空间位置关系

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

整体设计

教学分析

空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.

三维目标

1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.

2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.

3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.

重点难点

两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情境导入）

在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系.

学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.

教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.

思路2.（事例导入）

观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？

图1

推进新课

新知探究

提出问题

①什么叫做异面直线？

②总结空间中直线与直线的位置关系.

③两异面直线的画法.

④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？

⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？

活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.

②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：

?

??????

?.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内

异面直线没有公共点同一平面内

平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.

图2

④组织学生思考：

长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1, BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ?a ∥c.

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.

⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？ 生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a 、b ，在空间中任取一点O ，过点O 分别引a′∥a ，b′∥b ，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角

.

图3

针对这个定义，我们来思考两个问题.

问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.

图4

问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？

答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.

⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.

图5

应用示例

思路1

例1 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

图6

求证：四边形EFGH是平行四边形.

证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 2

1

. 同理，FG ∥BD ，且FG=

BD 2

1

. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练

1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD.

求证：四边形EFGH 是菱形.

证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 2

1

. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=

BD 21,EF=AC 2

1

. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.

2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.

求证：四边形EFGH 是正方形.

证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH=

BD 2

1

. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=

BD 21，EF=AC 2

1

. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD ，所以EF=EH.

因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH.

所以四边形EFGH 为正方形.

点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.

图7

(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？

(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？

解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.

(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.

（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.

变式训练

如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.

图8

（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；

(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.

解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，

∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.

（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，

∵△AD′C是等边三角形.

∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.

点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.

思路2

例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.

求证：EB1∥DF，ED∥B1F.

活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.

证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.

图9

∵EG A1D1，B1C1A1D1,

∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,

∴EB1GC1.

同理可证DF GC1，∴EB1DF.

∴四边形EB 1FD 是平行四边形. ∴ED ∥B 1F. 变式训练

如图10，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：

图10

（1）AB 与CC 1； （2）A 1B 1与DC ； （3）A 1C 与D 1B ； （4）DC 与BD 1； （5）D 1E 与CF.

解：（1）∵C ∈平面ABCD ，AB ?平面ABCD ，又C ?AB ，C 1?平面ABCD,∴AB 与CC 1异面.

（2）∵A 1B 1∥AB ，AB ∥DC ，∴A 1B 1∥DC.

（3）∵A 1D 1∥B 1C 1，B 1C 1∥BC ，∴A 1D 1∥BC ，则A 1、B 、C 、D 1在同一平面内. ∴A 1C 与D 1B 相交.

（4）∵B ∈平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，又B ?DC ，D 1?平面ABCD,∴DC 与BD 1异面.

（5）如图10，CF 与DA 的延长线交于G ，连接D 1G ， ∵AF ∥DC ，F 为AB 中点，∴A 为DG 的中点. 又AE ∥DD 1，

∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.

点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.

例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=

2

2

AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.

图11

解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG.

因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=

BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 2

1

.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求.

由BC=AD 知EG=GF=

AD 21，又EF=2

2

AD,由勾股定理可得∠EGF=90°. 点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系. 变式训练

设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角. 解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，

图12

∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=322

1

=CD ， ∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG. ∴612sin ∠EHG=312. ∴sin ∠EHG=

2

2

.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°. 知能训练

如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原

正方体中相互异面的有对____________.

图13

答案：三

拓展提升

图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：

图14

①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；

④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）

A.①③

B.①④

C.②③

D.③④

答案：D

课堂小结

本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.

为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.

作业

课本习题2.1 A组3、4.

设计感想

空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力.两直线的异面关系是本节的重点和难点，本节选用大量典型题目训练学生求两异面直线所成的角，使学生熟练掌握直线与直线的位置关系.另外,本节加强了三种语言的相互转换，因此这是一节值得期待的精彩课例.