数理逻辑与集合论试卷

2006年的考题

一、A={a,b,c},B={X|a∈X且X?A},求B-A, B-{A}, ∪B, ∩B。

二、A={1,2,3,5,9},R是A上的关系且R={|3x≤y},求R-1, R2, r(R), t(R)。

三、R和S是集合A上的等价关系，A/R={{1,2},{3,4},{5}},A/S={{1},{2,3,4,5}},

求①(A/R)∩(A/S) ②∪(A/R) ③R∩S ④A/(R∩S)。

四、用谓词逻辑公式表示下列命题：

任何两个不同的有理数之间必有另一个有理数。

五、设R是A上的关系，证明：R是拟反对称的（即R[imasym]）当且仅当R

既是反自反的（即R[irref]）又是反对称的（即R[asym]）。

六、请分别判断以下结论是否一定成立，如果一定成立请证明，否则请举出反

例。

①A⊕C=B⊕C当且仅当A=B。

②如果A×B=A×C且A≠?，则B=C。

七、R是非空集合A上的关系且满足自反性（即R[ref]）和传递性(即R[tra])，

S是A上的关系且S={|存在A中元素x和y使得∈R且∈R}, 证明：S是A上的等价关系。

八、是偏序，如果D?A，且满足以下条件：

?x?y((x∈D & y∈D)??z(z∈D & x≤z & y≤z))，则称D是有向集。

①证明：如果D是有限的有向集，则D有最大元。

②举例说明如果D是无限的有向集，则D中不一定有最大元。

2005年的考题

一、A={2,3,4}，R是A上的关系，R={|x+y=6},

①R是否具有自反性？是否具有传递性？说明理由。

②求R-1，R2，ts(R)。

二、A={a,b,c,d,e,f},R={,,,,,,}, R’=tr(R),画

出的哈斯图，求{c,d,e}的最大元、极小元、上界、下界和最大下界。

三、A={a,?}，B=?∪{?},求A⊕B，P(A-B)，A×A。

四、用谓词逻辑公式表示下列命题：

1) 存在最小的自然数。

2) 每个自然数都有唯一的后继。

五、R?A×A，证明：R是反对称的当且仅当R∩R-1?I A。

六、R是A上的等价关系，证明：A/R是A上的划分。

七、R是实数集，f:RXR→RXR，f()=,请问f是否为单射？是

否为满射？证明或举反例。

八、R?AXA,证明：s(R)=∩{R’|R?R’且R’是A上的对称关系}。

九、已知B∩C=?,证明：P(B∪C)与P(B)XP(C)等势。