第二章应力状态 弹塑性力学基本理论及应用_刘土光

第二章 应力状态理论

2.1 应力和应力张量

在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。

为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图2.1)。如将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?，如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σ，即 σ=??→?S

F S 0lim 这个极限矢量σ就是物体在过c 面上点P 处

的应力。由于S ?为标量，故，σ的方向与F ?的

极限方向一致。内力矢量F ?可分解为所在平面

的外法线方向和切线方向两个分量n F ?和s F ?。

同样，应力σ可分解为所在平面的外法线方向

和切线方向两个分量。沿应力所在平面

的外法线方向n 的应力分量称为正应力，记为n σ，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为

n τ。此处脚注n 标明其所在面的外法线方向，由此， S ?面上的正应力和切应力分别为n σ和n τ。

在上面的讨论中，过点P 的平面C 是任选的。显然，过点P 可以做无穷多个这样的平面C ，也就是说，过点P 有无穷多个连续变化的n 方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点P 处的应力状态，在点P 处沿坐标轴x ，y ，z 方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为x ?，Δy ，Δz 。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正负号规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正，反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图2.2中的各应力分量均 图2.1 应力矢量

为正。应力及其分量的单位为Pa 。

图2.2 应力表示法

由图2.2可知，当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表一点处的应力。因此，一点处的应力分量共有9个，其中有3个正应力分量、6个切应力分量，由切应力互等定理可知，实际上独立的切应力分量只有3个。把这9个应力分量按一定规则排列，令其中每一行为过一点的一个面上的3个应力分量，即得如下应力张量，在数学上称之为二阶张量。

????

??????=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ

其中 i ，j =(x ，y ，z )，当i ，j 任取x ，y ，z 时，则得到相应的应力分量，但xx σ，yy σ，zz σ分别简写为x σ，y σ，z σ。

应当指出，物体内各点的应力状态，一般并不是相同的，即非均匀分布的，

因此各点的应力分量是坐标z ，y ，z 的函数。所以，应力张量ij σ与给定点的空间位置有关，同时应力张量是针对物体中的某一确定点而言的，今后将会看到，应力张量完全确定了一点处的应力状态。

张量符号与下标记号法使冗长的弹塑性力学公式变得简明醒目，在文献中已被广泛应用，今后将逐渐熟悉这种标记法。

2.2 二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式

上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维空间中取出来的点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌握了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。

当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。

1. 平面应力问题

如果考虑如图2.3所示物体是一个很薄的

平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即

xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均

为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0)(2

=±=δσz z 0)()(22==±=±=δ

δ

ττz zy z zx

因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布，

所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此，

在垂直于z 轴的任一微小面积上均有

0=z σ， 0==zy zx ττ 图2.3 平面应力问题 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有0==xz yx ττ。因而对于平面应力状态的应力张量为

????

??????=00000y

yx xy

x ij σττσσ

也可写为

??????=y yx

xy x ij σττσσ 如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。

2. 平面应变问题

如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分布地作用在垂直于oz 方向，如图2.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位移与所在z 方向的位置无关，即z 方向各点的位移均相同。令

u 、v 、w 分别表示一点在x 、y 、z 坐标方向的位移

分量，则有w 为常数。等于常数的位移w 并不伴随产

生任一xy 平面的翘曲变形，故研究应力、应变问题时，

可取0=w 。此外，由于物体的变形只在xy 平面内产生，

因此w 与z 无关。故对于平面应变状态有

图2.4 平面应变问题

??

???===0),(),(w y x v v y x u u

由对称条件可知，在xy 平面内)(zx xz ττ和)(zy yz ττ

恒等于零，但因z 方向对变形的约束，故z σ一般并不

为零，所以其应力张量为

????

??????=z y

yx xy

x ij σσττσσ0000

实际上z σ并不是独立变量，它可通过x σ和y σ求得，因此不管是平面应变问题还是平面应力问题，独立的应力分量仅有3个，即x σ、y σ和xy τ(=yx τ)，对于平面应变问题的求解，可不考虑z σ。

三. 平衡微分方程

物体在外力作用下处于平衡状态时，由各点应力分量与体力分量之间的关系所导出的方程称为平衡微分方程。如图2.5a)所示的平面应力问题，除面力外，在这个微单元体上还有体力的作用．单位体积的体力在二个坐标轴上的投影为Y X ,．而固体的质量密度为ρ。自弹性体内任一点P 处附近截取一单元体，

a) b)

图2.5 平面应力状态微元体的应力

它在x ，y 方向的尺寸分别为dx 和dy 。为了计算方便，在z 方向取单位长度，如图2.5b)所示。该单元体受有其相邻部分对它作用的应力和单元体的体力。由于在一般情况下应力分量是位置坐标的函数，因此在单元体左、右或上、下两对面上的应力不相等，而具有一微小的增量。若作用于ab 上的正应力和剪应力分别为x σ，则作用于cd 面上的正应力应随之变化。该变化可根据Taylor 级数展开，即

),(022dy dx dy y dx x ab

x ab x ab x cd x +??+

??+=σσσσ 由于ab,cd 线元上的应力分量均可用相应线元中点处的应力分量表示，以及略去二阶以上的微量后，由上式得cd 边上的正应力为 dx x

x x ??+σσ 同理，如ab 边上的切应力为xy τ，ad 边上的正应力和切应力分别为y σ，yx τ可

得cd 边上的切应力及bc 边的应力分量可类推分别得 dx x xy

xy ??+ττ dy

y dy y

yx

yx y y ??+??+

ττσσ 微单元体在面力及体力作用下处于平衡，必须满足静力平衡的三个方程式。如果考虑到质点运动，而按照牛顿第二定律，方程式的右边还应包括这个微单元体的质量与加速度在该坐标轴上的投影的乘积(即惯性力的投影)。

对于所研究的一点P 。，设其位移在坐标铀y x ,上的投影分别为v u ,，加速度的

投影可分别写为： 22t u ??, 22t

v ?? 若弹性体处于平衡状态，则取自物体内的单元体也必处于平衡状态。因而，根据

0=∑x F )(2dxdy t u ??=ρ，有 (dx x x x ??+σσ)0)(=+-??++-Xdxdy dx dx y

dy dy yx yx yx x τττσ)(2dxdy t u ??=ρ 将上式化简，并等式两边同除以dxdy ，可得 0=+??+??X y

x xy x τσ()22t u ??=ρ (2.2-1a) 由平衡方程式0=∑y F )22t

v ??=ρ，可类似导得

0=+??+??Y y x y

yx στ()22t v ??=ρ (2.2-1b) 根据平衡方程0=∑a m 得

0222)(2)(2)(2)(2222=-+??-??+-??+??++??-??dy Xdxdy dx Ydxdy dx dxdy t

v dxdy dy y dy dxdy t u dydx dx x dy dydx x dx dydx y yx yx xy xy x y

ρττρττσσ 略去三阶微量的项，得

yx xy ττ=

这就是前面曾提到的切应力互等定理。下面不再区分xy τ和yx τ。

式(2.2-1)为平面应力问题的平衡微分方程式，它表明了应力分量的变化与已知体力分量之间的关系；当改为括号内的项，就代表运动方程式，又称为柯西 (Chuchy )平衡运动微分方程。

式(2.2-1)是以平面应力为例导出的，对于平面应变问题，在图2.5(b)所示的

单元体上，一般在前、后两个面上还作用有正应力z σ，但由于它们自成平衡，不影响方程的建立，因而，式(2.2-1)对两种平面问题都适用。在建立上述方程时，我们是按照1.2节的小变形中假没，用物体变形以前的尺寸，而没有用变形后平衡状态下的尺寸。在以后建立任何平衡力程式时，都将作同样的处理，不再加以说明。

对于三维应力状态的情况，可从受力物体中取出一微小六面体单元，可类似

平面问题导出

zx xz ττ= ， zy yz ττ=

以及 ????

???????==+??+??+????==+??+??+????==+??+??+??)(0)(0)(0222222t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ (2.2-2) 式(2.2-2)为三维情况下的平衡微分方程。

如果采用张量符号和下标记号法，切应力互等定理可缩写为

ji ij ττ= (z y x j i ,,,=)

由此可知，应力张量为一对称张量，一共有6个独立元素

????

????

??=z yz y xz xy x ij 对称στσττσσ)( 平衡方程也可缩写为

0,=+i j ij G σ (2.2-3) 其中j ij ,σ表示),,,(z y x j i ij =σ对),,(z y x j =取偏导数，而i G 当z y x i ,,=时，则分别代表Z Y X ,,。因此，0,=j ij σ，则代表 ????

?????=??+??+??=??+??+??=??+??+??000z y x z y x z y x z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσ (2.2-4) 式(2.2-4)即是不计体力时们三维平衡微分方程式。

一点的应力状态

所谓一点的应力状态是指受力变形物体内一点的不同截面上的应力变化的状况。现以平面问题为例说明一点处应力状态。在受力物体中取一个如图2.6所示的微小三角形单元，，其中AC ，AB 与坐标轴y x ,重合，而BC 的外法线与z z 轴成θ角。取坐标'',y x ，使BC 的外法线方向与'x 方向重合(如图2.6)。如果xy y x τσσ,,已知，则BC 面上的正应力'x σ，和切应力''y x τ可用已知量表示。因θ角的任意性，

若BC 面趋于点

A 时，则可认为求得了描绘过点4处的应力状态的表达式。

实际上，这里所讨论的问题是一点处不同方向的面上的应

力的转换，即BC 面无限趋于点A 时，该面上的应力如何

用与原坐标相平行的面上的应力来表示。在这种问题的分

析中，可不必引入应力增量和体力，因为它们与应力相比

属于小量。

假定BC 的面积为1，则AB 和AC 的面积分别为

θcos 与θsin 。于是，由力在坐标y x ,的平衡条件 图2.6 一点的应力状态

0=∑x F 和0=∑y F ，

可得 θσθτθ

τθσsin cos sin cos y xy y xy x x p p +=+= (a)

式中y x p p ,为BC 面上单位面积的力p 在坐标轴y x ,方向上的分力(图 2.6)。将y x p p ,投影到'',y x 坐标轴方向，有

θθτθθσsin cos sin cos '''

y x y x y x x p p p p -=+= (b)

将式(b)代入式(a)，并注意到 θθ2cos 1cos 22+=，θθ2cos 1sin 22-=，θθθ2cos sin cos 22=-和θθθ2sin cos sin 2=，可得 θτθσσσσσ2sin 2cos 22'xy y

x y x x +-++= (2.3-1a) θτθσστ2cos 2sin 2''xy y x y x +--= (2.3-1b) 将式(2.3-1a)中的θ换成2πθ+

，则得 θτθσσσσσ2sin 2cos 22'xy y

x y x y ---+= (2.3-1c)

如果BC 面趋近于A 点，且已知A 点的应力分量xy y x τσσ,,时，则由式(2.3-1)

可求得过该点任意方向的平面上的应力分量。因此，对于平面问题，式(2.3-1)描述了该点的应力分布规律，即描述了该点的应力状态。

对于三向应力状态，可以采用类似于二维应力状态分析的方法。现在研究从受力物体中取出的任一无穷小的四面体(图2.7)。斜面ABC 的法线N 与坐标轴间的夹角的方向余弦分别是l 、m 、n 。四

面体棱边的长度分别dx 、dy 和dz 。设斜

面的面积为1，则三角形OBC 、OAC 、

OAB 的面积分别为

n

z N m y N l

x N =?=?=?),cos(1),cos(1),cos(1

如果ABC 面上单位面积上的力为p ，沿坐标

轴方向的分量z y x p p p ,,可由傲小四面体单元

图2.7 四面体的应力分布

的平衡条件得到

??

???++=++=++=n m l p n m l p n m l p z zy zx z yz y yx y xz xy x x στττστττσ (2.3-2)

式(2.3-2)是与坐标轴呈任意倾斜面止单位面积上的面力，该式也可按下标

记号法和求和约定缩写为

j ij i n p σ= (z y x j i ,,,=) (2.3-3) 式中j n 为斜面ABC 外法线n 与),,(z y x j =轴间夹角的方向余弦l 、m 、n 。

为了分析一点处应力的某些特征，现将坐标系oxyz 变换到新坐标系'''z y ox ，且新坐标系的'ox 轴与图 2.7中的法线方向n 重合，新旧坐标系间的方向余弦

，n ，z x ，m ，y x ，l x x 1'1'1')cos()cos(),cos(===…，

如表2.1所示，则'x 方向的正应力'

x σ为 'x σ=111n p m p l p z y x ++

将(2.3-2)代入上式，并注意到l 、m 、n 分别等于111，n ，m l ，则得

'x σ=)(2111111212121l n n m m l n m l xz yz xy z y x τττσσσ+++++

类似地将z y x p p p ,,在''，z y 方向投影，可得到

'y σ=)(2222222222222l n n m m l n m l xz yz xy z y x τττσσσ+++++

'z σ=)(2333333232323l n n m m l n m l xz yz xy z y x τττσσσ+++++

)()()(122112211221212121'

'n l n l n m n m m l m l n n m m l l zx yz xy z y x y x ++++++++=τττσσστ )()()(233223322332323232'

'n l n l n m n m m l m l n n m m l l zx yz xy z y x z y ++++++++=τττσσστ

)()()(311331133113131313''n l n l n m n m m l m l n n m m l l zx yz xy z y x x z ++++++++=τττσσστ 采用张量的方法，可将以上各式统一表示为

ij j j i i j i l l σσ''''= (2.3-4)

式(2.3-4)则是ij σ在坐标变换时所遵循的法则。凡是一组9个量ij σ，在坐标变换时遵从式(2.3-4)的法则就称为二阶张量。

２.4边界条件

当物体处于平衡状态时，除物体内部各点要满足平衡微分方程式(2.2-4)外，还应满走解条件。定解条件一般包括初始条件、边界条件或其它能确定唯一解答的补充条件。对于弹塑性静力学问题，定解条件主要是边界条件，所以弹塑性力学问题也就是数学物理方程中的边值问题。其它如约束条件、位移单值条件等也是常遇到的定解条件。

在弹塑性力学中，给定面力的边界，用σS 表示，结定位移的过界，用u S 表示，如图2.8所示。本节主要讨论弹塑性力学平面问题的边界条件。

a) b)

图2.8 平面问题边界条件

1. 位移边界条件

所谓位移边界条件，就是在给定位移的边界上，物体的位移分量必须等于边界

上的已知位移。

设平面弹塑性体在u S 边界上给定x 、y 方向上的位移分别为_u 和_

v ；，它们是

边界坐标的已知函数；而位移分量u 、v 则是坐标的待求函数。当把它们代入u S 边界的坐标时，则必等于该点所给定的位移，即

_u u =， _v v = 在u S (2.4-1)

对于三维问题，在u S 边界的位移边界条件为

_i i u u = (2.4-2)

此处),,(z y x i =，且对应于u 、v 、w 。

2. 应力边界条件

弹塑性体在外力作用下，处于平衡状态的条件，除物体内部各点的应力分量应满足平衡方程式(2.2-4)外，物体边界上各点也必须都是平衡的。由后者将导出应力边界条件。所谓应力边界条件就是在给定面力σS 的边界上应力分量与面力分量之间的关系。实质上，它是弹塑性体内部各点的平衡条件在其边界上的延续。因此，应力边界条件就是物体边界上点的平衡条件。

设平面弹性体在σS 上给定面力_X 、_Y ，它们是边界坐标的已知函数；而应力分量x σ、y σ、z σ则是坐标的待求函数。它们之间的关系可由边界上微元体的平衡条件求出。不失一般性，在物体的边界上取一微元体(一般取为三角形微元，因为它可以描述任意曲线边界)．如图2.8b)所示，它在平面问题中显然是三角板(平面应力)或三棱柱(平面应变)。

若令微元体边界面外法线N 与x 轴和y 轴夹角的方向余弦分别为l x N =),cos(，m y N =),cos(；斜边长为ds ，两直角边长分别为dx 和dy ，微元体的厚度仍取为1，则由图2.18b)，根据力的平衡条件有

?????

=+=+__Y m l X m l y xy xy x σττσ (2.4-3)

如当边界平行于x 轴时，有1,0±==m l 。这时，式(2.2-7)则为

_Y y ±=σ， _X xy ±=τ (在σS 边界上) (a)

而当边界平行y 轴时，有0,1=±=m l 。这时，式(2.2-7)则为

_X x ±=σ, _

Y xy ±=τ (在σS 边界上) (b) 由此可见，当物体的边界线与某一坐标轴平行(或垂直)时，应力边界条件变得十分简单，即应力分量的边界值就等于对应的面力分量，应力分量的符号取决于边界面的外法线方向。当边界面的外法线方向与坐标正向一致时，等式右边取正号，否则取负号。但应注意，面力本身还有正负号。其规定与应力符号法则相同。

对于三维问题，由力的平衡条件可得 ??

?????=++=++=++___Z n m l Y n m l X n m l z yz xz yz y xy xz xy x στττστττσ (2.4-4)

需要指出的是：在垂直x 轴的边界面上，应力边界条件中不出现y σ，而在垂直y 轴的边界上不出现x σ。当作用在边界面上的面力不连续时，应分段或展开成级数写出其边界条件；没有给定位移的自由边界，实际上是给定面力为零的应力边界，不能遗漏。

3.混合边界条件

在一般情况下，若用S 表示整个物体的表面积，则往往在其中一部分面积σS 上给出了面力，而在另一部分面积u S 上给定的是位移。如图2.9所示悬臂梁，固定端部分属于u S 部分，它给定位移而末给定外力；其余边界均属σS 部分，它的外力已给定 (包括外力等于零的部分)。显然，在u S 上各点应满足位

移边界条件式(2.4-1)，在

σS 上各点应满足

应力边界条件式(2.4-3)。

对于混合边界条件，可以分别给在边界

面的不同区域上，也可以给在同一区域的不

同方向上。也即，对于边界上的一个点，在

某一确定方向上，必须且只能给出u S 和σS 中

的一种，既不能同时给定，也不能同时不给 图2.9 受均布载荷悬臂梁 定；而同—点在两个互相垂直方向止，可以是

其中一个为σS ，另一个为u S 。

例2—1 如图2.9所示的一矩形截面悬臂梁，跨度为l ，梁上表面作用均匀载荷q 。试写出该问题的边界条件。并检查材料力学的应力公式是否满足力的边界条件。

解：由材料力学所得的应力分量为 z

x I y qx 23-=σ， 0=y σ, z z xy I qxS -=τ (a) 1) 梁的上表面2

h y =处 0_=X ， q Y -=_

而 0),cos(==x N l , 1),cos(-==y N m

代入力的边界条件(2.4-3)，则解得

0=yx τ， q y -=σ

由上式可知，因为材料力学作了纵向纤维无挤压的假设，无法算出y σ的分布规律。因此，材料力学的应力计算公式(a)结果并不满足上表面q y -=σ的边界条件。

2) 梁的下表面2

h y -=处 0_=X ， 0_=Y

而 1),cos(-==x N l ， 0),cos(==y N m

代入式(2.4-3)后解得

0=yx τ， 0=y σ

由上式可见，材料力学的应力计算公式(a)的结果满足该边界的力边界条件，其中0=y σ是由材料力学的假设得出的。

3) 0=x 的自由端处

0_=X ， 0_=Y

又 1),cos(-==x N l ， 0),cos(==y N m

代入式(2.4-3)后解得

0=xy τ， 0=y σ

因此，在该边材料力学的应力计算公式(a)的结果也满足该边界的力边界条件。 4) l x =的固定端处

因为固定端的外力分布没有具体给定．我们只能求出该端面上的合力和合力矩的大小。且固定端限制了梁的移动和转动，所以该截面的位移边界条件是很重要的。位移边界条件可表示为

0_=u ， 0_=v ， 0=??x u 或 0=??y

v (在l x =，0=y 处) 有关这方面的内容和处理方法将在后面的章节中详细介绍。

主应力、主切应力和八面体应力

在受力物体内一点任意方向的微小面元上，一般都有正应又和切应力，不同方向的面元上这些应力有不同的数值。当此微小面元转动时，它的法线方向N 随之改变，面元上的正应力σ和切应力τ的方向和它们的值也都要发生变化。在外法线方向不断改变过程中，必然会出现面元上只有正应力，而切应力τ等于零的情况。把这时面元的法线方向N 称为主应力方向(主方向)，相应的正应力N σ称为主应力，它所在的面称为主平面。以下将说明，物体中任一点都有3个主应力和相应的3个主方向。

1. 主应力

在图2.7中，如令z y x p p p ,,为ABC 面上单位面积面力的三个分量，则有

2222z

y x p p p p ++= (a)

将面元ABC 上单位面积的三个分量z y x p p p ,,投影到面元的法线方向N ，即得面元ABC 的正应力为

n p m p l p z y x N ++=σ (b) 将(2.3-2)式代入(b)式，并经整理后则得

)(2222nl mn lm n m l zx yz xy z y x N τττσσσσ+++++= (2.5-1) 式(2.5-1)即为任意法线方向N 的斜面上正应力的表达式。该面上的切应力为

222N

N p στ-= (2.5-2) 将式(a)和式(2.5-1)代入上式(2.5-2)，可得法线方向为N 的斜面上的切应力。 注意到

1222=++n m l (2.5-3) 因而三个方向余弦并不是独立的。现以l 、m 为独立变量，N σ和n 看成是l 和m 的函数，并求(2.5-1)式的极值。因此，其一阶偏导数应满足

0=??l N σ， 0=??m

N σ 即 ?

??=??+++++=??+++++0)(0)(m n n m l n m l l n n m l n m l z zy zx yz y xy z yz zx zx xy x στττστσττττσ (c) 由式(2.5-3)可求得n 对l 和m 的两个偏导数为 n l l n -=??， n m m n -==?? (d) 将(d)式代入(c)式，并注意到(2.3-2)式，可得 n p m p l p z y x ==

令其比值为N σ，则有

??

???===n p m p l p N z N y N x σσσ (e)

式(e)说明，在正应力取极值的斜平面上，全应力投影与斜平面的方向余弦成正比，比值N σ当然是正应力，正应力投影就是斜平面上全部应力的投影，而切应力不存在，因此主应力(主平面)确实存在。

将 (2.3-2) 式代入(e)式，经整理后得

??

???=-++=+-+=++-0)(0)(0)(n m l n m l n m l N z yz xz yz N y xy xz xy N x σστττσστττσσ (2.5-4)

或用张量符号写为

0)(=-j N ij ij l σδσ (2.5-5) 此处ij δ为δ-ker Ktonec ，定义为

???=0

1ij δ j i j i ≠= 在(2.5-4)式中，共有4个未知数，即l 、m 、n 和N σ，但由(2.5-3)式知，l 、m 、n 这3个方向余弦不可能同时为零，因此，(2.5-4)可看成是关于l 、m 、n 的线性齐次方程组，而且应有非零解存在，由线性齐次方程组有非零解的条件可得到 0=---N

z yz xz

yz N y xy

xz xy N

x σστττσστττσσ 展开上式得 032213=-+-I I I N N N σσσ (2.5-6)

其中 z y x I σσσ++=1

)(2222xz yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ++-++= )(22223xy z xz y yz

x xz yz xy z y x z

yz xz yz y xy xz

xy x I τστστστττσσσστττστττσ++-+== 方程式(2.5-6)是一关于N σ的三次方程，它至少有一个实根。令其为z σσ=3，该上0==xz yz ττ。这样式(2.5-6)中剩下的应力分量只有xy y x τσσ,,，可由平面应力状态理论求得其余两主应力1σ、2σ以

及它们作用的方向。这就简单地证明了，在物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主平面，以及对应的三个主应力，它们的方向称为应力主方向。 因为主应力1σ，2σ，3σ是方程(2.5-6)的根，按大小排列为321σσσ>>，它们分别位于三个互相垂直的主平面，且在主平面上切应力为零，所以式(2.5-6)也可改写为

0)()(32113322123213=-+++++-σσσσσσσσσσσσσσσN N N

由代数学可知，为保证此方程和式(2.5-6)的解相同，其系数应相同，出此可得三个系数为

z y x I σσσ++=1=321σσσ++

)(2222xz yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ++-++==133221σσσσσσ++

)(22223xy z xz y yz x xz yz xy z y x z

yz xz yz y xy xz

xy x I τστστστττσσσστττστττσ++-+===321σσσ

由于在一定的应力状态下，物体内任一点的主应力不会随坐标系的改变而改变，所以式(2.5-6)所给出的系数1I ，2I ，3I 分别称为第一、第三、第三应力张量不变量，简称应力不变量。

以主应力1σ，2σ，3σ的方向为坐标轴(分别记为1、2、3)的几何空间，称为主向空间。

在主向空间，(2.5-1)和(2.5-2)式则为

232221n m l N σσσσ++= (2.5-7) 2232221223222

221)(n m l n m l N σσσσσστ++-++= (2.5-8) 2. 主切应力

当在主向空间讨论切应力N τ的变化时，(2.5-2)式可写为

22322212232222212)(n m l n m l N σσσσσστ++-++= (2.5-9)

由(2.5-3)可知

2221m l n --=

将2n 用上式代替后，(2.5-9)式可得

[]2

32322312322322223212)()()()(σσσσσσσσσστ+-+--+-+-=m l m l N 为了求出N τ的极值，取2N τ对l 和m 的偏导数，并令它等于零，这时有 ???

????=??????---+-=??????---+-0)(21)()(0)(21)()(3223223131232231σσσσσσσσσσσσm l m m l l (f)

满足上式的解有以下四种情况：

(1)0=l 、0=m ，由(2.5-3)式可得±=n ，由(2.5-7)式得0=N τ，这是一主平面。

(2)0≠l 、0=m ，由式(f)的第一式得

0)21)((231=--l σσ

因0)(31≠-σσ，故 2

1

±=l 由式(2.5-3)可知 21

±=n

该解表示通过2σ，并平分1σ、3σ所夹再的平面，如图2.10a)所示。

a) b) c)

图2.10 主切应力平面

用同样的方法可得

(3)0=l ，2

1

±==n m (4) 0=n ，21

±==m l

解(3)代表通过1σ，并平分2σ、3σ所夹角的平面，见图2.10b)；而解(4)代表通过2σ并平

分1σ、3σ所夹角的平面，见图1.10c)。现将所有的解列于表2.2中。

表2.2 切应力有极值的平面方位

将以上所得到的l 、m 、n 值代入式(2.5-9)中，可以得到所求方向的切应力的极值，这时有 ?????????

-±=-±=-±

=22221

121331

3223σστσστσστ (2.5-10) 称23τ、31τ、12τ为主切应力，这些主切应力所在的面如图1.10所示，依据主应力大小的排列次序，则最大切应力23

1max σστ-=。且上式可知，显然23τ、31τ、

12τ满足下式所列条件

23τ+31τ+12τ=0

注意，在主切应力所在平面正应力σ并不为零，它们分别为23

2σσ+，2

31σσ+，22

1σσ+。

3. 八面体应力

当变形物体受载较大时，可能产生塑性变形。在塑性理论中，除要用到最大切应力外，还要用到正八面体的切应力。现在主向空间取一如图2.11a)所示的倾斜面，且该倾斜面的法线N 与三个坐标轴呈等倾斜，即具方尚余弦为

n m l ==

根据(2.5-3)式可知 31===n m l (2.5-11)

a) b)

图2.11 等倾平面与正八面体

将以上方向余弦的值代入式(2.5-7)和(2.5-8)，并注意到应力第一不变量1I 则得正八面体的正应力8σ和8τ分别为，

8σ=)(31321σσσ++)(3

1z y x σσσ++= (2.5-12) 由此可见，正八面体上的正应力等于三个正应力之和的三分之一，此值又称为平均正应力，记为m σ。即

m σ=)(31321σσσ++)(3

1z y x σσσ++= (2.5-13) 如将式(2.5-11)代入式(2.5-8)并整理后，则得正八面体上的剪应力8

τ为

8τ=213232221)()()(3

1σσσσσσ-+-+- (2.5-14) 正八面体上的应力可以用应力第一不变量和皮力第二不变量来表示为 ??

???-==2221818623131I I I τσ (2.5-14) 八面体剪应力还可以用主剪应力表示，即 23122321283

2ττττ++= (2.5-15) 由于正八面体上的剪应力和正应力均为不变量，因此通过它们可以方便池表示材料的某些力学行为。

2.6应力球张量与应力偏张量

在外力作用下，物体的变形通常可分为体积改变和形状改变两部分。体积改变是由于各向相等的应力引起的，因而，在一般情况下，某一点处的应力状态可以分解为两部分，一部分是各向相等的压(或拉)应力0σ，另一部分记为ij S ，即

ij ij S +=0σσ (2.6-1)

其中 ??????????=m m m σσσσ0000000 ????

??????---=m z zy zx yz m y yx xz xy m x ij S σστττσστττσσ

在主向空间内，如令任一斜面N 上的应力矢量为P ，则沿坐标轴1、2、3似分量为 ??

???===n p m p l p 332211σσσ (a)

当一点的三个主应力相等时(等拉或等压)，则(2.6-1)式中ij S =0，此时应力张量0σ中的元素为m σσσσ===321，将式(a)代入式(2.5-3)，得

2232221m

p p p σ=++ 这是一个以m σ为半径，以坐标轴原点为球心的球面方程，如图2.12所示。因此，定义0σ为应力球张量。

对于固体材料，经试验己证明，在各向相等的应力作用下，通常都表现为弹性性质。对于一般应力状态， 则ij S 使物体产生形状变化，称ij S 为应力偏张量。因此，对于材料的非弹性变形，也即塑性变形可以认为主要是物体产生形状变化时产生的。

图2.12 等主应力状态(应力球张量)

以主应力表示的应力偏张量为 ????????????????------=320003200

032213132321σσσσσσσσσij S 对于球张量0σ和应力偏张量ij S ，可以类似于应力张量ij σ那样得到应力偏张量的三个不变量为

01=J (2.6-2a) []

33)()()(612212132322212I I J +=-+-+--=σσσσσσ (2.6-2b) [])2)(2)(2(27

12131323213σσσσσσσσσ------=J =)2792(27

132131I I I I ++ (2.6-2c)