指数与对数 (初中)

指 数 运 算

1．整数指数幂概念(初中指数概念)

*)(N n a a a a a a

n n

∈??=

个 )0(10

≠=a a *),0(1

N n a a

a n n ∈≠=

- 2．运算性质：a

m

.a n = a

m+n

(m ，n ∈Z)

（a m ）n = a mn (m ，n ∈Z)

(ab)n =a n .b n (n ∈Z)

a m ÷a n 可以看做a m .a -n =a m-n ∴a m ÷a n =a m .a -n =a m-n

n b a )(可看作n n b a -? ∴n b

a

)(=n n b a -?=n n

b a

3、进入高中后，将指数的概念由整数推广到有理数，又推广到全体实数，从而得到： （1）正分数指数幂的意义: n m n

m

a a

= (a ＞0,m,n ∈N*,且n ＞1)

（2）负分数指数幂：

a

n

m -

=

a

n

m 1

(a ＞0，m,n ∈N*,且n ＞1)

（3）0的正分数指数幂等于0.

0的负分数指数幂无意义. （4）运算性质：a

m

.a n = a m+n (m ，n ∈R)

（a m

）n

= a

mn

(m ，n ∈R)

(ab)n =a n .b n (n ∈R)

a m ÷a n =a m .a -n =a m-n

n b

a

)(=n n b a -?=n n b a

4、由于分数指数的引入，使得根式与分数指数幂可以互化。分数指数幂实际上就是根式的另一种表示形式，根式的意义也得到扩充：

（1）定义：若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n 次方根。 记做n a ，即

x=n

a 。正数的正的方根，叫做算术根。零的算术根规定为零。负数

没有算术根。这里的n

a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。

**理解：“算术根”中的“算术”，理解为“非负数”（因为小学里的“算术”课不研究负数，因此而得名）。

（2）性质：

①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数

记作：n

a x =

②当n 为偶数时，

正数的n 次方根有两个（互为相反数）。记作： n

a x ±=。

负数的n 次方根在实数范围内不存在。即负数没有偶次方根。 注：0的任何次方根为0

（3）根据n 次方根的定义，得到三组常用公式：

①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5

=-32.

②当n 为奇数时，n

n a =a ；

当n 为偶数时，

n

n a =|a|=??

?<-≥)0()

0(a a a a .

例如，3

3)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|= -（-3）=3

○

3根式的基本性质：n m

np

mp a a =，（a ≥0）.即

a

np

mp

=

a

n

m

注意，○3中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立.

例如

3

6

28)8(-≠-. 用语言记住上面三个公式：

① 实数a 的n 次方根的n 次幂等于它本身.

②n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根等于a 本身； n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根等于a 的绝对值。

○

3若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变。

（4）由于根式与分数指数幂可以互化。很多根式运算可转化为指数运算。指数运算也可转化为根式运算（便于进行分母有理化等运算）。练习：

43

a a ?= a a a = 6

3

122

332?? = 2

12

112m

m

m m +++--

= 120.7503

11

(0.064)

(16()23-

--÷÷-=

4

3

32

13

2)81

16(,)41(,100

,8---= 4

4)100(-=

)6()3(43

22

13

14

14

1

-

---÷-y

x

y x x = )3

2(431

313

13

2-

---÷b a b

a =

解方程08241=--+x x

对 数

一、如果a b

=N （a ＞0，且a ≠1），那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N=b,读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

以10为底的对数叫常用对数，记为lgN 。以e 为底的对数称为自然对数，记为lnN, e 是一个无理数（无限不循环小数），e=2.71828…

根据对数定义知道： 1、log a 1=0 log a a =1 2、负数和零没有对数。 二、对数的运算性质：

（1）log a MN= log a M+ log a N; （2）log a N

M = log a M- log a N;

（3）log a M n

=n log a M （n ∈R ）

（4）两个换底公式：log N M=N

M b

b log log (b>0且b ≠1）

(5) a n b log =n a b log

证明： 设a=n x

,则a n b log =（n x

）n b log =n （x ·n b log ）=n x

b

n

log =n a b log

(6)对数恒等式：a N a log =N; a b a log =b （7）

三、对数式与指数式的关系

对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。

例:1．求值:(1) (2)

解:(1)

(2)

2．求值:(1) (2) (3)

解:(1)

(2) 。

(3) 法一：

法二：

3．已知:log23=a，log37=b，求:log4256=?

解:∵，∴，

练习:

1． 2．

3、已知:lg2=a ，lg3=b ，求:log 512的值。 （）

4、

3

log 1

3log 13log 1642+- 5、如果log7［log3(log2x)］=0，那么2

1x =？

6、如果x ＞6，则3

34

4)4()6(x x -+-=

7、已知

a a

-=12log

3

，则3log 2=

8、4log 233log =__________；x

=-+)223(log )

12(

，则x =__________；

21

8log =

x ，则x =__________。()077log 2=+-x x a ，则x =__________。

9、2log 9log 1.0lg 2lg 25lg 21

32?--+=

2lg 50lg 2lg 25lg 2

++= 25lg 50lg 2lg )2(lg 2+?+=

10、

2log 2,log 3,m n a a m n a +===