中考数学锐角三角函数综合经典题含答案
中考数学锐角三角函数综合经典题含答案
一、锐角三角函数
1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米.
【答案】553
【解析】
【分析】
如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可.
【详解】
解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.
∵AM⊥CD,
∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°,
∴四边形OQMP是矩形,
∴QM=OP,
∵OC=OD=10,∠COD=60°,
∴△COD是等边三角形,
∵OP⊥CD,
∠COD=30°,
∴∠COP=1
2
∴QM=OP=OC?cos30°=3
∵∠AOC=∠QOP=90°,
∴∠AOQ=∠COP=30°,
∴AQ=1
OA=5(分米),
2
∴AM=AQ+MQ=5+3
∵OB∥CD,
∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米),
在Rt△PKE中,EK=22
-=26(分米),
EF FK
∴BE=10?2?26=(8?26)(分米),
在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米),
在Rt△FJE′中,E′J=22
-(2)=26,
63
∴B′E′=10?(26?2)=12?26,
∴B′E′?BE=4.
故答案为:5+53,4.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
2.(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).
【答案】.
【解析】
试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案.
试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,
∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°,
∴∠C=60°,在Rt △ACD 中,∠C=60°,AD=,则tanC=,∴CD==,
∴BC=
.故该船与B 港口之间的距离CB 的长为
海里.
考点:解直角三角形的应用-方向角问题.
3.如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB 和CD (均与水平面垂直),再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD 与水平面夹角为1θ,且在水平线上的射影AF 为
1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ,并已知1tan 1.082θ=,
2tan 0.412θ=.如果安装工人确定支架AB 高为25cm ,求支架CD 的高(结果精确到
1cm )?
【答案】
【解析】
过A 作AF CD ⊥于F ,根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值,又可证
四边形ABCE为平行四边形,故有EC=AB=25cm,再再根据DC=DE+EC进行解答即可.
4.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离.
(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.
【答案】(1)证明见解析(2)4(3)20
【解析】
试题分析:(1)利用直径所对的圆周角为直角,2∠CAN=∠CAB,∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可;
(2)利用锐角三角函数,即勾股定理即可.
试题解析:(1)∵∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ANC=90°,
∴∠CAN+∠ACN=90°,2∠BAN=2∠CAN=∠CAB,
∵∠CAB=2∠BCP,
∴∠BCP=∠CAN,
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°,
∵点D在⊙O上,
∴直线CP是⊙O的切线;
(2)如图,作BF⊥AC
∵AB=AC,∠ANC=90°,
∴CN=CB=,
∵∠BCP=∠CAN,sin∠BCP=,
∴sin∠CAN=,
∴
∴AC=5,
∴AB=AC=5,
设AF=x,则CF=5﹣x,
在Rt△ABF中,BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2,
在Rt△CBF中,BF2=BC2﹣CF2=2O﹣(5﹣x)2,
∴25﹣x2=2O﹣(5﹣x)2,
∴x=3,
∴BF2=25﹣32=16,
∴BF=4,
即点B到AC的距离为4.
考点:切线的判定
5.如图,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O
于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,,求PD的长;
(3)在点P运动过程中,设=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论.
(2)由AC=2BC,设,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得
,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,
由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.
(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得
,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两式相乘可得结果.
试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.
∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.
又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.
(2)连接BP,设,∵∠ACB=90°,AB=5,
∴.∴.
∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.
∵AB⊥CD,∴.
如图,连接BP,
∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.
∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.
由(1)△PAC∽△PDF得,即.
∴PD的长为.
(3)如图,连接BP,BD,AD,
∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即.
∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.
∵,∴.
∵△AGP∽△DGB,∴.
∵△AGD∽△PGB,∴.
∴,即.
∵,∴.
∴与之间的函数关系式为.
考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.等腰直角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式.
6.如图,抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D在抛物线上且横坐标为3.
(1)求tan∠DBC的值;
(2)点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.
【答案】(1)tan∠DBC=;
(2)P(﹣,).
【解析】
试题分析:(1)连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标,则可得CD//AB,OB=OC,所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°.由直角三角形
的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4,BE=BC﹣DE=.由此可知tan∠DBC=;
(2)过点P作PF⊥x轴于点F.由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC,利用(1)中的结果得到:tan∠PBF=.设P(x,﹣x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知=,通过解方程求得点P的坐标为(﹣,).
试题解析:
(1)令y=0,则﹣x2+3x+4=﹣(x+1)(x﹣4)=0,
解得 x1=﹣1,x2=4.
∴A(﹣1,0),B(4,0).
当x=3时,y=﹣32+3×3+4=4,
∴D(3,4).
如图,连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.
∵C(0,4),
∴CD//AB,
∴∠BCD=∠ABC=45°.
在直角△OBC中,∵OC=OB=4,
∴BC=4.
在直角△CDE中,CD=3.
∴CE=ED=,
∴BE=BC﹣DE=.
∴tan∠DBC=;
(2)过点P作PF⊥x轴于点F.
∵∠CBF=∠DBP=45°,
∴∠PBF=∠DBC,
∴tan∠PBF=.
设P(x,﹣x2+3x+4),则=,
解得 x1=﹣,x2=4(舍去),
∴P(﹣,).
考点:1、二次函数;2、勾股定理;3、三角函数
7.如图,已知点从出发,以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动,以
为顶点作菱形,使点在第一象限内,且;以为圆心,为半径作圆.设点运动了秒,求:
(1)点的坐标(用含的代数式表示);
(2)当点在运动过程中,所有使与菱形的边所在直线相切的的
值.
【答案】解:(1)过作轴于,
,,
,,
点的坐标为.
(2)①当与相切时(如图1),切点为,此时,
,,
.
②当与,即与轴相切时(如图2),则切点为,,
过作于,则,
,.
③当与所在直线相切时(如图3),设切点为,交于,
则,,
.
过作轴于,则,
,
化简,得,
解得,
,
.
所求的值是,和.
【解析】
(1)过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长,从而求得点的坐标
⊙P 与菱形OABC 的边所在直线相切,则可与OC 相切;或与OA 相切;或与AB 相切,应分三种情况探讨:①当圆P 与OC 相切时,如图1所示,由切线的性质得到PC 垂直于OC ,再由OA=+t ,根据菱形的边长相等得到OC=1+t ,由∠AOC 的度数求出∠POC 为30°,在直角三角形POC 中,利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op ,表示出OC , 等于1+t 列出关于t 的方程,求出方程的解即可得到t 的值;②当圆P 与OA ,即与x 轴相切时,过P 作PE 垂直于OC ,又PC=PO ,利用三线合一得到E 为OC 的中点,OE 为OC 的一半,而OE=OPcos30°,列出关于t 的方程,求出方程的解即可得到t 的值;③当圆P 与AB 所在的直线相切时,设切点为F ,PF 与OC 交于点G ,由切线的性质得到PF 垂直于AB ,则PF 垂直于OC ,由CD=FG ,在直角三角形OCD 中,利用锐角三角函数定义由OC 表示出CD ,即为FG ,在直角三角形OPG 中,利用OP 表示出PG ,用PG+GF 表示出PF ,根据PF=PC ,表示出PC ,过C 作CH 垂直于y 轴,在直角三角形PHC 中,利用勾股定理列出关于t 的方程,求出方程的解即可得到t 的值,综上,得到所有满足题意的t 的值.
8.在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,点()0,0O ,点()3,0A ,点()0,4C
,
连接OB ,以点A 为中心,顺时针旋转矩形AOCB ,旋转角为()0360αα?<,得到矩形ADEF ,点,,O C B 的对应点分别为,,D E F . (Ⅰ)如图,当点D 落在对角线OB 上时,求点D 的坐标; (Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下,AB 与DE 交于点H . ①求证BDE DBA ???; ②求点H 的坐标.
(Ⅲ)α为何值时,FB FA =.(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472
(,)2525;(Ⅱ)①证明见解析;②点H 的坐标为(3,258
);(Ⅲ)60α=?或300?. 【解析】 【分析】
(Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥,根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长,根据矩形的性质可得AB 、OB 的长,在Rt △OAM 中,利用∠BOA 的余弦求出OM 的长,由旋转的性质可得OA=AD ,利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ,在Rt △ODN 中,利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长,即可得答案;(Ⅱ)①由等腰三角形性质可
得∠DOA=∠ODA ,根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=,利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ;②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ,BE=AD ,即可证明
△BHE ≌△DHA ,可得DH=BH ,设AH=x ,在Rt △ADH 中,利用勾股定理求出x 的值即可得答案;(Ⅲ)如图,过F 作FO ⊥AB ,由性质性质可得∠BAF=α,分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况,根据FB=FA 可得OA=OB ,利用勾股定理求出FO 的长,由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数. 【详解】
(Ⅰ)∵点()30A ,
,点()04C ,, ∴3,4OA OC ==. ∵四边形OABC 是矩形, ∴AB=OC=4,
∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的 ∴3AD AO ==.
在Rt OAB ?中,225OB OA AB =+=, 过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥ 在Rt ΔOAM 中,OM OA 3
cos BOA OA OB 5
∠===, ∴9OM 5
=
∵AD=OA ,AM ⊥OB , ∴18OD 2OM 5
==
. 在Rt ΔODN 中:DN 4sin BOA OD 5∠==,cos ∠BOA=ON OD =3
5
, ∴72DN 25=
,54ON 25
=
. ∴点D 的坐标为5472,2525??
???
.
(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的, ∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===?==.
∴OD AD =.
∴
DOA ODA ∠∠=.
又∵DOA OBA 90∠∠+=?,BDH ADO 90∠∠+=? ∴ABD BDE ∠∠=.
又∵BD BD =, ∴ΔBDE ΔDBA ?.
②由ΔBDE ΔDBA ?,得BEH DAH ∠∠=,BE AD 3==, 又∵
BHE DHA ∠∠=,
∴ΔBHE ΔDHA ?. ∴DH=BH ,
设AH x =,则DH BH 4x ==-, 在Rt ΔADH 中,222AH AD DH =+, 即()2
22x 34x =+-,得25x 8
=, ∴25AH 8
=
. ∴点H 的坐标为253,
8?? ???
. (Ⅲ)如图,过F 作FO ⊥AB , 当0<α≤180°时,
∵点B 与点F 是对应点,A 为旋转中心, ∴∠BAF 为旋转角,即∠BAF=α,AB=AF=4, ∵FA=FB ,FO ⊥AB , ∴OA=
1
2
AB=2, ∴cos ∠BAF=
OA AF =1
2
, ∴∠BAF=60°,即α=60°, 当180°<α<360°时,
同理解得:∠BAF′=60°, ∴旋转角α=360°-60°=300°.
综上所述:α60=?或300?. 【点睛】
本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识,正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
9.如图,在⊙O 的内接三角形ABC 中,∠ACB =90°,AC =2BC ,过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ,垂足为E .设P 是?AC 上异于A ,C 的一个动点,射线AP 交l 于点F ,连接PC 与PD ,PD 交AB 于点G . (1)求证:△PAC ∽△PDF ;
(2)若AB =5,??AP BP
=,求PD 的长.
【答案】(1)证明见解析;(2310
【解析】 【分析】
(1)根据AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,得到??AD
AC =,∠ACD =∠B ,由∠FPC =∠B ,得到∠ACD =∠FPC ,可得结论;
(2)连接OP ,由??AP
BP =,得到OP ⊥AB ,∠OPG =∠PDC ,根据AB 是⊙O 的直径,得到∠ACB =90°,由于AC =2BC ,于是得到tan ∠CAB =tan ∠DCB =
BC
AC
,得到12CE BE AE CE ==,求得AE =4BE ,通过△OPG ∽△EDG ,得到OG OP
GE ED =,然后根据勾股定理即可得到结果.
【详解】
(1)证明:连接AD,
∵AB⊥CD,AB是⊙O的直径,∴??
AD AC
=,
∴∠ACD=∠B=∠ADC,
∵∠FPC=∠B,
∴∠ACD=∠FPC,
∴∠APC=∠ACF,
∵∠FAC=∠CAF,
∴△PAC∽△CAF;
(2)连接OP,则OA=OB=OP=15 22 AB=,
∵??
AP BP
=,
∴OP⊥AB,∠OPG=∠PDC,∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AC=2BC,
∴tan∠CAB=tan∠DCB=BC
AC
,
∴
1
2 CE BE
AE CE
==,
∴AE=4BE,
∵AE+BE=AB=5,
∴AE=4,BE=1,CE=2,
∴OE=OB﹣BE=2.5﹣1=1.5,
∵∠OPG=∠PDC,∠OGP=∠DGE,
∴△OPG∽△EDG,∴OG OP GE ED
=,
∴
2.5
2 OE GE OP
GE CE
-
==,
∴GE=2
3,OG=
5
6
,
∴PG
5 6 =,
GD
2
3 =,
∴PD=PG+GD
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理,圆周角定理,证得△OPG ∽△EDG 是解题的关键.
10.阅读下面材料:
观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题.在锐角△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,过A 作AD ⊥BC 于D (如图),则sin B =AD c ,sin C =AD
b
,即AD =c sin B ,AD =b sin C ,于是c sin B =b sin C ,即
sin sin b c B C = .同理有:sin sin c a
C A
=,sin sin a b A B
=,所以sin sin sin a b c
A B C ==. 即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料,完成下列各题.
(1)如图,△ABC 中,∠B =75°,∠C =45°,BC =60,则AB = ;
(2)如图,一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上,随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B 处,此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上(如图),求此时货轮距灯塔A 的距离AB . (3)在(2)的条件下,试求75°的正弦值.(结果保留根号)
【答案】(1)6;(2)6海里;(36+2
【解析】
【分析】
(1)根据材料:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,写出比例关系,代入数值即可求得AB的值.
(2)此题可先由速度和时间求出BC的距离,再由各方向角得出∠A的角度,过B作
BM⊥AC于M,求出∠MBC=30°,求出MC,由勾股定理求出BM,求出AM、BM的长,由勾股定理求出AB即可;
(3)在三角形ABC中,∠A=45,∠ABC=75,∠ACB=60,过点C作AC的垂线BD,构造直角三角形ABD,BCD,在直角三角形ABD中可求出AD的长,进而可求出sin75°的值.【详解】
解:(1)在△ABC中,∠B=75°,∠C=45°,BC=60,则∠A=60°,
∵AB
sinC =
sin
BC
A
,
∴
45
AB
sin o
=
60
sin60o
,
即2 =3,
解得:AB=206.
(2)如图,
依题意:BC=60×0.5=30(海里)∵CD∥BE,
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°,
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°.
∴∠ABC=75°,
∴∠A=45°,
在△ABC中,
sin AB ACB
∠=
BC
sin A
∠即60?
AB
sin
=
30
45?
sin,
解之得:AB=156.
答:货轮距灯塔的距离AB=156海里.
(3)过点B作AC的垂线BM,垂足为M.
在直角三角形ABM中,∠A=45°,6,
所以3BDC中,∠BCM=60°,BC=30°,可求得CM=15,所以3,
15315
+156
sin75°6+2
.
【点睛】
本题考查方向角的含义,三角形的内角和定理,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质和判定等知识点,解题关键是熟练掌握解直角三角形方法.
11.如图,A(0,2),B(6,2),C(0,c)(c>0),以A为圆心AB长为半径的?BD 交y轴正半轴于点D,?BD与BC有交点时,交点为E,P为?BD上一点.
(1)若c=3,
①BC=,?DE的长为;
②当CP=2时,判断CP与⊙A的位置关系,井加以证明;
(2)若c=10,求点P与BC距离的最大值;
(3)分别直接写出当c=1,c=6,c=9,c=11时,点P与BC的最大距离(结果无需化简)
【答案】(1)①12,π;②详见解析;(2)①65;②6
5
(3)答案见详解 【解析】 【分析】
(1)①先求出AB ,AC ,进而求出BC 和∠ABC ,最后用弧长公式即可得出结论;②判断出△APC 是直角三角形,即可得出结论;
(2)分两种情况,利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论; (3)画图图形,同(2)的方法即可得出结论. 【详解】 (1)①如图1,
∵c =3+2, ∴OC =3,
∴AC =3﹣2=3 ∵AB =6,
在Rt △BAC 中,根据勾股定理得,BC =12,tan ∠ABC =AC
AB
3 ∴∠ABC =60°, ∵AE =AB ,
∴△ABE 是等边三角形, ∴∠BAE =60°, ∴∠DAE =30°,
∴?DE
的长为306
180
π?=π, 故答案为12,π;
②CP 与⊙A 相切.
证明:∵AP =AB =6,AC =OC ﹣OA =63, ∴AP 2+CP 2=108, 又AC 2=(63)2=108, ∴AP 2+PC 2=AC 2.
∴∠APC =90°,即:CP ⊥AP . 而AP 是半径, ∴CP 与⊙A 相切.
(2)若c =10,即AC =10﹣2=8,则BC =10.
①若点P 在?BE
上,AP ⊥BE 时,点P 与BC 的距离最大,设垂足为F , 则PF 的长就是最大距离,如图2,
S △ABC =
12AB ×AC =1
2BC ×AF , ∴AF =AB AC BC ?=245
,
∴PF =AP ﹣AF =6
5
;
②如图3,若点P 在?DE
上,作PG ⊥BC 于点G ,
当点P 与点D 重合时,PG 最大. 此时,sin ∠ACB =PG AB CP BC
=, 即PG =
AB CP BC ?=6
5
∴若c =10,点P 与BC 距离的最大值是6
5
; (3)当c =1时,如图4,
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 5,则tan A 的值为 ( ) A . 5 B 25 C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A =5 12,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ ABC 中, ο 90=∠C ,3cosB=2, AC=5 2 ,则 AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B .
4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则cos ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径, 若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .2 3
中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题及答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ,(05)t <<;(3)5 2t =时, PEGO S 四边形取得最大值;(4)16 5 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,