二次函数中考真题汇编[解析版]
二次函数中考真题汇编[解析版]
一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)
1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,其中A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,直线y=kx+b1经过点A,C,连接CD.(1)求抛物线和直线AC的解析式:
(2)若抛物线上存在一点P,使△ACP的面积是△ACD面积的2倍,求点P的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1,且A1好落在抛物线上?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)2
y x2x3
=-++;3
y x
=-+;(2)(﹣1,0)或(4,﹣5);(3)存在;(1,2)和(1,﹣3)
【解析】
【分析】
(1)将点A,B坐标代入抛物线解析式中,求出b,c得出抛物线的解析式,进而求出点C 的坐标,再将点A,C坐标代入直线AC的解析式中,即可得出结论;
(2)利用抛物线的对称性得出BD=AD,进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等,即可得出结论;
(3)分点Q在x轴上方和在x轴下方,构造全等三角形即可得出结论.
【详解】
解:(1)把A(3,0),B(﹣1,0)代入y=﹣x2+bc+c中,得
930
10
b c
b c
-++=
?
?
--+=
?
,
∴
2
3
b
c
=
?
?
=
?
,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,
当x=0时,y=3,
∴点C的坐标是(0,3),
把A(3,0)和C(0,3)代入y=kx+b1中,得1
1
30
3
k b
b
+=
?
?
=
?
,
∴
1
1
3
k
b
=-
?
?
=
?
∴直线AC的解析式为y=﹣x+3;
(2)如图,连接BC,
∵点D是抛物线与x轴的交点,
∴AD=BD,
∴S△ABC=2S△ACD,
∵S△ACP=2S△ACD,
∴S△ACP=S△ABC,此时,点P与点B重合,
即:P(﹣1,0),
过B点作PB∥AC交抛物线于点P,则直线BP的解析式为y=﹣x﹣1①,∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3②,
联立①②解得,
1
x
y
=-
?
?
=
?
或
4
5
x
y
=
?
?
=-
?
,
∴P(4,﹣5),
∴即点P的坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5);
(3)如图,
①当点Q在x轴上方时,设AC与对称轴交点为Q',由(1)知,直线AC的解析式为y=﹣x+3,
当x=1时,y=2,
∴Q'坐标为(1,2),
∵Q'D=AD=BD=2,
∴∠Q'AB=∠Q'BA=45°,
∴∠AQ'B=90°,
∴点Q'为所求,
②当点Q在x轴下方时,设点Q(1,m),
过点A1'作A1'E⊥DQ于E,
∴∠A1'EQ=∠QDA=90°,
∴∠DAQ+∠AQD=90°,
由旋转知,AQ=A1'Q,∠AQA1'=90°,
∴∠AQD+∠A1'QE=90°,
∴∠DAQ=∠A1'QE,
∴△ADQ≌△QEA1'(AAS),
∴AD =QE =2,DQ =A 1'E =﹣m , ∴点A 1'的坐标为(﹣m +1,m ﹣2), 代入y =﹣x 2+2x +3中, 解得,m =﹣3或m =2(舍), ∴Q 的坐标为(1,﹣3),
∴点Q 的坐标为(1,2)和(1,﹣3).
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题,涉及解析式的求解,与三角形面积有关的问题,三角形“k ”字型全等,解题的关键是利用数形结合的思想,设点坐标并结合几何图形的性质列式求解.
2.在平面直角坐标系中,抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ,与y 轴交于点D ,与x 轴的另一交点为点B .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接BD ,在抛物线上是否存在点P ,使得2PBC BDO ∠=∠?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,连接AC ,交y 轴于点E ,点M 是线段AD 上的动点(不与点A ,点D 重合),将CME △沿ME 所在直线翻折,得到FME ,当FME 与AME △重叠部分的
面积是AMC 面积的
1
4
时,请直接写出线段AM 的长. 【答案】(1)2
2y x x =-++;(2)存在,(
23,209)或(10
3,529
-);(3)
【解析】 【分析】
(1)根据点A 和点C 的坐标,利用待定系数法求解;
(2)在x 轴正半轴上取点E ,使OB=OE ,过点E 作EF ⊥BD ,垂足为F ,构造出
∠PBC=∠BDE ,分点P 在第三象限时,点P 在x 轴上方时,点P 在第四象限时,共三种情况分别求解;
(3)设EF 与AD 交于点N ,分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况,利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ,FN=NE ,从而证明四边形FMEA 为平行四边形,继而求解. 【详解】
解:(1)∵抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点A (-2,-4)和点C (2,0),
则44220422a b a b -=-+??=++?,解得:11a b =-??=?
,
∴抛物线的解析式为2
2y x x =-++; (2)存在,理由是:
在x 轴正半轴上取点E ,使OB=OE ,过点E 作EF ⊥BD ,垂足为F , 在2
2y x x =-++中, 令y=0,解得:x=2或-1, ∴点B 坐标为(-1,0), ∴点E 坐标为(1,0), 可知:点B 和点E 关于y 轴对称, ∴∠BDO=∠EDO ,即∠BDE=2∠BDO , ∵D (0,2),
∴=, 在△BDE 中,有
12×BE ×OD=1
2
×BD ×EF ,
即2×EF ,解得:EF=5
,
∴5
,
∴tan ∠BDE=
EF DF =453555
÷=4
3, 若∠PBC=2∠BDO , 则∠PBC=∠BDE , ∵BD=DE=5,BE=2, 则BD 2+DE 2>BE 2, ∴∠BDE 为锐角, 当点P 在第三象限时, ∠PBC 为钝角,不符合; 当点P 在x 轴上方时,
∵∠PBC=∠BDE ,设点P 坐标为(c ,22c c -++), 过点P 作x 轴的垂线,垂足为G , 则BG=c+1,PG=22c c -++,
∴tan ∠PBC=
PG BG =221
c c c -+++=4
3, 解得:c=
2
3
, ∴22c c -++=
209
, ∴点P 的坐标为(
23,209
);
当点P 在第四象限时,
同理可得:PG=22c c --,BG=c+1,
tan ∠PBC=PG BG =221
c c c --+=4
3,
解得:c=
10
3
, ∴22c c -++=529
-
,
∴点P 的坐标为(
103,529
-), 综上:点P 的坐标为(
23,209)或(10
3,529
-);
(3)设EF 与AD 交于点N ,
∵A (-2,-4),D (0,2),设直线AD 表达式为y=mx+n ,
则422m n n -=-+??=?,解得:3
2m n =??=?
,
∴直线AD 表达式为y=3x+2, 设点M 的坐标为(s ,3s+2),
∵A (-2,-4),C (2,0),设直线AC 表达式为y=m 1x+n 1, 则11114202m n m n -=-+??
=+?,解得:11
1
2m n =??=-?,
∴直线AC 表达式为y=x-2, 令x=0,则y=-2, ∴点E 坐标为(0,-2), 可得:点E 是线段AC 中点, ∴△AME 和△CME 的面积相等, 由于折叠,
∴△CME ≌△FME ,即S △CME =S △FME , 由题意可得:
当点F 在直线AC 上方时, ∴S △MNE =
14
S △AMC =12S △AME =1
2S △FME ,
即S △MNE = S △ANE = S △MNF , ∴MN=AN ,FN=NE ,
∴四边形FMEA 为平行四边形, ∴CM=FM=AE=
12AC=22
1442
+22
∵M (s ,3s+2), ∴
()
()2
2
23222s s -++=,
解得:s=4
5
-或0(舍), ∴M (45-
,2
5
-), ∴AM=2
2
422455????-++-+ ? ?????
=
6105,
当点F 在直线AC 下方时,如图, 同理可得:四边形AFEM 为平行四边形, ∴AM=EF ,
由于折叠可得:CE=EF , ∴AM=EF=CE=22,
综上:AM 610
22 【点睛】
本题是二次函数综合题,涉及到待定系数法,二次函数的图像和性质,折叠问题,平行四边形的判定和性质,中线的性质,题目的综合性很强.难度很大,对学生的解题能力要求
较高.
3.对于函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),若存在实数x0,使得a 2
0x +(b+1)x 0+b ﹣2=x0成立,则称x 0为函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点. (1)当a =2,b =﹣2时,求y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;
(2)若对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,求实数a 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,且直线y =﹣x+2121
a +是线段AB 的垂
直平分线,求实数b 的取值范围.
【答案】(1)不动点是﹣1或2;(2)a 的取值范围是0<a <2;(3)b 的取值范围是﹣
b <0. 【解析】 【分析】
(1)将a =2,b =﹣2代入函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),得y =2x 2﹣x ﹣4,然后令x =2x 2﹣x ﹣4,求出x 的值,即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;
(2)对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,可以得到x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)时,对于任何实数b 都有△>0,然后再设t =△,即可求得a 的取值范围;
(3)根据y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,可知点A 和点B 均在直线y =x 上,然后设出点A 和点B 的坐标,从而可以得到线段AB 的中点坐标,再根据直线y =﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂
直平分线,从而可以求得b 的取值范围. 【详解】
解:(1)当a =2,b =﹣2时, 函数y =2x 2﹣x ﹣4, 令x =2x 2﹣x ﹣4, 化简,得x 2﹣x ﹣2=0 解得,x 1=2,x 2=﹣1,
即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点是﹣1或2; (2)令x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2, 整理,得 ax 2+bx+b ﹣2=0,
∵对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点, ∴△=b 2﹣4a (b ﹣2)>0,
设t =b 2﹣4a (b ﹣2)=b 2﹣4ab+8a ,对于任何实数b ,t >0,
故(﹣4a )2﹣4×1×8a <0, 解得,0<a <2,
即a 的取值范围是0<a <2; (3)由题意可得, 点A 和点B 在直线y =x 上, 设点A (x 1,x 1),点B (x 2,x 2),
∵A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点, ∴x 1,x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2=0的两个根, ∴x 1+x 2=﹣
b a
, ∵线段AB 中点坐标为(122x x +,122
x x
+), ∴该中点的坐标为(2b a -,2b a
-), ∵直线y =﹣x+2121
a +是线段AB 的垂直平分线,
∴点(2b a -,2b
a -)在直线y =﹣x+2121
a +上, ∴2b
a -
=21221
b a a ++
∴﹣b =
2
21
a a ≤
+4,(当a =2
时取等号)
∴0<﹣b
∴﹣
4
≤b <0,
即b 的取值范围是﹣4
≤b <0. 【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
4.在平面直角坐标系中,将函数y =x 2﹣2mx+m (x≤2m ,m 为常数)的图象记为G ,图象G 的最低点为P(x 0,y 0). (1)当y 0=﹣1时,求m 的值. (2)求y 0的最大值.
(3)当图象G 与x 轴有两个交点时,设左边交点的横坐标为x 1,则x 1的取值范围是 .
(4)点A 在图象G 上,且点A 的横坐标为2m ﹣2,点A 关于y 轴的对称点为点B ,当点
A不在坐标轴上时,以点A、B为顶点构造矩形ABCD,使点C、D落在x轴上,当图象G 在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出m的取值范围.
【答案】(1)51
2
+
或﹣1;(2)
1
4
;(3)0<x1<1;(4)m=0或m>
4
3
或
2
3
≤m<1
【解析】
【分析】
(1)分m>0,m=0,m<0三种情形分别求解即可解决问题;
(2)分三种情形,利用二次函数的性质分别求解即可;
(3)由(1)可知,当图象G与x轴有两个交点时,m>0,求出当抛物线顶点在x轴上时m的值,利用图象法判断即可;
(4)分四种情形:①m<0,②m=0,③m>1,④0<m≤1,分别求解即可解决问题.【详解】
解:(1)如图1中,当m>0时,
∵y=x2﹣2mx+m=(x﹣m)2﹣m2+m,
图象G是抛物线在直线y=2m的左侧部分(包括点D),
此时最底点P(m,﹣m2+m),
由题意﹣m2+m=﹣1,
解得m 51
+51
-+
当m=0时,显然不符合题意,当m<0时,如图2中,
图象G是抛物线在直线y=2m的左侧部分(包括点D),此时最底点P是纵坐标为m,
∴m=﹣1,
综上所述,满足条件的m 51
或﹣1;
(2)由(1)可知,当m>0时,y0=﹣m2+m=﹣(m﹣1
2
)2+
1
4
,
∵﹣1<0,
∴m=1
2
时,y0的最大值为
1
4
,
当m=0时,y0=0,当m<0时,y0<0,
综上所述,y0的最大值为1
4
;
(3)由(1)可知,当图象G与x轴有两个交点时,m>0,
当抛物线顶点在x轴上时,4m2﹣4m=0,
∴m=1或0(舍弃),
∴观察观察图象可知,当图象G与x轴有两个交点时,设左边交点的横坐标为x1,则x1的取值范围是0<x1<1,
故答案为0<x1<1;
(4)当m<0时,观察图象可知,不存在点A满足条件,
当m=0时,图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小,满足条件,如图3中,
当m>1时,如图4中,设抛物线与x轴交于E,F,交y轴于N,
观察图象可知当点A在x轴下方或直线x=﹣m和y轴之间时(可以在直线x=﹣m上)时,满足条件.
则有(2m﹣2)2﹣2m(2m﹣2)+m<0,
解得m>4
3
,
或﹣m≤2m﹣2<0,
解得2
3
≤m<1(不合题意舍弃),
当0<m≤1时,如图5中,当点A在直线x=﹣m和y轴之间时(可以在直线x=﹣m上)时,满足条件.
即或﹣m≤2m﹣2<0,
解得2
3
≤m<1,
综上所述,满足条件m 的值为m =0或m >43或2
3
≤m <1. 【点睛】
本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,矩形的性质,最值问题,不等式等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.
5.已知点P(2,﹣3)在抛物线L :y =ax 2﹣2ax+a+k (a ,k 均为常数,且a≠0)上,L 交y 轴于点C ,连接CP .
(1)用a 表示k ,并求L 的对称轴及L 与y 轴的交点坐标; (2)当L 经过(3,3)时,求此时L 的表达式及其顶点坐标;
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图,当a <0时,若L 在点C ,P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,求a 的取值范围;
(4)点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)是L 上的两点,若t≤x 1≤t+1,当x 2≥3时,均有y 1≥y 2,直接写出t 的取值范围.
【答案】(1)k=-3-a ;对称轴x =1;y 轴交点(0,-3);(2)2
y=2x -4x-3,顶点坐标(1,-
5);(3)-5≤a <-4;(4)-1≤t ≤2. 【解析】 【分析】
(1)将点P(2,-3)代入抛物线上,求得k 用a 表示的关系式;抛物线L 的对称轴为直线
2a
x==12a
--
,并求得抛物线与y 轴交点; (2)将点(3,3)代入抛物线的解析式,且k=-3-a ,解得a=2,k=-5,即可求得抛物线解析式与顶点坐标;
(3)抛物线L 顶点坐标(1,-a-3),点C ,P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,这四个整点都在x=1这条直线上,且y 的取值分别为-2、-1、0、1,可得1<-a-3≤2,即可求得a 的取值范围;
(4)分类讨论取a >0与a <0的情况进行讨论,找出1x 的取值范围,即可求出t 的取值
范围. 【详解】
解:(1)∵将点P(2,-3)代入抛物线L :2
y=ax -2ax+a+k ,
∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ;
抛物线L 的对称轴为直线-2a
x=-=12a
,即x =1; 将x=0代入抛物线可得:y=a+k=a+(-3-a)=-3,故与y 轴交点坐标为(0,-3);
(2)∵L 经过点(3,3),将该点代入解析式中, ∴9a-6a+a+k=3,且由(1)可得k=-3-a , ∴4a+k=3a-3=3,解得a=2,k=-5,
∴L 的表达式为2
y=2x -4x-3;
将其表示为顶点式:2
y=2(x-1)-5, ∴顶点坐标为(1,-5);
(3)解析式L 的顶点坐标(1,-a-3),
∵在点C ,P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,这四个整点都在x=1这条直线上,且y 的取值分别为-2、-1、0、1, ∴1<-a-3≤2, ∴-5≤a <-4;
(4)①当a <0时,∵2x 3≥,为保证12y y ≥,且抛物线L 的对称轴为x=1, ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上, 即t ≥-1且t+1≤3,解得-1≤t ≤2;
②当a >0时,抛物线开口向上,t ≥3或t+1≤-1,解得:t ≥3或t ≤-2,但会有不符合题意的点存在,故舍去, 综上所述:-1≤t ≤2. 【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,数形结合解题是关键.
6.二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ,顶点为P ,直线PA 与x 轴交于点B .
(1)当m =1时,求顶点P 的坐标; (2)若点Q (a ,b )在二次函数22(0)63
m m
y x x m m =-+>的图象上,且0b m ->,试求a 的取值范围;
(3)在第一象限内,以AB 为边作正方形ABCD . ①求点D 的坐标(用含m 的代数式表示);
②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,请直接写出符合条件的整数m 的值.
【答案】(1)P (2,
1
3
);(2)a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①D (m ,m +3); ②2,3,4. 【解析】 【分析】
(1)把m =1代入二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>解析式中,进而求顶点P 的坐标即可;
(2)把点Q (a ,b )代入二次函数22(0)63
m m
y x x m m =
-+>解析式中,根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组,解出a 的取值范围即可;
(3)①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标,得到OA 的长,再根据待定系数法求出直线AP 的解析式,进而求出与x 轴的交点B 的坐标,得到OB 的长;通过证明△ADF ≌△ABO ,得到AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,求出点D 的坐标;
②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,由①同理可得:C (m+3,3),分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况,进行讨论m 可能取的整数值即可. 【详解】
解:(1)当m =1时,二次函数为212
163
y x x =-+, ∴顶点P 的坐标为(2,
1
3
); (2)∵点Q (a ,b )在二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>的图象上, ∴2263
m m
b a a m =
-+,
即:2
263
m m b m a a -=
- ∵0b m ->,
∴
2263m m a a ->0, ∵m >0,
∴2263
a a ->0, 解得:a <0或a >4,
∴a 的取值范围为:a <0或a >4;
(3)①如下图,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,
∵二次函数的解析式为2263
m m
y x x m =-+, ∴顶点P (2,
3
m
), 当x=0时,y=m , ∴点A (0,m ), ∴OA=m ;
设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0), 把点A (0,m ),点P (2,
3
m
)代入,得: 23
m b m
k b =??
?=+??, 解得:3m k b m
?
=-???=?,
∴直线AP 的解析式为y=3
m
-x+m , 当y=0时,x=3,
∴点B (3,0); ∴OB=3;
∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=AB ,∠DAF+∠FAB=90°, 且∠OAB+∠FAB =90°, ∴∠DAF=∠OAB , 在△ADF 和△ABO 中,
DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠??
∠=∠??=?
, ∴△ADF ≌△ABO (AAS ),
∴AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3, ∴点D 的坐标为:(m ,m+3); ②由①同理可得:C (m+3,3),
∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,
∴当x =m 时,3y m ≤+,可得3
2
2363
m m
m m -+≤+,化简得:32418m m -≤.
∵0m >,∴2
184m m m -≤
,∴2
18(2)4m m
--≤, 显然:m =1,2,3,4是上述不等式的解,
当5m ≥时,2
(2)45m --≥,18 3.6m ≤,此时,218(2)4m m
-->, ∴符合条件的正整数m =1,2,3,4;
当x = m +3时,y ≥3,可得2
(3)2(3)
363
m m m m m ++-+≥,
∵0m >,∴2
1823m m m ++≥
,即2
18(1)2m m
++≥, 显然:m =1不是上述不等式的解,
当2m ≥时,2
(1)211m ++≥,189m ≤,此时,218(1)2m m
++>恒成立, ∴符合条件的正整数m =2,3,4;
综上:符合条件的整数m 的值为2,3,4. 【点睛】
本题考查二次函数与几何问题的综合运用,熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键.
7.定义:函数l 与l '的图象关于y 轴对称,点(),0P t 是x 轴上一点,将函数l '的图象位于
直线x t
=左侧的部分,以x轴为对称轴翻折,得到新的函数w的图象,我们称函数w是函数l的对称折函数,函数w的图象记作1F,函数l的图象位于直线x t=上以及右侧的部分记作2F,图象1F和2F合起来记作图象F.
例如:如图,函数l的解析式为1
y x
=+,当1
t=时,它的对称折函数w的解析式为()
11
y x x
=-<.
(1)函数l的解析式为21
y x
=-,当2
t=-时,它的对称折函数w的解析式为_______;(2)函数l的解析式为
1
21
2
y x x
=--,当42
x
-≤≤且0
t=时,求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值;
(3)函数l的解析式为()
2230
y ax ax a a
=--≠.若1
a=,直线1
y t=-与图象F有两个公共点,求t的取值范围.
【答案】(1)()
212
y x x
=+<-;(2)F的解析式为
2
2
1
1(0)
2
1
1(0)
2
y x x x
y x x x
?
=--≥
??
?
?=--+<
??
;图象F上的点的纵坐标的最大值为
3
2
y=,最小值为3
y=-;(3)当3
t=-,
317
1
t
-
<≤,
317
5
t
+
<<时,直线1
y t=-与图象F有两个公共点.
【解析】
【分析】
(1)根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可;
(2)先根据题意确定F的解析式,然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可;
(3)先求出当a=1时图像F的解析式,然后分14
t-=-、点()
,1
t t-落在223()
y x x x t
=--≥上和点()
,1
t t-落在()
223
y x x x t
=--+<上三种情况解答,最后根据图像即可解答.
【详解】
解:(1)()212y x x =+<-
(2)F 的解析式为2211(0)2
11(0)2y x x x y x x x ?=--≥????=--+?
当4x =-时,3y =-,当1x =-时,3
2
y =, 当1x =时,3
2
y =-
,当2x =时,1y =, ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为3
2
y =
,最小值为3y =-. (3)当1a =时,图象F 的解析式为22
23()
23()y x x x t y x x x t ?=--≥?=--+
∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4; a :当14t -=-时,3t =-,
∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点; b :当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时,
2123t t t -=--
,解得1t =
2t =
c :当点(),1t t -落在()2
23y x x x t =--+<上时,
2123t t t -=--+,解得34t =-(舍),41t =
14t -=,
∴55t =
1t <≤
5t <<时,直线1y t =-与图象F 有两个公共点; 综上所述:当3t =-
,312t <≤
,352
t <<时,直线1y t =-与图象F 有两个公共点. 【点睛】
本题属于二次函数综合题,考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识,弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键.
8.如图①抛物线y =ax 2+bx +4(a ≠0)与x 轴,y 轴分别交于点A (﹣1,0),B (4,0),点C 三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点D(3,m)在第一象限的抛物线上,连接BC,BD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点N在抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)存在.P(﹣3
4
,
19
16
).(3)
1
539
(,)
24
M--
2
1139 (,) 24
M-
3
521 (,) 24
M
【解析】
【分析】
(1)将A,B,C三点代入y=ax2+bx+4求出a,b,c值,即可确定表达式;
(2)在y轴上取点G,使CG=CD=3,构建△DCB≌△GCB,求直线BG的解析式,再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点,
(3)根据平行四边形的对边平行且相等,利用平移的性质列出方程求解,分情况讨论.【详解】
解:如图:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0),B(4,0),点C三点.
∴
40
16440
a b
a b
-+=
?
?
++=
?
解得
1
3
a
b
=-
?
?
=
?
2018年中考数学真题汇编:二次函数(含答案)
中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.
【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3,0) C. (-3,-5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与轴的交点在点 和之间,对称轴是.对于下列说法:①;②;③;④ (为实数);⑤当时,,其中正确的是() A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A
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北京国子监中学数学二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题(难) 1.如图,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点D的坐标为(4,3) (1)求该二次函数所对应的函数解析式; (2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点,PE//x轴,PF//y轴,求线段EF的最大值; (3)如图2,点M是线段CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,当△CBN是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)EF的最大值为 2 4 ;(3)M点坐标为可以为(2, 3),(55 2 + ,3),( 55 2 - ,3). 【解析】 【分析】 (1)根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上,设二次函数解析式的交点式,将D点坐标代入求出a的值,最后将二次函数的交点式转化成一般式形式. (2)由题意可知点P在二次函数图象上,坐标为(p,p2﹣4p+3).又因为PF//y轴,点F 在直线BC上,P的坐标为(p,﹣p+3),在Rt△FPE中,可得FE2PF,用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值. (3)根据题意求△CBN是直角三角形,分为∠CBN=90°和∠CNB=90°两类情况计算,利用三角形相似知识进行分析求解. 【详解】 解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣b)(x﹣c), ∵y=ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0), ∴二次函数解析式:y=a(x﹣1)(x﹣3). 又∵点D(4,3)在二次函数上, ∴(4﹣3)×(4﹣1)a=3, ∴解得:a=1. ∴二次函数的解析式:y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣4x+3.
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