完全弹性 碰撞的速度公式推导过程
完全弹性碰撞的速度公式推导过程
完全弹性碰撞的速度公式推导过程完全弹性碰撞的速度公式是怎么推导的无从得知，书上没讲，很多资料也没有讲，我想多半是为了不要影响思维的连贯性，所以将之省略了。我开始以为不复杂，就是上标下标看着烦人，所以就打算试着推导一下。谁知这个推导并没有想象中那么简单。第一次因为上下标搞混了，推导了半天没结果就放一边了。第二次仔细地推导，花了更多的时间，结果还是一塌糊涂。我终于明白书上为什么没有把这个推导过程放在书里了，的确是太复杂，学习的时候多半会干扰对碰撞本身的关注。但是这么放弃也有点不甘心，就又花了些时间，第三次准备将其推导出来。闲人可以看看，我也是放假闲着没事推导的，实在是很复杂很恐怖的推导。我自己都不想再看，因为象那样用常规的方式根本就推导不出来! 动量守恒定律: MpVp'+MqVq'=MpVp+MqVq(1-1) 动能守恒: (1/2)MpVp'2+(1/2)MqVq'2=(1/2)MpVp2+(1/2)MqVq2(1-2) 前两次推导吃了亏，所以第三次推导前仔细看了看书上结果公式的特点。有这样几个地方需要注意: 1、撞击后有两个速度，我们需要求的结果分别是这两个速度; 2、任一撞后的速度公式中，不能有另一个待求的速度，也就是Vp'的速度公式中，不能出现Vq'，反之亦然; 3、这两组等式看上去比较对称，要设法利用这个关系; 4、由于上下标众多，推演起来很费眼，要准备使用复合式进行合并，以简化推演过程，最后再将其还原出来，形成最终的分离式，并整理。(具体见后面的备注，确实需要备注来记住这个过程，免得再走弯路) …. 至此，跟书上给出的公式差距越来越大，推导已经变得无比复杂了。再继续推导下去，除了浪费时间，就是浪费精力，只有停下来了。第三次推导仍以失败结束。之前也在网上搜索了很多的信息，大多数都说联立求解，就象我刚才做的那样，现在网上的信息泛滥与良莠不齐的确误导了不少像我这样的人。一时不知如何是好，休息了一阵，觉得还是只有在网上找找资料，要是翻书的话更是无从下手。在搜索条件的设置上，我略过了包含百度、搜狗、中学、高中之类的信息，因为这类回答通常都很简单，且充斥着随意和缺乏管理的编排。这样一来，信息比较集中和丰富了，然后把快照一页一页的翻看着。大概过了十多分钟，有一篇PPT 格式的文章出现了，于是我把它取了下来。打开一看，心里有点高兴，这是台湾老师做的课件。台湾人写的东西比较人性化，很多细节也会一五一十的说出来，而且是用很口语化的方式说出来，就像在跟人聊天一样。比如台湾有个程序员李维，他写的书就很平淡，甚至可以说是大白话，但是就目的而言，是完全没有问题的，而且省去了几倍另外查找资料、自己再写程序尝试的时间。另一个擅长C++剖析的侯捷，写的技术书或资料就像散文一般华丽，在众多台湾的写家里面也是独树一帜的。完全不像我们平时看的一些资料平淡无奇，藏着掖着，掐头去尾的，该省的不省，不该省的全省了。尽管这是个PPT 的课件，没有具体讲述推导的过程，但它还是给了一个推导的线索。最后才明白要用一个很怪异的方式，把碰撞速度公式极为简单地推导出来。为了省去翻页的麻烦，我再把两个守恒公式写在下面: 动量守恒定律: MpVp'+MqVq'=MpVp+MqVq(1-1) 动能守恒: 对两个方程做同样的整理，把M 一样的放在一边，如下: Mp(Vp-Vp')=Mq(Vq'-Vq)(1-3) Mp(Vp2-Vp'2)=Mq(Vq'2-Vq2)(1-4) 这两个整理后的方程看上去很工整，形式差别不大，只是动能方程中的四个速度多了个平方，其它都一样。正是这个成了巧妙推导的基础。因为两个方程左右两边相等，所以分别在两边相除的话，等式还是成立的。在(1-4)两边分别除以(1-3)的两边，就能分别约去Mp 和Mq，形成一个新的方程，见下: 对这个新的方程，该怎样处理呢?PPT 课件没有给个说法，而是直接给出了Vp+Vp'=Vq'+Vq(1-6) 的结论，并用这个结论推导速度公式，尽管结论跟书上是一致的，但刚开始我还是没有搞明白这是怎么一回事。想了一阵才顿悟: 因为: a2-b2=(a+b)(a-b) 因此，(1-5)式可以写成: 两边约去相减的那个因式，这时Vp+Vp'=Vq'+Vq，也就是(1-6)式就成立了。将(1-6)式进行整理，分别建立Vp'和Vq'的等式，如下: Vp'=Vq'+Vq-Vp(1-7) Vq'=Vp+Vp'-Vq(1-8) 现在将(1-7)式代入(1-1)中，有Mp(Vq'+Vq-Vp)+MqVq'=MpVp+MqVq
-MpVq'+MpVq-MpVp+MqVq'=MpVp+MqVq -(Mp+Mq)Vq'=MpVp+MqVq-MpVq+MpVp -(Mp+Mq)Vq'=2MpVp+(Mq-Mp)Vq 至此，球的速度公式就推导出来了，那么拍子的速度公式也可如法炮制出来。MpVp-MpVp'=Mq(Vp+Vp'-Vq)-MqVq -(Mp+Mq)Vp'=(Mp-Mq)Vp+2MqVq 这个过程中，最特别的就是Vp+Vp'=Vq'+Vq，即(1-6)的出现。这个式子的出现比较突兀，没有哪个资料详细说明它是怎么出来的，包括这个PPT 课件，但是细想一下，它就是要知道a2-b2=(a+b)(a-b)这个等式就OK 了，而这对毕业十几年多年没用过我来说，还真的是完全忘记了。另外还有几个些地方值得探讨的。第一，动能方程除以动量方程是第一步，这一步也是对方程等式的进一步理解，因为这样的变换整理方式并不常用; 第二，式(1-6)的出现更不常见，显得比较突兀，也比较诡异，也是我们最不容易想到的(对学生来说应该还是很熟悉的); 第三，式(1-7)和(1-8)一定要代入(1-1)中，也就是一定要代入动量方程中去，而不要代入动能方程，避免开平方的推导。但这也说明这个推导不那么厚道，还得指定一种方式; 不管怎样，第二个探讨的问题是最关键的。动能方程除以动量方程倒是想到了，但没有第二个问题的解决，也无法得出最终的结论。总之，在代数的变换整理过程中，越是有形的东西(比如对称、相似等)越特别，也意味着解决的方式越是奇怪，当然也可能陷阱越深。
完全弹性碰撞后的速度公式
如何巧记弹性碰撞后的速度公式 一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式 问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？ 图1 设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得： m1v1=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得： m1v1= （m1+m2） v共 解出v共=m1v1 /（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前 的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式 解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。
另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很 容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式 问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得： m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦ 要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度v1和v2发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰静 止的m2球，再同时加上m2球以速度碰静止的m1球。因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式，可得两球碰撞后各自的速度+； +，即可得到上面的⑥⑦式。 另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度 v1- v2等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式，再结合①式可解得⑥⑦式。
七年级数学下册教案_平方差公式
1．5平方差公式 1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解；(重点) 2．掌握平方差公式的应用．(重点) 一、情境导入 1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则． 学生积极举手回答． 多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式． 二、合作探究 探究点：平方差公式 【类型一】直接运用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算： (1)(3x －5)(3x ＋5)； (2)(－2a －b )(b －2a )； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)． 解析：直接利用平方差公式进行计算即可． 解：(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25； (2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2； (3)(－7m ＋8n )(－8n －7m )＝(－7m )2－(8n )2＝49m 2－64n 2； (4)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16. 方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 【类型二】 利用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式计算： (1)2013×1923 ； (2)13.2×12.8. 解析：(1)把2013×1923写成(20＋13)×(20－13 )，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算． 解：(1)2013×1923＝(20＋13)×(20－13)＝202－(13)2＝400－19＝39989 ； (2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96. 方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．
高中物理公式推导(完全弹性碰撞后速度公式的推导)
高中物理公式推导一 完全弹性碰撞碰后速度的推导 1、简单说明： 1m 、2m 为发生碰撞的两个物体的质量，1v 、2v 为碰撞前1m 、2m 的速度，'1v 、' 2v 为碰撞后 1m 、2m 的速度。 2、推导过程： 第一，由动量守恒定理，得 ' 2'1 122112v m v m v m v m +=+ （1） 第二，由机械能守恒定律，得 2'22'112222112 2 1212121v m v m v m v m +=+（2） 令 12/m m k =，（1）、（2）两式同时除以1m ，得 ' ' 1 212kv v kv v +=+ （3） 2 '2 '1 2 2212 kv v kv v +=+ （4） （3）、（4）两式变形，得
( ) 2 ' '1 1--2v v k v v = （5） ()()()( ) 2 ' 2' '1 1 '1 1 22 -v v v v k v v v v -+=+ （6） 将（5）式代入（6）式，得 2' ' 1 12v v v v +=+ （7） 联立（5）、（7）两式，将' 1v 、 ' 2v 移到方程的左侧，则有 21' '1 2kv v kv v +=+ （8） 21' '1 --2v v v v += （9） 由（8）-（9），得 ()()21' 1-212 v k v v k +=+ 21' 11-122v k k v k v +++= 21212112' 1/1 -/1/22v m m m m v m m v +++= 2121 21121' -22v m m m m v m m m v +++= （10） 或者 ()2 12 1211' -22m m v m m v m v ++= （10）
平方差公式(一)学案
平方差公式（一）导学案 一、学习目标 1．经历探索平方差公式的过程． 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算． 3．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 4．培养学生观察、归纳、概括的能力． 二、学习重点：平方差公式的推导和应用． 学习难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式． 三、学法指导 （一）探究平方差公式 自主探究： 计算下列多项式的积． （1）（x+1）（x-1）= （2）（m+2）（m-2）= （3）（2x+1）（2x-1）= （4）（x+5y）（x-5y）= 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？ 同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式． 用字母表示： 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用． 在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算 （二）平方差公式的应用 例1：运用平方差公式计算： （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a）（2a-b） （3）（-x+2y）（-x-2y） 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b． 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2 - 22 （a + b）（a - b）= a2 - b2 同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化： （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）． 如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．解：（1）（3x+2）（3x - 2）= （2）（b+2a）（2a - b）= （3）（-x + 2y）（- x- 2y）= 例2：计算： （1）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） 解：（1）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） 应注意以下几点：
[完全]弹性碰撞后的速度公式资料
[完全]弹性碰撞后的 速度公式
如何巧记弹性碰撞后的速度公式 一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式 问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？ 图1 设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得： m 1v 1 =m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得： m 1v 1 = （m1+m2）v共 解出v共=m1v1/（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大 一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住， ⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。
另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相 对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤ 式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式 问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得： m 1v 1 +m2v2=m1v1＇+m2v2＇① ② 由 ①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦ 要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度v1和v2发生的对心弹性碰撞，可等 效成m1以速度v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度碰静止的m1球。 因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式，可得两球碰撞后各自的速度 +；+，即可得到上面的⑥⑦式。
(完全)弹性碰撞后的速度公式
如何巧记弹性碰撞后得速度公式 一、“一动碰一静”得弹性碰撞公式 问题:如图１所示,在光滑水平面上,质量为ｍ１得小球,以速度v1与原来静止得质量为m ２得小球发生对心弹性碰撞,试求碰撞后它们各自得速度？ 图１ 设碰撞后它们得速度分别为ｖ1'与v2＇,在弹性碰撞过程中,分别根据动量守恒定律、机械能(动能)守恒定律得: m1ｖ1=ｍ1v1'+ｍ2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式得右边只有分子不同,但记忆起来容易混。为此可做如下分析:当两球碰撞至球心相距最近时,两球达到瞬时得共同速度ｖ共,由动量守恒定律得: m1v1= (ｍ1+m2) v共 解出ｖ共=m1v1 /(m1＋m2)。而两球从球心相距最近到分开过程中,球ｍ２继续受到向前得弹力作用，因此速度会更大,根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即,而这恰好就是⑦式,因此⑦式就可上述推理轻松记住,⑥式也就不难写出了。如果⑥式得分子容易写成ｍ2-ｍ１,则可根据质量m１得乒乓球以速度ｖ1去碰原来静止得铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此ｖ１'应当就是负得(ｖ1＇<０）,故分子写成m1－ｍ2才行。在“验证动量守恒定律”得实验中，要求入射球得质量ｍ１大于被碰球得质量m2,也可由⑥式解释。因为只有m1＞ｍ２，才有v１'＞０。否则,若v1＇＜0,即入射球m1返回，由于摩擦,入射球ｍ1再回来时速度已经变小了，不再就是原来得v1＇了。 另外，若将上面得⑤式变形可得:,即碰撞前两球相互靠近得相对速度v1-0等于碰撞后两球相互分开得相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”得弹性碰撞公式 问题:如图2所示,在光滑水平面上，质量为ｍ1、m2得两球发生对心弹性碰撞,碰撞前速度分别为v1与v２,求两球碰撞后各自得速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1'与v2',在弹性碰撞过程中,分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得: m１v1+m２v2＝m1v1'+m2ｖ2'① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦
平方差公式
14、2、1平方差公式 课标要求 能推导平方差公式：（a+b）(a-b) =a2-b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。 学习目标 1 基础知识目标：理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算。 2 能力训练目标：进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学类比和建模的思想。 3个性品质目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验，树立自信心，学会在与同学的交流中获益。 教学过程 （一）、善激（创设情境，引入目标） 李大爷有一块菜地，如图正方形中的阴影部分。为了创建和谐社区，欲在此地建一个公园，以供居民休闲，李大爷非常高兴，欣然应允。办事处决定另批给李大爷一块长方形菜地，它的一边比原正方形边长多y米，另一边比原正方形边长少y米。你能帮李大爷判断一下，李大爷现在的这块长方形菜地与原来菜地的面积是否发生变化了?你会用几何方法解释吗？ 学生板书两块地面积的计算方法，教师提出问题：这两块地的面积相等吗？你会不会比较？ （二）：善习（回忆旧知引向新知）
习旧知 （1）（3x+2）（x－2）；（2）（1+a）（1－3a）； （3）（x+5y）（x－5y）；（4）（y+z）（y－z）． （三）：善学（依标自学，寻疑思疑） 预习课本P107页内容，根据多项式相乘完成下列问题。 （1）（x+2）（x－2） （2）（1+3a）（1－3a） （3）（x+5y）（x－5y） （4）（y+3z）（y－3z） 做完之后，观察以上算式及运算结果： 1、你能发现什么规律？再举两个例子验证你的发现． 2、那么如何用字母来表现刚才同学们所归纳出来的特殊多项式相乘的规律呢？如何用语言来描述？ （四）：（善研）小组合作，问疑释疑 针对步骤三中的练习和问题，小组成员间互相对查答案，对于不同答案，要说明自己的理由。 【学生回答】 用语言描述就是：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．（五）善导（教师主导，点拨升华） 表扬学生的探索精神，引出课题──平方差，并说明这是一个平方差公式和公式中的字母含义．可以用（a+b）（a－b）表示左边，那么右边就可以表示成a2－b2了，即（a+b）（a－b）=a2－b2． 【教师讲述】 平方差公式的运用，关键要认识到这里的字母a和b不单指数字还可以是单项式或者多项式。正确寻找公式中的a和b，一切就变得容易了．现在大家来看看下面几个例子，从中得到启发． 习新一：运用平方差公式计算： （1）（2x+3）（2x－3）；
碰撞速度公式
由于弹性碰撞后的速度公式不好推导，该公式又比较繁杂不好记。因此导致这类考题的得分率一直较低。下面探讨一下该公式的巧记方法。 一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式 问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？ 图1 设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得： m1v1=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得： m1v1= （m1+m2）v共 解出v共=m1v1 /（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前 的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式
解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。 另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式 问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得： m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦ 要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度v1和v2发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度碰静止的m1球。因此由前面“一动碰一静”的弹性
高中物理公式推导完全弹性碰撞后速度公式的推导
高中物理公式推导完全弹性碰撞后速度公式的 推导 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
高中物理公式推导一 完全弹性碰撞碰后速度的推导 1、简单说明： 1m 、2m 为发生碰撞的两个物体的质量，1v 、2v 为碰撞前 1m 、2m 的速度，'1v 、'2v 为碰撞后1m 、2m 的速度。 2、推导过程： 第一，由动量守恒定理，得 ' 2'1122112v m v m v m v m +=+ （1） 第二，由机械能守恒定律，得 2'22'1122221122 1212121v m v m v m v m +=+（2） 令12/m m k =，（1）、（2）两式同时除以1m ，得 '' 1212kv v kv v +=+ （3） 2'2'122212 kv v kv v +=+ （4） （3）、（4）两式变形，得 ()2 ''11--2v v k v v = （5）
()()()()2'2''1 1'1122-v v v v k v v v v -+=+ （6） 将（5）式代入（6）式，得 2''112v v v v +=+ （7） 联立（5）、（7）两式，将' 1v 、' 2v 移到方程的左侧，则有 21''12kv v kv v +=+ （8） 21' '1--2v v v v += （9） 由（8）-（9），得 212121121' -22v m m m m v m m m v +++= （10） 或者 ()2121211' -22m m v m m v m v ++= （10） 由（8）+k*（9），得 221212121' 21v m m m v m m m m v +++-= （11） 或者 ()2122121'21m m v m v m m v ++-= （11） 3、意外收获：
平方差公式证明推导过程及运用详解(数学简便计算方法)
数学简便计算方法之平方差公式证明推导及运用详解 平方差公式是小学奥数计算中的常用公式。 通常写为： a2-b2=(a+b)x(a-b) 它的几何方法推导过程是这样的： 如下图所示，四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，边长分别为a和b，求阴影部分面积。 显然，阴影部分面积有2种求法。 第一种方法 阴影面积=大正方形面积-小正方形面积 即，阴影面积=a2-b2 （G老师讲奥数） 第二种方法 作两条辅助线，延长FG、EG，分别交线段AB、BC与点H、J。 阴影面积=四边形AEGH面积+四边形HBJG面积+四边形GFCJ面积 跟G老师一起分别计算下上述三个四边形的边长吧。
分别计算出三个四边形的边长后， 我们发现四边形GFCJ=四边形AEGH面积。 接下来，我们将四边形GFCJ旋转后挪到四边形HBJG右侧。 即如下图所示，将③移到④后， 纯手绘，就认为和上边的图一样吧 此刻， 阴影部分的面积=①+②+④组成的大矩形面积。 阴影部分面积=(a-b)x[b+(a-b)+b]=(a-b)x(a+b)。 因为第一种和第二种方法都是计算阴影部分面积， 所以它们的结果是相等的。 a2-b2=(a+b)x(a-b) 当然，代数方法也可以证明。 令A=(a+b)， (a+b)x(a-b) =Ax(a-b) =Axa-Axb (乘法分配律) =(a+b)xa-(a+b)xb（代入A=a+b） =a2+ab-ab-b2 =a2-b2 【例题】计算：48x52+37x43 分析：48和52刚好都与50相差2，37和43刚好与40相差3。 48x52+37x43 =(50-2)x(50+2)+(40-3)x(40+3) =502-22+402-32 =2500-4+1600-9 =4087 这类题目往往不会明确告知你需要用什么技巧简化计算，关键在于自己要熟练掌握，牢记于心，灵活运用。（更多知识总结，在“G老师讲奥数”）
完全弹性碰撞
§3－7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 一、碰撞（Collision ） 1．基本概念： 碰撞，一般是指两个或两个以上物体在运动中相互靠近，或发生接触时，在相对较短的时间内发生强烈相互作用的过程。 碰撞会使两个物体或其中的一个物体的运动状态发生明显的变化。 碰撞过程一般都非常复杂，难于对过程进行仔细 分析。但由于我们通常只需要了解物体在碰撞前后运动状态的变化，而对发生碰撞的物体系来说，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用动量、角动量以及能量守恒定律对有关问题求解。 2．特点： 1）碰撞时间极短 2）碰撞力很大，外力可以忽略不计，系统动量守恒 3）速度要发生有限的改变，位移在碰撞前后可以忽略不计 3．碰撞过程的分析： 讨论两个球的碰撞过程。碰撞过程可分为两个过程。开始碰撞时，两球相互挤压，发生形变，由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发生变化，直到两球的速度变得相等为止。这时形变得到最大。这是碰撞的第一阶段，称为压缩阶段。此后，由于形变仍然存在，弹性恢复力继续作用，使两球速度改变而有相互脱离接触的趋势，两球压缩逐渐减小，直到两球脱离接触时为止。这是碰撞的第二阶段，称为恢复阶段。整个碰撞过程到此结束。 4．分类：根据碰撞过程能量是否守恒 1）完全弹性碰撞：碰撞前后系统动能守恒（能完全恢复原状）； 2）非弹性碰撞：碰撞前后系统动能不守恒（部分恢复原状）； 3）完全非弹性碰撞：碰撞后系统以相同的速度运动（完全不能恢复原状）。 二、完全弹性碰撞（Perfect Elastic Collision ） 在碰撞后，两物体的动能之和（即总动能）完全没有损失，这种碰撞叫做完全弹性碰撞。 解题要点：动量、动能守恒。 问题：两球m 1，m 2对心碰撞，碰撞前 速度分别为2010,v v ，碰撞后速度变为21,v v 动量守恒 2021012211v m v m v m v m （1） 动能守恒 2 20221012222112 1212121v m v m v m v m （2） 由（1） 22021011v v m v v m （3） 由（2） 2 2 2202210211v v m v v m （4） 由(4)/(3) 202101v v v v
平方差公式教案(公开课)
《平方差公式》教学设计 教学目标： 1、经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3、会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 教学重点： 1、学会平方差公式的推导和应用 2、理解和掌握平方差公式，并能灵活运用公式进行简单运算。 教学难点：能灵活运用公式进行运算. 教学课时：一课时 教学过程 复习回顾：复习多项式乘法法则 提问：（ a+b）（ m+n） =_____ 举例：计算（ x ＋ 2)( x ＋5） 创设情境，导入新课 问题：王剑同学去商店买了单价是9.8 元／千克的糖块 10.2 千克，售货员刚拿 起计 算器，王剑就说出应付 99.96 元，结果与售货员计算出的结果相同。售货员惊讶地 问：“这 位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了数学课上刚学过的一个公 式。”你知 道王剑同学用的是什么数学公式 吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了.探索新知，尝试发现 一、拼图游戏 45 45+15 45-15 452－152 151 1、边长为 45 的正方形去掉一个小正方形（边长为15）后剩下的面积 =45 2－ 152=2025 － 225=1800 2、用割补的方法得右边长方形，其面积=（ 45+15）（ 45－ 15） =60 ×30=1800 由此得：（ 45+15）（45－ 15） = 452－152
二、计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （ 1）（x+1 ）（x-1 ） = _____________； 1
（ 2）（2+ m）（ 2- m） =____________ ； （ 3）（2x+3 ）（2x-3 ） =____________ ． 依照以上三道题的计算回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？ ②它们的结果有什么特征？ ③能不能用字母表示你的发现？ 教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这 两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：（a+b）（a- b）=a2- b2． 三、总结归纳，发现规律 你能用文字语言表示所发现的规律吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （a b)(a b) a 2b2 四、剖析公式，发现本质 在平方差公式中，其结构特征为：（a+b）（a- b）=a2- b2 (1)公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项 相等、第二项符号相反 [互为相反数 (式 )]; (2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内第一项的平方减去第二项的平方. (3)公式中的 a 和 b 可以代表数，也可以是代数 式．五、巩固运用，内化新知 例1 利用平方差公式计算： （1）(5+6x)(5 - 6x) ； (2) (x+2y)(2y - x);(3) ( - a+2b)( - a- 2b). 解: (1)(5+6x)(5 - 6x) (2) (x+2y)(2y - x)(3)( - a+2b)( - a- 2b) =5 2－（6x）2 =(2y+x)(2y －x) =(-a) 2－ (2b) 2 =25－36x 2 =(2y) 2－x2 =a 2－4b2 =4y 2－x2 注意：当“第一 (二 )数”是一分数或是数与字母的乘积时 , 要用括号把这个数整 个括起来，最后的结果又要去掉括号。 情系中考 1、【上海】（ a-2b）（ a+2b） =____________ 2、【宁夏】（ x-y ）（ -y-x ）的结果是（） A.-x2+y2 B.-x2-y2 C.x2-y2 D.x2+y2 例 2 利用平方差公式计算： 102× 98 解: 102× 98 =(100 +2) (100×-2 ) =1002 - 22 2
完全弹性 碰撞的速度公式推导过程
完全弹性碰撞的速度公式推导过程 完全弹性碰撞的速度公式推导过程完全弹性碰撞的速度公式是怎么推导的无从得知，书上没讲，很多资料也没有讲，我想多半是为了不要影响思维的连贯性，所以将之省略了。我开始以为不复杂，就是上标下标看着烦人，所以就打算试着推导一下。谁知这个推导并没有想象中那么简单。第一次因为上下标搞混了，推导了半天没结果就放一边了。第二次仔细地推导，花了更多的时间，结果还是一塌糊涂。我终于明白书上为什么没有把这个推导过程放在书里了，的确是太复杂，学习的时候多半会干扰对碰撞本身的关注。但是这么放弃也有点不甘心，就又花了些时间，第三次准备将其推导出来。闲人可以看看，我也是放假闲着没事推导的，实在是很复杂很恐怖的推导。我自己都不想再看，因为象那样用常规的方式根本就推导不出来! 动量守恒定律: MpVp'+MqVq'=MpVp+MqVq(1-1) 动能守恒: (1/2)MpVp'2+(1/2)MqVq'2=(1/2)MpVp2+(1/2)MqVq2(1-2) 前两次推导吃了亏，所以第三次推导前仔细看了看书上结果公式的特点。有这样几个地方需要注意: 1、撞击后有两个速度，我们需要求的结果分别是这两个速度; 2、任一撞后的速度公式中，不能有另一个待求的速度，也就是Vp'的速度公式中，不能出现Vq'，反之亦然; 3、这两组等式看上去比较对称，要设法利用这个关系; 4、由于上下标众多，推演起来很费眼，要准备使用复合式进行合并，以简化推演过程，最后再将其还原出来，形成最终的分离式，并整理。(具体见后面的备注，确实需要备注来记住这个过程，免得再走弯路) …. 至此，跟书上给出的公式差距越来越大，推导已经变得无比复杂了。再继续推导下去，除了浪费时间，就是浪费精力，只有停下来了。第三次推导仍以失败结束。之前也在网上搜索了很多的信息，大多数都说联立求解，就象我刚才做的那样，现在网上的信息泛滥与良莠不齐的确误导了不少像我这样的人。一时不知如何是好，休息了一阵，觉得还是只有在网上找找资料，要是翻书的话更是无从下手。在搜索条件的设置上，我略过了包含百度、搜狗、中学、高中之类的信息，因为这类回答通常都很简单，且充斥着随意和缺乏管理的编排。这样一来，信息比较集中和丰富了，然后把快照一页一页的翻看着。大概过了十多分钟，有一篇PPT 格式的文章出现了，于是我把它取了下来。打开一看，心里有点高兴，这是台湾老师做的课件。台湾人写的东西比较人性化，很多细节也会一五一十的说出来，而且是用很口语化的方式说出来，就像在跟人聊天一样。比如台湾有个程序员李维，他写的书就很平淡，甚至可以说是大白话，但是就目的而言，是完全没有问题的，而且省去了几倍另外查找资料、自己再写程序尝试的时间。另一个擅长C++剖析的侯捷，写的技术书或资料就像散文一般华丽，在众多台湾的写家里面也是独树一帜的。完全不像我们平时看的一些资料平淡无奇，藏着掖着，掐头去尾的，该省的不省，不该省的全省了。尽管这是个PPT 的课件，没有具体讲述推导的过程，但它还是给了一个推导的线索。最后才明白要用一个很怪异的方式，把碰撞速度公式极为简单地推导出来。为了省去翻页的麻烦，我再把两个守恒公式写在下面: 动量守恒定律: MpVp'+MqVq'=MpVp+MqVq(1-1) 动能守恒: 对两个方程做同样的整理，把M 一样的放在一边，如下: Mp(Vp-Vp')=Mq(Vq'-Vq)(1-3) Mp(Vp2-Vp'2)=Mq(Vq'2-Vq2)(1-4) 这两个整理后的方程看上去很工整，形式差别不大，只是动能方程中的四个速度多了个平方，其它都一样。正是这个成了巧妙推导的基础。因为两个方程左右两边相等，所以分别在两边相除的话，等式还是成立的。在(1-4)两边分别除以(1-3)的两边，就能分别约去Mp 和Mq，形成一个新的方程，见下: 对这个新的方程，该怎样处理呢?PPT 课件没有给个说法，而是直接给出了Vp+Vp'=Vq'+Vq(1-6) 的结论，并用这个结论推导速度公式，尽管结论跟书上是一致的，但刚开始我还是没有搞明白这是怎么一回事。想了一阵才顿悟: 因为: a2-b2=(a+b)(a-b) 因此，(1-5)式可以写成: 两边约去相减的那个因式，这时Vp+Vp'=Vq'+Vq，也就是(1-6)式就成立了。将(1-6)式进行整理，分别建立Vp'和Vq'的等式，如下: Vp'=Vq'+Vq-Vp(1-7) Vq'=Vp+Vp'-Vq(1-8) 现在将(1-7)式代入(1-1)中，有Mp(Vq'+Vq-Vp)+MqVq'=MpVp+MqVq
平方差公式讲义
平方差公式专题 一、基本知识 1、公式推导 计算：()()a b a b +- 2、平方差公式及其特征 （1）符号描述：()()22a b a b a b +-=- （2）结构特征：左边是两个数的和与差的积，即含有相同项和互为相反数的项，右边为这两个数的平方差。 （3）文字描述：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差（符号相同项的 例1 计算：()()3232x x +- 变式：计算 ()()()()()12215y y y y +---+ ()()()222x y x y -+-- ()()()2232772m m --- 例2 计算：1001999? 变式：计算2 100991011 ?+ 2、公式的逆用 例3 22 5522x x ????+-- ? ????? 3、公式的推广 例4 计算：()()a b c a b c +++- 变式：计算 ()()x y c x y c --+-+- 4、公式的连续运用 例5 计算： 2111339224x x x ??????----- ??????????? 变式：计算 222221111111111234910??????????----- ????? ????????? ???? K
三、练习 1、下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是 () A.()()2323a b a b --+ B.()()3443a b b a -+-- C.()()a b b a -- D.()()a b c a b c +---+ 2、用平方差公式计算()()() 2111 x x x -++结果正确的是 () A.4 1x - B.4 1x + C.()4 1x - D.()4 1x + 3、计算 ()1()()222323x y x y +- ()2()()66x x +- ()()()32323m n m n --- ()114111010???? + - ???? ??? ()5497503? () 2 220006199819971999 -? ()()()7x y z x y z +--+ ()()()82323a b c a b c -++- ()()()()2292x xy y x y x y ++-+- ()()()()21032422a a a b a b ??-+---?? ()()()()()442211x y x y x y x y +++- 4、先化简，再求值： ()()()211,x x x x +-+-其中1 2 x =- 5、解方程： ()()()()231231x x x x x -+=+-+
平方差公式(一)
平方差公式(一) 一、教学目标 (一)知识目标 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. (二)能力目标 1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感目标 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. 二、教学重难点 （一）教学重点 平方差公式的推导和应用. （二）教学难点 用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式. 三、教具准备 投影片四张 第一张：做一做，记作(§1.7.1 A) 第二张：例1，记作(§1.7.1 B) 第三张：例2，记作(§1.7.1 C) 第四张：练一练，记作(§1.7.1 D) 四、教学过程 Ⅰ.创设情景，引入新课 ［师］你能用简便方法计算下列各题吗？ (1)2001×1999；(2)992－1 ［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800. ［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，
2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即 (2000+1)(2000－1)=20002－12. 那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？ 我们不妨看下面的做一做. Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律 ［师］出示投影片(§1.7.1 A) 做一做：计算下列各题： (1)(x+2)(x－2); (2)(1+3a)(1－3a); (3)(x+5y)(x－5y); (4)(y+3z)(y－3z). 观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？ ［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法. ［生］上面四个算式每个因式都是两项. ［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积. ［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案. ［生］解：(1)(x+2)(x－2) =x2－2x+2x－4=x2－4； (2)(1+3a)(1－3a) =1－3a+3a－9a2=1－9a2； (3)(x+5y)(x－5y)
弹性碰撞后的速度公式
一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式 问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？ 图1 设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得： m1v1=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得： m1v1= （m1+m2）v共 解出v共=m1v1/（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。 另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式 问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得：
《平方差公式》教学案例
数学教学案例（人教版八年级数学上册14.2.1） 案例名称：《平方差公式》 所属课程：数学 所属专业：初中数学 授课课时：一课时
《平方差公式》教学案例 一、教学内容与分析 1．内容 平方差公式——两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2.内容分析 本节内容主要研究的是平方差公式的推导和应用。平方差公式是学生学习了整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在已经掌握了单项式乘法、多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为完全平方公式的学习提供了方法，同时也为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有承上启下的作用。 3．教学重点与难点 本节课的重点：理解平方差公式，掌握其结构特点，并能运用公式进行运算。 本节课的难点：①理解公式中字母的含义，即公式：2 2 = a- +中 b - a ) )( (b b a
的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。正确找准哪个数或式相当于公式中的a，b.②平方差公式的变式应用。 二、教学目标与解析 1.目标 （1）知识目标：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算。 （2）能力目标：在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象研究问题的方法；在验证平方差公式的过程中，感知数形结合的思想，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；在运用公式的过程中，渗透转化、建模等数学思想，培养学生的思维能力和数学应用意识。 （3）情感目标：让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦，培养学生勇于探索、善于观察、大胆猜想的创新思维品质。 2.目标解析 （1）理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题。在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，加深学生对公式的理解。 （2）让学生经历具体——抽象的过程。从中发现、体会、理解公式，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、观察、归纳、猜想、推理能力，利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的思想。在运用