一种快速求取空间点到曲面最短距离的算法

空间几何中的角和距离的计算

空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B

2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1

向量法求空间距离教案

A B C D O S x y z 图2 A B C D α n a b 龙文学校——您值得信赖的专业化个性化辅导学校 龙文学校个性化辅导教案提纲 教师：_______ 学生：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____——_____段 一、授课目的与考点分析：向量法求空间距离 能用向量方法解决空间距离问题，了解向量方法在研究集合问题中的应用. 二、授课内容及过程： 1、点到平面的距离 方法：已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量， 则A 到平面α的距离d =AB n n ? . 2、两条异面直线距离： 方法：a 、b 为异面直线，a 、b 间的距离为：AB n d n ?= . 其中n 与a 、b 均垂直，A 、B 分别为两异面直线上的任意两点 题型1：异面直线间的距离 例1、如图2，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =。求异面直线BD 和SC 之间的距离？ 题型2：点面距离 如图，在长方体1111ABCD A BC D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AD 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4 π. 解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C （1）.,0)1,,1(),1,0,1 (,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为

立体几何中角度与距离求法

立体几何中角度距离的求法 一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?______________ a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝__________. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB → |＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则 称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是 ________________________. 推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB → ＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝______. (3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.

空间角与距离求法(高二)

1 空间角与点面距离求法 求空间角和点到平面的距离是教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考的必考点.新课标强调要求利用向量的运算来解决这两个问题,而新教材的处理是通过探究引导学生推理得出相关公式.在复习时,作为教师有必要帮助学生对相关的知识进行梳理、归纳和小结. 1.空间角的求法 在立体几何中,求空间角是学习的重点，也是学习的难点，更是高考的必考点.我们在复习时,必须对相关的知识进行梳理、归纳和小结,才会灵活运用公式熟练地求出空间角. 一、相关概念和公式 (1) b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作,,b a ==则AOB ∠叫做 向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤=< . (3) 设),,(111z y x a = , ),,(222z y x b = 则212121||z y x a ++= ,222222||z y x b ++= , 212121z z y y x x b a ++=? . 二、两条异面直线所成的角 (1) 定义：已知两条异面直线a 和b ，经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''我们把a '与b ' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角（或夹角）. (2) 范围: 异面直线a 和b 所成的角为θ： 900≤<θ, 则cos 0≥θ . (3) 求法: ▲① 平移法: 把两条异面直线a 和b 平移经过某一点(往往选取图中的特殊点),构造三角形(有时会用到补形法,如三棱柱补成平行六面体等),解三角形(通常用到余弦定理).特别提醒:若由边角关系求得为钝角．． 时,注意取其补角为异面直线所成的角. ▲② 向量法: 若a 和b 分别是异面直线a 和b 的方向向量,则 | ||||||||||||,cos |cos b a b a b a b a b a ??=??=><=θ . 说明: ① 其中=θ或- 180 ; ② 在计算b a ?时可用向量分解或坐标进行运算. 三、直线与平面所成的角 (1) 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平

利用空间向量求空间角和距离

利用空间向量求空间角和距离 A 级——夯基保分练 1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.30 30 B ．3015 C. 3010 D. 1515 解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0，0,2)，N (1,0,0)，∴B 1M ―→ ＝(－1，－1，－2)，D 1N ―→ ＝(1,0，－2)， ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→ | |B 1M ―→|·|D 1N ―→|＝ |－1＋4|1＋1＋4×1＋4＝30 10 . 2.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝1 3AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的 正弦值为( ) A.33535 B ．277 C.33 D.24 解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)， ∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→ ＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? n ·D 1E ―→＝0，n · D 1C ―→＝0，即????? x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)． ∴cos DC 1―→，n ＝DC 1―→·n |DC 1―→|·|n| ＝33535， ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 .

向量法求空间点到平面的距离教案

学习必备 欢迎下载 向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。

学习必备欢迎下载

学习必备 欢迎下载 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ? ABO COS ∠? ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥，.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ?-=???-=?即340320x y x z -+=??-+=? ∴3432y x z x ?=????=?? 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z = 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n ⊥⊥-=?∴?--+=?∴=，

空间角及空间距离的计算知识点

空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点， 过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”） 4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，， 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90] 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有： S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A

第43讲 利用空间向量求空间角和距离(讲)(解析版)

第43讲 利用空间向量求空间角和距离 思维导图 知识梳理 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b |， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ，如图(2)(3)． 4．利用空间向量求距离 (1)两点间的距离

设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB ―→ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO ―→|＝|AB ―→ ·n | |n | . 题型归纳 题型1 异面直线所成的角 【例1-1】（2020?济南模拟）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，1 2 AB AD BC == ，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90?，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点． （1）求证：BM DF ⊥； （2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小． 【分析】（1）建立空间坐标系，得出BM ，DF 的坐标，根据向量的数量积为0得出直线垂直； （2）计算BM 和EF 的夹角，从而得出异面直线所成角的大小． 【解答】（1）证明： AB BC ⊥，AB BE ⊥，BC BE B =， AB ∴⊥平面BCE ， 以B 为原点，以BE ，BC ，BA 为坐标轴建立空间坐标系B xyz -，如图所示： 设1AB AD ==，则(0D ，1，1)，(1F ，0，1)，(0B ，0，0)，M 0)， ∴(2BM =，0)，(1DF =，1-，0)，

用向量法求空间距离

用向量法求空间距离 湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙 在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离 用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离. 例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点， DQ=4 1 DB ，求P 、Q 两点间的距离. 解 如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 0)4 141(Q )21021(，，、，，P ， 所以)21 －4141(－，，=. 46= ,即P 、Q 两点的距离为4 6. 二、 求点到直线之间的距离 已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d . 则有>= < 故>

例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2). 所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故 d = 13 286 213168=- = 所以点O 1到直线AC 的距离为13 286 2. 三、 求点到平面的距离 如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量 在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d ，所以 d ==>

空间向量的应用----求空间角与距离

空间向量的应用----求空间角与距离 一、考点梳理 1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。 2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下： 1)求直线和直线所成的角 若直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |>

计算公式为： 4).利用法向量求点面距离 如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，则点P 到平面的距离 θcos ||||PA PO d == 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面 间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二， 异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即 为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量，可由0n AD ?=及0n BC ?=求得，其计算公式为： || || n AB d n =。其本质与求点面距离一致。 向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。 二、范例分析 例1 已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，3将它沿对称轴1 OO n α A P O θ

向量法求空间点到平面的距离教案

向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 剖析：如图， BO 平面 ，垂足为O ，则点B 到平面 的距离是线段BO 的长度。 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。

若AB 是平面 的任一条斜线段，则在BOA Rt ABO COS ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z r 则n AB n AC r u u u r r u u u r ，.∵(3,4,0)AB u u u r ,(3,0,2)AC u u u r ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z 即340320x y x z ∴3432y x z x 取4x ,则(4,3,6)n r ∴(4,3,6)n r 是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E u u u r u u u r u u u r 设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z r 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n r u u u r r u u u r r ，

向量法求空间距离和角

用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法 向量， 则斜线l 与平 面 α 所成的角 α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角 l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两

个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角 l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）．

用向量法求空间距离

A B C D m n 1 图向量法求空间距离 向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。 1.异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在 n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离 d 等于在上的射影长，即| |n d = 证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==, | |||)(?=?∴?++=?∴++= | |||||n n AB d ?= =∴ 2平面外一点P 到平面α的距离 如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定 点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即| |n d = 因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。 [例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2， 底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。 图2 A B C M N 1 A 1 B 1 C 图3

几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ， 、)0,0,0(A )81 ,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则 )2,0,0(),0,4 3,43( ),8 1 ,41,43(1==- =AA AM MN ， 设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有 )0()1,1,3(8 ),81,83( 8183 0434********>-=-=∴?????? ?-==?=???????=+=++-??????⊥⊥z z z z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n 向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是 5 5 21)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||2 2201011011= +-+-?= =>

立体几何专题空间几何角和距离的计算

立体几何专题：空间角和距离的计算 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值。 B 1 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角，（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小； D 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2，（1）求直线D 1F 和AB 和所成的角；（2）求D 1F 与平面AED 所成的角。 1 2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ， AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角 的大小。 B 1

三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点，（1）证明AB 1∥平面DBC 1；（2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小。 B 1 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5，（1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小；（2）求SC 与面ABCD 所成的角。 B C 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小。 1 四 空间距离计算 （点到点、异面直线间距离）1.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是BC 的中点，DP 交AC 于M ，B 1P 交BC 1于N ，（1）求证：MN 上异面直线AC 和BC 1的公垂线；（2）求异面直线AC 和BC 1间的距离； C 1 A

用向量法求空间角与距离

用向量法求空间角与距离 1.1. 向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 cos |||| b 叫做与的数量积（或内积），记作b a ，即.cos |||| 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ，则 ①212121z z y y x x b a ； ②2 22222212121||,||z y x b z y x a ； ③212121z z y y x x b a ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x b a 1.2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角 等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示），则 .||||| |cos b a b a （例如2004年高考数学广东卷第18题第（2）问） 1.3. 异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在 上的射影长，即| |n d . 图1

证明：设CD 为公垂线段，取b a ,（如图1所示），则 | |||)( | |||n d 设直线n m ,所成的角为 ，显然.||||| |cos b a b a 1.4. 直线L 与平面 所成的角 在L 上取定，求平面 的法向量2所示）， 再求 | |||cos n AB 2 为所求的角. 1.5． 二面角 方法一：构造二面角 l 的两个半平面 、的法向量 21n n 、（都取向上的方向，如图3所示），则 ① 若二面角 l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即| |||cos 2121n n （例如2004年高考数学广 东卷第18题第（1）问）. ② 若二面角 l 是“锐角型”的如图3乙所示， 那么其大 小等于两法向量21n n 、的夹角， 即| |||cos 2121n n （例如 2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. 方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面 、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示） ，则二面角 l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 图3乙 图3 图4 图2

空间角的几何求法

空间角的几何求法 一、 异面直线所成角（线线角）范围： (0, ]2 π θ∈ 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。 【典例分析】 例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值； 【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。 二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2 π θ∈ 【典例分析】 例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°， A 1A =4，C 1C =1，A B =B C =B 1B =2． （1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值． 【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ； （2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小； 1111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA =1AD 1DB

例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD ； (2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。 【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点， 且AC BC a ==，π02VDC θθ? ?=<< ?? ?∠． （1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ； （2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π 6 ． 三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]θπ∈ （1）定义法：当点A 在二面角α-λ-β的棱λ上时，可过A 分别在α、β内作棱λ的 垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α-λ-β的平面角。 （2）三垂线法：当点A 在二面角α-λ-β的一个面α内时，可作AO ⊥β于O ， 再作OB ⊥λ于B ，连结AB ，由三垂线定理可得AB ⊥λ， 故∠ABO 即为二面角α-λ-β的平面角。 （3）垂面法：当点A 在二面角α-λ-β内时，可作AB ⊥α于B ，AC ⊥β于C ， 设1过AB 、AC 的平面与λ交于点O ，连结OB 、OC ，可证平面， ABOC 是λ的垂面，则λ⊥OB ，λ⊥OC ，∠BOC 即为二面角α-λ-β的平面角。 （4）射影面积法：原 射影S cos S = α 【典例分析】 l a b c Ｖ A Ｃ Ｂ

向量法求空间点到平面的距离教案

向量法求空间点到面距离（教案） 教材分析 重点：点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点：找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1.能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2.能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3.加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、空间中如何求点到面距离 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a ? b = a b cos 0（0为a与b的夹角） 二、向量法求点到平面的距离

如果令平面的法向量为 n ，考虑到法向量的方向，可以得到点 B 到平面的距离为 _r BA?n BO=—:— n 因此要求一个点到平面的距离， 可以分为以下三步：(1)找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量 (2)求出该平面的一个法向量 (3)求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标，如何求经过这三点的平面的一个法向量 ? 例1、在空间直角坐标系中，已知A(3,0,0), B(0,4,0) , C(0,0,2),试求平面 ABC 的一个 法向量. 解：设平面ABC 的一个法向量为 r n (x, y, z) r uuu r uuur uuu unr 则 n AB , n AC . v AB (3,4,0), AC (3,0, 2) ? (x, y, z)( 3,4,0) 0即 3x 4y 0 3 y x (x, y, z)( 3,0,2) 0 3x 2z 0 . 4 取x 4,则n (4, 3,6) 3 z x 2 ??? n (4, 3,6)是平面 ABC 的一个法向量 例2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为4, E 、F 分别是AB 、AD 的 中点，GC 丄平面 ABCD ，且GC = 2,求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2). uuir uuur EF (2, 2,0), EG ( 2, 4,2), uuu BE (2,0,0) 设平面EFG 的一个法向量 若AB 是平面 的任一条斜线段，则在 Rt BOA 中，BO = BA?COS ABO BA?BO B A B O BO 剖析：如图，BO 平面 ，垂足为0，则点B 到平面 的距离是线段 BO 的长度。 =网? BA? BO