非线性振动

非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。

定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。

本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。

1、平均法

平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。

1.1利用平均法分析多自由度非线性振动

平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。

1.2用改进平均法求解自由衰减振动

用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，

在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。

2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统

非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。

3、等效小参数法求解强非线性系统

等效小参量法是将谐波平衡法和扰动法相结合用于求高阶非线性系

统近似解的一种比较有效的方法，这种方法不仅适用于弱非线性系统，而且适用于强非线性系统，其近似解能较好地反映系统特性。在求解弱非线性系统时，扰动法和等效小参量法均具有较高的精确度，但对于强非线性系统，等效小参量法表现出较明显的优势。

参考文献：

【1】王海期.非线性振动.高等教育出版社.1992

【2】闻邦椿.“工程非线性振动”的研究的若干进展及展望. 第八届全国动力学与控制学术会议论文集.2008

【3】陈立群，吴哲民.多自由度非线性振动分析的平均法.振动与冲击.2002

【4】何松林，黄焱. 用改进平均法求解自由衰减振动.振动与冲

击.2011

【5】吕永建.FFT多谐波平衡法及其应用.湖南大学硕士论文.2013 【6】宁送云，丘水生.等效小参量法的计算机实现及有效性研究.广东教育学院学报.2006

Maple 大作业

一、Maple 程序编写实例 1. 如图中1所示单自由度弹簧质量系统在，质量块质量为m ，当质量块下拉弹簧处于平衡位置时，静变形为40mm 。求此弹簧质量系统的振动规律。解：●建模图1 系统受力：mg,回复力kx 。物体作上下的自由振动运动。 ● Maple 程序 > restart: #清零 > eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g-k* # ∑=F x m x .. (delta[st]+x): > eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项 > eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代换 delta[st]=m*g/k,eq): > eq:=expand(eq/m): #展开 > eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq): #代换 > X:=A*sin(omega[0]*t+beta): #系统通解 > k:=m*g/delta[st]: #弹簧刚度系数 > omega[0]:=sqrt(k/m): #固有频率 > x[0]:=-delta[st]: #初位移 > v[0]:=0: #初速度 > A:=sqrt(x[0]^2+v[0]^2/omega[0]^2): #振幅 > beta:=-Pi/2: #初相角 > delta[st]:=0.04:g:=9.8: #已知条件 > omega[0]:=eval(omega[0]): #已知条件 > A:=eval(A): #振幅数值 > X:=evalf(X,4); #系统振动规律 := X -.04000()cos 15.65t 答：此弹簧质量系统的振动规律x=-0.04cos(15.65t)。 2. 一个质量为m 的物体在一根抗弯刚度为EJ ﹑长为l 的简支梁上作自由振动。若此物体在梁未变形的位置无初速度释放，求系统自由振动的频率。

非线性振动汇总讲解

目录 1.两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析 (1) 1.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG） (3) 1.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD） (4) 1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程： (5) 1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩 (5) 1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达 (7) 1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程 (7) 1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图： . 8 1.4.1同步涡动的临界转速： (9) 1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系： (9) 1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下： (10) 1.5mathematic源代码 (11) 2. 威尔逊-- 法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性 (12) 2.1 分析 (12) 2.2 MATLAB编程求解 (16)

两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析已知：设有两端铰支偏置单盘转子，两端的滚动轴承简化为铰支座，弹性轴跨长57,l cm =直径 1.5,d cm =弹性模量62622.110/20.5810/E Kg cm N cm =?=?，材料密度337.810/Kg cm ρ-=?。固定在离支承1/4处的圆盘厚2cm =，直径16D cm =，若不计重力影响与系统阻尼，圆盘的转动惯量近似按薄圆盘计算。?为自转角位移，取222 5.7/35.814/rad s rad s ?π=?=。假设无质量偏心，不计重力影响，外力矩的作用是保证转子作等加速转动。求： ①画出转子动力学模型三维立体示意图，导出两端铰支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程； ②应用Mathematic 软件求解该转子形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图； ③应用Wilson θ-数值方法求解等加速度时的瞬态涡动的幅频特性，并画出涡动振幅与自转角速度的幅频关系曲线图和瞬态涡动响应时间历程曲线。

汽车试验学测试作业及答案

1-2求周期性三角波的均值和均方根值。周期性三角波的数学表达式为 202 ()202A T A t t T x t A T A t t T ?+- <

1-3求双边指数函数的傅里叶变换，双边指数函数的波形如下图所示，其数学表达式为： 0()(0)0at at e t x t a e t -?-∞<?<<∞ ?? 解： ()()()()()()() 000000 2 2 221d 211d d 2211d d 221122*********j t at j t at j t a j t a j t a j t a j t X x t e t e e t e e t e t e t e e a j a j a j a j a a a a ωωωωωωωωπ πππππωπωπωπωπωπω∞--∞∞----∞∞--+-∞--+∞-∞==?+?=+=?-? -+=?+? -+=?+= +????? 1-6设()x t 与()y t 为互不相关的两信号，且()()()f t x t y t =+，()x t 、()y t 的自相关函数分别为()x R τ和()y R τ，求证()()()f x y R R R τττ=+。证：

非线性振动

非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。 1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。 1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。 1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，

在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。 2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。 3、等效小参数法求解强非线性系统等效小参量法是将谐波平衡法和扰动法相结合用于求高阶非线性系统近似解的一种比较有效的方法，这种方法不仅适用于弱非线性系统，而且适用于强非线性系统，其近似解能较好地反映系统特性。在求解弱非线性系统时，扰动法和等效小参量法均具有较高的精确度，但对于强非线性系统，等效小参量法表现出较明显的优势。参考文献：【1】王海期.非线性振动.高等教育出版社.1992

第3章作业(2016)

第三章作业题 1、在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界a q 2π ±=处，声学支格波中所有轻原子m 静止，而光学支格波中所有重原子M 静止。画出这时原子振动的图像。

2、.具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2×10-10m ，由于非线性相互作用，一个沿[100]方向传播，波矢大小为10 103.1?=q m -1的声子同另一个波矢大小相等当沿[110]方向传播的声子相互作用，合成为第3个声子，试求合成后的声子波矢。 3、试求质量为m ，原子间距为2/a ，力常数交错为1β，2β的一维原子链振动的色散关系。当1215ββ=时，求在0=q 和a q π =处的)(q ω，并粗略画出色散关系。

4 对NaCl晶体，测知其密度ρ=2.18g/cm3,正负离子的平衡距离α=2.81×10-10m,格波光学支的最高频率为3.6×1013(rad/s),试以一维双原子晶链模型计算：（1）NaCl的恢复力常数β；（2）长声学波的波速；（3）NaCl的弹性模量。已知Na和Cl的原子量分别为23和35.5,每摩尔的原子数为6.024×1023，且由弹性波理论得到波速υ=（弹性模量/介质密度）1/2=[E/ ρ]1/2.（第二问中声学波公式有误，答案正确）

5 已知NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为 n r r q T U //)(2βα+-= 其中马德隆常数75.1=α，9=n ，平衡离子间距m 1082.2100-?=r 。（1）试求离子在平衡位置附近的振动频率。（2）计算与该频率相当的电磁波的滤长，并与NaCl 红外吸收频率的测量值61μm 进行比较。

非对称转子-轴承- 基础系统的非线性振动

振动与冲击第!"卷第#期$%&’()*%+,-.’)/-%()(012%34,567!"(57#!88 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! #非对称转子9轴承9基础系统的非线性振动" 沈松:郑兆昌!应怀樵" （:7北京大学力学与工程科学系，北京:88;<:；!7清华大学工程力学系，北京:888;#； "7东方振动和噪声技术研究所，北京:888;=）摘要对柔性轴两端支承在滑动轴承上的转子，考虑非对称圆盘的陀螺力矩和弹性基础的振动，使用圆短轴承的非稳态非线性油膜力模型，建立了:8自由度的转子9轴承9基础系统运动方程，并通过数值方法计算系统稳态响应，分析了系统的非线性振动形式以及弹性基础的振幅调制对转子振动的影响。关键词：转子系统，非线性振动，分叉，基础中图分类号：/2:""7"，%"!!文献标识码：) 8引言在工程旋转机械中，研究转子系统稳定性的一个重要方面就是由滑动轴承非线性油膜力的作用而产生的各种非线性振动，目前已有大量文献对此进行了多方面的研究，文［:］研究了柔性轴支承的对称转子非线性特性，文［!］使用了非稳态油膜模型描述滑动轴承的非线性油膜力，文［"］研究了非稳态油膜力下柔性轴支承的非对称陀螺转子模型，文［#］则建立了包括基础的简化的"自由度转子系统。虽然转子系统的非线性振动常常由于滑动轴承的油膜力引起，但近年来许多理论和试验表明［=］，为更好地反映转子系统动力特性，应当考虑基础的影响。基础部分的振动将与转子9轴承部分的振动相互影响，根据文［"］的结果，转子9轴承部分的振动除旋转频率成分外，当出现油膜涡动时还会有半频或大约半频的成分，该半频可能同基础的固有频率比较接近，因此转子9轴承9基础系统中除旋转频率和半频外，不仅可能出现一阶临界转速频率，还可能出现基础的固有频率，这两种由于共振出现的频率都会对系统的稳定性造成不良影响。为此本文在柔性轴非对称转子系统的基础上，又考虑弹性基础在垂直方向上的振动对整个转子系统的作用，使用文［!］的非稳态油膜力模型，建立了:8个自由度的非对称转子9非稳态油膜轴承9基础系统运动方程，并通过(>?@ABC9!积分和(>?D5E9’AFGH I5E法相结合的数值方法，计算转子在不同转速参数的瞬态响应，反映了弹性基础的共振形式。 :转子9轴承9基础系统模型通常建立的转子轴承系统，两端的轴承座是不运动的。现在假设轴承座是固定在一个大质量的刚体基础上，基础与地面为弹性连接，个有一定的位移和转动，形成一个转子9轴承9基础系统。由于工程实际中基础位移在水平方向远小于垂直方向，因此本文仅考虑基础垂直方向的振动。图:表示的是转子9轴承9基础系统在%JK（垂直面）和%LK（水平面）平面上的投影，).为柔性轴，图:转子9轴承9基础系统力学模型示意圆盘位于轴的%点，由于%点不处于).的中点，而具有陀螺力矩作用。30为基础，轴与基础通过在)、.两点的滑动轴承油膜力相互作用，基础在垂直方向J 上考虑位移和转动，将其视作平面内的刚体运动，假设具有位移和转角，在水平方向L上的位移和转动一般较J方向小得多而忽略。这样的转子9轴承9基础系统就成为一个:8自由度系统。 "国家重点基础研究项目（(57M:NN;8!8":O）和国家自然科学基金项目（(57:NN

振动测试作业报告

振动测试技术期末总结学号：班级：建筑与土木工程（1504班）姓名：杨允宁 2016年4月27日

目录 1 振动测试概述 (1) 1.1 振动的分类： (1) 1.1.1 按自由度分类： (1) 1.1.2 按激励类型分类： (1) 1.1.3 振动规律分类： (1) 1.1.4 按振动方程分类： (1) 1.2 振动基本参量表示方法： (2) 1.2.1 振幅(u)： (2) 1.2.2 周期(T)/频率(f)： (2) 1.2.3 相位( )： (2) 1.2.4 临界阻尼（C cr） (2) 1.2.5 结构的阻尼系数（c）： (2) 1.2.6 对数衰减率（δ）： (3) 1.3 振动测试仪器分类及配套使用: (3) 1.3.1 振动测试仪器分类 (3) 1.3.2 振动测试仪器配套使用: (4) 1.4 窗函数的分类及用途 (5) 1.4.1 矩形窗（Rectangular窗）： (5) 1.4.2 三角窗（Bartlett或Fejer窗）： (5) 1.4.3 汉宁窗（Hanning窗）： (5) 1.4.4 海明窗（Hamming窗） (6) 1.4.5 高斯窗（Gauss窗） (6) 1.5 信号采集及分析过程中出现的问题及解决方法 (7) 1.5.1 信号采集和分析过程中出现的问题 (7) 1.5.2 解决方法 (7) 2 惯性式速度型与加速度型传感器 (8) 2.1 惯性式传感器的分类： (8) 2.2 常用加速度计传感器的工作原理及力学模型： (8) 2.2.1 电动式（磁电式）传感器： (8) 2.2.2 压电式传感器： (9) 2.3 非惯性传感器： (11) 2.3.1 电涡流式传感器: (11) 2.3.2 参量型传感器: (11) 3 振动特性参数的常用量测方法 (11) 3.1 简谐振动频率的量测： (12) 3.1.1 李萨（Lissajous）如图形比较法： (12) 3.1.2 录波比较法： (12) 3.1.3 直接测频法： (12) 3.2 机械系统固有频率的测量 (13) 3.2.1 自由振动法： (13) 3.2.2 强迫振动法： (13) 3.3 简谐振幅值测量 (13)

非线性振动

非线性振动期末作业任课老师：姓名：学号：专业：课程：非线性振动

非线性振动的理论研究方法非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。然而这方面的例子是极为有限的。这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。定量分析方法中的解析法是最基本的分析研究方法，使用解析法来进行研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。使用解析方法法求解非线性微分方程近似解的方法有：频闪法、平均法、小参数法、多尺度法、渐近法、谐波平衡法等研究分析方法。下面简单叙述一下几种分析非线性振动的方法：

浙江大学《机械振动基础》期末试卷

诚信考试沉着应考杜绝违纪浙江大学2013–2014学年夏学期《机械振动基础》课程期末考试试卷A卷开课学院：化工系，考试形式：闭卷，允许带 1张A4纸的笔记入场考试时间： 2014 年 7 月 2 日, 下午14:00~16:00 ，所需时间： 120 分钟考生姓名： __学号：专业：过程装备与控制工程 . 注意事项： (1)、考试形式为闭卷，允许带1页A4纸大小的参考资料、计算器和尺子。不允许带 PPT课件打印稿、作业本、笔记本草稿纸等纸质材料，不允许带计算机、IPad等智能电子设备。 (2)、第一、二大题答题内容写在试卷上，第三大题答题内容写在试卷所附答题纸上。试题（三个大题，共100分）：一、判断题(每题2分，共18分) 1.1 杆的纵向振动、弦的横向振动和轴的扭转振动虽然在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是同类的，都属于一维波动方程。() 1.2 稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关. () 1.3 在受到激励开始振动的初始阶段，振动系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加。即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生。() 1.4 为减轻钢丝绳突然被卡住时引起的动张力，应适当减小升降系统的刚度。() 1.5 汽轮机等高速旋转机械在开、停机过程中经过某一转速附近时，支撑系统会发生剧烈振动，此为转子系统的临界转速，即转子横向振动的固有频率。() 1.6 谐波分析法是将非周期激励通过傅立叶变换表示成了一系列频率为基频整数倍的简谐激励的叠加，从而完成系统响应分析。 () 1.7阻尼自由振动的周期小于无阻尼自由振动的周期。 () 1.8叠加原理可用于线性和非线性振动系统。 () 1.9若将激振力 F(t) 看作一系列单元脉冲力的叠加，则线性振动系统对任意激振力的响应等于激振力作用时间内各个单元脉冲响应的总和。 ()

基于非线性振动特性的预应力混凝土梁损伤识别

第31卷第2期 Vol.31 No.2 工程力学 2014年 2 月 Feb. 2014 ENGINEERING MECHANICS 190 ——————————————— 收稿日期：2012-08-24；修改日期：2013-01-29 通讯作者：曹晖(1969―)，男，四川内江市人，教授，博士，博导，从事结构抗震及结构健康监测研究(E-mail: caohui@https://www.360docs.net/doc/477672829.html,). 作者简介：郑星(1986―)，男，湖北荆州市人，硕士生，从事结构健康监测研究(E-mail: zhengx_cqu@https://www.360docs.net/doc/477672829.html,)；华建民(1974―)，男，河南商丘市人，副教授，博士，从事结构工程及施工技术研究(E-mail: hjm191@https://www.360docs.net/doc/477672829.html,)；文章编号：1000-4750(2014)02-0190-05 基于非线性振动特性的预应力混凝土梁损伤识别曹晖1,2，郑星1，华建民1,2，胡芝茂1 (1. 重庆大学土木工程学院，重庆 400045；2. 山地城镇建设与新技术教育部重点实验室(重庆大学)，重庆 400045) 摘要：对2根后张有粘结预应力混凝土简支梁分别进行单调加载和二级等幅值疲劳加载试验，在各级加载后对试验梁进行动测得到自由振动加速度信号，对加速度信号进行盲源分离并进行Hilbert 变换，得到各损伤状态下梁的频率-振幅曲线簇，分析其非线性振动特性随损伤状态的变化规律。结合裂缝开展情况和钢绞线的应力变化，探讨梁的非线性振动特性的变化与其损伤之间的关系。结果表明非线性振动特性适合于预应力混凝土梁的损伤检测。关键词：预应力混凝土梁；损伤检测；非线性动力特性；盲源分离；Hilbert 变换中图分类号：TU311 文献标志码：A doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2012.08.0611 DAMAGE DETECTION OF PRESTRESSED CONCRETE BEAMS BASED ON NONLINEAR DYNAMIC CHARACTERISTICS CAO Hui 1,2 , ZHENG Xing 1 , HUA Jian-min 1,2 , HU Zhi-mao 1 (1. College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China; 2. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area (Chongqing University), Ministry of Education, Chongqing 400045, China) Abstract: Two post-tensioning tests for bond prestressed concrete beams were used to carry out a static test and a two-stage fatigue test respectively. Under each damage level, the beams were excited by a hammer and their acceleration signals of free vibration were recorded. Then the signals were processed by the blind source separation algorithm and Hilbert transform to obtain frequency-amplitude curves, from which the change of nonlinear dynamic characteristics of the beams with the damage level was analyzed. The strain of the prestressing strand and cracking of the beams under each damage level were utilized to investigate the relation between the change of the nonlinear dynamic characteristics and the damage of the beams. The results prove that the nonlinear dynamic characteristics can be used to detect the damage of prestressed concrete beams. Key words: prestressed concrete beam; damage detection; nonlinear dynamic characteristics; blind source separation; Hilbert transform 预应力混凝土结构在使用期间，由于荷载、疲劳、腐蚀、老化及其它环境条件等众多不利因素的影响，将不可避免地产生损伤积累，导致混凝土开裂、预应力损失，甚至破坏等事故。因此，在役预应力混凝土构件的工作性能评价，是当前结构健康监测的一个重要方面。当混凝土构件出现裂缝后，会产生呼吸裂缝效应[1]。所谓呼吸裂缝，即裂缝在振动中时张时合。振幅小的时候，裂缝闭合，此时结构刚度较大；振幅大的时候，裂缝张开，此时结构刚度变小。随着

三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析

收稿日期:20030710 基金项目:航空科学基金项目(02C53019)资助作者简介:刘晓宁(1976-),男(汉),山东, 博士研究生刘晓宁文章编号:100328728(2004)1021191203 三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析刘晓宁,王三民,沈允文 (西北工业大学,西安　710072) 摘　要:在建立三自由度齿轮间隙非线性动力学模型的基础上,利用增量谐波平衡法获得了受到参数激励和外部谐波激励的三自由度齿轮传动系统模型的周期响应,包括稳定和不稳定的周期轨道,并利用Floquet 理论研究其稳定性、分岔类型,对系统的参数变化进行分析,研究了系统通向混沌的倍周期分岔道路和拟周期分岔道路,绘制了系统周期解分岔图。关　键　词:齿轮转子轴承传动系统;增量谐波平衡法;Floquet 理论中图分类号:TH13 文献标识码:A N onlinear Vibrations of 32DOF G eared R otor 2B earing System LI U X iao 2ning ,W ANG San 2min ,SHE N Y un 2wen (N orthwestern P olytechnical University ,X i ′an 710072) Abstract :The incremental harm onic balance (IH B )method is used to obtain periodic m otions of a 32DOF non 2linear m odel of a geared rotor system subjected to parametric and external harm onic excitations.The stability of the periodic m otions is investigated by the Floquet theory ,the bifurcation behavior is traced.Parametric studies are performed to understand the effect of system parameters such as excitation frequency on the nonlinear dy 2namic behaviors. K ey w ords :G eared rotor bearing system ;Incremental harm onic balance (IH B )method ;Floquet theory 齿轮传动是应用最为广泛的一种机械传动形式。在齿轮传动系统中,由于齿侧间隙、支承间隙、时变刚度等因素的存在,导致系统产生强非线性振动,这种振动往往表现为系统的分叉、混沌振动现象,会对机械传动系统的工作性能和可靠性产生很大影响。因此,齿轮传动非线性系统的非线性振动研究引起了广泛的关注[2～5]。从齿轮传动系统间隙非线性动力学研究来说,大部分的研究都是借助数值方法探讨系统分叉、混沌等现象的存在。增量谐波平衡法(IH B )作为求解非线性微分方程周期解的解析方法,具有精度高,适用于求解周期激励问题的特点,尤为重要的是能够求解出混沌吸引子内部的不稳定周期轨道,这也恰恰是实现混沌控制的目标稳定轨道。本文综合利用增量谐波平衡法和数值方法研究三自由度齿轮传动系统的动态特性,考察系统参数对动态性能的影响,并结合应用Floquet 理论探讨了通向混沌的倍周期和拟周期分叉道路。 1　三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程图1　三自由度非线性齿轮传动系统模型如图1所示的三自由度非线性齿轮传动系统模型,齿轮部分包括齿轮惯量I g 1和I g 2,齿轮质量m g 1和m g 2,基圆直径d g 1和d g 2。齿轮啮合由非线性位移函数f h 和时变刚度 k h (t - ),线性粘性阻尼c h 描述。轴承和支撑轴的模型则由等效的阻尼元件和非线性刚度元件表述。阻尼元件具有线第23卷　第10期机械科学与技术 V ol.23　N o.10　 2004年　10月 MECH ANIC A L SCIE NCE AND TECH NO LOGY October 2004

非线性振动

一维非线性振动的数值求解高雁军1吴少平2 (1．湖北民族学院物理系，恩施，445000；2．华中师范大学物理系，武汉，430079) 摘要利用四阶龙格－库塔方法数值求解了一维阻尼振动方程，所得到的结果与用解析方法得到的结果完全一致，验证了四阶龙格－库塔方法的可靠性和精度。在此基础上，数值求解了在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。关键词振动；非线性；龙格－库塔方法振动是一种很常见的物理现象。在线性振动理论中，研究的是系统在平衡位置附近的微小振动，它的特点之一是描述物质运动状态的物理量在某一数值附近作周期性的变化。振动的例子有很多，比如，钟摆的摆动，活塞的往复运动，固体中原子的振动，交流电路中的电流在某一电流值附近作周期性的变化等，所以振动问题具有很重要、很广泛的应用。在普通物理中讲的振动都是线性的，对于这种振动，从物理上说，非线性效应还不明显，从数学上说，振动方程中

的非线性项被忽略掉了，因而振动方程求解起来也比较容易。但严格地说，物质世界没有真正的线性振动，它只是非线性振动的近似。如果某一物理量对平衡位置有较大偏离，在处理这类振动问题时，就必须考虑非线性项的作用，从而会产生新的物理现象，因此非线性振动有重要的理论和实际意义。不过，除了少数可以精确求解的非线性方程外，对于非线性问题，在数学上要得到解析解，也只能采取一些近似的、特别的方法(如摄动法、平均法、多尺度法、KMB法等)，还缺乏一种普遍的、行之有效的解析方法。随着计算机技术的飞速发展和人们对数值计算方法的深入研究，数值方法作为一种重要的手段日益受到人们的重视，数值计算也被应用到非线性振动的研究中来。对于常微分方程的初值问题，数值方法的基本思想就是离散化，即将求解区域分成各离散点，然后直接求出各离散点上的、满足精度要求的未知函数的近似值。求解常微分方程的初值问题的数值方法有：欧拉方法、龙格－库塔法、阿达姆斯法等，其中四阶龙格－库塔法具有计算稳定、精度高的特点。本文中，采用四阶龙格－库塔方法求解了一维阻尼振动方程和在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。 1．四阶龙格－库塔公式

!!故障转子系统的非线性振动分析与诊断方法附录A matlab程序

A.1 传递距阵法分析程序 %main_critical.m %该程序使用Riccati传递距阵法计算转子系统的临界转速及振型 %本函数中均采用国际单位制 % 第一步：设置初始条件（调用函数shaft_parameters） %初始值设置包括：轴段数N，搜索次数M %输入轴段参数：内径d,外径D，轴段长度l，支撑刚度K，单元质量mm，极转动惯量Jpp[N,M,d,D,l,K,mm,Jpp]=shaft_parameters; % 第二步：计算单元的5个特征值（调用函数shaft_pra_cal） %单元的5个特征值： %m_k：:质量 %Jp_k：极转动惯量 %Jd_k：直径转动惯量 %EI：弹性模量与截面对中性轴的惯性矩的乘积 %rr：剪切影响系数 [m_k,Jp_k,EI,rr]=shaft_pra_cal(N,D,d,l,Jpp,mm); % 第三步：计算剩余量（调用函数surplus_calculate）,并绘制剩余量图 %剩余量：D1 for i=1:1:M ptx(i)=0; pty(i)=0; end for ii=1:1:M wi=ii/1*2+50; [D1,SS,Sn]=surplus_calculate(N,wi,K,m_k,Jp_k,JD_k,l,EI,rr); D1; pty(ii)=D1; ptx(ii)=w1 end ylabel(‘剩余量’)； plot(ptx,pty) xlabel(‘角速度red/s’); grid on % 第四步：用二分法求固有频率及振型图 %固有频率：Critical_speed wi=50; for i=1:1:4 order=i [D1,SS,Sn]=surplus_calculate(N,wi,k,m_k,Jp_k,Jd_k,l,EI,rr); Step=1; D2=D1; kkk=1; while kkk<5000

机械系统非线性振动及其控制

机械系统非线性振动及其控制作业 (仅供参考) 第一章单自由度线性振动 2. 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如下图所示。试列出其振动微分方程，并求出其固有频率。解：该系统可视为单自由度无阻尼系统，一起静平衡点作为振动原点，列出其振动微分方程如下： 0m x k x += 因为其固有角频率为 n ω= 所以其固有频率为 2n f πω= 4.如下图所示，有一等截面的悬臂梁，其质量不计。在梁的自由端有两个集中质量m 1与m 2，由电磁铁吸住。今在梁静止时打开电磁铁开关，使m 2突然释放。试求m 1的振幅。解：根据题意，题给悬臂梁系统可等效为一无阻尼单自由度弹簧系统。根据材料力学的知，悬臂梁右端点初始静挠度为 ()31213m m gl EI δ?? += ??? 此时梁右端点的刚度，即弹簧的等效刚度为 ()()112133/EI k m m g l δ=+= 当2m 突然被释放后，1m 和梁组成新的弹簧系统，弹簧的静平衡长度为

3123m gl EI δ?? = ??? 新系统的弹簧的等效刚度为 ()21233/EI k m g l δ== 1m 的振幅为 3/3A EI == 6.某洗衣机机器部分重15kN ，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的刚度为k=820N/cm 。 (1)试计算此系统的临界阻尼系数c c ； (2)这个系统装有四个阻尼缓冲器，每个阻尼系数c=16.8N·s/cm 。试问此系统自由振动时经过多少时间后，振幅衰减到10%？ (3)衰减振动的周期是多少？解：（1）系统的固有角频率为 14.79/n rad s ω=== 临界阻尼系数为 22229.57./c n c mn m N s cm ω====== （2）每个弹簧系统的衰减系数 /2(/4)2/ 2.24n c m c m === 系统在任一时刻的振幅与初始时刻的振幅比为 00 nt nt A e e A η--== 当系统的振幅衰减到10% 时，自由振动经历的时间 1111ln ln 1.032.240.1 t s n η= == （3）有阻尼系统的固有角频率为 14.62/r rad s ω=== 有阻尼系统的周期为 220.4314.62 r r T s π π ω= = =

动力学作业

一、运动方程的建立： 1. 图1所示系统，不考虑弹簧、梁的质量和转动惯量，给出系统运动方程。题注：（1）并联弹簧系统∑=k K ，串联弹簧系统[]11--∑=k K （2）常见杆系弹簧刚度计算方法： 2．对于问题1， m l 524.1=，251087.2Nm EI ?=，kg m 2.908=，m N k /10504.35?=，若小球在t=0时刻初始位移为0.0127m ，速度为0.254m/s ，求t=1s 时的速度和位移。（计算中不考虑阻尼）。答案：m x 0157.0=, s m x /0813.0= 3．假定图1所示的系统受到一个垂直力作用，用杜哈梅积分计算系统在下面两种荷载情况下的动力位移响应（系统在初始t=0时刻静止，忽略阻尼）：a.一个大小为4.45kN 的力在t=0时刻突然施加到小球上，而在t=0.2s 时突然把该荷载移掉；b.一个大小为4.45kN 的力在t=0时刻突然施加在小球上，然后线性递减，在t=0.5s 时，荷栽变为0。两种情况见图2。 4．用Newmark 算法计算问题3中各个时刻的位移响应（计算时间长度5s ）要求绘图。 5．若阻尼比为15.0=ξ，重新计算问题2中的速度和位移。 6.根据实验观察发现，某一结构的自由振动，经历了10个循环以后，结构的位移振幅从1变花为0.6，那么该结构的临界阻尼比是多少？答案：0.815% 7.某一结构其振动频率s rad /3=ω，阻尼比为01.0=ξ，现考虑结构上的一个点，若已知结构在85N 的静力作用下，该点的位移为1mm ，该点处应力为MPa 20,问：受到的外力为t t F sin 850)(=N 时，该点的最大动位移和最大应力是多大？（假定结构处于线弹性状态，4.45kN P(t) 0.2s t 4.45kN P(t) 图2 x 图1

东北大学机械学院机电系统与非线性振动控制课程大作业

《机电系统及其控制过程中的非线性振动》课程报告姓名：学号：指导教师：姚红良时间：2016年7 月

对非线性振动课程的理解和认识 (1) 0前言 (1) 1含立方项非线性方程的椭圆函数解 (1) 2具体算例 (2) 2.1线性谐振子 (3) 2.2立方非线性振动 (3) 2.3杜芬系统的自由振动 (3) 3解析解与数值解结果的比较 (4) 3.1程序设计 (4) 3.2数值实验结果 (5) 参考文献: (5)

对非线性振动课程的理解和认识 0前言立方项的非线性振动是物理学及工程应用中出现较多的一类非线性振动。立方项系数远小于线性项系数的杜芬方程,作为弱非线性的典型代表,得到了非常广泛的应用。近年来, 有关含?立方项的强作线性实际振动系统的研究越來越多，如双弹簧振子的横向振动、新材料中的纳米机械共振子的振动及悬索的振动等。描述这些振动系统的微分方程中，线牲项常常小于立方项，甚至仅存在立方项。为了解决强非线性振动在工程设计中的实际应用，出现了诸如能量法、广义谐波函数平均袪、范式理论方法、同伦摄动法及迭代摄动法等多种强非线性振动系统周期解的近似求解方法。这些方法原则卜.都町以用来求解强立方非线性振动方程周期解，但只能得到近似结果。本文将依据弹性力作用下系统机械能守恒的原理，求解出一类含有线性项和立方项的非线性微分方程的楕确解析解。 1含立方项非线性方程的椭圆函数解常见的含立方项非线性口由振动微分方程町表示为：策+比必+=0, 式中，kl^ 0, k2N 0是由振动系统性质决定的非负常数。为了方便，设初始条件为: x(0) - A \x (0) = ()□ 可化为: xx + k}xx + k2x兀二(), 上式表明：方程表示的系统在振动过程中总机械能守恒。设总机械能为E,则在式中初始条件h E =斗仏/1' +十尼屮，从而； ■y-.v + ~k}x ++尼.丫’ = ~kiA' ++他/。匕式?表明：系统的相图为闭合凸曲线，则式(1)的解町设为： x = 4cos 3o 将上式求导得:

振动测试技术作业

简支梁振动系统动态特性测试姓名：汪亚彬学号：0214134 班级：土木工程（3）班课程：振动测试技术 2015年7月21日

一、振动测试概述 1、振动的分类及描述答: 1、在振动理论中，把物体的振动按自由度分，可分为：单自由度振动、多自由度振动、无限自由度振动； 2、按激励类型分，可分为：自由振动、受迫振动、自激振动、固有振动、参数振动； 3、从振动特性看，可分为：线性振动和非线性振动； 4、按信息与数据的形式分，可分为：确定性振动及随机振动两大类。其中确定性振动按响应持续时间，又可分为:瞬态振动、稳态振动；按响应的周期性可分为：周期振动及非周期振动两类；周期振动可用数学表达式 )((nT t y t y +=）表示，它还可以进一步分为简谐振动及复杂周期振动两类；非周期振动又可分为准周期振动及瞬变振动两类。一、确定性振动 1、简谐振动简谐振动是一种最简单、最基本的振动形式，其时变函数为 sin()(A t y =)2sin()0 0?π?+=+ft A wt 式中：A ----振幅；w ----圆频率，单位：弧度/秒（rad/s ）； f ----频率，单位：赫兹（Hz ）； 0?----相对于时间原点的初相角，单位：弧度（rad ）; )(t y ----为t 时刻的瞬时幅值。 2、复杂周期振动复杂周期振动可用如下的周期性时变函数表示 ),()(nT t y t y ±= =n 1，2，3···，它由与基波成为整倍数的波形所组成。或者，复杂周期振动是由静态分量0y 项与无穷多个振幅、初相角不相同、频率与基频称整数倍的间谐波分量叠加而成，当然其中有些项的幅值可以为零。 3、准周期振动如果若干个频率不成比例关系的简谐振动叠加在一起，合成后的振动不呈现周期性，称为准周期振动。例如：