华师一附中2020年自主招生(分配生)数学试题(word版附答案)

华中师大一附中2020年自主招生(分配生)

数学试题

考试时间：90分钟卷面满分：100分

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效，其中，将所有选择题答案用2B铅笔也相应位置涂黑。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）

1．在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：

①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；

④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（）个

A．4 B．3 C．2 D．1

2．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）

A．2B．24 C．2D．12

3．5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：

根据该统计图，下列说法错误的是（）

A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多

B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小

C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量

D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量

4．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）

A．m≥﹣2 B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣

5．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（）

A．3B．C．D．

第5题图第6题图

6．如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）

A．24 B．20 C．12 D．10

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

7．2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为________．

8．在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则＝________．

9．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是________．(结果用m，n表示)

10．如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG(图中阴影部分)的面积为6，则五边形ABDEF的面积为________．

第10题图第11题图第12题图

11．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点E、F分别是边AB、BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为________．

12．如图，点A 是反比例函数y =k

x 的图象上位于第一象限的点，点B 在x 轴的正半轴上，

过点B 作BC ⊥x 轴，与线段OA 的延长线交于点C ，与反比例函数的图象交于点D ，若直线AD 垂直OC ，且使得AC=2OA ，则sinC ＝________．

三、解答题(本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程) 13．(本小题满分12分)(1)已知关于x 的方程x 2﹣(2k ﹣1)x+k 2＝0有两个实根x 1，x 2，且满足x 1x 2﹣|x 1|﹣|x 2|＝2，求实数k 的值；

（2）已知a ＜b ＜0，且+＝6，求()3

的值．

14.(本小题满分14分)如图，在ABC ?中，BA BC =，90ABC ∠=?，以AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，点E 是弧BD 上不与点B ，D 重合的任意一点，连接AE 交BD 于点F ，连接

BE 并延长交AC 于点G ．

（1）求证：ADF BDG ???；

（2）取弧AE 的中点H ，若四边形OBEH 为菱形，求EAB ∠的大小；

（3）若4AB =，且点E 是弧BD 上靠近点B 的一个三等分点，求线段DG 的长．

15．(本小题满分12分)习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价(万元)

A 15 18 1.5

B 20 30 2.1

(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？

(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数

关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃

圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)

16．(本小题满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点

A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A坐标为(﹣1，0)，点C坐标为(0，)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．

(1)求a，c的值；

(2)求线段DE的长度；

(3)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？

华中师大一附中2020年自主招生(分配生)数学试题

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的)

1．解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，则①a2﹣a﹣2＝(a﹣2)(a+1)＞0；

②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c，|a﹣c|＝﹣a+c，

∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；

③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，∴(a+b)(b+c)(c+a)＞0；

④∵|a|＞1，1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc；故正确的结论有②③，一共2个．故选：C．2．解：∵点P(﹣1，)在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，

∴＝﹣+的一次函数，即a﹣b＝﹣c，

又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，

∴ab＝4，即ab＝8，又∵a2+b2＝c2，∴(a﹣b)2+2ab＝c2，

∴(﹣c)2+2×8＝c2，解得c＝2，故选：A．

3．解：对于A，由柱状图可得5月份出货量最高，故A正确；

对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；

对于C，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C正确；

对于D，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷(1﹣14.7%)＝3569.05，

8月出货量为：3087.5÷(1﹣5.3%)＝3260.3，

因为3260.3＜3569.05，故12月更高，故D错误．故选：D．

4．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，

∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，

∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；

∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，

∴当x＝﹣﹣[1﹣(﹣)]＝﹣2时，y＝1，

∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；

∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．

5．解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，

∴AB ＝＝＝4，

∵△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A ′OB ′处， ∴AO ＝A ′O ＝4，A ′B ′＝AB ＝4， ∵点E 为BO 的中点，∴OE ＝

BO ＝

×8＝4，

∴OE ＝A ′O ＝4，过点O 作OF ⊥A ′B ′于F ， S △A ′OB ′＝

×4

?OF ＝

×4×8，解得OF ＝， 在Rt △EOF 中，EF ＝

＝

＝， ∵OE ＝A ′O ，OF ⊥A ′B ′，∴A ′E ＝2EF ＝2×＝，

∴B ′E ＝A ′B ′﹣A ′E ＝4

﹣

＝

；故选：B ．

6．解：由图2知：AB+BC ＝10，设AB ＝m ，则BC ＝10﹣m ，

如图所示，当点M 在BC 上时，则AB ＝m ，BM ＝x ﹣m ，MC ＝10﹣x ，NC ＝y ， ∵MN ⊥AM ，则∠MAB ＝∠NMC ，tan ∠MAB ＝tan ∠NMC ，即，

即，化简得：y ＝﹣x 2+x ﹣10，

当x ＝﹣

＝

时，y ＝﹣

(

10+m 2

)2

+·

﹣10＝2

3，

解得：m ＝6，则AM ＝6，BC ＝4，故ABCD 的面积＝24，故选：A ． 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 7．解：根据题意画图如下：

共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种， 则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝

．故答案为：

．

8．解：过B 点作BD ⊥AC 于点D ， ∵cosA ＝

，∴

，

设AD ＝4x ，则AB ＝5x ，∴

， ∵AB ＝AC ，∴AC ＝5x ，∴CD ＝5x ﹣4x ＝x ， ∴BC ＝

，∴

，故答案为：．

9．解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m ﹣n ， ∴用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度 ＝2020m ﹣2019(m ﹣n)＝m+2019n ，故答案为：m+2019n ． 10．解：如图，连接GC 并延长交BD 于点H ，连接AE ， ∵ABCDEF 正六边形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝AF ，

∠F ＝∠FAB ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEF ＝120°，∴∠CBD ＝∠CDB ＝30° ∵△BDG 是等边三角形，

∴BG ＝DG ＝BD ，∠GBD ＝∠GDB ＝60°， 又CG ＝CG ，∴△BCG ≌△DCG （SSS ）， ∵∠GBC ＝∠DBC ＝60°﹣30°＝30°，

∴△GBC ≌△DBC （SAS ），∴S △BCG ＝S △DCG ＝S △BCD ＝3，∴S △AEF ＝3， 设CH ＝x ，则BC ＝CG ＝2x ，BH =√3x ，∴BD ＝2√3x ，∴1

2CG ?BH ＝3， 即1

2×2x ·√3x ＝3，∴√3x 2＝3，∴S 四边形ABDE ＝AB ?BD ＝2x ?2√3x ＝4√3x 2＝12， ∴五边形ABDEF 的面积为：3+12＝15． 11．解：如图，作AH ⊥CD 于H ．

∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ∥CD ， ∴∠D+∠BAD ＝180°，∴∠D ＝60°， ∵AD ＝AB ＝4，∴AH ＝AD ?sin60°=2√3， ∵B ，B ′关于EF 对称，∴BE ＝EB ′， 当BE 的值最小时，AE 的值最大，

根据垂线段最短可知，当EB ′=AH =2√3时，BE 的值最小， ∴AE 的最大值＝4?2√3，故答案为4?2√3． 12．解：如图，作AE ⊥BC 于点E ，

设A （a ，b ），则C （3a ，3b ），∴OB ＝3a ，BC ＝3b ， ∴D （3a ，1

3b ），∴AE =2a ，CE =2b ，DE =2

3b ，

又∵AD ⊥AC ，∴AE 2=CE ·DE ，∴(2a)2＝2b ·2

3b ，∴b 2＝3a 2， 又∵Rt △BOC 中，OC =√OB 2+BC 2=3√a 2+b 2， ∴sinC =OB

OC =

3a 3√a 2+3a 2

=3a 3×2a =12．故答案为：1

2．

三、解答题(本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程) 13．解：（1）根据题意得△＝(2k ﹣1)2﹣4k 2≥0，解得k ≤；

（2）x 1+x 2＝2k ﹣1，x 1x 2＝k 2， ∵k ≤

，∴x 1+x 2＝2k ﹣1≤0，而x 1x 2＝k 2≥0，∴x 1≤0，x 2≤0，

∵x 1x 2﹣|x 1|﹣|x 2|＝2，∴x 1?x 2+x 1+x 2＝2，即k 2+(2k ﹣1)＝2， 整理得k 2+2k ﹣3＝0，解得k 1＝﹣3，k 2＝1，而k ≤，∴k ＝﹣3；

（3）∵

+

＝6，∴a 2+b 2＝6ab ，∴(a+b)2＝8ab ，

∴(b ﹣a)2＝(a+b)2﹣4ab ＝4ab ，∴()2＝＝2，∴＝±， ∵a ＜b ＜0，∴a+b ＜0，b ﹣a ＞0，∴＜0，∴

＝﹣

，∴(

)3＝﹣2

．

答：(

)3的值为﹣2

．

14．解：（1）证明：如图1，BA BC =，90ABC ∠=?，45BAC ∴∠=? ∵AB 是⊙O 的直径，90ADB AEB ∴∠=∠=?，90ADF BDG ∴∠=∠=?， 90DAF BGD DBG BGD ∴∠+∠=∠+∠=?，DAF DBG ∴∠=∠，

90ABD BAC ∠+∠=?，45ABD BAC ∴∠=∠=?，AD BD ∴=，()ADF BDG ASA ∴???；

（2）连接OH ，EH ，点H 是弧AE 的中点，OH AE ∴⊥，90AEB ∠=?，BE AE ∴⊥， //BE OH ∴，四边形OBEH 为菱形，1

2

BE OH OB AB ∴===， 1

sin 2

BE EAB AB ∴∠=

=，30EAB ∴∠=?． （3）如图2，连接OD 、OE ，

点E 是弧BD 上靠近点B 的三等分点，∴∠DOE ＝2

3∠DOB ， 由(1)知△ADB 是等腰直角三角形，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝90°，

∴∠DOE ＝60°，∴∠DBE ＝30°，∴DG ＝BD ·tan30°， 又∵AB ＝4，∴BD ＝2√2，∴DG ＝2√2×√3

3＝2

3

√6．

15．解：（1）设建造A 型处理点x 个，则建造B 型处理点（20﹣x ）个． 依题意得：

，解得6≤x ≤9.17，

∵x 为整数，∴x ＝6，7，8，9有四种方案；

设建造A 型处理点x 个时，总费用为y 万元．则：y ＝1.5x+2.1（20﹣x ）＝﹣0.6x+42， ∵﹣0.6＜0，∴y 随x 增大而减小，当x ＝9时，y 的值最小，此时y ＝36.6（万元）， ∴当建造A 型处理点9个，建造B 型处理点11个时最省钱； （2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），

当0≤x ＜144时，＝

（

x 3﹣80x 2+5040x ）＝

x 2﹣80x+5040，

∵

0，故

有最小值，

当x ＝﹣＝﹣

＝120（吨）时，

的最小值为240（元/吨），

当144≤x ＜300时，＝（10x+72000）＝10+

，

当x ＝300（吨）时，

＝250，即

＞250（元/吨），

∵240＜250，故当x ＝120吨时，的最小值为240元/吨，

∵每个B 型处理点的垃圾月处理量是A 型处理点的1.2倍且A 型处理点9个，建造B 型处理点11个，

∴每个A 型处理点每月处理量＝

×120×

≈5.4（吨），

故每个A 型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低． 16．解：（1）将A(﹣1，0)，C(0，

)代入抛物线y ＝ax 2+

x+c(a ≠0)，

，∴a ＝﹣，c ＝ （2）由(1)得抛物线解析式：y ＝﹣

x 2+

x+， ∵点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0，)，∴D(2，

)，∴DH ＝

，

令y ＝0，即﹣

x 2+

x+

＝0，得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，

∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ，∴△ACO ∽△EAH ，

∴，即，解得：EH＝2，则DE＝2；

（3）找点C关于DE的对称点N(4，)，找点C关于AE的对称点G(﹣2，﹣)，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，

即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，

∴直线GN的解析式：y＝x﹣，

由(2)得E(2，﹣)，A(﹣1，0)，

∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，

联立解得，

∴F(0，﹣)，

∵DH⊥x轴，

∴将x＝2代入直线GN的解析式：y＝x﹣，∴P(2，)

∴F(0，﹣)与P(2，)的水平距离为2

过点M作y轴的平行线交FP于点Q，

设点M(m，﹣m2+m+)，

则Q(m，m﹣)(＜m＜)；

∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝(﹣m2+m+)﹣(m﹣)，S△MFP＝＝

∵对称轴为：直线m＝，

又∵开口向下，＜m＜，

∴m＝时，△MPF面积有最大值为.