高等代数多项式试题库(精品文档)
§1 数域[达标训练题]
一 填空题
1．数集{0}对 运算封闭.
2．自然数集N 对 运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭.
二 判断题
1. 数域必含有无穷多个数.
2. 所有无理数构成的集合是数域.
三 证明
1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数.
2. 证明},2{3
Q b a b a ∈+不是数域.
3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域.
§1 数域[达标训练题解答]
一 填空题
1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法.
二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题
1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++,
)()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +?+
n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈.
当011≠+n b a 时, n b a n
b a 1122++
)
(21212
12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈?--+--=
.故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法
封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域.
2．证明 因为
∈3
2},2{3
Q b a b a ∈+,
?=?333
422},2{3
Q b a b a ∈+.
即}
,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以
}
,2{3Q b a b a ∈+不是数域.
3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2
1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故
1,P ab b a ∈±,2,P ab b a ∈±;当0≠b 时,21,P b a P b a ∈∈, 所以2
1,,P P b a ab b a ∈±.即
21P P 是数域.
例如:
取1P =},2{)2(Q b a b a Q ∈+=, =2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=, 容易验证21P P 不一定是数域; 取1P =Q ,=2P },3{)3(Q b a b a Q ∈+=,显然21P P =},3{Q b a b a ∈+是数域.
§2 一元多项式[达标训练题]
A 组
一 填空题
1. 系数在数域P 上的关于文字x 的一元多项式指的是形式表达式 , 其中i 次项是 , i 次项系数是 , 常数项是 .
2.
下列形式表达式(i)2;(ii)x 1
; (iii)0; (iv))3ln(13
2x x x +++;
(v)1)1(2
3
+--x i ix ;(vi) +++++
n x n x x !1
!31!2113; 其中 是
多项式.
3. 零多项式是 , 零次多项式是 .
4. 设多项式∑∑====m
i i
i n
i i
i x b x g x a x f 1
1
)(,)(, 则)()(x g x f 的k 次项系数
是 .
二 判断题
1. 0是零次多项式.
2. 若)()()()(x h x f x g x f =,则)()(x h x g =.
3. 若)(),(),(x h x g x f 都是数域P 上的多项式, 则))()((x g x f +?))((x f ?≥或者
))()((x g x f +?))((x g ?≥.
三 解答题
1. 设)2()1()2()(2
2+-+++-=x x c x b x a x f , 试确定c b a ,,, 使)(x f (i)零次多项式; (ii)零多项式; (iii)一次多项式5-x . 2. 若)(),(x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若,0)()(2
2=+x g x f 则
0)()(==x g x f .
B 组
1.设)(),(),(x h x g x f 是实数域上的多项式, 证明:若),()()(2
22x xh x xg x f +=则
0)()()(===x h x g x f .
2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式.
3. 次数定理中,式子 ))}(()),((max{))()((x g x f x g x f ??≤+?
何时等号成立?何时小于号成立?
§2 一元多项式[达标训练题解答]
A 组
一 填空题
1．
1110n n n n a x a x a x a --++++，i i x a ，i a ， 0a ；2.（i ），（iii ）（v ） ；
3. 0，非零常数 ；
4.
∑-=-1
1
k i i
k i
b
a .
二 判断题 1．(F)； 2. (F).; 3.(F). 三 解答题
1．解 因为
222()(2)(1)(2)()f x a x b x c x x a c x =-+++-+=++(2)a b c x +-
)24(c b a +++.利用多项式相等的定义的:
(i)??
?
??≠++=-+=+024020c b a c b a c a (ii) ??
?
??=++=-+=+024020c b a c b a c a (iii) ??
?
??-=++=-+=+524120c b a c b a c a
即(i)当0,3,≠=-=c c b c a 时, )(x f 为零次多项式; (ii)当0===c b a 时)(x f 为零多项式;(iii)6,17,6-=-==c b a 时)(x f 是一次多项式5-x .
2．证明 设01)(a x a x a x f n n +++= ，01)(b x b x a x g m m +++= ，则)
()(2
2x g x f +的第k 次项系数为)
(0
i k i k
i i
k i
b b a
a -=-+∑=0,当0=k 得000==
b a ,当1=k 时得02
121=+b a ,进
而011==b a ,同样地,得到022==b a …….因此0)()(==x g x f
B 组
1．证明 若0)(≠x g (或0)(≠x h )显然得)()()(2
22x xh x xg x f +=是一个奇次多项式, 这是不可能的.又若0)(≠x f ,则)(),(x h x g 不全为零,因此也得)()()(2
22x xh x xg x f +=是一个奇次多项式, 这也是不可能的.
所以0)()()(===x h x g x f
2．解 取1)(),1()(,2)(-=+==x x h x i x g ix x f ，则)()()(2
22x xh x xg x f +=. 3．解 当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数时,等号成立; 其余情形小于号成立.
§3 整除的概念[达标训练题]
A 组
一 填空题
1. )(),(),(x h x g x f 都是][x P 中的多项式,若)()()(x h x g x f =,则称 整
除 ，称 为 的因式， 为 的倍式，记为 .
2.
若
)(,0)(),()()()(≠≠+=x r x g x r x q x g x f 或
))
(())((x g x r ?≤?,那么
除 的商式是 ,余式是 ,这里][)(),(),(x P x r x g x f ∈.
二 判断题
1. 零多项式能够整除任意多项式.
2. 整除任意多项式能够被零次多项式整除.
3. 若
)
()(),()(x f x g x g x f , 则))(())((x g x f ?=?.
4. 若0)(),()()()(≠+=x g x r x q x g x f ,则满足该式的多项式)(),(x r x q 有且只有一对.
5.若))()(()(x h x g x f +,则)
()()()(x h x f x g x f 或.
三 解答题
1． 设b ax x x x f ++-=232)(，2)(2
--=x x x g ，)(x g 除)(x f 的余式12)(+=x x r ，
求b a ,.
2. 如果))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g +-, 则
)
()(,)()(21x f x g x f x g .
2．
如果x 不整除)(x f 与)(x g ，则
x 不整除)(x f 与)(x g 的乘积.
3. 证明
p
n m x x x x x p n m ,,,1231332++++++是非负整数.
4. 证明 ①如果)()(x f x h , ()|()h x g x , 则()|(()())h x f x g x +; ②如果()|(),()|()h x f x h x g x ,则()|()()h x f x g x +不一定成立.
B 组
一 多项选择题
1.)(x f 是任意多项式,c
是非零常数,则下列结论成立的
是 .
(A))(0x f ;(B)0)(x f ;(C) 00; (D) c 0;(E) 0c ;(F) c x f )(;(G) )(x f c ;(H)
)
()(x f x cf .
2.若在][x P 中,)(x g 整除)(x f ，为强调数域，我们记)()(x f x g P .设
][)(),(x Q x g x f ∈，下列结论 正确的有 .
(A)若)()(x f x g Q
,则)()(x f x g R ;(B) 若)()(x f x g R ⊥,则)()(x f x g q ⊥; (C)若)
()
(x f x g Q
,则)()(x f x g R ;(D)若)()(x f x g R ⊥,则)()(x f x g q ⊥.
3. 设
)
()(),()(x g x p x f x p ,则)(x p 整除于 .
①)()(x g x f +;②)()(22x g x f +;③)()(x g x f ;④)()(3
3x g x f +.
二 证明题
1. 证明)
(x f x k 的充分必要条件是)(x f x .
2. 证明
1
136********+++++-+-+-x x x x x x x x x x .
3. 证明1-d x 整除1-n
x 的充要条件是n d .
4. 证明, 若)
()()(1424423x h x x xg x f x x x +++++,则1-x 同时整除)(),(),(x h x g x f .与例2联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.
5. 对照多项式的整除性理论，讨论整数的整除性理论.
§3 整除的概念[达标训练题解答]
A 组
一 填空题
1．)(),(x h x g ，)(x f ，)(),(x h x g ，)(x f ，)(x f ， )(),(x h x g ，)
()(),()(x f x h x f x g ， )(x g ，)(x f ； 2.)(x q ，)(x r .
二 判断题 1.(F)； 2. (T)； 3. (F); 4.(F); 5.(F)
三 解答题
1．解 利用带余除法得)2()1)(()(-++-=b ax x x g x f ，所以12)2(+=-+x b ax ，即
3,2==b a .
2．证明 ))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g +-, 利用整除性的性质，我们有
))}
()((21
)))()(((21{)(2121x f x f x f x f x g +±-，即)()(,)()(21x f x g x f x g .
3．证明 若)()(x g x f x ,
x
不整除)(x f 与)(x g 则存在常数0,021≠≠r r ,使
2211)()(,)()(r x xq x g r x xq x f +=+=, 所以+=)()(()()(21x q x xq x x g x f 2112))(r r x q r +,
由于)()(x g x f x , 所以21r r x ,得出矛盾.即x 不能整除)()(x g x f 证明 由于三次单位根21,ωω都是23133++++p n m x x x 的根，即12++x x 的根都是23133++++p n m x x x 的根.从而
p
n m x x x x x p n m ,,,1231332++++++.
4. 证明 因为2
121()(),x x x x εε++=--其中(1,2)i i ε=是三次单位虚根, 而
331320m n p i i i εεε++++=,即33132
(1,2)m n p i x x x x i ε++-++=,再利用12,x x εε--互素
得到
33132
12()()m n p x x x x x εε++--++,
即
233132
1m n p x x x x x ++++++
5．证明 ①如果)()()(x g x f x h +,因为 )()(x f x h , 由整除性性质得:
)
()()(()(x f x g x f x h -+,即)()(x g x h ,与)()(x g x h ⊥矛盾, 所以)()()(x g x f x h +⊥.
B 组
一 多项选择题
1．B,C,E,G,H ； 2.(A)(D);3.①②③④
二、证明题
1．证明 充分性显然,仅证必要性. 设r x xq x f +=)()(,则
+=+=)())(()(x q x C r x xq x f k k o k k k r x q x C k k k )(111--k k k k k k r C r x xq C +++--11)( k r x xp +=)(
因为)(x f x 且)
(x xp x ，由整除性的性质得：)
(x f x k .
2．证明 利用带余除法, )1`)(1(12343457836912+---+-+-+-=++++x x x x x x x x x x x x x x
所以
1
136********+++++-+-+-x x x x x x x x x x .
3．证明 充分性显然,仅证必要性.
设r dq n +=若d r r <≠,0,)1()1(11-+-=-=-+r r dq r dq n x x x x x ,而11--dq d x x ,因此
1
1--r d x x ,得出矛盾.所以0=r ,即n d .
4．证明 因为
)3,2,1(4
sin 4=+=k k i k con
w k π
π是 12
3+++x x x 的根,显然
)
()()(4244x h x x xg x f w x k ++-,即
)1()1()1(2=++h w g w f k k (3,2,1=k ),
从而0)1()1()1(===h g f .
一般地,我们有如下的结果:
若
)
()()(1122121n n n n n n n x f x x xf x f x x x ----++++++ ,则
1,,2,1),(1-=-n i x f x i .
事实上,设i i i r x q x x f +-=)()1()(,则
i n
i n n i r x q x x f +-=)()1()(,进一步有 )
())()()()(1()()()(122112211221------+++++++-=+++n n n n n n n n n n n n n r x xr r x q x x xq x q x x f x x xf x f
由于 )
()()(1122121n n n n n n n x f x x xf x f x x x ----++++++ ,
)
()()()1(1122121n n n n n n n n x q x x xq x q x x x x ----++-++++
则
1
1
212
1
1----+++++++n n n n r x
xr r x x
x
.
5．参见张禾瑞先生的《高等代数》（第三版）（高等教育出版社）教材，或
者初等数论教材.
§4 最大公因式[达标训练题]
A 组
一、填空
1．对于任意两个多项式),(),(x g x f 它们总有公因式 ，我们称它为平凡公因式.
2．两个零多项式的做大公因式是 .
3．零多项式与任意多项式)
(x f 的最大公因式
是 .
4．若),()(x f x g 则)(),(x f x g 的最大公因式是 .
5．x x g x x f -=-=1)(,1)(2，则=))(),((x g x f ,取
=)(x u ,)(x v = ,使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+
6.若,1)()()()(=+x v x g x u x f 则)(x u 与)(x v .
二、判断题
1.若)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式，则)(x cd 也是)(),(x g x f 的最大公因式c (是常数）.
2. 存在惟一一对多项式),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+ 3．若 ,1))(),((=x g x f 则存在惟一一对),(),(x v x u 使 .1)()()()(=+x v x g x u x f
4．若)(),(x g x f 不全为零，则 .
1)))(),(()
(,))(),(()((
=x g x f x g x g x f x f
5．由于（16,8）=8,所以多项式8与16不互素. .)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式.
三、解答题
1. 判定32)(,1363)(2
23+-=++-=xd x x g x x x x f 是否互素,并求),(),(x v x u 使
)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f =+
2. 证明:)).()(),(())()(),(())(),((x g x f x f x g x f x f x g x f -=+=
3. 证明:两个多项式)(),(x g x f 都与)(x h 互素的充要条件是它们乘积)()(x g x f 与
)(x h 互素.
4. 若,1))(),((=x g x f 则.1))(),((=x g x f m
m
B 组
一、 选择题
1. 若),()(),((x d x g x f =则 成立.
(A));()()(),((x d x g x f x f =+ (B));()())()().()((x h x d x h x g x h x f +=++
(C)).()())()(),()()(();())(),((,x h x d x h x g x h x f D x d x g x f n
m m
m
==+
2.若,0)(≠x f 且),()()()()(),())(,)((x d x v x g x u x f x d x g x f =+=则错误结是 .
;
1))()
(,0()()(();()(),()((==x d x g x d x f B x d x g x f A n n n
).())(),()()(();
())(),()((x d x g x g x f D x d x v x u C =+=
3.(多项选择)若),()()()(x r x q x g x f +=则 成立. ),(())(),()((x g x g x f A =();r x ()((),())((),())B f x g x f x r x = )).(),(())(),()(());(),(()(),()(());(),(())(),()((x r x q x q x f E x q x g x r x f D x r x q x g x f C ===
二、 解答题
1. 确定k ,使24)6(2++++k x k x 与k x k x 2)2(2
+++的最大公因式是一次的.
2.设)(),(x g x f 不全为零,则)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式;反之,)(x f 与)(x g 的最大公因式都是次数最高的公因式.
3. 证明:若,1))(),((=x g x f 且,0))((,0))((>?>?x g x f 那么存在惟一第一对多项式
)),(()(()),(())((),(),(x f x v x g x u x v x u ?
4. 依照两个多项式的最大公因式式理论,讨论的有限多个多项式的最大公因式的理论(定义,存在性,求法,互素).
§4 最大公因式[达标训练题解答]
A 组
一、 填空题
1． 零次多项式；2. 零多项式;3.多项式()cf x c 为零次多项式;4.)(x cg ,c 为零次多项式; 5.1,,1--x x ;6.互素. 二、判断题
1． F ；2.F;3.F;4.T;5.F;6.F.
三、解答题 1.
解:通过辗转相除法求得
1))(),((=x g x f ,
973697339718)(,9711976)(2++-=-=
x x x v x x u .
2.证明:设)())(),((x d x g x f =,容易证明)(x d 是)()(),(x g x f x f ±的公因式;
对)()(),(x g x f x f ±的任意公因式,容易证明它是)(),(x g x f 的公因式,从而它整除于)(),(x g x f 的最大公因式)(x d .即)()(),(x g x f x f ±的任意公因式整除于它的公因式)(x d ,所以)(x d 是)()(),(x g x f x f ±的最大公因式.
3.证明:1))(),((=x h x f ,1))(),((=x h x g ,则存在)(),(x v x u 与)(),(x q x p ,使1)()()()(=+x h x v x f x u ,1)()()()(=+x q x h x p x g ,以上两式相乘容易得到
1
)()()()()(=+x h x V x g x f x U ,故1))(),()((=x h x g x f .反过来若
1))(),()((=x h x g x f ，则存在)(),(x v x u ，使1)()()()()(=+x v x h x u x g x f ，若令
)()()(x p x u x g =，则有1)()()()(=+x v x h x p x f ，故1))(),((=x h x f ，同样的若令
)()()(x q x u x f =，则有1)()()()(=+x v x h x q x g ，故1))(),((=x h x g .
4． 证明：首先利用上题及归纳法容易证明，若1))(),((=x g x f ，
1))(),((=x g x f m ，同样的利用归纳法证明1))(),((=x g x f n m .
B 组
一、 选择题 1．（A ）(D)；2.（C ）;3. (A,E) 二、 解答题
1．解 利用辗转相除法容易得到:
)224()()(+++=k x x g x f ,
)1)(3(41
)232)(224(41)(---++++=
k k k x k x x g
因此最大公因式是一次的条件是3=k 或者1=k .
2.证明 设)(x d 是)(),(x g x f 的次数最高的公因式,)(0x d 是)(),(x g x f 的最
大公因式,所以)()(0x d x d ,而0)(0≠x d 因此)(0x d 的次数等于)(x d 的次数,从而
)()(0x cd x d =.故)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式式.反之,若)(0x d 是)
(),(x g x f 的最大公因式,由于)(x d 是公因式,因此)()(0x d x d ,所以要么)(x d 是零多项式,要么)(x d 的次数不大于)(0x d 的次数.但0)(0≠x d ,所以)(x d 的次数不大于
)(0x d 的次数.故)(0x d 是)(),(x g x f 的次数最大的多项式.
3.证明: 由 互素的充分必要条件知存在)(),(x v x u 使1=+gv fu . 首先证明若g u ?
其次证明如果,可以重新选取11,v u ,使11,v u 符合要求.
由带余除法定理知存在r q ,使g r r r gq u ?
g r ?
最后证明唯一性.
如果存在2211,;,v u v u ,2,1,,,1,12211=?
§5因式分解定理[达标训练题]
一、填空题
1.)(x p 是不可约多项式,],[)(x P x f ∈若 )(x p ⊥)(x f ,则 .
2. )(x p 是不可约多项式, ],[)(x P x f ∈则)(x p 与)(x f 互素的充要条件是 .
3.判定多项式2
x +2在数域P 上的可约性.(i )P=Q 时 ;)(ii P=R
时 ;)(iii P=C 时 .
4.)(x f =)42(-x 23
)33(+x )2(+x 的标准分解式是 .
5.)(x f =2)2(+x 3
)
1()4(24++x x ,)(x g =4)3(+x )
1(-x 2
)
2(+x 2
,则
()(x f ,)(x g )= .
二、 判断题
1. 任意数域上都有不可约多项式.
2. 若)(x h )(x f )(x g ,则)()(x f x h 或).()(x g x h
3. )(x p 是不可约多项式,)()(x f x p ⊥且)()(x g x p ⊥,则)()()(x g x f x p ⊥.
三、 解答题
1.分别在有理数、实数域、复数域上分解14
+x 为不可约多项式的乘积.
2.证明:若)(x p 不可约, )
(x p ()(x f +)(x g ),)(x p )(x f )(x g ,则)(x p )(x f ,且
)
(x p )(x g .若)(x p 可约,上述结论是否成立?为什么?
3. )(x p 是次数大于零的多项式,若 )(x p 与任一多项式)(x f 的关系只有两种情况()(x p ,)(x f )=1, 或)
(x p )(x f ,)(x p 是否是不可约的?并说明理由.
4.若)(x f 是次数大于零的首项系数为1的多项式,证明)(x f 是不可约多项式的方幂的充要条件是:对任意的多项式)(x g ,或者()(x f ,)(x g )=1,或者存在正整数
m ,使)()(x g x f m
.
§5因式分解定理[达标训练题解答]
一、 填空题 1.1))(),((=x f x p ; 2.)(x p 不整除于)(x f ； 3. 不可约, 不可
约,可约; 4.3
2)1()2)(2(36+-+x x x ; 5. 1. 二、判断题 1.T; 2.F; 3.F . 三、 解答题
1. 解 在有理数14+x 为不可约多项式, 因此在有理数14
+x 的
分解式为其本身.
在实数域:
4221(1)(1)x x x +=-++
在复数域上:
))()()(())((12
32321212
24i x i x i x i x i x i x x +-+-=+-=+. 2. 证明:若)(x p 不可约, 由)
(x p )(x f )(x g ,则)
(x p )(x f 或)
(x p )(x g .若)
(x p )(x f 成立, 又)
(x p ()(x f +)(x g ),所以)(x p )(x f )(x g ,则)
(x p )(x g 成立;
同样地若)
(x p )(x g 成立利用)
(x p ()(x f +)(x g )得到)(x p )(x f 成立.总之有
)
(x p )(x f 与)
(x p )(x g 同时成立.
若)(x p 可约,上述结论不成立.事实上取,)(,)(,)(2
2x x x g x x f x x p -===则
)()()(x g x f x p 且)(x p ()(x f +)(x g ),但)(x p 即不整除0(x f 也不整除)(x g .
3. )(x p 是不可约多项式. 证明如下:
若)(x p 可约,则存在)2,1)(()(0),(=?
4．证明:必要性.设
)()(x p x f m
=()(x p 为不可约多项式),显然对任意的)(x g ,若1))(),((=x g x p ,则1))(),(())(),((==x g x p x g x f m ,若)()(x g x p ,则)()(x g x p m m ,
即存在正整数m ,使
)
()(x g x f m .
充分性: 设)1))()((,0)()()(()()(1111=>?=x f x p x f x p x f x p x f k
不可约，,取
)()(1x p x g =,则()(x f ,)(x g )=1不成立, 且对任意正整数m ,)()(x g x f m
不成立.故
)1))()((,0)()()(()()(1111=>?=x f x p x f x p x f x p x f k 不可约，不成立.即)(x f 是不可
约多项式的方幂.
§6 重因式[达标训练题]
一、 填空题
1.设多项式)(x f =2
2
)4-x 2
)2(-x )2(+x )3(-x ,则)(x f 的单项式是 ,重因式是
,它们的重数分别是 .
2.若)(x p 是)(x f 的5重因式,则)(x p 是 的3重因式, 的单项式.
3.)(2
x f 的微商是 .
4. 与)(x f 有相同的不可约因式,但无重因式.
5, )(x p 是()(x f ,)(/
x f )的)1(≥k k 重因式,则)(x p 是)(x f 的 重因
式. 一、
判断题
1. )(x p 是)(x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(/
x f 的1-k 重因式)1(≥k
2., )(x p 是)(/
x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(x f 的1+k 重因式. 2． 多项式的重因式不因数域的扩大改变.
四、解答题
1. 判断下列多项式有无重因式,若有,求出重因式.
(i ))(x f =35423-+-x x x ;(i i ))(x f =3
x 1-
2. 将)(x f =x x x +-2
32单项式化,然后分解因式.
3. 证明: )(x f =1+
!!22n x x x n
+
++ 没有重因式. 4.
a ,
b 满足什么条件,b ax x ++33有重因式.
§6 重因式[达标训练题解答]
一、 填空题
1.3-x , 2-x 与2+x , 4与3;
2.)(x f '';
3.)()(2x f x f ';
4.))(),(()
(x f x f x f '; 5.1+k . 二、 判断题 1.F; 2.T; 3.F. 三、
解答题
1. 解: (1)利用辗转相除法容易求出1))(),((='x f x f ,所以
)(x f =35423-+-x x x 无重因式.
(2)同(1).
2. 解：容易计算)1())(),((-='x x f x f ，所以1-x 是)(x f 的二重因式，又)1())(),(()
(-='x x x f x f x f ，故)(x f =
2)1(-x x x x x +-23
2. 3. 证明:
12)!1(1!211)(--+++
+='n x n x x x f ,
1))!1(1
1,!1(
))(),()(())(),((1=-+++=''-='-n n x n x x n x f x f x f x f x f .故无重
因式.
4.解: 显然当0a b ==时，b ax x ++33
有三重因式x ，当0,0a b =≠时
b ax x ++33无重因式；当0a ≠时，当204b a a +
=时，2
((),())22b
f x f x x x a a '=+=-，
b ax x ++33有二重因式2
2x a -
§7 多项式函数[达标训练题]
A 组
一、 填空题
1.多项式 有无穷多个根.
2,若)(x f =2
3432x x x -+,则)2(f = , )(x f 的根是 ,重根是
,其重数是 . 3.α是多项式)(x f 微商的k 重根,则 α是)()
3(x f 的 重根.这里k ≥5.
4.若α是)(/
x f 的k 重根,且满足 , α是)(x f 的1+k 重根.
二、 判断题
1. 若)(x f 没有重根,则)(x f 没有重因式.
2. 若)(x f 没有根,则)(x f 不可约.
3.)(x f 没有重根,()(x f ,)(/
x f )=1
4. ()(x f ,)(/
x f )=1,则)(x f 无重根.
三、 解答题
1. 求一个次数小于3的多因式,使f (2)=1,)1(-f =2-, f (3)=
2.
2. 证明多项式)(x f =!)1(2
1n x n n nx x n n n +-++--无重根.
B 组
1. 求一个满足下列条件的三次多项式:
(i )3-x )(x f ;(i i )3+x 除)(x f 的余数是4; (i i i ))(x f 被2-x ,2+x 除的余数相等.
2. 证明x sin 不能表示成x 的多项式.
3. 多项式)(x f 满足)(x f =)(b x f +求证: )(x f 是常量,这里0≠b .
4. 证明:如果
)()()(1432424123x f x x xf x f x x x +++++则ιf (1)=0,τ=1,2,3. 5. 设)(x f 和)(x p 是有理系数多项式, )(x p 在Q 上不可约,若)(x f 与)(x p 有一个公共复根,则)()(x f x p .
§7 多项式函数[达标训练题答案]
A 组
一、 填空题
1．零多项式；2.-12, 0(二重),3,-1, 0,2; 3. 4-k ; 4. α是)(x f 的根; 二、判断题
1．F ；2.F; 3.F; 4.T. 三、解答题
1．解 利用拉格朗日插枝公式
1
3
231))1(3)(23())1()(2(2)31)(21()3)(2(2)32))(1(2()3))(1((1)(2+-=------?+------?-+------?=x x x x x x x x x f 2.证明：
)!1()2)(1()1()(2
21-++--+-+='---n x n n n x n n nx x f n n n ，所以 ='-'='))()(),(())(),((x f x f x f x f x f )
,)!1()2)(1()1((321n n n n x n x n n n x n n nx -++--+-+--- =1.
所以
)!1()2)(1()1()(2
1-++--+-+=--n x n n n x n n nx x f n n n 无重根. B 组
1． 解：设)()3()(x g x x f -=，
c bx ax x g ++=2
)(，则 c x b c x a b ax x f 3)3()3()(2--+-+=利用综合除法得到用3+x 除)(x f 得余数
461854=-+-c b a ,用2,2+-x x 除)(x f 得到的余式分别是
20510,42-----b a b a .由题设得到下列方程组??
?-+=---=-+-c b a c b a c b a 5102024461854由此解出一个解???
??
????=-
=-=0458456c b a .
2． 证明：若x sin 表示成一个n 次多项式，则它最多只能有n 个根因此它是0.事实上0sin ≠x .
3． 证明 令)0)(()()(≠+-=b b x f x f x g ，则)(x g 若不是零多项式，则其常数项为0)(=-b f ，从而 ,2,b b 都是)(x f 根，这样0)(=x f .若)(x g 不是0多项式，而它有无穷多个根.
4． 证明：考虑四次单位根42sin
42cos π
πεk i k k +=3,2,1=k ，显然)
(143
1
2
3
ε-=+++∏=x x x x k ，则4
2sin 42cos
π
πεk i k k +=是
)()()(424221x f x x xf x f ++的根，即)3,2,1(0)1()1()1()1(3211==+++k f f f f k k k εεε进一步得0)1(=k f .
5．
证明 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若
)(x p 在有理数域上不能整除于)(x f ，则无论在有理数域还是复数域均有
1))(),((=x f x p 而事实上在复数域上1))(),((=x f x p 不成立.因此)(x p 在有理数
域上整除于)(x f .
§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题]
A 组
一、填空题
1．复数域上不可约多项式是 ，实数域上不可约多项式是 .
2. )(x f ][x R ∈是首项系数为1的7次多项式,且 )(x f 有2重根i 32-,单根0、1、-2，则)(x f 的标准分解式是 .
3. )(x f =][3
x R q px x ∈++,有一须根,bi a +则)(x f 的所有根是 .
4.44
-x 在复数域上分解式是 .在实数域上的分解式是 .
二、解答题
1. 求有单根i 21-及2重根1懂得次数最低的受项系数为1的复系数多项式和实系数多项式.
2. 证明:奇数次实系数多项式必有实根.
3. 设)(x p 是R 上不可约多项式,对于)(x f ][x R ∈,如果)(x p 与)(x f 在C 中有多项式α,证明)()(x f x p .
B 组
1.(选择填空)若多项式)(x f 的各项系数都同号,那么)(x f .
(i)无实根;(ii)无复实根;(iii)无正实根;(iv)既有正根又有负根.
2.在C 和R 上分解1-n
x 为不可约因式之积.
3.设)(x f 表示把多项式)(x f 的系数换成它们的公轭复数所得到的多项式.证明:
(i)若)()(x f x g ,则
)
()(x f x f ; (ii)( )(x f ,)(x f )=)(x d 是实系数多项式.
§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题解答]
A 组
一、
填空题
1．一次多项式，一次与部分二次不可约多项式；2.
22)74)(2)(1(+-+-x x x x x ； 3.2
a 2-，bi a bi a -+,；
4.)2)(2)(2)(2(i x i x x x -+-+，
)2)(2)(2(2
+-+x x x . 二、解答题
1．解：在复数域上
)21)(21()1()(2
i x i x x x f --+--=, 在实数域上
)32()1()(2
2+--=x x x x f . 2 .证明: 若无实根,则该多项式全是虚根,而实系数多项式的虚根
成对出现,因此与多项式是奇数次的矛盾.
3． 证明: 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在实数数域上不能整除于)(x f ，则无论在实数数域还是复数域均有1))(),((=x f x p 而事实上在复数域上1))(),((=x f x p 不成立.因此)(x p 在实数域上整除于)(x f .
B 组
1．（iii ）
2．解：在实数域上，
1
1(1)(1)n n x x x x --=-+++
在复数域上
011221()()
(),cos
sin ,0,1,1n n k k k x x x x i k n n n ππ
εεεε--=---=+=-.
3． 证明 (i)若)()(x f x g ,则存在(),()()()h x f x g x h x =，利用共轭复数的运
算性质喝多项式乘法法则，有()()()f x g x h x =，故()()
g x f x ;
(ii)由于()()f x f x +是实系数多项式， ((),())((),()())f x f x f x f x f x =+,，故((),())()f x f x d x =是实系数多项式.
§9 有理数域上多项式 [达标训练题]
A 组
一、填空题
1.设)(x f 是数域P 上的不可约多项式,))((x f ?=n ,若P=C,则n = .;若P=R,则n = ; 若P=Q,则n = .
2.若整系数多项式)(x f 不存在素数p 满足艾氏判别法的条件,则)(x f 的Q 上 .
3.122133
4-+-
x x x 所有可能的有理数根是
. 二、 判断题
1. 若不存在素数p 能整除整系数多项式)(x f 的所有系数,则)(x f 是本原的
2. 任何一个有理系数多项式都能表示成一个有理数与本原多项式之积.
3. 若)(x f 是次数≥1的整系数多项式,则)(x f 在Q 上可约?)(x f 能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.
4. )(x f ∈Q ][x 有无理根,则)(x f 在Q 上不可约. 三、 解答题
1. 把下列多项式表示成一个有理数与本原多项式的乘积.
)(i ;4622
3
-+x x )(ii .
271313-x x
2. 证明下列多项式在Q 上不可约.
)(i 13)(1)(;6423234234+-++++---x x iii x x x x ii x x x
3. 用试根法求432
3+-x x 的有理根. 4. 证明3
2是无理数.
B 组
1. 5次有理系数多项式)(x f 在Q 上可约,则下类断言正确的是 .
(A))(x f 至少有一个有理根; (B))(x f 不一定有有理根;
(C))(x f 恰有一个有理根; (D))(x f 含有一个2次不可约因式.
2.证明)(x f =!!212p x x x p
+++在有理数域Q 上不可约(p 是素数) .3.求3
21
2252345--+--x x x x x 的有理根.
4.设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i)当n >1时,说明)(x f 是否有有理根与其可约性的关系;(ii) n =3时,上述关系如何? (iii)
n =4时,给出一个无有理
根,但)(x f 可约的例子.
5.整系数多项式)(x f 对某一整数m 有)(m f 和)1(+m f 都是奇数,证明)(x f 无整数根.
§9 有理数域上多项式 [达标训练题答案]
A 组
一、 填空题
1．1，1或2，任意正整数；2.可能可约也可能不可约；3.31
,1±
±
二、判断题
1．T ；2.F （若是非零多项式正确）；3.T. 三、解答题
1．解：)(i )23(24622
323-+=-+x x x x ；
)(ii )4237(211
27131233-+=-+x x x x
2．解：)(i 6422
34---x x x ，取2=p ，利用Eisenstien 判别法即得不可约；1)234++++x x x x ii ，令1+=x y ，则
)(5101051234234y g y y y y x x x x =++++=++++，
取5=p ，利用Eisenstien 判别法即得)(y g 不可约，从而12
34++++x x x x 不
可约；13)(3+-x x iii ，令1+=x y ，则
)(636132
33y h x y y x x =+++=+-，取
3=p
利用Eisenstien 判别法即得)(y h 不可约，从而133
+-x x 不可约.
3. 解：4323+-x x 的所有可能根是：4,2,1±±±，因为432
3+-x x 的各项系
数之和不等于0，奇次项系数之和等于0，所以-1是根，1不是根.容易利用综合除法验证4,2±±都不是根.
4． 证明：因为2)(3-=x x f 无有理根，而32是
2)(3-=x x f 的根，因此它不是有理数，从而是无理数.
B 组
1.（B ）
2．证明：)(x f = )
3)1(!!(!1!!21122p p p x px x p p x p p P p x x x +++-++=+++-
对多项式)3)1(!!(12p
p x px x p p x p p +++-++- 利用Eisenstien 判别法即得在有理数域Q 上不可约(p 是素数).
.3. 解：
)
64522(21
32122523452345--+--=--+--x x x x x x x x x x ，而
645222
345--+--x x x x x 的所有可能有理根为23
,21,6,3,2,1±±±±±±，然后可用
试根法得出全部有理根为：-1，2,21
.
4.. 解 设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i)当n =2、n =3时, )(x f 有有理根是可约的充要条件.当3>n 时,)(x f 有有理根是可约充分条件,但不是必要条件.
n =4时,例如2
2)1()(+=x x f 无有理根,但)(x f 可约. 5. 证明: 设α是多项式)(x f 的整数根,则 )()()(x g x x f α-=,)(x g 是整系
数
多
项
式
.
从
而
)()()(m g m m f α-=)()1()1(x g m m f α-+=+都是奇数.这是不可能的.
§10 多元多项式[达标训练题]
一、填空题
1.多项式),,(4321x x x x f =2
322141221232212x x x x x x x x x ++++是 元
次多项式,首项是 , 是同类项.
2.设g ),,(321x x x =23221x x x +221x x +2
1x +322x x -212x x ,按字典排列,),,(321x x x g = .按齐次成分),,(321x x x g 排列成 , 按2
x 的降幂排列=),,(321x x x g = .
3．设
=),,(321x x x f 32
221122x x x x x ++， =),,(321x x x g 32121x x x x x +则),,(321x x x f =),,(321x x x g ，),,(321x x x f ),,(321x x x g 的首项
是 ，),,(321x x x f +=),,(321x x x g ，)0,1,1(-x f =-)0,1,1(g ，)0,1,1(-x f +=-)0,1,1(g . 二、解答题
1．写出数域P 上三元三次多项式的一般形式.
2．两个n 元多项式首项的和是不是首项？为什么？
3．证明：若n 元数组),,,(),,(2121n n b b b a a a ≥，且),,,(),,(2121n n b b b a a a ≤，则),,2,1(n i b a i i ==.此时记),,,(),,(2121n n b b b a a a =.
4.举反例说明，当2≥n 时，类似于一元多项式的带余除法定理不成立.
§10 多元多项式[达标训练题答案]
一、 填空题
1.4，5，221x x ,无同类项；
2.g ),,(321x x x =221x x +2
1x +23221x x x -212x x +322x x ，
g ),,(321x x x =23221x x x +（221x x +322x x ）-212x x +2
1x ，g ),,(321x x x =23221x x x +322x x +221x x -212x x
+2
1x . 3.
3
3
2232213221332212213231x x x x x x x x x x x x x x x x +++++，
3231x x x ，
2
3
22132122121x x x x x x x x x x ++++，-2，1.
二、 解答题
1． 解：数域P 上三元三次多项式的一般形式是：
30012
3002201032011220201100311012111021200x a x a x a x x a x a x a x x a x x a x a ++++++++.
2． 解：两个n 元多项式首项的和不一定是首项 ：例如3212131,x x x g x x x f +=+=的首项分别是121,x x ，显然121x x +不是g f +的首项.
3．
证明是简单的从略
例如：
21213
1,x x g x x x f =+=显然对任意的q ，r qg f +=中r 中必包含单项式31x ，因此0,=?
§11 对称多项式[达标训练题]
一、填空题
1.二元多形式的一般形式是 ，二元二次对称多项式的一般形式是
，二元二次齐次多项式的一般形式是 ，二元二次齐次对称多项式的一般形式是 .
2．4321,,,x x x x 的初等对称多项式是：=1σ ; =2σ ； =3σ ;=4σ . 若4321,,,x x x x 是4322314)(a x a x a x a x x f ++++=的四个根，则=1σ ; =2σ ；
=3σ ;=4σ .
3.三元对称多项式232221x x x ++可以由初等对称多项式 来表
示.
二、解答题
1.将下列多项式初等化：
（1）))()((133221x x x x x x +++; （2）
322
121),,,(x x x x x x f n ∑= . 2.设n a a a ,,21是数域P 上的多项式在复数域K 上的根，证明n a a a ,,21的每一
个对称多项式都可以表示成P 上关于1a 的多项式.
§11 对称多项式[达标训练题解答]
一、填空题
1．
2012
20211021112120x a x a x a x x a x a ++++， )
2,1,)((==∑j i a a x x a
ji ij ij
j i ij
，)()(21212
221x x c x bx x x a ++++.
2.4321x x x x +++,)323121x x x x x x ++，
432431421321x x x x x x x x x x x x +++，4321x x x x ，4321,,,a a a a --；
3.
3213133σσσσ+-. 二、解答题 解：（1） 因为
23
12213213212211332212))()((x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++=+++=232322x x x x ++，它的首项是221x x 对应的有序数组是（2，1，0），因此作多项式332103012121σσσσ-=-=---x x x f .所以3321σσσσ-=f .
（2）由于
2322132213221322121),,,(x x x x x x x x x x x x x x x f n ++==∑ ，其首项是322
1x x x ，当3=n ，令0),,(313211=-=σσx x x f f ，所以，3121),,,(σσ=n x x x f .当3>n 时，
根据首相为
3221x x x ，则可设43121),,,(σσσa x x x f n -= ，令0,154321=======n x x x x x x 代入即得4-=a .
2．证明：设),,,(21n a a a f 为关于n a a a ,,21的任意对称多形式，则由基本定
律 知),,(),,,(1121-''=n n g a a a f σσ ，其中1
1,,-''n σσ 关于n a a a ,,21的全部初
等对称多项式.显然n n n x x a σσσσσσσσ111122111,,,-=''-='-='- ，再由根与系数的关系 得出上式中的i σ'是关于1a 的多项式.
(完整版)高等代数多项式习题解答.doc
第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x)，求商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2）f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . 2.m, p, q 适合什么条件时，有 1）x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q .
本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2）x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ，即m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解：运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 11 7 327 2 6 1 3 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327.
高等代数试题及答案
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页
,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++，令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈，必P ?上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知：2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =. 四.解：A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以，不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3 (2)λ+， 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五．证："":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?：()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?
高数一试题(卷)与答案解析
《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0
8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C +
高等代数多项式习题解答
第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.
本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r
高等代数试题附答案
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等代数试卷及答案1
高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ）
高等代数试题附答案
高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ）
高等代数多项式习题解答(供参考)
第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1. 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--010)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或? ??==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p
高等代数习题及答案(1)
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
《高等代数》试题库
《高等代数》试题库 一、选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。 ．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是（）。 . 若；.集合是数域； .若没有重因式； ．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 .如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么 6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域； ．任一数域包含；．在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（）。 ．．．． 10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。 .； .；．；. 11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。 .； .；．； . 12. 设阶矩阵，则正确的为（）。 . . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。 .；. ；
．； . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。 .； .；．； . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。 . . ． . 21.若矩阵，满足，则（）。 .或；.且；．且；.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于，则（）。 .至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。 .；.；．；. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（） . . ． . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ； .与同解； .若可逆, 则；．反对称, -反对称 26.如果矩阵,则（） . 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。 . . ． . 28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。 . ； . ；． . 29. 设、为阶方阵，则有（）. .，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆 ．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。 . . ． 31. 为阶方阵，，且，则（）。 .； .；．；. 32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。 . ； . ；．． 33. 设为3阶方阵，且，则（）。 .；.；．；. 34. 设为阶方阵，，且，则（）. . .或． . 35. 设矩阵，则秩=（）。 ．1 ．2 ．3 ．4
高等代数试卷及答案--(二)
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的 矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ） 三、计算题 （共3题，每题10分，共30分）
大学高数试卷及答案
浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 .
高等代数多项式试题库(精品文档)
§1 数域[达标训练题] 一 填空题 1．数集{0}对 运算封闭. 2．自然数集N 对 运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭. 二 判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三 证明 1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3 Q b a b a ∈+不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域. §1 数域[达标训练题解答] 一 填空题 1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法. 二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题 1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++, )()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +?+ n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈. 当011≠+n b a 时, n b a n b a 1122++ ) (21212 12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈?--+--= .故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法 封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域. 2．证明 因为 ∈3 2},2{3 Q b a b a ∈+, ?=?333 422},2{3 Q b a b a ∈+. 即} ,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以 } ,2{3Q b a b a ∈+不是数域. 3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2 1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故
高等代数试题及答案
. . 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,,是V 上的线性变换，且= . 证明: 的值域与核都是 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ????????? ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 610210 2 2T ?-????-? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.
2019高数(下)试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
高等代数例题(全部)
高等代数例题 第一章 多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最 小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为 。 12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14． 设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。