广东省揭阳市第三中学2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷
广东省揭阳市第三中学2020－2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合A ＝?
??
???≤-0121x x
，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝（ ） A.（－2，2] B. （－2，3） C.（－2，2） D.[－2，2]
6
.
4
.
4
3.4
34.)(,6,3,3
,2π
π
π
π
ππ
D C B A C AB BC A ABC 或则中、在====?
3、等差数列的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）
A.
(1)2n n + B. (1)n n + C.(1)n n - D. (1)2
n n - 4、不等式1－x 2＋x
≥0的解集为（ ）
A.[－2，1]
B.（－2，1]
C.（－∞，－2）∪（1，＋∞）
D.（－∞，－2]∪（1，＋∞）
8
73.8
5.
16
9.8
1.)(,,2,2}{56541*1D C B A ABC a a a ABC a a N n a a n n n 最大角的正弦值为则、、的三边分别为若时满足且当首项、已知数列??=-∈=+
6、若不等式2
(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，则实数m 的
取值范围为（ ）
)
1113
,.()
,1.(]1311,1.[)13
11,1.[--∞+∞-
--
-D C B A
2
2.1
.2
3.2
1.)()sin(,30,3,,70D C B A A C B a c c b a C B A ABC =-==?则若、、所对的边分别为、、角中、在
2051
..1027.1021.2045
.)
(,32,4,}{81011D C B A a a a a a n n n =+==+则中、已知数列
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）
2
22
..2
..)
(
,01
19b a D b ab C b a
a b B ab b a A b
a ><>+<+<<则下列不等式正确的是、若
6
5878961..0.0
.)
(,,,0,}{10S S D S S S C a B d A S S S n a a n n n >=>=>的最大值
为或则且项和是前中、已知等差数列
450
.272
..234.)
(,33S n }{1130211621162n =+++=+++-=-=a a a D a a a C S S B n
a A n n a n n n 的最小值为则下列说法正确的是项和为的前、已知数列
7
,4..2:1:2sin :sin :sin ..)
(,sin 1
tan 1tan 1,2cos cos ,21====+=+??ABC S a D C B A C C B A B c b a A C
B A b B c
C b ABC 则若成等差数列
、、成等比数列、、则且已知中、在
三、填空题 （本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13、y ＝log 2（3x 2
－2x －2）的定义域是________ 14、已知函数9
33
f x x x x =+-＞()()，则函数f x ()的最小值为________. 15、等比数列
{}
n a 的各项均为正数，且965=a a ，则
=+++1032313log log log a a a .
16、在R 上定义新运算(1)a b a b *=+，若对于任意[2,3]x ∈，不等式
()()4m x m x -*+<恒成立，则实数m 的取值范围为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分10分） 设二次函数32
++=bx ax x f )(.
（1）若不等式0f x ＞()的解集为1
3-，()，求a ，b 的值；
（2）若4)(=1f ，0a ＞，0b ＞，求
49
a b
+的最小值． 18.（本小题满分12分）
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
[40,50],[50,60],,[80,90],[90,100]
（Ⅰ）求频率分布图中a 的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率.
19．（本题满分12分）
在等差数列{}n a 中，已知612a =，1836a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）若________，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①1
4n n n b a a +=
，②(1)n
n n b a =-?，③n a n a b n
?=2这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 20.（本小题满分12分）
的体积。
求三棱锥平面求证：为直角梯形，四边形为矩形，四边形平面已知如图BCF E BCE AC AB CD AF AD CD AB DAB ABCD ABEF ABCD AF -⊥=====∠⊥)2(;)1(.4,2,//,90,,0
21.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．
（1）求cos C 的值；
（2）若3c =ABC 的面积15
S ，求a b ，的值． 22.（本小题满分12分）
的取值范围。
求实数成立均有若对于一切的解集；
求不等式已知函数m m x m x f x x f x x x f ,10)3()(,1)2(0)()1(.6)(2--+≥><--=
【试题答案】
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）
三、填空题 （本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. ???
? ??+∞+???? ??-∞-,37
1371, 14. 9 15. 10 16. （－3，2）
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分10分）
解：（1）因为不等式0f x ＞()的解集为1
3-，()， 所以1-和3是方程0f x =()的两个实根，且0a ＜，......................1分
由根与系数的关系，得13313b a
a ?
-+=-???
?-?=??
,,.............................3分 解得12a b =-??
=?．,
....................................................4分
（2）由4)(=1f ，得34a b ++=，即1a b +=，.......................5分 又00a b ，＞＞，所以
()
4949
a b a b a b +=++()
25942139413=?+≥++
=b
a
a b b a a b ........8分 当且仅当149a b b a a b +=???=??,,即25
35a b ?
=????=??
,
时，等号成立．..........................10分
18.（本小题满分12分） 解：
（Ⅰ）因为110)028.02022.00018.0004.0(=?+?+++a ， 所以006.0=a ........3分
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为
4.010)018.0022.0(=?+，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4..............6分
...............................12分
19.（本小题满分12分）
解：（1）,}{d a n 的公差为设数列由题意，11512,
1736,
a d a d +=??+=?..............2分
解得2d =，12
a =....................................................4分
∴2(1)22n a n n =+-?=．............................................5分 （2）选条件①：11
1)1(1)1(224+-=+=+?=
n n n n n n b n ，................7分
1111223
(1)n S n n =+++
??+11111
112231n n ????
??=-+-+
+- ? ? ?
+????
??......9分
1
1
-1+=n ..........................................................11分 1
+=
n n
..............................................................12分 选条件②：∵2n a n =，n a b n
n n n 2)1()1(-=-=，...................6分
∴2468(1)2n n S n =-+-+-+-?，.............................7分
当n 为偶数时，
(24)(68)[2(1)2]n S n n =-++-++
+--+22
n
n =
?=；..............9分
当n 为奇数时，1n -为偶数，
(1)21n S n n n =--=--．............................................11分
∴, 1, . n n n S n n ?=?--?为偶数，
为奇数............................12分
选条件③：∵2n a n =，n a
n a b n ?=2，∴22224n n
n b n n =?=?，............6分 ∴123
24446424n n S n =?+?+?+
+?，①
234142444642(1)424n n n S n n +=?+?+?+
+-?+?，②...............7分
由①－②得，
1231
32424242424n n n S n +-=?+?+?+
+?-?......................8分
()18
142414n n n +-=-?-，.........................................9分 ()1814243
n n n +-=
-?-，.........................................10分
∴()1
8214493n n n n S +=
-+?........................................11分
1
49
2698+?-+=
n n ．........................................... 12分 20.（本小题满分12分）
分
分
的高是三棱锥即：平面平面平面、分平面平面知）由（分平面平面、分是直角三角形分分
是正方形四边形连接的中点如图，取分平面平面平面分为矩形四边形证明：解12 (3)
8
4221231319.....................................,,7...........................,:)1(26........................................,5.................................44.........844,844903..........................................2,90,//22
1
,
,2.........................................1.............................//)1(:22222222200=????=?==∴-⊥∴⊥∴?=?⊥∴?⊥⊥⊥∴?=?⊥∴?∴=+∴==+=+==+=+=∴=∠∴∴====∠===
∴⊥∴?⊥∴⊥∴?--BEF BEF C BCF E S CM V V BEF C CM BEF
CM ABEF CM ABEF AB AF A AB AF CM AF ABCD CM ABCD AF AB
CM BCE AC BCE BE BC B BE BC BC AC ABC AB BC AC AB BM CM BC DC AD AC ADC ADCM AD DC AM MAD DC AM DC AB AM CM M AB BE AC ABCD AC ABCD
BE ABCD AF BE AF ABEF
21.（本小题满分12分）
解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-，......................1分 由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，....................2分 化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒...............................3分 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin sin()A B C =+﹒.........................4分 又∵A ∈（0，π），∵sin 0A >，∴1
cos 4
C =．................5分 （2）∵C ∈（0，π）， 1cos 4C =
，∴sin C ==．......6分
∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒①........................7分
∵c =，由余弦定理得22
132
a b ab =+-，....................8分
∴224a b +=，②..................................9分
由①②，得42440a a -+=，从而22a =
，a =，............11分
所以b =
，∴a b ==.............................12分 22.（本小题满分12分）
分的取值范围为综上分
解得，即：令显然时即当
分
恒成立显然上单调递增在时即当
且图象开口向上的对称轴为函数设分恒成立时当即分恒成立时当：法分的取值范围为实数分等号成立时当且仅当又分
成立均有对一切分
分恒成立时当：）法（分），的解集为（不等式分
解得分解12...........................].........0,(,11..................0-2:04)(04
4,0)(44-4)24)(4()24()24()(:2,12
4
)2(9......................................01)1(),1()(:2,12
4
)1(,2
4
)(),1(,4)4()(7..................................04)4(,1:6..........................10)3(6,16
)(212....................................].........0,(11..........................................,20
21221
111448 (1)
4417.......................).........1(446..........................10)3(6,16
)(125................................32-0)(4...........................32:2...................0)2)(3(060)()1(:2min 22min 22222
22222-∞∴≤<∴≤+∴≥--≥-=
++++-+=+=->>+≥=+∞-≤≤++=+∞∈+++-=≥+++->--+≥-->∴--=-∞∴==-≥--+-=-+--+-≤>∴-≥+-∴--+≥-->∴--=<∴<<-<+-∴<--∴ m x g m m m m m m m g x g m m g x g m m m x x g x m x m x x g m x m x x m x m x x x x x x f m x x x x x x x x x m x x m x x m x m x x x x x x f x f x x x x x x f