自动控制原理课程论文

《自动控制原理（下）》

课程论文

1011自动化

XX

2010XXXX

2013.4

非线性控制系统

摘要：非线性控制系统是用非线性方程来描述的非线性控制系统。系统中包含有非线性元件或环节。状态变量和输出变量相对于输入变量的运动特性不能用线性关系描述的控制系统。状态变量和输出变量相对于输入变量的运动特性不能用线性关系描述的控制系统。线性因果关系的基本属性是满足叠加原理。在非线性控制系统中必定存在非线性元件，但逆命题不一定成立。描述非线性系统的数学模型，按变量是连续的或是离散的，分别为非线性微分方程组或非线性差分方程组。非线性控制系统的形成基于两类原因，一是被控系统中包含有不能忽略的非线性因素，二是为提高控制性能或简化控制系统结构而人为地采用非线性元件。

关键字：非线性系统相平面法描述函数法

正文：

一、非线性特性

典型非线性特性

（1）非线性系统的特点

①叠加原理无法应用于非线性微分方程中。

②非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的输入信号和初始条件有关。

③线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态无关，而非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态却有关。

④有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的自激振荡或极限环。

（2）典型非线性特性

二、非线性控制系统的应用条件

非线性系统的分析远比线性系统为复杂，缺乏能统一处理的有效数学工具。在许多工程应用中，由于难以求解出系统的精确输出过程，通常只限于考虑：①系统是否稳定。②系统是否产生自激振荡（见非线性振动）及其振幅和频率的测算方法。③如何限制自激振荡的幅值以至消除它。例如一个频率是ω的自激振

荡可被另一个频率是ω1的振荡抑制下去，这种异步抑制现象已被用来抑制某些重型设备的伺服系统中由于齿隙引起的自振荡。

三、非线性系统的奇特现象

非线性系统中会出现一些在线性系统中不可能发生的奇特现象，归纳起来有如下几点：①线性系统的稳定性和输出特性只决定于系统本身的结构和参数。而非线性系统的稳定性和输出动态过程，不仅与系统的结构和参数有关，而且还与系统的初始条件和输入信号大小有关。例如，在幅值大的初始条件下系统的运动是收敛的（稳定的），而在幅值小的初始条件下系统的运动却是发散的（不稳定的），或者情况相反。②非线性系统的平衡运动状态，除平衡点外还可能有周期解。周期解有稳定和不稳定两类，前者观察不到，后者是实际可观察到的。因此在某些非线性系统中，即使没有外部输入作用也会产生有一定振幅和频率的振荡,称为自激振荡,相应的相轨线为极限环。改变系统的参数可以改变自激振荡的振幅和频率。这个特性可应用于实际工程问题，以达到某种技术目的。例如，根据所测温度来影响自激振荡的条件，使之振荡或消振，可以构成双位式温度调节器。

③线性系统的输入为正弦函数时，其输出的稳态过程也是同频率的正弦函数，两者仅在相位和幅值上不同。但非线性系统的输入为正弦函数时，其输出则是包含有高次谐波的非正弦周期函数，即输出会产生倍频、分频、频率侵占等现象。④复杂的非线性系统在一定条件下还会产生突变、分岔、混沌等现象。

四、非线性系统的分析方法

(1)相平面法

1.相平面：以横坐标表示X，以纵坐标x?构成一个直角坐标系，则该坐标平面成为相平面系统某一时刻的状态可以用相平面上的一个点来描述。

2.相轨迹：相平面上的点随时间变化描绘出来的曲线称为相轨迹。

如果把系统在各种出始条件下的相轨迹都画出来，则可在相平面上的到一个想轨迹曲线簇，（描述系统各种可能的运动）。

3．相平面图：相平面和想轨迹曲线簇构成相平面图。清楚的表示系统在各种初始条件下的运动过程。

4相平面法：用相图表示非线性二阶系统过程的方法成相平面法，可分析系统的动态过程。

5与描述函数法不同

指数函数法实质是令系统线性部分不动，而将其非线性部分线性化。

想平面法是令系统非线性部分原封不动，而将高阶系统线性部分简化为

二阶。

所以上述两种方法各有侧重，互补长短，若同时用两种方法分析一个系统，则分析结果更加全面。

6．相平面发局限性

在于只适用在定常系统，系统输入只适限于阶跃和斜坡。

7.相平面法归结为两个问题

（1）绘制相平面。

（2）由相轨迹线来理解系统过程。

8.相轨迹绘制

基本方法：

解析法

图解法

实验法

应用相平面法分析非线性系统的前提就是要绘制相轨迹。

Ⅰ.解析法:

1．解析法就是用求解微分方程的方法找出x?(t)和x(t)的关系，从而在相平面撒谎能够绘制相轨迹。

2．应用场合：当描述系统运动的微分方程比较简单，或者可以分段线性化时，应用分析法比较方便。

3．具体方法：消去变量 t法

直接积分法

消去参变量，即直接解方程x??=f(x,x?) 求出x(t) ，通求导得到x?

(t) ，在x(t) 和 x?(t) 的表达式中消去参变量t ,就得到直接

积分法。

因为x??=dx?/dt= dx?/dx* dx/dt=x?dx?/dx

则二阶系统微分方程的一般式x??=f(x,x?)

可以写成 x?dx?/dx=f(x,x?)

若该式可以分解为g(x?)*dx?=h(x)dx

则由∫g(x?)dx?=∫h(x)dx

可直接找出x?--x的关系。Xo?,Xo为出始条件。

Ⅱ、图解法

1．图解法是一种不必求出微分方程的解，而是通过各种逐步作图的方法，直接在相平面上画出相轨迹的方法。

2．适用场合

3．当微分方程用解析法求解比较复杂，困难甚至不可能时，对于非线性系统，图解法尤为重要。

基本思想:光绘出相轨迹的切线方向场,然后从初始条件出发,沿方向场绘制相轨迹.

二阶时不变系统一般可用常微分方程描述

x``+f(x,x`)=0

f(x,x`)是x`,x的解析式函数,可以是线形也可以是非线形的.可写为x`=dx`/dx*dx/dt=x`dx`/dx dx`/dx=-f(x,x`)/x` 该方程的解:x`=g(x)

此方程中包含着初始条件.对于不同初始条件,它确定了不同的相轨迹.

由相轨迹方程dy/dx=-f(x,y)/y

给出在相轨迹在点(x,y)即(x,x`)上的切线的斜率 dy/dx=α(相轨迹上某一点斜率)

把相轨迹上具备有等斜率点的连线称为等倾线.

-f(x,y)/y=α等倾线方程.

若在相平面里作出足够多的等倾线,并在每跟等倾线上用短线标明和相轨迹通过该线的方向(切线方向)称方向场.按方向场从起点到终点,则可绘出相轨迹.

令α为不同常数在相平面上根据等倾线方可绘出若干

等倾

Ⅲ特殊点

一.奇点

1.定义:相轨迹方程dx`/dx为不定值的点

2. 含义x`=0即状态变化率=0,表明系统不再运动,处于平衡状态

线形系统奇点唯一

非线形系统多个奇点

3.计算

dy/dx=0/0

4.奇点类型

1) 稳定焦点

X

X

2) 不稳定焦点

(-1<ζ<0) 相轨迹从原点向外发散,自由运动不收敛平衡点,是周期性增幅振荡 3)稳定节点

4) 不稳定节点

5)鞍点

6)中心点 ζ=0

二. 极限环分类

相平面上孤点的闭和曲线称为极限环 极限环包括 1) 稳定极限环

都渐进趋向于这个极限环,后,最后人回到环上 2) 不稳定极限环

3) 半稳定极限环

不能产生自振荡,环内

相轨迹发散原理极限

环外相轨迹收拢极限环

(2)、描述函数法

x t

1、描述函数的基本概念

设非线性环节的输入信号为正弦信号

t A t x ωsin )(=

其输出)(t y 一般为非周期正弦信号，可以展开为傅氏级数

∑∞=++=10)sin cos ()(n n n

t n B t n A A t y ωω

若非线性环节的输入输出部分的静态特性曲线是奇对称的，即)()(x y x y --=，于是输出中将不会出现直流分量，从而00=A 。 式中：?=π

ωωπ20)(cos )(1

t td n t y A n ，?=π

ωωπ20)(sin )(1

t td n t y B n

同时，若线性部分的)(s G 具有低通滤波器的特性，从而非线性输出中的高频分量部分被线性部分大大削弱，可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即)sin(sin cos )(1111?ωωω+=+=t Y t n B t n A t y 式中：?=

πωωπ201)(cos )(1t td t y A ，?=πωωπ201)(sin )(1t td t y B ， 21211B A Y +=，1

11B A arctg =? 2、描述函数的定义

类似于线性系统中的频率特性定义：非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数之比称为非线性环节的描述函数，用)(A N 来表示。

1

12

12111)(B A arctg A B A e A Y A N j ∠+==? 显然，01≠?时，)(A N 为复数。

3、描述函数的应用条件

①非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N 和一个线性环节)(s G 串联的闭环结构。

②非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即)()(x y x y --=，以保证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。

③系统的线性部分)(s G 具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。

4、描述函数的求法

描述函数求解的一般步骤是：

①首先由非线性特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形的)(t

y的数学表达式。

②利用傅氏级数求出)(t

y的基波分量。

③将基波分量代入描述函数定义，即可求得相应的描述函数)

(A

N。

以继电器非线性特性为例，说明描述函数的求解方法。

由于非线性为双位继电器，即在输入大于零时，输出等于定值M，而输入小于零时，输出为定值M

-，故而，在正弦输入信号的作用下，非线性部分的输出波形为方波周期信号，且周期同输入的正弦信号π2。其波形如下图所示。

n

∑∞

=

+

+

=

+

+

+

+

=

1

2

)1

2

sin(

4

)

7

sin

7

1

5

sin

5

1

3

sin

3

1

(sin

4

)(

n

n

t

n

M

t

t

t

t

M

t

y

ω

π

ω

ω

ω

ω

π

取输出的基波分量，即

t

M

t

yω

π

sin

4

)(

1

=

于是，继电器非线性特性的描述函数为

A

M

A

Y

A

N

π

?

4

)

(

1

1=

∠

=

显然，)

(A

N的相位角为零度，其幅值是输入正弦信号幅值A的函数。常见非线性特性的描述函数：

①继电器非线性描述函数

A

M

A

Y

A

N

π

?

4

)

(

1

1=

∠

=

②饱和非线性特性的描述函数

)

()(1arcsin 2)(21a A A a A a A a k A B A N ≥????????-+==π

5、组合非线性特性的描述函数

简单非线性基本连接形式有串联、并联。

（1）非线性特性的并联计算

总的描述函数为

)()()(21A N A N A N +=

由此可见，若干个非线性环节并联后总的描述函数，等于个并联环节描述函数之和。

（2

环节描述函数的乘积。而是应该先求出这两个串联非线性特性的等效非线性特性，然后再求这个等效非线性特性的描述函数。

6、非线性系统的稳定性

在上述所示的非线性系统结构中，非线性部分N 可以用描述函数)(A N 表示，线性部分)(s G 则用频率特性)(ωj G 表示。

由闭环系统的结构图，可得到系统的闭环频率特性)(ωj Φ如下

)

()(1)()()()()(ωωωωωj G A N j G A N j R j C j +==Φ 其闭环特征方程为

0)()(1=+ωj G A N

从而有

)

(1)(A N j G -=ω 上式)(1A N -称为非线性特性的负倒描述函数。

给出了常见非线性函数的负倒描述函数)(1A N -曲线，其中箭头表示了幅值A 的增大方向。

利用描述函数判别非线性系统稳定性的奈奎斯特判据是：

①若)(ωj G 曲线不包围)(1A N -曲线，则非线性系统是稳定的；

②若)(ωj G 曲线包围)(1A N -曲线，则非线性系统是不稳定的；

③若)(ωj G 曲线与)(1A N -曲线相交，理论上将产生振荡，或称为自激振荡。

自激振荡的稳定性。

①自激振荡条件

)

(1)(A N j G -=ω 可以改写为

πωj e A N j G -=-=1)()(

即

?

??-=∠+∠=πωω)()(1)()(A N j G A N j G ②自激振荡的稳定性

所谓自激振荡的稳定性是指，当非线性系统受到扰动作用而偏离原来的周期运动状态，当扰动消失后，系统能够回到原来的等幅振荡状态的，称为稳定的自激振荡。反之，称为不稳定的自激振荡。

如右图所示，线性部分的频率特性)(ωj G 与

负倒描述函数曲线)(1A N -有两个相交点1M 、2M 这说明系统有两个自激振荡点。

对于1M 点，若受到扰动使幅值A 点将由1M 点移至a 点。由于a 点不被)(ωj G 包围，系统是稳定的，故振荡衰减，振幅A 自动减小，点。反之亦然。所以1M 点是稳定的自激振荡。

对于2M 点，若受到扰动使幅值A 减小，则工作点将由2M 点移至d 点。由于

d 点不被)(ωj G 包围，系统是稳定的，故振荡衰减，振幅A 进一步减小，工作点将沿)(1A N -曲线向幅值不断减小的方向移动，从而不能再回到2M 点。反之亦然。所以2M 点是不稳定的自激振荡。

判别自激振荡稳定的方法是：在复平面自激振荡附近，当按幅值A 增大的方向沿)(1A N -曲线移动时，若系统从不稳定区域进入稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是稳定的。反之，当按幅值A 增大的方向沿)(1A N -曲线移动是从稳定区域进入不稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是不稳定的。

③自激振荡的计算

对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具体的计算方法是：振幅可由)(1A N -曲线的自变量A 来确定，振荡频率ω由)(ωj G 曲线的自变量ω来确定。需要注意的是，计算得到的振幅和频率，是非线性环节的输入信号t A t x ωsin )(=的振幅和频率，而不是系统的输出信号)(t c 。

总结： 非线性系统的应用

现代广泛应用于工程上的分析方法有基于频率域分析的描述函数法和波波夫超稳定性等，还有基于时间域分析的相平面法和李雅普诺夫稳定性理论等。这些方法分别在一定的假设条件下，能提供关于系统稳定性或过渡过程的信息。

在工程上还经常遇到一类弱非线性系统，即特性和运动模式与线性系统相差很小的系统。对于这类系统通常以线性系统模型作为一阶近似，得出结果后再根据系统的弱非线性加以修正，以便得到较精确的结果。摄动方法是处理这类系统的常用工具。而对于本质非线性系统，则需要用分段线性化法等非线性理论和方法来处理。

现代广泛应用于工程上的分析方法有基于频率域分析的描述函数法和波波夫超稳定性等，还有基于时间域分析的相平面法和李雅普诺夫稳定性理论等。这些方法分别在一定的假设条件下，能提供关于系统稳定性或过渡过程的信息。而计算机技术的迅速发展为分析和设计复杂的非线性系统提供了有利的条件。

在某些工程问题中，非线性特性还常被用来改善控制系统的品质。例如将死区特性环节和微分环节同时加到某个二阶系统的反馈回路中去，就可以使系统的控制既快速又平稳。又如，可以利用继电特性来实现最速控制系统。

非线性控制系统在许多领域都具有广泛的应用。除了一般工程系统外，在机器人、生态系统和经济系统的控制中也具有重要意义。

参考文献：百度文库 自动控制原理（胡寿松版） 非线性控制系统