第五章材料力学考试复习重点知识与练习题

第五章材料力学

主讲：钱民刚

第一节概论

材料力学是研究各种类型构件（主要是杆）的强度、刚度和稳定性的学科，它提供了有关的基本理论、计算方法和试验技术，使我们能合理地确定构件的材料、尺寸和形状，以达到安全与经济的设计要求。

◆一、材料力学的基本思路

（一）理论公式的建立

理论公式的建立思路如下：

（二）分析问题和解决问题

分析问题和解决问题思路如下：

◆二、杆的四种基本变形

杆的四种基本变形如表5?1 所列。

表5?1 杆的四种基本变形

◆三、材料的力学性质

在表5?1 所列的强度条件中，为确保构件不致因强度不足而破坏，应使其最大工作应力σmax不超过材料的某个限值。显然，该限值应小于材料的极限应力σu，可规定为极限应

力σu的若干分之一，并称之为材料的许用应力，以［σ］或［τ］表示，即

式中n 是一个大于1 的系数，称为安全

系数，其数值通常由设计规范规定；而极限

应力σu则要通过材料的力学性能试验才能确

定。这里主要介绍典型的塑料性材料低碳钢

和典型的脆性材料铸铁在常温、静载下的力

学性能。

（一）低碳钢材料拉伸和压缩时的力学性质低碳钢（通常将含碳量在0.3%以下的钢称为低碳钢，也叫软钢）材料拉伸和压缩时的σ—ε曲线如图5?1 所示。

从图5?1 中拉伸时的σ—ε曲线可看出，整个拉伸过程可分为以下四个阶段。

1. 弹性阶段（Ob 段）

在该段中的直线段（Oa）称线弹性段，其斜率即为弹性模量E，对应的最高应力值σP为比例极限。在该段应力范围内，即σ≤σP，虎克定律σ=Eε成立。而ab 段，即为非线性弹性段，在该段内所产生的应变仍是弹性的，但它与应力已不成正比。b 点相对应的应力σe称为弹性极限。

2. 屈服阶段（bc 段）

该段内应力基本上不变，但应变却在迅速增长，而且在该段内所产生的应变成分，除弹性应变外，还包含了明显的塑性变形，该段的应力最低点σS称为屈服极限。这时，试件上原光滑表面将会出现与轴线大致成45°的滑移线，这是由于试件材料在45°的斜截面上存在着最大剪应力而引起的。对于塑性材料来说，由于屈服时所产生的显著的塑性变形将会严重地影响其正常工作，故σS是衡量塑性材料强度的一个重要指标。对于无明显屈服阶段的其他塑性材料，工程上将产生0.2%塑性应变时的应力作为名义屈服极限，并用σ0.2表示。

3. 强化阶段（ce 段）

在该段，应力又随应变增大而增大，故称强化。该段中的最高点e 所对应的应力乃材料所能承受的最大应力σb，称为强度极限，它是衡量材料强度（特别是脆性材料）的另一重要指标。在强化阶段中，绝大部分的变形是塑性变形，并发生“冷作硬化”的现象。

4. 局部变形阶段（ef 段）

在应力到达e 点之前，试件标距内的变形是均匀的；但当到达e 点后，试件的变形就开始集中于某一较弱的局部范围内进行，该处截面纵向急剧伸长，横向显著收缩，形成“颈缩”；最后至f 点试件被拉断。

试件拉断后，可测得以下两个反映材料塑性性能的指标。

（1）延伸率

式中 l0——试件原长；

l1——拉断后的长度。

工程上规定δ≥5%的材料称为塑性材料，δ＜5%的称为脆性材料。

（2）截面收缩率

式中 A0——变形前的试件横截面面积；

A1——试件拉断后的最小截面积。

低碳钢压缩时的σ—ε曲线与拉伸时对比可知，低碳钢压缩时的弹性模量E、比例极限σP和屈服极限σS与拉伸时大致相同。

（二）铸铁拉伸与压缩时的力学性质

铸铁拉伸与压缩时的σ—ε曲线如图5?2 所示。

图5?2 铸铁拉伸、压缩的力学性质

从铸铁拉伸时的σ—ε曲线中可以看出，它没有明显的直线部分。因其拉断前的应变很小，因此工程上通常取其σ—ε曲线的一条割线的斜率，作为其弹性模量。它没有屈服阶段，也没有颈缩现象（故衡量铸铁拉伸强度的唯一指标就是它被拉断时的最大应力σb），在较小的拉应力作用下即被拉断，且其延伸率很小，故铸铁是一种典型的脆性材料。

铸铁压缩时的σ—ε曲线与拉伸相比，可看出这类材料的抗压能力要比抗拉能力强得多，其塑性变形也较为明显。破坏断口为斜断面，这表明试件是因τmax 的作用而剪坏的。

综上所述，对于塑性材料制成的杆，通常取屈服极限σS（或名义屈服极限σ

0.2）作为极限应力σu的值；而对脆性材料制成的杆，应该取强度极限σb作为极限应力σu的值。

第二节轴向拉伸与压缩

◆一、轴向拉伸与压缩的概念

（一）力学模型

轴向拉压杆的力学模型如图5?3 所示。

（二）受力特征

作用于杆两端外力的合力，大小相等、方向相反，并沿杆件轴线作用。

（三）变形特征

杆件主要产生轴线方向的均匀伸长（缩短）。

◆二、轴向拉伸（压缩）杆横截面上的内力

（一）内力

由外力作用而引起的构件内部各部分之间的相互作用力。

图5?3 轴向拉压杆的力学模型

P—轴向拉力或压力

（二）截面法

截面法是求内力的一般方法，用截面法求内力的步骤如下。

（1）截开。在需求内力的截面处，假想地沿该截面将构件截分为二。

（2）代替。任取一部分为研究对象，称为脱离体。用内力代替弃去部分对脱离体的作用。

（3）平衡。对脱离体列写平衡条件，求解未知内力。截面法的示意图如图5?4 所示。

图5?4 截面法的示意图

（三）轴力

轴向拉压杆横截面上的内力，其作用线必定与杆轴线相重合，称为轴力，以N 表示。轴力N 规定以拉力为正，压力为负。

（四）轴力图

轴力图表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线。

例5?1 试作图5?5（a）所示等直杆的轴力图。

解：先考虑外力平衡，求出支反R=10kN

显然NAB=10kN,NBC=50kN,NCD=?5kN，

NDE=20kN

由图5?5（b）可见，某截面上外力的大小

等于该截面两侧内力的变化。

图5?5 例5?1图

（a）外力图；（b）轴力图

◆三、轴向拉压杆横截面上的应力

分布规律：轴向拉压杆横截面上的应力垂直于截面，为正应力，且正应力在

整个横截面上均匀分布，如图5?6 所示。

正应力公式

式中 N ——轴力，N；

A ——横截面面积，m2。

应力单位为N/m2，即Pa，也常用1MPa=106Pa=1N/mm2。

◆四、轴向拉压杆斜截面上的应力

斜截面上的应力均匀分布，如图5?7 所示，其总应力及应力分量如下。

总应力

式中α——由横截面外法线转至斜截面外法线的夹角，以逆时针转动为正；

Aα——斜截面mm 的截面积；

σ0 ——横截面上的正应力。

σα拉应力为正，压应力为负。τα以其对截面内一点产生顺时针力矩时为

正，反之为负。

轴向拉压杆中最大正应力发生在α=0°的横截面上，最小正应力发生在α

=90°的纵截面上，其值分别为

最大剪应力发生在α=±45°的斜截面上，最小剪应力发生在α=0°的横截面和α

=90°的纵截面上，其值分别为

◆五、强度条件

（一）许用应力

材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。

塑性材料

脆性材料

式中σS ——屈服极限；

σb ——抗拉强度；

nS、nb ——安全系数。

（二）强度条件

构件的最大工作应力不得超过材料的许用应力。轴向拉压杆的强度条件为

◆六、轴向拉压杆的变形虎克定律

（一）轴向拉压杆的变形

杆件在轴向拉伸时，轴向伸长，横向缩短，见图5?8；而在轴向压缩时，轴向缩短，横向伸长。

第三节剪切和挤压

◆一、剪切的实用计算

（一）剪切的概念

力学模型如图5?9 所示。

（1）受力特征。构件上受到一对大小相等、方向相反，作用线相距很近，且与构件轴线垂直的力作用。

（2）变形特征。构件沿两力的分界面有发生相对错动的趋势。

（3）剪切面。构件将发生相对错动的面。

（4）剪力Q。剪切面上的内力，其作用线与剪切面平行。

（二）剪切实用计算

（1）名义剪应力。假定剪应力沿剪切面是均匀分布的，若AQ为剪切面面积，Q 为剪力，则

图5?9 剪切的力学模型

（2）许用剪应力。按实际构件的受力方式，用试验的方法求得名义剪切极限应力τ0，再除以安全系数n。

（3）剪切强度条件。剪切面上的工作剪应力不得超过材料的许用剪应力

（二）挤压实用计算

（1）名义挤压应力。假设挤压力在名义挤压面上均匀分布，即

式中 Abs——名义挤压面面积。

当挤压面为平面时，名义挤压面面积等于实际的承压接触面面积；当挤压面为曲面时，则名义挤压面面积取为实际承压接触面在垂直挤压力方向的投影面积。

（2）许用挤压应力。根据直接试验结果，按照名义挤压应力公式计算名义极限挤压应力，再除以安全系数。

（3）挤压强度条件。挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力，即

◆三、剪应力互等定理与剪切虎克定律

（一）纯剪切

若单元体各个侧面上只有剪应力而无正应力，称为纯剪切。

纯剪切引起剪应变γ，即相互垂直的两线段间角度的改变。

（二）剪应力互等定理

在互相垂直的两个平面上，垂直于两平面交线的剪应力，总是大小相等，且共同指向或背离这一交线（见图5?10），即

图5?10 纯剪切单元体

（三）剪切虎克定律

当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力τ与剪应变γ成正比，即τ=Gγ

式中 G——材料的剪切弹性模量。

对各向同性材料，E、G、μ间只有两个独立常数，即

第四节扭转

◆一、扭转的概念

（一）扭转的力学模型

扭转的力学模型，如图5?11 所示。

（1）受力特征。杆两端受到一对力偶矩相等，转向相反，

作用平面与杆件轴线相垂直的外力偶作用。

（2）变形特征。杆件表面纵向线变成螺旋线，即杆件任

意两横截面绕杆件轴线发生相对转动。

（3）扭转角?。杆件任意两横截面间相对转动的角度。

（二）外力偶矩的计算

轴所传递的功率、转速与外力偶矩（kN·m）间有如下关系

图5?11 扭转力学模型

式中 P ——传递功率，kW；

n ——转速，r/min。

◆二、扭矩和扭矩图

（1）扭矩。受扭杆件横截面上的内力是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩，用T 表示，见图5?12，其值用截面法求得。

（2）扭矩符号。扭矩T 的正负号规定，以右手法则表示扭矩矢量，若矢量的指向与截面外向法线的指向一致时扭矩为正，反之为负。图5?12 中所示扭矩均为正

号。

◆三、圆杆扭转时的剪应力与强度条件

（一）横截面上的剪应力

（1）剪应力分布规律。横截面上任一点的剪应力，其方向垂直于该点所在的半径，其值与该点到圆心的距离成正比，见图5?13

图5?12 扭矩及其正负号规定

图5?13 圆杆扭转时横截面上的剪应力

◆四、圆杆扭转时的变形刚度条件

第五节截面图形的几何性质

◆一、静矩与形心

显然，若z 轴过形心，yc=0，则有Sz=0，反之亦然；若y 轴过形心，zc=0，则有Sy=0，反之亦然。

◆二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积

图5?15 截面图形

（5?40）

◆三、平行移轴公式

若已知任一截面图形（图5?16）形心为c，面积为A，对形心轴zc和yc的惯性矩为Izc和Iyc、惯性积为Iyczc，则该图形对于与zc轴平行且相距为a 的z 轴及与yc轴平行且相距为b 的y 轴的惯性矩和惯性积分别为

显然，在图形对所有互相平行的轴的惯性矩中，以形心轴的惯性矩为最小。

◆四、主惯性轴和主惯性矩、形心主（惯性）轴和形心主（惯性）矩

若截面图形对通过某点的某一对正交坐标轴的惯性积为零，则称这对坐标轴为图形在该点的主惯性轴，简称主轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。显然，当任意一对正交坐标轴中之一轴为图形的对称轴时，图形对该两轴的惯性积必为零，故这对轴必为主轴。

过截面形心的主惯性轴，称为形心主轴。截面对形心主轴的惯性矩称为形心主矩。杆件的轴线与横截面形心主轴所组成的平面，称为形心主惯性平面。

图5?15 截面图形

第六节弯曲梁的内力、应力和变形

◆一、平面弯曲的概念

弯曲变形是杆件的基本变形之一。以弯曲为主要变形的杆件通常称为梁。

（1）弯曲变形特征。任意两横截面绕垂直杆轴线的轴做相对转动，同时杆的轴线也弯

成曲线。

（2）平面弯曲。荷载作用面（外力偶作用面或横向力与梁轴线组成的平面）与弯曲平

面（即梁轴线弯曲后所在平面）相平行或重合的弯曲。

产生平面弯曲的条件：

1）梁具有纵对称面时，只要外力（横向力或外力偶）都作用在此纵对称面内。

2）非对称截面梁。

纯弯曲时，只要外力偶作用在与梁的形心主惯性平面（即梁的轴线与其横截面的形心

主惯性轴所构成的平面）平行的平面内。

横力弯曲时，横向力必须通过横截面的弯曲中心，并在与梁的形心主惯性平面平行的

平面内。

◆二、梁横截面上的内力分量——剪力与弯矩

（一）剪力与弯矩

（1）剪力。梁横截面上切向分布内力的合力，称为剪力，以Q 表示。

（2）弯矩。梁横截面上法向分布内力形成的合力偶矩，称为弯矩，以M 表示。

（3）剪力与弯矩的符号。考虑梁微段dx，使右侧截面对左侧截面产生向下相对错动的剪力为正，反之为负；使微段产生凹向上的弯曲变形的弯矩为正，反之为负，如图5?17所示。

图5?17 梁的内力

（a）截面法求梁的内力；（b）剪力和弯矩正负号的规定

（4）剪力与弯矩的计算。由截面法可知，梁的内力可用直接法求出：

1）横截面上的剪力，其值等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在横截面方向的投影代数和，且左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起正剪力，反之则引起负剪力。

2）横截面上的弯矩，其值等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对该截面形心的力矩代数和，且向上外力均引起正弯矩，左侧梁上顺时针转向的外力偶及右侧梁上逆时针转向的外力偶引起正弯矩，反之则产生负弯矩，如图5?18 所示。

图5?18 直接法求梁的内力

（a）产生正号剪力的外力；（b）产生正号弯矩的外力和外力矩

（2）弯矩方程。表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的函数，称为弯矩方程，表示为

M=M(x) （三）剪力图与弯矩图

（1）剪力图。表示沿杆轴各横截面上剪力随截面位置变化的图线，称为剪力图。

（2）弯矩图。表示沿杆轴各横截面上弯矩随截面位置变化的图线，称为弯矩图。

◆三、荷载集度与剪力、弯矩间的关系及应用

（一）微分关系

若规定荷载集度q向上为正，则梁任一横截面上的剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系

当以梁的左端为x 轴原点，且以向右为x 正轴，并规定剪力图以向上为正轴，而弯矩图则取向下为正轴时，可将工程上常见的外力与剪力图和弯矩图之间的关系列在表5?3中。

利用表5?3 可以快速地作出剪力图和弯矩图。

（二）快速作图法

（1）求支反力，并校核。

（2）根据外力不连续点分段。

（3）定形：根据各段梁上的外力，确定其Q、M 图的形状。

（4）定量：用直接法计算各分段点、极值点的Q、M 值。

◆四、弯曲正应力正应力强度条件

（一）纯弯曲

梁的横截面上只有弯矩而无剪力时的弯曲，称为纯弯曲。

（二）中性层与中性轴

（1）中性层。杆件弯曲变形时既不伸长也不缩短的一层。

（2）中性轴。中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。

（3）中性轴位置。当杆件发生平面弯曲，且处于线弹性范围时，中性轴通过横截面形

心，且垂直于荷载作用平面。

（4）中性层的曲率。杆件发生平面弯曲时，中性层（或杆轴）的曲率与弯矩间的关系为

◆五、弯曲剪应力与剪应力强度条件

◆六、梁的合理截面

◆七、弯曲中心的概念

◆八、梁的变形——挠度与转角

◆九、积分法计算梁的变形

根据挠曲线近似微分方程（5?57），积分两次，即得梁的转角方程和挠度方程

其中，积分常数C、D 可由梁的边界条件来确定。当梁的弯矩方程需分段列出时，挠曲线微分方程也需分段建立、分段积分。于是全梁的积分常数数目将为分段数目的两倍。为了确定全部积分常数，除利用边界条件外，还需利用分段处挠曲线的连续条件（在分界点处左、右两段梁的转角和挠度均应相等）。

◆十、用叠加法求梁的变形

（一）叠加原理

几个荷载同时作用下梁的任一截面的挠度或转角，等于各个荷载单独作用下同一截面挠度或转角的总和。

（二）叠加原理的适用条件

叠加原理仅适用于线性函数。要求挠度、转角为梁上荷载的线性函数，必须满足以下条件：

（1）材料为线弹性材料。

（2）梁的变形为小变形。

（3）结构为几何线性。

（三）叠加法的特征

（1）各荷载同时作用下的挠度、转角等于各荷载单独作用下挠度、转角的总和，应该是几何和，同一方向的几何和即为代数和。

（2）梁在简单荷载作用下的挠度、转角应为已知或可查手册，参见表5?5。

（3）叠加法适宜于求梁某一指定截面的挠度和转角。