曲线积分曲面积分公式

曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。

一、曲线积分

1. 概念

曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。

2. 计算方法

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。

第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：

∫f(x,y,z) ds

其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。

第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为：

∫F·dr 或∫F ds

其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。

3. 应用

曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。

二、曲面积分

1. 概念

曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。

2. 计算方法

曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。

第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：

∬f(x,y,z) dS

其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。

第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：

∬F·dS 或∬F dS

其中，F是曲面上的矢量场，dS是面积元。

3. 应用

曲面积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场通过曲面的电通量、磁场通过闭合曲面的磁通量等。它还可以用来计算物体的总质量、质心等物理量。在工程学中，曲面积分可以用来计算流体通过曲面的流量、曲面上的力等。

总结：

曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的计算方法，它们可以用来计算曲线上或曲面上的物理量或数学量。通过学习和掌握曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，我们可以更深入地理解和应用微积分学的知识，解决实际问题。

曲线积分与曲面积分的计算

第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的：教学重点和难点： § 1第一类曲线积分的计算设函数_/a ，y,z)在滑腻曲线/上有槪念且持续，/的方程为 z = z(t) 则“(3比)& = J:/［兀⑴，M)，乙(01F ⑴+严⑴+乙'"/)〃 » 特别地，若是曲线/为一条滑腻的平面曲线，它的方程为y = 0(x)，(a

x = x(u,v) （2）若曲而的方程为< y = y(“，“)，令E = X； + K + Z：，F = x x v + y u y v + gj , u Z = Z(u.v) G = Xy + y； + Zy 9 则该曲面块的面积为S = JJ J EG - F，di小。 V 例：求球而X2 + y2 + Z2= a2含在柱而X2 + y2 = or （a > 0）内部的而积。例：求球而x2 + F +分=a2含在柱而” +〉,2 =心（° > o）内部的而积。二化第一类曲面积分为二重积分（1）设函数0（兀,”2）为概念在曲而S上的持续函数。曲而S的方程为z = /（x,y）。/（x,y）具有对尤和y的持续偏导数，即此曲面是滑腻的，且苴在XY平而上的投影为可求而积的。则 JJ 0 (x，『，Z) 〃S = Jj 0 [x, y, / (x, >-)] Jl + 代 + f； dxdy。S心 X = X(ZGV) （2）设函数0（七”乙）为概念在曲而S上的持续函数。若曲而的方程为= z = z（u,v）令E = X： + £ + z： , F =兀儿 + 儿儿+ Z“Z八G = %； + y； + z；, 则Jj0(x，”Z)〃S =卩0[兀仏巧,z(«,v)]yjEG-F2dudv。 s s 例：计算JJ(x + y + z)t/S, S 是球面x2 + y2 +z2 =cr , 2>0o s X = U COS V 例：计算JJ N/S,貝中S为螺旋而的一部份：h- = wsinv (0

曲线积分与曲面积分复习

第8章曲线积分与曲面积分 8.1 向量值函数在有向曲线上的积分第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 → →→ → ?=?=l F l F w θcos |||| 变力沿曲线运动?取微元 Qdy Pdx ds F dw +=?=→ ||，则? + += L Qdy Pdx W 。平面曲线?+ +L Qdy Pdx ，空间曲线?+ ++L Rdz Qdy Pdx ，性质? ?- + =L L 一、计算方法 1．设参数，化定积分 ? L dx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1 ?'+' 2．平面闭曲线上积分－用格林公式 ???+=???? ? ???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ?上有连续一阶偏导数。 3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关 ),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ?上连续。下列四个命题等价（1）?+C Qdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C . （2）?+L Qdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+B A L L u du Qdy Pdx |== +??? （4）x Q y P ??=?? 在D 内恒成立. 常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分二、例题 1．基础题目，设参数，化定积分（1）计算?-= L ydx xdy I ，: L 如图ABCDEA 解（1）设参数法 ?∑? ==L i L i 5 1 于1L 上设t x cos =，t y sin = ?? - = += -0 2 2 22 )sin (cos 1 π π dt t t ydx xdy L 于2L 上设t x cos =，t y sin 2= ? ? =?+?= -2 )sin sin 2cos 2(cos 2 π πdt t t t t ydx xdy L 于3L 上以x 为参数，xdx dy 2-=

求曲线、曲面积分的方法与技巧

求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。例一．计算曲线积分?+L xdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点 )0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。本题以下采用多种方法进行计算。解1：A O 的方程为?????-==, 2, 2x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212 dx x x x dy --= ? +L xdy ydx dx x x x x x x ?--+-=2 2 2]2)1(2[ dx x x x x dx x x x x x x x ? ? --+----=2 2 20 2 2 2)1(2)1(220 .00442=--= 分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。解2：在弧A O 上取)1,1(B 点， B O 的方程为?????--==,11, 2y x y y L 由,B O →y 由,10→.12 dy y y dx -= A B 的方程为?????-+==, 11, 2y x y y L 由,A B →y 由,01→.12 dy y y dx --= ?+L xdy ydx dy y y y dy y y y ??-++-- +--+-=0 1 22 21 2 2 2)111()111(

曲线积分曲面积分公式

曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。一、曲线积分 1. 概念曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。 2. 计算方法曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为： ∫f(x,y,z) ds 其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为： ∫F·dr 或∫F ds

其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。 3. 应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。二、曲面积分 1. 概念曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。 2. 计算方法曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为： ∬f(x,y,z) dS 其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：

重积分、曲线积分、曲面积分

重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长) 定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T 的细度为1max ,i i n T s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2, ,).i i i n ξη= 若极限 1 lim (,)n i i i T i f s ξη→=∆∑ 存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作 (,)L f x y ds ⎰ 。若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)L f x y z ds ⎰ 。性质： 1. 若 (,)(1,2, ,)i L f x y ds i k =⎰ 存在，(1,2, ,)i c i k =为常数，则1 (,)k i i L i c f x y ds =∑⎰ 也存在，且 1 1 (,)(,).k k i i i i L L i i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰ 2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2, ,)i L f x y ds i k =⎰都存在，则(,)L f x y ds ⎰也存在，且 1 (,)(,).i k L L i f x y ds f x y ds ==∑⎰ ⎰ 3. 若 (,)L f x y ds ⎰与(,)L g x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则 (,)(,).L L f x y ds g x y ds ≤⎰ ⎰ 4. 若 (,)L f x y ds ⎰ 存在，则|(,)|L f x y ds ⎰也存在，且 |(,)||(,)|L L f x y ds f x y ds ≤⎰⎰。 5. 若 (,)L f x y ds ⎰ 存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得 (,)L f x y ds ⎰ =cs 。计算设有光滑曲线(), :[,],(),x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨ =⎩ 函数(,)f x y 为定义在L 上的连续函数，则

曲线积分和曲面积分的计算

第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的：教学重点和难点： §1 第一类曲线积分的计算设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为()() () ()0x x t y y t t t T z z t =?? =≤≤?? =? 则 ()()()() ,,,,T l t f x y z ds f x t y t z t =??? ?。特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ?=，()a x b ≤≤，那么有 ((,) , ()b l a f x y ds f x x ?=? ?。例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。求22 ()l x y ds +? 。例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分l yds ?。例：计算积分2l x ds ? ，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。例：求()l I x y ds =+?，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。 §2 第一类曲面积分的计算一曲面的面积（1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。则该曲面块的面积为 xy S σ= 。（2）若曲面的方程为 () ()() ,,,x x u v y y u v z z u v =??=?? =?, 令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222 v v v G x y z = ++，则该曲面块的面积为 S d u d v ∑ = 。例：求球面2 2 2 2 x y z a ++=含在柱面()22 0x y ax a +=>内部的面积。例：求球面2 2 2 2 x y z a ++=含在柱面()22 0x y ax a +=>内部的面积。

空间曲线积分与曲面积分的计算方法

空间曲线积分与曲面积分的计算方法空间曲线积分与曲面积分是《数学分析》中的重要内容之一，但由于它计算的复杂性及灵活多变性，使我们在学习时感到很难掌握，缺乏必要而行之有效的方法，因此，本文将给出空间曲线积分与曲面积分的一些典型计算方法，为这部分的学习提供参考． 1 空间曲线积分与曲面积分的定义及性质定义1.1[]()1981P 设L 为空间可求长度的曲线段，(),,f x y z 为定义在L 上的函数，对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L ()1,2,,i n =L ，i L 的弧长记为i s ?，分割T 的细度为1max i i n T s ≤≤=?，在i L 上任取一点()(),,1,2,,i i i i n ξη?=L ，若有极限()0 1 lim ,,n i i i i T i f s J ξη?→=?=∑ 且J 的值与分割T 与点(),,i i i ξη?的取法无关，则称此极限为(),,f x y z 在L 上的第一型曲线积分，记作 ()?L ds z y x f ,,．第一型曲线积分具有和定积分类似的性质，略．定义1.2[]()2031P 设函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 为定义在空间有向可求长度曲线L ：弧AB 上．对L 的任一分割T ，它把L 分成n 个小曲线段弧i i M M 1-()1,2,,i n =L ，其中 0,n M A M B ==，记各小曲线段弧i i M M 1-的弧长为i s ?，分割T 的细度为1max i i n T s ≤≤=?，又设T 的分点i M 的坐标为 () ,,i i i x y z ，并记111,,i i i i i i i i i x x x y y y z z z ---?=-?=-?=- ()1,2,,i n =L ．在每个小曲线段弧i i M M 1-上任取一点(),,i i i ξη?()1,2,,i n =L ，若极限 ()()()0 1 1 1 lim ,,lim ,,lim ,,n n n i i i i i i i i i i i i T T T i i i P x Q y R z ξη?ξη?ξη?→→→===?+?+?∑∑∑ 存在且与分割T 与点(),,i i i ξη?的取法无关，则称此极限为函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 沿有向曲线L 上的第二型曲线积分，记为 ()()(),,,,,,L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++? 或 ()()(),,,,,,AB P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?．常简写成 L Pdx Qdy Rdz ++? 或?++AB Rdz Qdy Pdx ．

曲线积分与曲面积分重点总结+例题

第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】 1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2.掌握计算两类曲线积分的方法. 3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数. 4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。【教学重点】 1。两类曲线积分的计算方法； 2。格林公式及其应用； 3。第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】 1。两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系； 2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算; 3。应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 6.两类曲线积分的计算方法； 7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分; 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。 [2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社 §11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量: 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。求曲线形构件的质量. 把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i; 整个物质曲线的质量近似为; 令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为 .

这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即 . 其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。曲线积分的存在性：当f（x,y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的。以后我们总假定f(x，y）在L上是连续的。根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值，其中μ(x，y）为线密度. 对弧长的曲线积分的推广:. 如果L(或Γ）是分段光滑的,则规定函数在L(或Γ）上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定。闭曲线积分：如果L是闭曲线，那么函数f(x,y）在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作。对弧长的曲线积分的性质：性质1 设c1、c2为常数,则；性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则 ; 性质3设在L上f(x,y)≤g(x,y),则 . 特别地,有二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密度为f(x，y),则曲线形构件L的质量为。另一方面,若曲线L的参数方程为 x=ϕ（t）,y=ψ（t) （α≤t≤β)，

曲线积分曲面积分公式总结

曲线积分曲面积分公式总结曲线积分是在曲线上计算函数的积分，通常用来计算沿曲线的弧长、质量、电流等物理量。曲线积分的公式为： 1.第一类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，函数为 f(x, y, z)，则第一类曲线积分的公式为： ∫[C] f(x, y, z) ds = ∫[a,b] f(r(t)) ||r'(t)|| dt 其中，ds表示弧长元素，||r'(t)||表示曲线的切向量的模。 2.第二类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲线积分的公式为： ∫[C] F(x, y, z) · dr = ∫[a,b] F(r(t)) · r'(t) dt

其中，·表示向量的点乘，dr表示位移向量，r'(t)表示曲线的切向量。曲面积分是在曲面上计算函数的积分，通常用来计算流量、电通量等物理量。曲面积分的公式为： 1.第一类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲面积分的公式为： ∬[S] f(x, y, z) dS = ∬[D] f(r(u, v)) ||ru × rv|| du dv 其中，dS表示面积元素，||ru × rv||表示曲面的法向量的模。 2.第二类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲面积分的公式为： ∬[S] F(x, y, z) · dS = ∬[D] F(r(u, v)) · (ru × rv) du dv

曲线积分与曲面积分

目录 1 之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x) （2）对于参数方程() () x x t y y t =⎧⎨=⎩ （3）对于极坐标方程是()r r θ=，转成直角坐标 ()cos ()sin x r y r θθθθ == ，则 '()'cos sin '()'sin cos x r r y r r θθθθθθ =-=+。代入上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。当然如果密度均

匀为1，则求的弧长积分就是弧长。如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L 的密度，求得的结果就是空间的线质量。定义：0 1 (,)lim (,)n i i i i L f x y ds f s λ ξη→==∆∑⎰ 计算步骤 1画出图形 2写出L 的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限） 3由L 类型写出对应ds 的表达式 4因被积函数f(x,y)的点x ，y 在L 上变动，因此x ，y 必须满足L 的方程。即把L 中的x ，y 代入被积函数f(x,y)中。 5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。注，二重积分中xy 在投影域D 内动，而被积函数的xy 在L 上动，故(x ，y)必须满足L 。如，L 的方程y=k,则()L L f x ds kds ks ==⎰ ⎰ （保留。还不太懂）参数方程设曲线有参数方程() ()x x t L y y t =⎧⎨=⎩ ，则有：显式方程设曲线为 L ：y=y(x) ，则有：

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中两个重要的概念。曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，而曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用。一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算。通常将曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。 1. 第一类曲线积分第一类曲线积分用于计算曲线上的标量场函数。对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数f(x,y,z)在C上可微分，则第一类曲线积分的计算公式为： ∫_[C]f(x,y,z)ds=∫_a^bf(x(t),y(t),z(t))∥r'(t)∥dt 其中，ds表示曲线上的微元弧长，∥r'(t)∥表示曲线C的切向量的长度。 2. 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算曲线上的矢量场函数。对于参数化曲线C：r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b，函数F(x,y,z)在C上连续，则第二类曲线积分的计算公式为： ∫_[C]F(x,y,z)·dr=∫_a^bF(x(t),y(t),z(t))·r'(t)dt 其中，·表示矢量的点乘运算，dr表示曲线上的微元矢量。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算。同样，曲面积分也分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。 1. 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算曲面上的标量场函数。对于参数化曲面S：r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中(u,v)属于区域D，函数f(x,y,z)在S上可微分，则第一类曲面积分的计算公式为： ∬_[S]f(x,y,z)dS=∬_Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∥r_u×r_v∥dudv 其中，dS表示曲面上的微元面积，r_u和r_v表示曲面S的参数方程关于u和v的偏导数，r_u×r_v表示两个偏导数的叉乘，∥r_u×r_v∥ 表示其长度。 2. 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算曲面上的矢量场函数。对于参数化曲面S：r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中(u,v)属于区域D，函数F(x,y,z)在S 上连续，则第二类曲面积分的计算公式为： ∬_[S]F(x,y,z)·dS=∬_DF(x(u,v),y(u,v),z(u,v))·(r_u×r_v)dudv 其中，·表示矢量的点乘运算，dS表示曲面上的微元面积，r_u和 r_v表示曲面S的参数方程关于u和v的偏导数，r_u×r_v表示两个偏导数的叉乘。三、应用

曲线积分和曲面积分论文 (2)

曲线积分和曲面积分论文引言曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，具有广泛的应用领域。本论文旨在介绍曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，并讨论在实际应用中的一些应用情况。曲线积分在微积分中，曲线积分用于计算沿一条曲线的函数的积分。曲线积分有两种类型：第一类是沿曲线的弧长对函数进行积分，称为第一类曲线积分，第二类是对曲线上的函数在曲线元素上积分，称为第二类曲线积分。第一类曲线积分第一类曲线积分表示为： $$ \\int_C f(x, y) ds $$ 其中，f(f,f)是曲线上的函数，ff表示沿曲线元素的弧长。计算第一类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和坐标变换两种。

例如，计算函数f(f,f)=f2+f2在曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 上的第一类曲线积分。首先，通过参数化得到曲线的弧长元素： $$ ds = \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 + \\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^2} dt $$ 代入曲线方程得到： $$ ds = \\sqrt{\\left(-\\sin(t)\\right)^2 + \\left(\\cos(t)\\right)^2} dt = dt $$ 然后，将函数和弧长元素代入积分得到： $$ \\int_C f(x, y) ds = \\int_0^{2\\pi} (1) dt = 2\\pi $$ 第二类曲线积分第二类曲线积分表示为： $$ \\int_C \\mathbf{F} \\cdot d\\mathbf{r} $$ 其中，$\\mathbf{F}$ 是曲线上的向量函数， $d\\mathbf{r}$ 表示曲线元素。计算第二类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和曲线方程两种。

曲面积分与斯托克斯公式

曲面积分与斯托克斯公式曲面积分是微积分的一个重要概念，用于计算曲面上某个向量场的通量。而斯托克斯公式则是曲面积分与曲线积分的联系，为计算曲面上的环流提供了便捷的方法。一、曲面积分的定义与计算曲面积分可以看作是对平面积分的推广，它通过对曲面上的每一个微小面元进行积分求和来计算该曲面上某个向量场的通量。设曲面S 为向量函数r(u,v)定义的曲面，曲面上的向量场为F(x,y,z)，则曲面积分的定义可以表示为： ∬S F·dS = ∬D F(r(u,v))·|r_u × r_v| dudv 其中，D为曲面S在参数域上的一个投影区域，r_u与r_v分别表示r对u和v的偏导向量。为了计算曲面积分，我们可以按照以下步骤进行： 1. 确定曲面S的参数方程r(u,v)，并求出r_u和r_v； 2. 计算曲面S在参数域D上的投影区域； 3. 将曲面积分的定义中的积分限由D换成u和v的限制，并计算|r_u × r_v|； 4. 将F(r(u,v))·|r_u × r_v| dudv进行积分。二、斯托克斯公式的推导与应用

斯托克斯公式是曲线积分与曲面积分之间的重要关系，它描述了曲面上的环流与曲线周围的积分之间的等价关系。设S为一曲面，C为S的边界曲线，F为定义在S上的向量场，则斯托克斯公式可以表述为： ∮C F·dr = ∬S (∇×F)·dS 其中，∮C表示沿C的曲线积分，∇×F表示F的旋度。斯托克斯公式的推导可以通过对曲面S进行微元划分，并利用格林公式进行近似计算得到。通过将微元划分趋近于零，可以得到斯托克斯公式的精确表达式。斯托克斯公式的应用非常广泛，例如可以用于计算闭合曲线周围的环流、计算曲面上的涡旋分布等。由于斯托克斯公式将曲面积分与曲线积分相联系，因此可以通过计算曲线上的积分来简化曲面上的积分计算过程，提高计算效率。总结：曲面积分与斯托克斯公式是微积分中重要的概念和方法之一。曲面积分通过对曲面上每个微小面元进行积分求和来计算向量场的通量，而斯托克斯公式则建立了曲面积分与曲线积分之间的联系，为计算曲面上的环流提供了便捷的方法。掌握曲面积分与斯托克斯公式的应用技巧可以帮助我们解决很多复杂的物理和数学问题。

曲线曲面积分公式(一)

曲线曲面积分公式(一) 曲线曲面积分公式本文将介绍曲线曲面积分的相关公式，并通过举例进行解释说明。一、曲线积分公式 1. 第一型曲线积分第一型曲线积分表示对曲线上的函数在曲线长度方向上的积分，其公式为： (_C f(x, y, z) ds) 其中，(C)为曲线，(f(x, y, z))为曲线上的函数，(ds)表示曲线微元的长度。举例：考虑计算曲线(C: x = t, y = t^2, z = t^3)上函数(f(x, y, z) = x^2 + y + z)的第一型曲线积分。首先需要计算曲线的参数方程可微分区间([a, b])上的导数： ( = 1) ( = 2t) ( = 3t^2) 曲线微元的长度(ds)可以表示为：

(ds = dt = dt) 因此，对函数(f(x, y, z) = x^2 + y + z)进行第一型曲线积分的结果为： (_C (x^2 + y + z) ds = _a^b (t^2 + t^2 + t^3) dt) 2. 第二型曲线积分第二型曲线积分表示对曲线上的矢量场在曲线长度方向上的积分，其公式为： (_C d) 其中，(C)为曲线，()为矢量场，(d)表示曲线微元的矢量。举例：考虑计算曲线(C: x = t, y = t^2, z = t^3)上的矢量场( = (2xy, 3x^2, z))的第二型曲线积分。首先需要计算曲线的参数方程可微分区间([a, b])上的导数： ( = 1) ( = 2t) ( = 3t^2) 曲线微元的矢量(d)可以表示为： (d = (, , ) dt = (1, 2t, 3t^2) dt)

(完整版)常用公式--线面积分公式大全

（一）对弧长的曲线积分（第一类）（1）对光滑曲线弧() :,()() x t L t y t =⎧≤≤⎨ =⎩ϕαβψ (,)d [(),(L f x y s f t t t βα ϕψ=⎰ ⎰；（2）对光滑曲线弧:()(),L y x a x b ϕ=≤≤ (,)d (,()) b L a f x y s f x x x ϕ=⎰ ⎰；（3）对光滑曲线弧:()(),L r r θαθβ=≤≤ （二）对坐标的曲线积分（第二类）（1）对有向光滑弧() :() x t L y t φψ=⎧⎨=⎩，:t αβ→， {}(,)d (,)d [(),()]'()[(),()]'()d L P x y x Q x y y P t t t Q t t t t βα φψφφψψ+=+⎰ ⎰ ；（2）对有向光滑弧:(),:L y x x a b ϕ=→， {}(,)d (,)d [,()][,()]'()d b L a P x y x Q x y y P x x Q x x x x ϕϕϕ+=+⎰ ⎰ ；（格林公式） d d L D Q P Pdx Qdy x y x y ⎛⎫ ∂∂+=- ⎪∂∂⎝ ⎭⎰⎰⎰Ñ； (斯托克斯公式) R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y Γ∑⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰Ñ L dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R ∑ ∂ ∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰ Ñ

（一）对面积的曲面积分（第一型）计算口诀：一投二代三换，曲积化为重积算. （1）对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈， (,,)d (,,(,d x y D f x y z S f x y z x y x y ∑ =⎰⎰ ⎰⎰ ；（2）对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈， (,,)d [(,),,yz D f x y z S f x y z y z ∑ =⎰⎰ ⎰⎰；（3）对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈， (,,)d [,(,),xz D f x y z S f x y x z z ∑ =⎰⎰ ⎰⎰ （二）对坐标的曲面积分（第二型）计算口诀：一投二代三定，曲积化为重积算. 1、对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈，则 (,,)d d (,, (,))d d x y D R x y z x y R x y z x y x y ∑ =±⎰⎰⎰⎰ (上侧正，下侧负) 2、对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈， (,,)d d ((,), ,)d d y z D P x y z y z P x y z y z y z ∑ =±⎰⎰⎰⎰ ； (前侧正，后侧负) 3、对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈， (,,)d d (,(,),z )d d z x D Q x y z z x Q x y x z z x ∑ =±⎰⎰ ⎰⎰ (右侧正，左侧负) 合一投影公式：(,)z z x y = ()()xy D z z Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdy x y ∑⎡⎤∂∂++=⋅-+⋅-+⎢⎥∂∂⎣ ⎦⎰⎰⎰⎰ （高斯公式） ()d d d d d d d d d P Q R P y z Q z x R x y x y z x y z ∑ Ω ∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰ ⎰⎰⎰ Ò； ()( )cos cos cos d =d d d P Q R P Q R S x y z x y z ∑Ω∂∂∂α+β+γ++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰。

曲面积分

复习四曲线积分与曲面积分 1．能识别对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分, 计算曲线积分, 会利用格林公式, 会利用积分与路径无关(闭曲线积分为零)的条件. 例1．()d L x y s +⎰= , 其中L 为线段AB , A (1, 0), B (0, 1). 解: 由截距式方程得L 的方程为111 y x +=, 即x +y =1. 因此 ()d d 2L L x y s s +==⎰⎰ 例2．计算曲线积分d L x s ⎰, 其中L 为抛物线x 2=4y 从点(0, 0)到点(2, 1)的一段弧. 解: 1 1 00d L x s x x ==⎰⎰⎰ 24 2)1)43 x =+=⎰. 例3．设L 为A (1, 1), B (-1, 1)和C (1, -1)为顶点的三角形的周边, 逆时针方向为正, 计算下列曲线积分22d d L y x x y -⎰. 解: 设L 所围成的闭区域为D , 根据格林公式, 有 11 221 d d (22)d d 2d ()d L x D y x x y x y x y x x y y ---=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰ 1122 10 1182()d 2(1)d 223 x x x x x -=-++=-+=-⎰⎰. 例4．L 是从A (1, 6)沿xy =6至点B (3, 2)的曲线段, 则e (d d )xy L y x x y +=⎰ . 解: P =ye xy , Q =xe xy . 因为 e e xy xy Q P xy x y ∂∂=+=∂∂, 所以积分所路径无关. 取积分路线为从(1, 6)到(3, 6)再到(3, 2), 则 (3,2) 32 63(1,6) 1 6 e (d d )e (d d )e 6d e 3d 0xy xy x y L y x x y y x x y x y +=+=+=⎰⎰ ⎰⎰. 例5．计算4 3 2 2 4 (4)d (65)d c x xy x x y y y ++-⎰, 其中c 为沿曲线2 2149y x +=从A (-2, 0)到B (0, 3)的一段曲线. 解: 这里P =x 4+4xy 3, Q =6x 2y 2-5y 4. 212Q P xy x y ∂∂==∂∂, 所以积分与路径无关. 取积分路径为从A (-2, 0)到O (0, 0)再到B (0, 3), 则

线面积分

一、曲线积分、曲面积分的计算公式 1. 对弧长的曲线积分(,)L f x y ds ⎰ 的计算公式: (,)L f x y ds ⎰中，L 为一段光滑的平面曲线，其参数方程为 (), t (), x x t y y t αβ=⎧≤≤⎨ =⎩ (,)f x y 为定义在曲线L 上的一连续函数. 为熟练掌握计算公式，关键是把握以下两点： 1)积分变量,x y 在曲线L 上，故,x y 满足曲线L 的方程； 2)ds 是曲线L 的弧长的微分，故 ds =. 所以有如下的计算公式 : (,)[(),(L f x y ds f x t y t β α =⎰ ⎰. 对L 是空间曲线段的情况，有类似的公式. 设L 的方程为 (), (), t (),x x t y y t z z t αβ=⎧⎪ =≤≤⎨⎪=⎩ (,,)f x y z 在L 上连续，则对弧长的曲线积分 (,,)[(),(),(L f x y z ds f x t y t z t β α =⎰ ⎰.

弧微元 dt t z t y t x ds )(')(')('222++= 2. 对坐标的曲线积分(,)(,)AB L P x y dx Q x y dy +⎰ 在 (,)(,)AB L P x y dx Q x y dy +⎰中，AB L 是以A 为起点，以B 为终点，参数方程为 () ()x x t y y t =⎧⎨=⎩ 的平面曲线， A 点的坐标为((),())x y αα， B 点的坐标为((),())x y ββ. 物理意义：变力F 沿曲线L 所做的功 ⎰⎰+=∙=L L Qdy Pdx r d F W 其中 }.,{;}),(,),({dy dx r d y x Q y x P F == 为熟练掌握该积分的计算公式，关键是把握以下两点： 1) 积分变量（,x y ）在AB L 上，故满足曲线方程(),()x x t y y t ==； 2) (),()dx x t dt dy y t dt ''==. 对坐标的曲线积分的计算公式为 (,)(,){[(),()]()[(),()]()}AB L P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt β α''+=+⎰⎰. ,αβ分别对应于,A B 点的参数t 的值，可能,αβ<也可能αβ>. 类似地，对于空间曲线AB L ，也有类似的计算公式.