MATLAB作业5 作业本

MATLAB

作业5

1、 试求解下面微分方程的通解以及满足(0)1,()2,(0)0x x y π===条件下的解析解。

66()5()4()3()sin(4)2()()4()6()cos(4)t t x t x t x t y t e t y t y t x t x t e t --?+++=?+++=?

解：

>> syms t x y;

>>[x,y]=dsolve('D2x+5*Dx+4*x+3*y=exp(-6*t)*sin(4*t)',

'2*Dy+y+4*Dx+6*x=exp(-6*t)*cos(4*t)','x(0)=1','x(pi)=2','y(0)=0');vpa(x,20)

ans =

.24816266536011758942e-1*exp(-6.*t)*cos(4.*t)-.16682998530132288094e-1*exp(-6.*t)*sin(4.*t)+.85861668591377882749e-1*exp(t)-.57658489325155296910e-1*exp(-5.1374586088176874243*t)+.94698055419776565523*exp(-1.3625413911823125757*t)

>>vpa(y,20)

ans =

-.10607545320921117099*exp(-6.*t)*cos(4.*t)+.68348848603625673689e-1*exp(-6.*t)*sin(4.*t)-.28620556197125960916*exp(t)+.90450561852315609427e-1*exp(-5.1374586088176874243*t)+.30183045332815517077*exp(-1.3625413911823125757*t)

2、 Lotka-Volterra 扑食模型方程为()4()2()()()()()3()x t x t x t y t y

t x t y t y t =-??=-? ，且初值为(0)2,(0)3x y ==，试求解该微分方程，并绘制相应的曲线。

解：

>>syms x y t;

>> f=inline('[4*x(1)-2*x(1)*x(2); x(1)*x(2)-3*x(2)]','t','x');

>> [t,x]=ode45(f,[0,10],[2;3]);plot(t,x)

3、 是给出求解下面微分方程的MA TLAB 命令，

(3)22,(0)2,(0)(0)0ty y tyy t yy e y y y

-++==== 并绘制出()y t 曲线。试问该方程存在解析解吗？选择四阶定步长Runge-Kutta 算法求解该方程时，步长选择多少可以得出较好的精度，MATLAB 语言给出的现成函数在速度、精度上进行比较。

解：

>> f=inline('[x(2); x(3); -t^2*x(1)*x(2)-t^2*x(2)*x(1)^2+exp(-t*x(1))]','t','x');

[t,x]=ode45(f,[0,10],[2;0;0]); >> plot(t,x)

4、 试用解析解和数值解的方法求解下面的微分方程组

5()2()3(),(0)1,(0)2()2()3()4()4()sin ,(0)3,(0)4t x t x t x t e x x y t x t y t x t y t t y y

-?=--+==?=----==? 解：

解析解：

>> syms t x y;

[x,y]=dsolve('D2x=-2*x-3*Dx+exp(-5*t)','D2y=2*x-3*y-4*Dx-4*Dy-sin(t)','x(0)=1','Dx(0)=2','y(0)=3','Dy(0)=4')

x =

1/12*exp(-5*t)-10/3*exp(-2*t)+17/4*exp(-t)

y =

-265/16*exp(-t)-71/5*exp(-3*t)+11/48*exp(-5*t)+100/3*exp(-2*t)+51/4*exp(-t)*t+1/5*cos(t)-1/10*sin(t)

数值解：

>> f=inline('[x(2); -2*x(1)-3*x(2)+exp(-5*t); x(4); 2*x(1)-3*x(3)-4*x(2)-4*x(4)-sin(t)]','t','x');

[t1,x1]=ode45(f,[0,10],[1;2;3;4]);

ezplot(x,[0,10]), line(t1,x1(:,1))

figure; ezplot(y,[0,10]), line(t1,x1(:,3))

5、 下面的方程在传统微分方程教程中经常被认为是刚性微分方程。使用常规微分方程解法

和刚性微分方程解法分别求解这个微分方程的数值解，并求出解析解，用状态变量曲线比较数值求解的精度。 11212122119245cos sin ,(0)331224519cos sin ,(0)33

y y y t t y y y y t t y ?=++-=????=---+=??&& 解：

>> syms t y1 y2;

>>

[y1,y2]=dsolve('Dy1=9*y1+24*y2+5*cos(t)-1/3*sin(t)','Dy2=-24*y1-51*y2-9*cos(t)+1/3*sin(t)','y1(0)=1/3','y2(0)=2/3')

y1 =2/(3*exp(3*t)) - 2/(3*exp(39*t)) + cos(t)/3

y2 =4/(3*exp(39*t)) - 1/(3*exp(3*t)) - cos(t)/3

6、试用数值方法求解偏微分方程

22

22

0,00,0

1,0

0,0

x y y x

u u

x y

u u

x y

=>=≥

???

+=

???

??

==

?

?

>>

?

??

，并绘制出u函数曲面。