范答题 步步得分 (1)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 03C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 2 3 C 36＝920， ····························· 2分得分点① P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 03 C 36＝120 ， ····························· 4分得分点② 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 20 920 920 120 ······················································································ 5分得分点③ 所以E (X )＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32. ·························· 6分得分点④ (2)当乙盒中红球个数为0时，P 1＝0，···································· 7分得分点⑤ 当乙盒中红球个数为1时，P 2＝920×16＝3 40， ··························· 8分得分点⑥ 当乙盒中红球个数为2，P 3＝ 920×26＝3 20 ， ······························· 9分得分点⑦ 当乙盒中红球个数为3时，P 4＝120×36＝1 40， ··························· 10分得分点⑧ 所以从乙盒中任取一球是红球的概率为P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝1 4. ········ 12分得分点⑨ 【评分细则】 (1)第一问中，正确算出P (X ＝0)，P (X ＝1)，P (X ＝2)，P (X ＝3)各得1分，列出分布列得1分，求出期望得1分． (2)第二问中，分类讨论，每种情况各占1分． (3)其他方法按步骤酌情给分． 例2 (2019·课标Ⅰ，21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种 新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安 第7讲离散型随机变量及其分布列 [考纲解读] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性． 2．能确定随机变量，求出随机变量发生的概率，正确列出分布列．(重点、难点) 3．理解超几何分布，并能进行简单的应用． [考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点内容．预测2021年将会考查：①与排列组合及统计知识结合的分布列；②与独立重复事件结合的分布列．试题以解答题的形式呈现，以现实生活中的事例为背景进行考查，试题难度不大，属中档题型. 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为□01随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为□ 02离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，则表 X x1x2…x i…x n P p1p2…p i…p n 的□概率分布列，简称为的□分布列，有时为了表达简单，也用等式□03P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①□ 04p i≥0(i＝1,2，…，n)； ②□ 05 i＝1 n p i＝1. 3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X 0 1 P 1－p p ，其中p ＝□01P (X ＝1)称为成功概率．(2)超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k ) ＝□ 02C k M C n －k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ， N ∈N *. X 0 1 … m P □03C 0M C n －0N －M C n N □04C 1M C n －1 N －M C n N … C m M C n －m N －M C n N 1．概念辨析 (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (4)若随机变量X 的分布列由下表给出， X 2 5 P 0.3 0.7 则它服从两点分布．( 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．小题热身 (1)已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量ξ，那么ξ的可能取值为( ) A ．0,1 B ．1,2 C ．0,1,2 D ．0,1,2,3 答案 C 解析 由于只有2件次品，所以ξ的可能取值为0,1,2. (2)设随机变量X 的分布列如下． 高中数学学习材料 （灿若寒星精心整理制作） 离散型随机变量及其分布列与数学期望 一、知识梳理 二、教学重、难点 三、作业完成情况 四、典题探究 例1 从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X,写出随机变量X的所有可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果. 例2 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即 1,0, X ⎧=⎨ ⎩当取到白球时，当取到红球时， 求随机变量X 的概率分布． 例3 从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列． 例4 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列. 例5一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，且给出如下规则：凡愿摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后一次从袋中摸出5个球，中彩情况如表： 摸5个球 中彩给出的奖品 恰有5个白球 1个帽子（价值20元） 恰有4个白球 1张贺卡（价值2元） 恰有3个白球 纪念品（价值0．5元） 其他情况 同乐一次（无任何奖品） 试计算：⑴摸一次球能获得20元奖品的概率P ；⑵求中彩数额ξ的分布列. 五、演练方阵 A 档（巩固专练） 一、选择题 1.下列变量中不是随机变量的是( ). A.某人投篮6次投中的次数 B.某日上证收盘指数 C.标准状态下,水在100C 时会沸腾 D.某人早晨在车站等出租车的时间 2.下列随机变量中不是离散型随机变量的是( ). A.掷5次硬币正面向上的次数M B.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T C.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y D.将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X 3.设X 的分布列如表1,则m 等于( ). 表1 X -1 1 第七讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差(理) 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为__随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为__离散型__随机变量． 知识点二 离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 称为离散型随机变量X 的__概率分布列__，简称为X 的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②∑n i ＝1p i ＝__p 1＋p 2＋…＋p n __＝1． 知识点三 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n ． (1)均值：称E (X )＝__x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n __为随机变量X 的均值或数学期望． (2)方差：称D (X )＝∑n i ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的__标准差__． (3)均值与方差的性质 ①E (aX ＋b )＝__aE (X )＋b __． ②D (aX ＋b )＝__a 2D (X )__． *③D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2． 知识点四 常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． 期望与分布列高考试题精选 一．解答题（共20小题） 1．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的 同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X的分布列； （Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值； （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？ 2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； （Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）． 4．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表： 300500 作物产 量（kg） 概率0.50.5 610 作物市 场价格 （元 /kg） 概率0.40.6 （Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列； （Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率． 5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率； （Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望． 6．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 8.3 分布列（精讲）（提升版）思维导图 考点呈现 考点一 超几何分布 【例1】（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n （n *∈N ）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为16 . (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率； (2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望. 【答案】(1)58(2)X 的分布列见解析，()4 3 E X = 【解析】（1）由题意知共有4n +个集团，取出2个集团的方法总数是2 4C n +，其中全是小集团的情况有24 C ，故全是小集团的概率是()()24 24C 121C 436 n n n += =++， 整理得到()()3472n n ++=即27600n n +-=，解得5n =． 若2个全是大集团，共有2 5C 10=种情况； 若2个全是小集团，共有2 4C 6=种情况； 故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为10105 106168 ==+． （2）由题意知，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3， 计算()034539C C 1050C 8442P X ====，()1245 39C C 40101C 8421 P X === =， 例题剖析 ()214539C C 3052C 8414P X ====，()3045 39C C 413C 8421 P X ====， 故X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 5 42 1021 514 121 数学期望为()0123422114213 E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【一隅三反】 1．（2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到3450亿元，较2018年约增长14.4%．从全球应用北斗卫星的城市中选取了40个城市进行调研，上图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的 产值（单位：万元）的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求产值小于600万元的调研城市个数； (2)在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y 为产值不超过600万元的城市个数，求Y 的分布列及期望和方差． (3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有3个城市的产值超过605万元的概率． 【答案】(1)14 (2)()7 10E Y = ，()133300 D Y = (3)()30.1323P X == 【解析】（1）由频率分布直方图可知产值小于600万元的频率为()0.030.0450.35+⨯=， 第18题 随机变量的分布列及期望的应用 一、原题呈现 【原题】某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A ,B 两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分,己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8,能正确回答B 类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A 类问题,记X 为小明的累计得分,求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【解析】（1）由题意X 的取值依次为0,20,100, ()()00.2,200.80.40.32P X P X ====⨯=, ()1000.80.60.48P X ==⨯=, 所以X 的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 （2）由（1）得先回答A 类问题的期望()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯= 设先回答B 类问题累计得分为Y,则()00.4800.60.21000.60.857.6E Y =⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 57.654.4>,故应选择先回答B 类问题. 【就题论题】本题以“一带一路”知识竞赛为背景,考查考生对概率统计基本知识的理解与应用,建立模型以后求解比较简单,只相当于课本习题的难度,所以本题重在考查数学建模能力. 二、考题揭秘 【命题意图】本题考查随机变量的分布列及期望的应用,考查数据分析及数学应用的核心素养.试题难度:中等 【考情分析】概率统计解答题每年必考题,是高考考查数学应用的主要阵地,高考主要考查概率的计算、随机变量的分布列及期望与方差的应用、正态分布、用样本估计总体、统计案例等,数列解答题是新高考必考题.难度一般为中等或中等偏难. 【得分秘籍】 (1)用定义法求离散型随机变量ξ的分布列及均值、方差的步骤：概率论,方差,分布列知识总结
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