高数2005-2016专插本试题及答案

高等数学

历年试题集及答案

(2005-2016)

2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分） 1、下列等式中，不成立．．．

的是 A 、

1)

sin(lim x =--→πππx x B 、11sin lim x =∞

→x x C 、01sin lim 0

x =→x x D 、1sin 2

0x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且

?+=c e dx x f x 2

)(，则?

dx x

x f )(=

A 、2

2x e - B 、c e x +2 C 、C e x +-221 D 、C e x +2

1

3、设x x f cos )(=，则

=--→a

x a f x f a

x )

()(lim

A 、-x sin

B 、x cos

C 、-a sin

D 、x sin 4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是

A 、

|)(=x f x | B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -= D 、3)(x x f =

5、已知x

xy u )(=，则

y

u ??= A 、1

2)

(-x xy x B 、)ln(2

xy x C 、1

)(-x xy x D 、)ln(2

xy y

二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限

)1(1lim -∞

→x

x e

x = 。

7、定积分

2

1

1

sin x e

xdx --?

= 。

8、设函数x

x

x f +-=22ln )(，则(1)f ''= 。 9、若函数1

(1),0,()(12),0.

x a x x f x x x +≤??

=??+>?在x=0处连续，则a= 。 10、微分方程

222x xe xy dy

dx

-=+的通解是 。

三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限

1(22n lim +-+∞

→n n n )。 12、求极限

20

2

x 0

ln (1)lim

x

t dt x

→+?

。

13、已知1

ln 1arctan

2

2--

-=x x x y ，求'y 。

14、设函数)(x y y =是由方程22ln arctan y x x

y

+=所确定的隐函数，求

dx

dy 。 15、计算不定积分?

++-dx x x x x

)sin 1311(

23

。 16

、计算定积分

2ln 2

ln 2

dt ?

。

17、求由两条曲线x y x y sin ,cos ==及两条直线6

,0π

=

=x x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而

成的旋转体体积。 18、计算二重积分

??+D

dxdy y x

)ln(22

,其中积分区域{}4

1),(22

≤+≤=

y x

y x D 。

19、求微分方程03'4''=++y y y 满足初始条件6)0(',2)0(==y y 的特解。 20、已知xy xe xy z

-+=)sin(，求全微分dz 。

四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分） 21、设22

1

)(x xe

x f -=，

（1）求)(x f 的单调区间及极值；

（2）求)(x f 的闭区间[0，2]上的最大值和最小值。 22、证明：当t 0>时，

111ln(1)1t t t

<+<+。 23、已知2)(=πf ，且?

=+π

5sin )]('')([xdx x f x f ，求f(0)。

2005年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、D

2、B

3、C

4、C

5、A 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

6、1；

7、0；

8、9

8

-

9、2e 10、)(22c x e x +- 三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

11、解：1(22

lim

+-+∞

→n n n n

211

111111

1

2

22lim

lim

=+++-

=+++-=∞

→∞

→n

n n n n n n n n 12、解：

202

)1(ln lim

x dt t x

x ?

+→()

'

2

'

020)1(ln lim x dt t x x ?

?

?? ??+=?→ (

)

()021)

1ln(22)1(ln 2)1(ln lim lim lim

''

2

2

=++=+=+=→→→x x x x x x x x x

13、解： ()

'

2'

2

1ln 1(arctan '?

??

? ??---=x x x y ()

()

()

2

3222

2222'2

2'22

1ln 1ln 1221

11221

ln 1111111

-=--+---=-------+=x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x 14、解法一：设22ln arctan

),(y x x

y

y x F +-=，则 2

222'22111

),(y x x

x y x y y x F x +-??? ?

?-??

? ??+=

22y x y x ++-= 2分

5分

5分

2分

2分

5分

2分

2

22'

221111

),(y

x y

x x y y x F y +-??? ????

? ??+=

22y x y x +-= 故 ()(),,,''y

x y x y x F y x F dx dy

y x -+=-= （x ≠y ）

。 解法二：方程22ln arctan

y x x y +=可写为 )ln(2

1

arctan 22y x x y += 视)(x y y =，上式两边对x 求导得

22

22

'

2221'11y

x yy x x y xy x y ++?=-?

??

?

??+， 即

2

222''y x yy x y x y xy ++=+-，

所以y x y x y +=-)('，推出

y

x y x y dx dy -+==' （x ≠y ） 15、解：???? ??++-dx x x

x x

23sin 1311c x x x x +-+-=cot 3ln 3ln 2332

（每项的原函数求对各得1分，总体答案写对得5分）

16、解：令u e =-1'，则2

212,1'u

udu

dt u e +=

+=

?

-2

ln 22

ln 1

'1

dt e ?+=3

12)

1(2u u u

6432arctan 21123

13

12

πππ=??? ??-==+=?

u du u

6分 17、解：由两条曲线x y x y sin ,cos ==及两条直线6

,0π

=

=x x 所围成的平面图形

如图所示（要画出草图，不画图不扣分），依题意，旋转体的体积为

()

?-=

6

22

sin cos

πππdx x x V

ππ

πππ4

32sin 2

2cos 6

6

==

=?x xdx 5分 18、解：采用极坐标变换θθsin ,cos ==y r x ，则

5分

4分

3分

4分

5分

1分 3分

6分 3分

()

??+D

dxdy y x

2

2

ln ??=πθ20

2

1

ln 2rdr r d

()32ln 82ln 22

12212-=???

?

??-=ππr r r 19、解：方程03'4''=++y y y 的特征方程为 0342=++λλ 解出1,321-=-=λλ

可知方程的通解为 x x

e c e c y --+=231

由上式可得 x x

e c e

c y ----=2313'

用初始条件6)0(',2)0(==y y 代入上面两式得 ?

??=--=+63,

22121c c c c

解出6,421=-=c c 故所求的特解为x x

e e y --+-=643

20、解：

xy xy xye e xy y x

z

---+=??)cos( xy e x xy x y

z

--=??2)cos( 故 dy y

z dx x z dz ??+??=

()????dy e x xy x dx xy e xy y xy xy

---+-+=2)cos(1)cos(

四、综合题（本大题共3小题，第21小题8分，第22、23小题各6分，共20分）

21、解：22

1)(x xe

x f -=的定义域为),(+∞-∞，22

1

2

)1()('x e

x x f --=

令0)('=x f ，解出驻点（即稳定点）1,121=-=x x 列表

可知极小值e

f 1)1(-

=- 3分 5分

2分 3分

5分

2分 4分

5分

2分

4分

极大值e

f 1)1(=

（2）因)(x f 在[0，2]上连续，由（1）知)(x f 在（0，2）内可导，且在（0，2），内只有一个驻点1=x （极大值点），因()22

2,6

1)1(,0)0(e f f f ==

=，且

22(0)0(2)(1)f f f e =<=

<= 故2

2

1)(x xe x f =在闭区间[0，2]上的最大值为e

f 1

)1(=

，最小值为0)0(=f 22、证明：设ln,)(=x f 则[]1,,1

)('+∈=

t t x x

x f 由拉格朗日中值定理知，存在一点()1,+∈t t ?，使

)(')()1(?f t f t f =-+，即 ?

1

11ln =??? ??+t ，

又因

1111t t ?<<+，故111ln 11t t t

??<+< ?+?? 23、解：应用分部积分法

?+π

sin ))('')((xdx x f x f ??-+=

ππ

π

cos )('sin )('sin )(xdx x f x

x f xdx x f

),0()(sin )(cos )(sin )(0

f f xdx x f x

x f xdx x f +=--=

??ππππ

由题意有3)0(,2)(,5)0()(===+f f f f 所以ππ 6分

5分

8分 1分

4分

6分

2分

4分

2006年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题给出的四个选项，只有一项是符

合题目要求的） 1、函数1)(3+=x x f 在x = 0处

A. 无定义

B. 不连续

C. 可导

D. 连续但不可导 2、设函数)(x f 在点x 0处连续，且

.4)

(0

lim 0=-→x x x f x x 则)(0x f = A. -4 B. 0 C.

4

1

D. 4 3、设函数1

(1),0,

()11sin ,0,

2x

a x x f x x x x ?+>?=??+

若)(lim 0

x f x x →存在，则a =

A. 23

B. 121-e

C. 12

3

-e D. 21

4、设ln()z xy =，则dz =

A.

dy y dx x 11+ B. dy x dx y 11+ C. xy

dy dx + D. ydx xdy + 5、积分

x e dx +∞

-?

A. 收敛且等于-1

B. 收敛且等于0

C. 收敛且等于1

D. 发散 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、若直线4y =是曲线1

23

-+=

x ax y 的水平渐近线，则a = 。

7、由参数方程???=+=-t

e

y t x ,1sin 2所确定的曲线在t=0相应点处的切线方程是 。

8、积分

(cos sin )x x x dx π

π-

+=? 。

9、曲线x

e y =及直线x = 0，x = 1和y = 0所围成平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积V =

。

10、微分方程4450y y y '''-+=的通解是 。

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分。解答应写出演算步骤和必要的文字说明）

11、求极限?

?????-+

∞

→2ln )12ln(lim n n 。 12、计算不定积分

?

-)

1(x x dx

。

13、设函数dx

dy ，x y x 求2)1(sin 2-=。 14、函数y = y (x )是由方程22y x e y +=所确定的隐函数，求

dx

dy

在点（1，0）处的值。 15

、计算定积分1

)x dx ?

。

16、求二重积分

??D

d xy σ2，其中积分区域{}

o x y x y x D ≥≤+=,1),(22。 17、设函数y

x

x z arctan =，求

1

1

2==???y x x y x 。

18、求微分方程y y x y ln tan '=满足初始条件e y

x ==

6

π

的特解。

四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分）

19、已知函数)(x f 是2

3

4

15205)(x x x x g +-=在),(+∞-∞上的一个原函数，且f (0)=0. （1）求)(x f ；

（2）求)(x f 的单调区间和极值；

（3）求极限40

sin lim

()

x

x tdt f x →?

。

20、设)(x f ，)(x g 都是),(+∞-∞上的可导函数，且1)0(),()('),()('===f x f x g x g x f ，g =(0)=0。试证：),(,1)()(2

2

+∞-∞∈=-x x g x f 。

2006年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、D

2、B

3、B

4、A

5、C 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

6、8

7、x +2y -3=0

8、4

9、

)1(2

2

-e π

10、)sin cos (212

x c x c e y x +=

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

11、解法一：)211ln(2ln )12(ln(lim lim n n n n n n +=??????-+∞

→∞→ 2

1

ln ])211ln[()211ln(2

12

1

2lim lim ==+=+

=∞→∞

→e n n

n n n

n

解法二：

n

n n n n n 12ln )1

2ln(2ln )12(ln(lim lim -+

=???

???-+∞

→∞→ 2

11

)'(ln 2

2

=====x x x

x 解法三：??????-+=??????-+∞

→∞→2ln )12ln(2ln )12(ln(lim lim x n n x n n x

x x 12ln )1

2ln(lim

-+

=+∞

→

2分 6分

3分

2分 4分

6分 1分

2分

2

1121lim

1)1()12(1lim

2

2

=

+

=--

?+

=+∞

→+∞

→x

x

x x

x x

(说明:不转换成函数极限,直接用洛必达法则计算可以不扣分)

12、解法一：

?

?-=-x d x

x x dx 11

2)1(

=c x +arcsin 2

解法二：

?

??---=-=-)21

()2

1(4111)1(22

x d x dx x x x x dx

=c x +-)12arcsin(

解法三：设x = t ，则x = 2t

?

?-=-tdt t

t x x dx 211

)1(2

=?

-dt t

2

112

=c t +arcsin 2

=c x +arcsin 2

13、解：)1(1cos 1sin 2)1(sin 22

x x x x -??=?????

?

=x x 2

sin 12-， 2ln 2)'2(x x = ，

2ln 22sin 1)'2()1(sin 2)1(sin 2'

2'2x x x x x x x dx dy --=-?????

?

=??????-=∴ 14、解法一：将方程22y x e y +=两边对x 求导数得

2

2

2'22'y

x yy x y e y ++=

，

4分

5分 6分

2分

6分

2分

6分 1分

3分

5分

6分

3分 5分

6分

1分 4分

则x y y x e y y =-+)('22 y e x

y y x e x y dx dy y

y -=-+==∴

222' 11

0=∴

==x y dx

dy

。

解法二：将方程22y x e y +=

两边取自然对数得

2

2

22'2221')

ln(2

1

y x yy x y y x y ++?=∴+=

则x y y x y =-+)('2

2

y

e x y y x x y dx dy y -=-+==∴

222' 11

0=∴

==x y dx

dy

.

解法三：设F （x,y ）=22y x e y +-

，

则，2

2

2

2

22'y

x x y x x F x +-

=+-

=， 2

22

222'y

x y e y

x y

e F y y x +-=+-

=， y e x

y y x e x y x y e y x x

F F dx dy y

y y y x -=-+=+-

+-

-=-=∴2222

222'' 11

0=∴

==x y dx

dy .

15、解：[

]

dx x x x x x x dx x x ')1ln()1ln()1ln(1

2

10

1

2

2?

?

++-++=++

.

12)12ln(1)12ln(1)12ln(10

21

2

+-+=+-+=+-+=?

x

d

x x

5分

6分

1分 4分

5分

6分

1分

2分

3分

5分

6分

2分

4分 5分 6分

16、解法一：D={}

0,1),(22≥≤+x y x y x 如答图1所示

??????--==D

D

y dx xy dy dxdy xy d xy 1

1

10

22

22

σ .15

25131)53(21)1(21)21

(1

111532

21

1

10

2

22=-=

-=-==??----y y dy y y dy

y x y 解法二：D={}

0,1),(22≥≤+x y x y x 如答图1所示

????-

=D

d d d xy 2

21

42cos π

π

γθγθσ

.15

2sin 3

1

51sin cos 51sin cos 5

1

22

32

2

22

2

42

105=?===-

-

-??π

π

π

ππ

π

θ

θθθγθθθγd d （说明：本题不画图，不扣分）

17、解：)()(1122y x y

x x y z -+=??

=2

22

y

x x +-， .2

1

42)(2)(2)(21

12

222

2222222-=-=

???∴+-=+?++-=???∴==y x x

y z y x xy y x x x y x x x y z

18、解： 原方程可变形为：

xdx y

y dy

cot ln =，

1分

3分

4分

5分 6分

1分

3分

4分

5分 6分

2分

3分

5分

6分

2分

?

?

+=?=∴

1sin ln ln ln cot ln c x y xdx y y dy

（说明：没写绝对值不扣分） 化简得：x

c e

y sin =

将初始条件代入得：22

1=?=c e e c

故所求的特解为x

e

y sin 2=.

四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分） 19、解：（1）,15205)()('2

3

4

x x x x g x f +-==

.

55)(,00)0(.55)15205()(3

45345234x x x x f c f c x x x dx x x x x f +-=∴=?=++-=+-=∴?

（2）)1)(3(15205)()('2

3

4

--+-==x x x x x x g x f ，

令0)('=x f ，解得x =0，x =1，x =3. 列函数性态表如下

（说明：不列表，分别讨论单调性不扣分）

故f (x )在区间（1,∞-）及（3，∞+）单调上升，在区间（1，3）单调下降；

f (x )的极大值f (1)=1，极小值f (3)=－27。

（3）解法一：)

('sin lim )

(sin lim

400

40

x f x

x f tdt x x

x →→=? .

015

205sin lim 15205sin lim 2

2

4402

34

40=+-?=+-=→→x x x x x x x x x

x x 4分

5分

6分

1分 3分

4分

5分

8分

9分

11分

12分

14分

解法二：)

('sin lim

)

(sin

lim

400

4

x f x

x f tdt

x x

x →→=? .

015205lim 15205sin lim 2

2

02

34

40=+-=+-=→→x x x x x x x

x x

20、证明：设)()()(2

2

x g x f x F -=，

则)(')(2)(')(2)('x g x g x f x f x F -=。

.

0)()(2)()(2)(')

()('),()('=-=∴==x f x g x g x f x F x f x g x g x f

故)()()(2

2

x g x f x F -==c ，c 为常数。 又,0)0(,1)0(==g f

),(,1)()(122+∞-∞∈=-?=∴x x g x f c 。

14分 1分 3分

5分 6分

8分

11分

12分

14分

2007年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题给出的四个选项，只有一项是符

合题目要求的） 1、函数1

1ln

2)(2

-+=x x x f 的定义域是

A.（∞-，0）?（0，∞+）

B.（∞-，0）

C.（0，∞+）

D. ? 2、极限

x

x x --→21

sin

)2(lim 2

A. 等于-1

B. 等于0

C. 等于1

D.不存在 3、设)(x F 是)(x f 在（0，∞+）内的一个原函数，下列等式不成立．．．的 A.

?

+=C x F dx x

x f )(ln )

(ln B. ?+=C x F dx x xf )(sin )(sin cos C. ?++=+C x F dx x xf )1()1(222 D. ?

+=C F dx f x x x )2()2(2

4、设函数?-=

x

dt t x 0

)1()(φ，则下列结论正确的是

A. )(x φ的极大值为1

B. )(x φ的极小值为1

C. )(x φ的极大值为21-

D. )(x φ的极小值为2

1- 5、设???????=≠+-=).

0,0(),(,0),0,0(),(,),(223

3y x y x y x y x y x f 则)0,0('

x f

A.等于1

B.等于-1

C.等于0

D. 不存在

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6、极限=??

?

??+-∞→x

x x x 11lim 。

7、设3

2

1)(--+=

x x x f ，要使)(x f 在3=x 处连续，应补充定义)3(f = 。

8、设函数2

2

11x

x e e

y --+-=

，则其函数图像的水平渐近线方程是 。

9、微分方程0422=+y dx

y

d 的通解是y= 。

10、设)ln(2

2

2

z y x u ++=，则全微分du= 。 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11、求极限??

?

??-→x x x tan 11lim 0的值。

12、设221ln cos x x y ++=，求二阶导数''y 。 13、设函数)(x y y =由方程0ln arcsin 32=+-?y e y x x

确定，求

=x dx

dy

。

14、计算不定积分????

??

?

-++-

dx x x x

2341)23(12。 15

、计算定积分

30

。

16、设平面图形由曲线3

x y =与直线0=y 及2=x 围成，求该图形线y 轴旋转所得的旋转体体积。 17、设y x y x y x y x f -+=-+arctan

),(，计算y

y x f x x y x f y ??-??)

,(),(的值。

18、计算二重积分

??

++D

dxdy y

x 2

2

11，其中积分区域(){}

0,8,22≥≤+=y y x y x D 。

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分） 19、若函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，且满足?

=+x

x dt t f x f 0

2)(2

)(，求)(x f 。

20、设函数x

x x f ??

?

??+=11)(，

（1）求)('x f ；

（2）证明：当x ＞0时，)(x f 单调增加。

2007年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、C

2、B

3、D

4、D

5、A 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

6、2-e

7、41

8、y=1

9、x c x c 2sin 2cos 21+ 10、2

22222z y x zdz

ydy xdx ++++

三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11、解：应用洛必塔法则，

原式=x

x x

x x x sin cos sin lim

0-→

=x

x x x

x x cos sin sin lim 0+→

=x

x x x x

x x x sin cos cos cos sin lim 0-++→

=0.

12、解：2

212sin 1221sin cos 2'x

x

x x x x x y ++-=+?+

-=. [说明：正确计算)'(cos 2

x 和)'1(ln 2x +各得2分]

2

22

)

1(12cos 2''x x x y +-+-=∴. 13、解：将0=x 代入方程0ln arcsin 32=+-?y e

y x x

得：

11)(0

30

=?===x x y

y

.

方程0ln arcsin 32=+-?y e

y x x

两边对x 求导数得：

032arcsin ln 11222

=?+-?+

?-dx

dy

y e dx dy y x y x

x . 将1,00

===x y

x 代入上式得：

3

203

20

0=?

=+-==x x dx dy dx

dy

. 14、解：原式?

??-++-

=dx x dx x dx x

2341

)23(12

…………（3分）

…………（6分）

…………（4分）

…………（6分）

…………（2分）

…………（4分）

…………（6分）

C x x x ++++=2

arcsin )23(612ln 22. （说明：正确计算分各得和、

241

)23(1223?

??-+dx x dx x dx x

）

15、解法一：设t x tan =，则0=x 时，0=t ；3=x 时，3

π

=

t .

??

?=+∴

3

233

2

3sec sec tan 1π

tdt t

t

dx x

x =?3

2sec tan π

t td =

?

-30

2sec )1(sec π

t d t

=3

30

sec sec 31π?

?

?

??-t t

=

3

4 解法二：原式=?++3022

2

)1(121x d x x

=)1(1112123022

x d x x +???

?

??+-+? =3

4

12)1(322130

2

23

2=

??

????+-+x x . 16、解：如答图1所示，所求旋转体的体积为 ??-=8

8

03

2

2

2

dy y dy V y ππ

πππ5

645

33280

3

5

=

-=y

. 17、解：由题意知y

x

y x f arctan

),(=， ,111)

,(222

2y x y

y y x x

y x f +=?+=??∴

…………（6分）

…………（2分）

…………（4分）

…………（6分）

…………（2分）

…………（4分）

…………（6分）

…………（3分）

…………（6分）

…………（2分）

.11)

,(2222

2y x x

y x y

x x

y x f +-=???

? ??-?+=??

.

1),(),(2

22

222=+++=??-??y x x y x y y y x f x x y x f y 故

18、解：如答图2所示，

??

++D

dxdty y

x 2

211

=

?

?

+π

θ0

2

20

2

1dr r r d

=

?

++2

20

22

)1(12

r d r r

π

= 2

20

21r

+π

= π2

四、综合题（本大题共2小题，第19小题14分，第20小题8分，共22分） 19、解：当0=x 时，有.0)0(0)(2

)0(0

2?

=?=+f dt t f f

由题意知)(x f 可导，

等式?=+x

x dt t f x f 02

)(2)(两边对x 求导数得：.2)(2)('x x f x f =+

记)(x f y =，则有?????=+=0

22'x y x

y y =0.

?

?

? ??+??=∴?-C dx xe e y dx dx 222 ()

?+=-C dx xe e x x 222 ??

?

??+-=-C e xe e x x x 22221

x Ce x 22

1

-+-=. 2

1

,0210

=∴=+-==C C y

x

…………（4分）

…………（6分）

…………（3分）

…………（6分） …………（1分）

…………（4分）

…………（6分）

…………（8分）