二轮复习参数方程化为普通方程
教学设计
2020年高考数学(理)二轮专题学与练 20 坐标系与参数方程(考点解读)(解析版)
专题20 坐标系与参数方程 1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化． 2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系． 知识点一、直角坐标与极坐标的互化 如图，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则??? ?? x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ， ? ??? ? ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0. 【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 知识点二、直线、圆的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝α； ②直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； ③直线过点M ????b ，π 2且平行于极轴：ρsin θ＝b . (2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ①圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； ②圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；
③圆心位于M ??? ?r ，π 2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x 轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式． 知识点三、参数方程 (1)直线的参数方程 过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为???? ? x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0 ＋t sin α(t 为参数)． (2)圆、椭圆的参数方程 ①圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为???? ? x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． ②椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为? ???? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ (θ为参数)． 【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 高频考点一 坐标系与极坐标 例1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π ，)4 C 3π，(2,) D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2 π ，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2 M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ． (1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程； (2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP = P 的极坐标． 【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ?? =≤≤ ?? ? ，2M 的极坐标方程为
二次参数方程化为普通方程解法
二次参数方程化为普通方程解法 二次参数方程是指形如x = f(t)和y = g(t)的方程，其中f(t)和g(t)都是关于参数t的二次函数。这种形式的方程在数学和物理等领域有广泛的应用，但在具体计算中，我们常常需要将其转化为普通方程形式，以便更好地进行分析和求解。 一般来说，将二次参数方程化为普通方程有两种常用的方法，分别是消元法和代入法。 我们来看消元法。消元法的基本思想是通过消去参数t，将参数方程转化为只含有自变量x和y的方程。具体步骤如下： 1. 将x = f(t)和y = g(t)两个参数方程联立起来，得到一个含有x和y的方程组。 2. 将其中一个方程中的t表示为另一个方程中的t的函数，然后代入到另一个方程中，得到一个只含有x和y的方程。 3. 对得到的方程进行化简和整理，最终得到普通方程。 举个例子来说明消元法的具体操作。假设有二次参数方程x = 2t^2 + 3t + 1和y = t^2 + 2t + 3，我们要将其转化为普通方程。 联立两个参数方程得到方程组： x = 2t^2 + 3t + 1 y = t^2 + 2t + 3
然后，将第一个方程中的t表示为第二个方程中的t的函数： t = (x - 1) / 2 将上式代入第二个方程中，得到只含有x和y的方程： y = ((x - 1) / 2)^2 + 2((x - 1) / 2) + 3 化简得到： y = (x^2 - 2x + 1) / 4 + (x - 1) + 3 进一步整理得到普通方程： 4y = x^2 + 2x + 4 这样，我们就成功地将二次参数方程化为了普通方程。 除了消元法，代入法也是将二次参数方程化为普通方程的常用方法。代入法的基本思想是将其中一个参数方程中的变量表示为另一个参数方程中的变量的函数，然后代入到另一个参数方程中，得到一个只含有一个变量的方程，再根据这个方程解出该变量，最终得到普通方程。 具体步骤如下： 1. 将x = f(t)和y = g(t)两个参数方程联立起来，得到一个含有x和y的方程组。 2. 将其中一个方程中的变量表示为另一个方程中的变量的函数，然
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化 教学目标 1．理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的． 2．基本掌握消去参数的方法． 3．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力． 教学重点与难点 使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法． 教学过程 师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题：(放投影片) 由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线，交圆周于A、B两点，求AB中点P 的轨迹的参数方程(如图3-5)． 分析割线过点Q(a，b)，故割线PQ方程为： 此斜率k可作为参数．(投影) 解设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a)，则圆心O与AB中点P的
即为所求点P的轨迹的参数方程． 师：你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗？ 生：(无言以对)看不出来． (启发学生猜想，培养参与意识．) 师：你通过题目中点P符合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状． (学生在纸上画，讨论．) 生：点P的轨迹(1)过坐标原点，也就是已知圆的圆心．(2)轨迹不是直线． 师：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化．基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了． 把(3)代入(2)得：x2-ax+y2-by=0．(4) 方程(4)证实了我们的猜想是正确的，具体地说：点P的轨迹是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部)．
2020年高考数学第二轮复习专题：极坐标与参数方程(含答案)
高考数学第二轮复习专题：极坐标与参数方程 一、选择题（题型注释） 二、填空题（题型注释） 三、解答题（题型注释） 1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,?=???? =??x y （t 为参数）.在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴） 中，圆C 的方程为ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为，求PA PB + 2．（本小题满分10分） 在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点为 坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 3．（本题满分10分）曲线1C 的参数方程为?? ?+==α α sin 22cos 2y x （其中α为参数），M 是曲 线1C 上的动点，且M 是线段OP 的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l 的方程为 2)4 sin(=+π ρx ，直线l 与曲线2C 交于A ，B 两点。 （1）求曲线2C 的普通方程； （2）求线段AB 的长。 4．选修4-4：坐标系与参数方程 （Ⅰ）求直线11x t y t =+??=-?（t 为参数）的倾斜角的大小. （Ⅱ）在极坐标系中，已知点4(2,),(2,)3 A B π π，C 是曲线2sin ρθ=上任意一点，求ABC ?的面积的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θ θ=+??=? （θ为参数），以坐标 原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标为 sin cos ρθθ=+，曲线3C 的极坐标方程为6 π θ= . （1）把曲线1C 的参数方程化为极坐标方程；
已知参数方程怎样求普通方程
已知参数方程怎样求普通方程 已知参数方程如何求普通方程？这是许多同学在学习数学时经常遇到 的问题。本文就为大家详细解答这个问题。 首先，我们需要了解什么是参数方程，什么是普通方程。参数方程是 指用参数t表示一条曲线上的点的坐标。比如，对于一个圆的参数方 程是：x = r cos t, y = r sin t。而普通方程则是用x和y表示曲线上 的点的坐标。例如，圆的普通方程是：x^2 + y^2 = r^2。 因此，我们可以看出，参数方程和普通方程是互相转换的，也就是说，如果我们已知参数方程，就可以求出对应的普通方程。 接下来，我们来具体介绍求解的方法。以二次曲线为例，假设现在有 一条抛物线的参数方程为x = t, y = t^2。想要将其转换为普通方程，需要按照以下步骤进行。 步骤一：将y表示成t。对于上述抛物线，可以把y=t^2转化为 t=sqrt(y)，然后将其代入x=t，得到x=sqrt(y)。 步骤二：消去参数t。对于上述抛物线，将t=sqrt(y)代入x=t中得到 x=sqrt(y)，再将t=sqrt(y)代入y=t^2中得到y=y^2，整理后可得到
方程y=x^2。 步骤三：检验结果。将x=sqrt(y)代入y=x^2中得到y=y^2，也就是说，通过普通方程和参数方程求得的结果是一致的。 综上所述，普通方程和参数方程是数学上非常基础的概念，它们可以相互转换，通过转换可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。求解普通方程的方法就是将参数t表示成y或x，然后消去参数t，最后做好检验即可。 希望本文对大家理解普通方程和参数方程的转换方法有所帮助。如果还有其他数学问题需要解答，欢迎随时联系我们。
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化 【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝2tan 2 θy ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标． 【解】 因为直线l 的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1， y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝ 0.因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝2tan 2 θ ①y ＝2tan θ ② ，由y ＝2tan θ，得tan θ ＝y 2，代入①得y 2 ＝2x .解方程组⎩ ⎪⎨⎪⎧ y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为 (2,2)，1 2，－1. (1)曲线⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ， y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上 D ．在直线y ＝x ＋1上
(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12(e t ＋e －t )y ＝12(e t －e －t ) (t 为参数)的普通方程是________． 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2， 消参得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y ＝－2x 上．故选B. (2)由参数方程得e t ＝x ＋y ，e －t ＝x －y ， ∴(x ＋y )(x －y )＝1，即x 2－y 2＝1. 答案：(1)B (2)x 2－y 2＝1 热点二 直线的参数方程的应用 【例2】 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π 3. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． 【解】 (1)曲线C ：(x －1)2 ＋(y －2)2 ＝16，直线l ：⎩⎨⎧ x ＝3＋12t ， y ＝5＋3 2t (t 为参数)． (2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|P A ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.
参数方程与普通方程的互化
参数方程与普通方程的互化 参数方程与普通方程是基本的微积分学中解决曲线问题常用的 两类方程，分别为一类把曲线上某一点叫做参数点来求解方程的参数方程，另一类把曲线上某一点叫做普通点来求解方程的普通方程。参数方程和普通方程都可以用来求解曲线上的某一点，但是它们在求解曲线上点的方法存在明显的区别。 参数方程既可以表示曲线的一般方程式，又可以以自变量作为曲线的参数，将曲线表示为一个参数函数，并以此函数为研究对象，从而实现求解曲线上点的任务。它通过求解参数方程，可以求出曲线上某一点的坐标，从而实现曲线上点的求解。 普通方程是曲线上某一点的函数关系，它以这个点为基础，通过求解方程求出曲线上其他点的坐标，从而实现求解曲线上点的任务。普通方程的求解更加直观，也更容易理解，但与参数方程相比，它的求解成本要高得多。 参数方程和普通方程之间的区别只在于参数点与普通点的定义 不同，一般情况下，参数方程比普通方程求解更为灵活，但它也有一定的局限性，比如说参数方程不能求出曲线上某一点的法向量。为了弥补参数方程的局限性，数学家们引入了参数方程与普通方程的互化求解，这种求解非常有效，在解一些比较复杂的问题时尤其突出。 参数方程与普通方程的互化求解是一种可以兼顾参数方程和普 通方程的求解方法，它从根本上克服了参数方程的局限性，同时也不会降低普通方程的求解精度，能够有效提高求解的速度和准确度。所
以，参数方程与普通方程的互化求解的应用已深入到各种曲线问题的解决中，在特殊情况下也有很大的应用价值。 参数方程与普通方程的互化求解是近几年来微积分学发展中比较热门的话题，目前已经有很多学者对其进行了深入的研究，并取得一定的成果，例如表达参数方程的求解方法、求解准确度的提高、构建普通方程的多解表模型等等。参数方程与普通方程的互化求解技术也已成功应用在生物科学和物理学等领域，形成了一系列模型，解决了不少实际问题。 未来，参数方程与普通方程的互化求解将进一步深化解决曲线问题的技术研究，并推动曲线在实际应用中的发展。随着计算机技术的发展，计算曲线的方法也在不断进步，参数方程与普通方程的互化求解将更好地应用在曲线的求解中，为解决更多的实际问题提供有效的技术方案。 综上所述，参数方程与普通方程的互化求解是一种有效的曲线解法，克服了参数方程的局限性，提高了求解的准确度与效率，也使得曲线在实际应用中发挥更大的作用。
参数方程化普通方程
参数方程化普通方程 参数方程是一种可以用来表示平面上或者空间中曲线的方程形式。在参数方程中，曲线上的任意一点的坐标都可以用参数表示。参数方程的一般形式如下： x=f(t) y=g(t) z=h(t) 其中，x、y、z分别表示曲线上的点的x坐标、y坐标和z坐标， f(t)、g(t)和h(t)是关于参数t的函数。 将参数方程化为普通方程的过程就是将参数t消去，得到x、y和z 之间的关系。下面我们以平面曲线和空间曲线为例，来介绍如何将参数方程化为普通方程。 一、平面曲线： 考虑一个简单的例子，即抛物线的参数方程。抛物线的参数方程为：x=t y=t^2 我们可以通过将y用x来表示，从而消去参数t。将第二个方程中的t替换成第一个方程中的x，得到： y=x^2 这就是抛物线的普通方程。
二、空间曲线： 考虑一个球面上的曲线的参数方程，球面的参数方程为： x = r*sin(θ)*cos(ϕ) y = r*sin(θ)*sin(ϕ) z = r*cos(θ) 其中，r是球的半径，θ和ϕ是球面上的两个参数。 我们可以通过消去参数θ和ϕ，得到球面上的曲线的普通方程。为了简化问题，我们取r=1、此时，将第一个方程中的θ和ϕ消去，可以得到： x^2+y^2+z^2=1 这就是球面上的曲线的普通方程。 从上述两个例子可以看出，将参数方程化为普通方程的关键在于消去参数。消去参数的方法可以根据具体情况而定，常用的方法有代入法和消元法。 总结起来，将参数方程化为普通方程的关键在于消去参数，常用的消去方法有代入法和消元法。通过将参数替换成普通方程中的变量，我们可以得到曲线上点的坐标之间的关系。参数方程和普通方程的转换可以使我们更方便地进行曲线的分析和计算。
三维参数方程与普通方程的互化
三维参数方程与普通方程的互化 三维参数方程与普通方程的互化是数学中的一个重要概念，它们互为 表示同一几何图形的不同方式。三维参数方程由一组关于参数的方程组成，可以将三维空间中的点表示为参数的函数。而普通方程则是直接将点的坐 标表示为未知量的函数。本文将从互化的定义、互化的方法以及互化的应 用等方面进行探讨，以加深对这一概念的理解。 首先是互化的定义。三维参数方程与普通方程之间的互化是指将一个 方程转化为另一个方程的过程。具体而言，对于给定的三维参数方程，可 以利用参数的关系式将其转化为普通方程；反之，对于给定的普通方程， 也可以通过消参求解的方法将其转化为参数方程。这种互化的目的是为了 更好地描述几何图形的性质和特征，并方便进行计算和推导。 接下来是互化的方法。对三维参数方程转化为普通方程，最常用的方 法是通过将参数表示为已知量的函数，并进行消参求解。例如，对于参数 方程： x=f(u,v) y=g(u,v) z=h(u,v) 可以将其中的参数u和v表示为已知变量x、y和z的函数，即求解 u=u(x,y,z)和v=v(x,y,z)。进一步将这两个方程代入参数方程，则可以 得到普通方程。 反过来，将普通方程转化为参数方程，则需要通过参数化的方法进行 求解。对于给定的普通方程：
F(x,y,z)=0 其中F是一个关于x、y和z的函数，可以利用参数化的方法将x、y 和z表示为参数的函数。具体而言，可以取一个参数t，并令x=x(t)， y=y(t)和z=z(t)，然后将这三个方程代入F(x,y,z)=0中，最终可以得到 关于参数t的方程组。进一步求解这个方程组，就可以得到参数方程。 最后是互化的应用。三维参数方程与普通方程之间的互化在几何学、 物理学和工程学中都有广泛的应用。在几何学中，互化可以用来描述和研 究几何图形的性质，如曲线的切线、曲率和长度等。在物理学中，互化可 以用来描述物体在运动中的位置、速度和加速度等。在工程学中，互化可 以用来设计和分析物体的形状和结构，如建筑物、汽车和机械设备等。 综上所述，三维参数方程与普通方程的互化是数学中的一个重要概念，有着广泛的应用。通过互化，可以更好地描述和研究几何图形的性质，并 方便进行计算和推导。因此，深入理解和掌握互化的方法和技巧对于数学 学习和应用都具有重要的意义。
高中数学同步教案 参数方程和普通方程的互化
第2课时 参数方程和普通方程的互化 学习目标：1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．(难点)3.掌握参数方程化为普通方程的方法．(重点) 教材整理 参数方程和普通方程的互化 阅读教材P 24～P 26,完成下列问题． 1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． 2．如果知道变数x,y 中的一个与参数t 的关系,例如x ＝f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与 参数的关系y ＝g(t),那么⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t ) 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致． 1．将参数方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋sin 2 θ y ＝sin 2 θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x －2(2≤x≤3) D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1) [解析] 消去sin 2 θ,得x ＝2＋y, 又0≤sin 2 θ≤1,∴2≤x≤3. [答案] C 2．圆x 2＋(y ＋1)2 ＝2的参数方程为( ) A.⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝2cos θ y ＝1＋2sin θ(θ为参数) B.⎩⎨ ⎧ x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ (θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ (θ为参数) D.⎩⎨ ⎧ x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ (θ为参数) [解析] 由x ＝2cos θ,y ＋1＝2sin θ知参数方程为
⎩⎨ ⎧ x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ (θ为参数)．故选D. [答案] D 普通方程化为参数方程 【例1】 曲线的普通方程为(x －1)2 3＋(y ＋2) 2 5＝1,写出它的参数方程． [思路探究] 联想sin 2 θ＋cos 2 θ＝1可得参数方程． [自主解答] 设x －13＝cos θ,y ＋2 5 ＝sin θ, 则⎩⎨ ⎧ x ＝1＋3cos θ， y ＝－2＋5sin θ (θ为参数),即为所求的参数方程． 1．将圆的普通方程化为参数方程： (1)圆x 2 ＋y 2 ＝r 2 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝rcos θy ＝rsin θ (θ为参数)； (2)圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2 的参数方程为⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝a ＋rcos θy ＝b ＋rsin θ (θ为参数)． 2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f(t),再计算y ＝g(t)),并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形,则一定要通过x ＝f(t),y ＝g(t)调整t 的取值范围,使得在普通方程转化为参数方程的过程中,x,y 的取值范围保持一致． 1．设y ＝tx(t 为参数),则圆x 2 ＋y 2 －4y ＝0的参数方程是________． [解析] 把y ＝tx 代入x 2 ＋y 2 －4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2,y ＝4t 2 1＋t 2, ∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t 1＋t 2， y ＝4t 21＋t 2 (t 为参数)．
第2章 §3 参数方程化成普通方程
§3 参数方程化成普通方程 1.了解参数方程化成普通方程的意义. 2.掌握参数方程化成普通方程的基本方法.(重点) 3.能够利用参数方程化成普通方程解决有关问题.(难点) [基础·初探] 教材整理 参数方程化为普通方程 参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同形式，普通方程用代数式直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于参数间接地反映点的坐标之间的关系.两者之间可以互化，将参数方程化成普通方程的常用方法有： (1)代数法消去参数 ①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程. ②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程. (2)利用三角恒等式消去参数 如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程. 填空： (1)将参数方程⎩⎨⎧ x ＝t ， y ＝2t (t 为参数)化为普通方程是________. (2)将参数方程⎩ ⎨⎧ x ＝cos θ， y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程是________. (3)将参数方程⎩⎨⎧ x ＝2t 2， y ＝t ＋1 (t 为参数)化为普通方程是________. 【解析】 (1)把t ＝x 代入②得y ＝2x 即普通方程为y ＝2x . (2)由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得x 2＋y 2＝1. (3)由②得t ＝y －1，代入①得x ＝2(y －1)2. 【答案】 (1)y ＝2x (2)x 2＋y 2＝1 (3)x ＝2(y －1)2
2020年高考数学(文)二轮专项复习专题13 坐标系与参数方程含答案
专题13 坐标系与参数方程 【知识要点】 1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示． 在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴． 设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定 ρ ≥0． 2．极坐标系与直角坐标系的互化． 直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ； 极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念 设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数 ……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上 任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数． 4．参数方程与普通方程的互化 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等． 把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性． 要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程． (1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)； (2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)； 2 2 2 y x +=ρ).0(tan =/=x x y θ⎩ ⎨⎧==)() (t g y t f x b t a ≤≤⎩ ⎨⎧+=+=ααsin , cos 00t y y t x x ⎩ ⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,
参数方程化普通方程练习题有答案
段. x= 2t 2.（1）参数方程________________________ （t为参数）化 为普通方程为. y= t x = 1 + cos 0 （2）参数方程，（0为参数）化为普通方程为_____________ . y= 1 — sin 0 1 1 解析：（1）把t= ^x代入y= t得y= 2x. x— 1 = cos 0, ⑵参数方程变形为两式平方相加，得（x—1）2+ （y—1）2= 1. y— 1 = —sin 0, 1 答案：（1）y=十（2）（x —1）2+ （y—1）2= 1 1 x= c t 3.曲线C: 2, （t为参数）的形状为 ___________ . y= t2 1 解析：因为t= 2x,代入y= t2,得y= 4x2,即卩x2= ：y,所以曲线C为抛物线. 答案：抛物线 4•将下列参数方程化为普通方程： x= . t+1 （1）, （t为参数）； y= 1 — 2 t x= 5cos 0 ⑵，（0为参数）; y= 4sin 0— 1 [解] ⑴由x= . t + 1 > 1,有t = x—1, 代入y= 1 —2\j t, 得y=—2x + 3(x> 1). x= 5cos 0 ⑵由得 y= 4sin 0— 1 x2(y + 1) 2 ①2+②2得未+宀“ =1. 25 16 迟並 x= 1+^t x— 1 = ^t ⑶由“得“ 1 1 y= 2— 2t y— 2=— 2t 3x+ 3y —6—,3 = 0, 又当t= 0时x= 1, y = 2也适合，故普通方程为.3x+ 3y— 6 —■ 3= 0. _ 2t 2= 4t2 x= 1+T2 x = (1 +12) 2① ⑷由 1 —t2得2_1 +14—2t2,② y= 1 + t2 y= (1 + t2) 2 ①+②得x2+ y2= 1. x = 2+ si n20 1.参数方程 A .直线 参数方程化普通方程 x= cos 0 一 ,（0为参数）表示的曲线是（ y= sin2 0 x = 1 +屮 ⑶，(t为参数); 1 y= 2—2t B •圆 C.线段 D .射线 解析：选 C.x= COS20€ [0 , 1], y = sin20€ [0 , 1],「. x+ y= 1, (x, y€ [0, 1])为线 2t x= 1 + t2 1 — t2' y=TTt2 （t为参 数）. x cos 0=w sin 0=宁 4 ^(x— 1)(XM 1) 5•参数方程（0为参数）化为普通方程 是
2022高考数学二轮复习专题七选修系列第1讲坐标系与参数方程
第1讲 坐标系与参数方程（选修4-4） 1．(2021·江苏卷)在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪ ⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2 (t 为 参数)，曲线C 的参数方程为⎩ ⎨⎧x ＝2s 2 ， y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线 l 的距离的最小值．(导学号 55410137) 解：由⎩⎪⎨⎪ ⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2 消去t ， 得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0，因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2 ，22s )． 则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2 －42s ＋8| 5＝ 2（s －2）2 ＋4 5 ， 所以当s ＝2时，d 有最小值 45＝45 5 . 2．(2021·北京卷改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ. (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两点间的距离． 解：(1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， 所以x －3y －1＝0，表示一条直线． 由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2 ＝2ρcos θ. 所以x 2 ＋y 2 ＝2x ，则(x －1)2 ＋y 2 ＝1， 所以C 2是圆心为(1，0)，半径为1的圆． (2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上， 因此直线C 1过圆C 2的圆心． 所以两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径， 因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2. 3．(2021·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ， y ＝kt (t 为参数)，
2023届高考二轮总复习试题适用于老高考旧教材数学(理) 坐标系与参数方程(选修4—4)(含解析)
考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4) 1.(2020·全国Ⅱ·理22)已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:{x =4cos 2 θ,y =4sin 2θ(θ为参数),C 2:{x =t +1 t ,y =t -1t (t 为参数). (1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程. 2.(2022·陕西榆林三模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数).以坐标原点 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0. (1)求C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程. (2)若P 为C 上任意一点,A 为l 上任意一点,求|PA|的最小值. 3.(2022·安徽怀南一模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =t 2, y =2t (t 为参数),以直角坐标系的 原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为2cos α-sin α=4 ρ. (1)求曲线C 的普通方程; (2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.
4.(2022·陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为ρ=1-sin θ(0≤θ<2π,ρ≥0),M 为该曲线上一动点. (1)当|OM|=1 2 时,求M 的直角坐标; (2)若射线OM 逆时针旋转π 2后与该曲线交于点N ,求△OMN 面积的最大值. 5.(2022·安徽合肥二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{ x =1+√2t , y =1-√2t (t 为参数).以坐标原 点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=a cos2θ (a>0,ρ∈R ). (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)若直线θ=π 4(ρ∈R )与直线l 交于点M ,直线θ=π 6(ρ∈R )与曲线C 交于点A ,B ,且AM ⊥BM ,求实数a 的值. 6.(2022·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2sinα, y =2cosα+1(α为参数), 以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的直角坐标方程为x+√3y-2√3=0. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程; (2)若直线θ=π 6(ρ∈R )与曲线C 交于A ,B 两点,与直线l 交于点M ,求|MA|·|MB|的值.
高考数学二轮复习第1部分知识专题突破专题限时集训11附加题部分(2021年整理)
专题限时集训（十一) 附加题部分 （对应学生用书第107页) (限时：120分钟） 1．(本小题满分10分）（2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中,直线l：错误!（t为参数),与曲线C：错误!（k为参数)交于A,B两点，求线段AB的长． ［解]法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x－3y＝4， 将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x。4分 联立方程组错误!解得错误!或错误! 所以A（4，4），B错误!。 所以AB＝错误!. 10分 法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x。 直线l的参数方程代入抛物线C的方程得错误!2＝4错误!,即4t2－15t－25＝0， 所以t1＋t2＝错误!,t1t2＝－错误!. 所以AB＝｜t1－t2｜＝错误!＝错误!. 10分 2．（本小题满分10分）（2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2,ρ2－22ρcos错误!＝2. (1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程． ［解](1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－22ρcos错误!＝2,2分 所以ρ2－2错误!ρ错误!＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0。 6分 (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1。 8分 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1,即ρsin错误!＝错误!。10分 3．(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设n∈N＊，f (n）＝3n＋7n－2。 (1)求f (1），f （2），f （3）的值;