极坐标系的概念教案.docx

课题: 选修 4-4 《1.2.1极坐标系的概念》

执教人：高朝孟

执教班级：高二年级（18,26,27 ）班

执教时间： 2016 年 06 月 18 日

一、教学目标：

1、知识与技能：

（1）理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；（2）理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；（3）已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。

2、过程与方法：

能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系中刻画点的位置.

3、情感、态度与价值观：

通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、学情分析

学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础

上，积累了一定类比、归纳推理等数学思维方法，对极坐标思想有一定的了解。三、教学重点难点：

教学重点：理解极坐标的意义。

教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置。

三、教学过程：

一、问题情境，导入新课：

情境 1：钓鱼岛问题：中国海警如何确定日本渔船？

3：利用数学建模，从问题情境中发现数学问题：分析利用方向、距离确定位置，

引出另一种更简单的坐标思想—极坐标的思想。

二、讲解新课：

1、合作探究，概念形成。

（1）学生阅读教材 P8-P10 页；

（2）学生表述极坐标的建立，教师结合学生表述，展示 PPT 对极坐标的概念作

深入分析。

极坐标系的建立：

在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中 O称为极点，射线 OX称为极轴。）

强调 : 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，

缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置。

2、极坐标系内一点的极坐标的表示

对于平面上任意一点M ，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点 M 的，叫做点 M 的，有序数对( , )就叫做 M 的.强调 : 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥ 0，θ可取任意实数．特别地，当点 M在极点时，它的极坐标为 (0 ，θ) ，θ可以取任意实数．

3、典型例题

例 1 写出下图中各点的一个极坐标

A（）B（）C（）

D（）E（）F（）G（）

【反思感悟】(1) 写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能

把顺序搞错了．

变式训练 . 在极坐标系里描出下列各点

A(3,0), B(6,2 ), C (3,) , D (5, 4

), E(3,

) , F (4 ,),G (6 ,

)

2363

4、思考：通过例子，对比平面直角坐标系，平面上的点与极坐标有何关系？（1）. 平面上一点的极坐标是否惟一？若不惟一，那有多少种表示方法？

（2）. 坐标不惟一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？

强调：点与极坐标的关系：一般地，极坐标 ( ρ，θ ) 与____________________

表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为 (0 ，θ )( θ∈ R)．和点的直角坐标的

唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．

（3）想一想：我们是否能限制一些条件使得平面上的点与极坐标一一对应呢？

（如果限定：＞0,0＜2，那么除了极点外，平面内的点就和极坐标一一对应了！）

（1）探究：极坐标是否对应惟一的一点

答：

规律总结：建立极坐标系后，给定( ρ，θ ) ，就可以在平面内唯一确定一点M；

巩固练习

1、已知极坐标M54，下列所给出的不能表示点 M的极坐标的是（）

（，）

A（.5，）

B（.5，-）

C（.5，-）

D.(5,)

四、课堂小结，反思感悟。

通过这节课的学习，我们有哪些收获和感想？

五、分层作业，发展深化：

（1）必做题：P12习题 1.2 第 1、2 题

选做题： 2、已知Q (2,) ，分别按下列条件求出点P 的极坐标。

（1） P 是点 Q关于极点 O的对称点；

（2） P 是点 Q关于直线的对称点；

（3） P 是点 Q关于极轴的对称点。

六、板书设计

极坐标的概念

1、极坐标的概念

2、例 1

3、例 2

4、练习巩固

5、反思总结

七、教学反思：

极坐标系的概念教案复习过程

课题:选修4-4《1.2.1极坐标系的概念》执教人：高朝孟执教班级：高二年级（18,26,27）班执教时间：2016年06月18日一、教学目标： 1、知识与技能：（1）理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；（2）理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；（3）已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。 2、过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系中刻画点的位置. 3、情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、学情分析学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础上，积累了一定类比、归纳推理等数学思维方法，对极坐标思想有一定的了解。三、教学重点难点：教学重点：理解极坐标的意义。教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置。三、教学过程：一、问题情境，导入新课：情境1：钓鱼岛问题：中国海警如何确定日本渔船？ 3：利用数学建模，从问题情境中发现数学问题：分析利用方向、距离确定位置，

引出另一种更简单的坐标思想—极坐标的思想。二、讲解新课： 1、合作探究，概念形成。（1）学生阅读教材P8-P10页；（2）学生表述极坐标的建立，教师结合学生表述，展示PPT对极坐标的概念作深入分析。极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）强调:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置。 2、极坐标系内一点的极坐标的表示对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM的角度，ρ叫做点M的，θ叫做点M的，有序数对(,) ρθ就叫做M的 . 强调:一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数． 3、典型例题例1 写出下图中各点的一个极坐标 A（）B（）C（） D（）E（）F（）G（）【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能

各种坐标系的定义

各种坐标系的定义一：空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点， Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。空间直角坐标系可用如下图所示：二：大地坐标系：大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。附：经度和纬度的详细概念，呵呵。经度和纬度都是一种角度。经度是个面面角，是两个经线平面的夹角。因所有经线都是一样长，为了度量经度选取一个起点面，经1884年国际会议协商，决定以通过英国伦敦近郊、泰晤士河南岸的格林尼治皇家天文台（旧址）的一台主要子午仪十字丝的那条经线为起始经线，称为本初子午线。本初子午线平面是起点面，终点面是本地经线平面。某一点的经度，就是该点所在的经线平面与本初子午线平面间的夹角。在赤道上度量，自本初子午线平面作为起点面，分别往东往西度量，往东量值称为东经度，往西量值称为西经度。由此可见，一地的经度是该地对于本初子午线的方向和角距离。本初子午线是0°经度，东经度的最大值为180°，西经度的最大值为180°，东、西经180°经线是同一根经线，因此不分东经或西经，而统称180°经线。纬度是个线面角。起点面是赤道平面，线是本地的地面法线。所谓法线，即垂直于参考扁球体表面的线。某地的纬度就是该地的法线与赤道平面之间的夹角。纬度在本地经线上三：平面坐标系（这里主要将gis中高斯－克吕格尔平面直角坐标系，不是数学里面的平面坐标系）高斯－克吕格尔平面直角坐标系 Gauss-Krüger plane rectangular coordinates system

高中数学选修4--4简单曲线的极坐标方程教案

三简单曲线的极坐标方程课题: 1、圆的极坐标方程教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程教学重点、极坐标方程的意义教学难点：极坐标方程的意义教学方法：启发诱导，讲练结合。教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程极坐标系的建立是否可以求曲线方程？学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ，则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ，即：ρ＝r

④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程 (１)中心在Ｃ(a ,0)，半径为a ； (２)中心在(a,π/2)，半径为a ； (３)中心在Ｃ(a ,θ０)，半径为a 答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3)0cos()a ρθθ-＝２例2．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3cos(6π θρ-= 为直角坐标方程。三、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 (C) ()() .2cos .2sin 44.2cos 1.2sin 1A B C D ππρθρθρθρθ????=-=- ? ?? ?? ?=-=- 2.极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是多少？ 2 sin (4)π πρθρθρθρ3．说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1)＝２cos(-) (2)＝cos(-)4 3 (3)＝3 ＝６ 2222423020x y x y x y x y x +-+==+==．填空：　(1)直角坐标方程的　极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (2)直角坐标方程－＋１的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿ (3)直角坐标方程９的极坐标方程为＿＿＿＿＿ (4)直角坐标方程３的极坐标方程为＿＿＿＿＿＿＿四、课堂小结： 1．曲线的极坐标方程的概念． 2．求曲线的极坐标方程的一般步骤．五、课外作业：教材28P 1，2 1．在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6 ,3(π C ，半径3=r ，（1）求圆C 的极坐标方程。（2）若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且2:3:=OP OQ ，求动点P 的轨迹方程。

初中数学1实数的概念(学生)

实数的概念课时目标 1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类； 2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根； 3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系. 知识精要 1. 无理数的定义无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类 ???????????????? ?????????正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 4. 平方根的定义如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即 2x a =，那么x 就叫做a 的平方根. 5. 平方根的性质与表示（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根. （2）正数a 的两个平方根可以用 “ a 的正平方根，叫做 a 的正平方根，也叫做a 的算术平方根；a 的负平方根. 6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.

8. 常见的无理数有三种类型：第一类：π型：如π，π+2，…；；第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数；（2）负数的立方根是一个负数；（3）0的立方根是0． 12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数. 14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质（1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示；（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示；负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）；（3）负数的偶次方根不存在；（4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”.

极坐标知识点

1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则????? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，????? ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0. 2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2 ＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M ? ????a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ? ????b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是? ???? x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．

当圆心在(0,0)时，方程为????? x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数． (2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是????? x ＝a cos φ， y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2 a 2＝1(a > b >0)的参数方程是????? x ＝b cos φ， y ＝a sin φ，其中φ是参数． (3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．

极坐标系的概念教案

极坐标系的概念教案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

执教人：高朝孟执教班级：高二年级（18,26,27）班执教时间：2016年06月18日一、教学目标： 1、知识与技能：（1）理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；（2）理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；（3）已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。 2、过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系中刻画点的位置. 3、情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、学情分析学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础上，积累了一定类比、归纳推理等数学思维方法，对极坐标思想有一定的了解。三、教学重点难点：

教学重点：理解极坐标的意义。教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置。三、教学过程：一、问题情境，导入新课：情境1：钓鱼岛问题：中国海警如何确定日本渔船？ 3：利用数学建模，从问题情境中发现数学问题：分析利用方向、距离确定位置，引出另一种更简单的坐标思想—极坐标的思想。二、讲解新课： 1、合作探究，概念形成。（1）学生阅读教材P8-P10页；（2）学生表述极坐标的建立，教师结合学生表述，展示PPT对极坐标的概念作深入分析。极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）强调:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置。

各种坐标系含义

WGS 84 是常用的经纬度的椭球面，也是一个公开的基准面。正转换:经纬度-->高斯投影坐标。大地基准面用于高斯投影，或者高斯分带投影，无论是54，80，还是wgs84，都有可能。在不同的基准面下，同一个点的经纬度不同，投影坐标也不同。地理坐标网（经纬网）为了制作和使用地图的方便，高斯－克吕格投影的地图上绘有两种坐标网：地理坐标网和直角坐标网。在我国1：1万－1：10万地形图上，经纬线只以图廓的形式表现，经纬度数值注记在内图廓的四角，在内外图廓间，绘有黑白相间或仅用短线表示经差、纬差1’的分度带，需要时将对应点相连接，就构成很密的经纬网。在1：20万－1：100万地形图上，直接绘出经纬网，有时还绘有供加密经纬网的加密分割线。纬度注记在东西内外图廓间，经度注记在

南北内外图廓间。直角坐标网（方里网）直角坐标网是以每一投影带的中央经线作为纵轴（X轴），赤道作为横轴（Y轴）。纵坐标以赤道我0起算，赤道以北为正，以南为负。我国位于北半球，纵坐标都是正值。横坐标本应以中央经线为0起算，以东为正，以南为负，但因坐标值有正有负，不便于使用，所以又规定凡横坐标值均加500公里，即等于将纵坐标轴向西移500公里。横坐标从此纵轴起算，则都成正值。然后，以公里为单位，按相等的间距作平行于纵、横轴的若干直线，便构成了图面上的平面直角坐标网，又叫方里网。5 Geographic Coordinate System和Projection Coordinate System的区别和联系：地理坐标系统(Geographic Coordinate System) 1、首先理解地理坐标系（Geographic coordinate system），Geographic coordinate system直译为地理坐标系统，是以经纬度为地图的存储单位的。很明显，Geographic coordinate system是球面坐标系统。我们要将地球上的数字化信息存放到球面坐标系统上，如何进行操作呢？地球是一个不规则的椭球，如何将数据信息以科学的方法存放到椭球上？这必然要求我们找到这样的一个椭球体。这样的椭球体具有特点：可以量化计算的。具有长半轴，短半轴，偏心率。以下几行便是Krasovsky_1940椭球及其相应参数。 Spheroid: Krasovsky_1940 Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000 Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000 Inverse Flattening（扁率）: 298.300000000000010000 然而有了这个椭球体以后还不够，还需要一个大地基准面将这个椭球定位。在坐标系统描述中，可以看到有这么一行：Datum: D_Beijing_1954 表示，大地基准面是D_Beijing_1954。 -------------------------------------------------------------------------------- 有了Spheroid和Datum两个基本条件，地理坐标系统便可以使用。完整参数： Alias: Abbreviation: Remarks: Angular Unit: Degree (0.017453292519943299) Prime Meridian（起始经度）: Greenwich (0.000000000000000000) Datum（大地基准面）: D_Beijing_1954 Spheroid（参考椭球体）: Krasovsky_1940 Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000 Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000 Inverse Flattening: 298.300000000000010000 投影坐标系统(Projection Coordinate System) 2、接下来便是Projection coordinate system（投影坐标系统），首先看看投影坐标系统中的一些参数。Projection: Gauss_Kruger Parameters: False_Easting: 500000.000000 False_Northing: 0.000000 Central_Meridian: 117.000000 Scale_Factor: 1.000000

121函数的概念(1)补充练习

变式训练 1.已知a 、b ∈N *,f (a +b )=f (a )f (b ),f (1)=2,则 )2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________.分析:令a =x ,b =1(x ∈N *), 则有f (x +1)=f (x )f (1)=2f (x ), 即有) ()1(x f x f +=2(x ∈N *). 所以,原式= 2006222++=4012. 答案：4012 2.2007山东蓬莱一模,理13设函数f (n )=k (k ∈N *),k 是π的小数点后的第n 位数字,π= 3.1415926535…,则[]{} 100 )10(f f f 等于________. 分析:由题意得f (10)=5,f (5)=9,f (9)=3,f (3)=1,f (1)=1,…, 则有[]{} 100 )10(f f f =1. 答案：1 2.2007山东济宁二模,理10已知A={a ,b ,c },B={-1,0,1},函数f :A→B 满足f (a )+f (b )+f (c )=0,则这样的函数f (x )有( ) A.4个 B.6个 C.7个 D.8个活动：学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不同的函数,因此对f (a ),f (b ),f (c )的值分类讨论,注意要满足f (a )+f (b )+f (c )=0. 解：当f (a )=-1时, 则f (b )=0,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个; 当f (a )=0时, 则f (b )=-1,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=-1或f (b )=0,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有3个; 当f (a )=1时, 则f (b )=0,f (c )=-1或f (b )=-1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个. 综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个). 故选C. 点评：本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数. 变式训练若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y =x 2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( ) A.9个 B.8个 C.5个 D.4个分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数. 令x 2=1,得x =±1;令x 2=4,得x =±2. 所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},

2017年中考实数的概念及分类

第一章实数考点一、实数的概念及分类（3分） 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分） 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。考点三、平方根、算数平方根和立方根（3—10分） 1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a 的平方根记做“a ± ”。 2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性：

坐标系的概念

坐标系的概念东伪偏移falseEasting falEastng ：投影平面中为避免横轴(经度方向)坐标出现负值,而所加的偏移量.我国规定将高斯-克吕格投影各带纵坐标轴西移500公里,因此高斯-克吕格投影东伪偏移值为500公里。如:500000,表示投影的东伪偏移值为500公里。北伪偏移falseNorthing falNorthng ：投影平面中为避免纵轴(纬度方向)坐标出现负值,而所加的偏移量,高斯-克吕格投影需在此注明北伪偏移值,我国高斯-克吕格投影北伪偏移值为0 。如:0,表示投影的北伪偏移值为0 。一：需要用到的几个基本概念-------- 球面坐标系 1. 几个常涉及到的名词的中英文对照：地形面（Topography）；大地水准面（Geoid）；参考椭球面（Reference Ellipsoid）；基准（Datum）； 2. 基准：就是一组用于描述其他量的量，比如，描述空间位置的基准为位置基准；描述时间的基准为时间基准。具体的例子如：位置基准-----椭球有原点、尺度、定向；时间基准-----起点、尺度等。 3. 坐标系转换：首先坐标参照系是由基准和坐标系两部分构成的，坐标系转换实质上是在基准相同的情况下，坐标系之间的相互转换。比如：在同一基准下（即地球椭球的参数、定位、定向等不变），同一个点既可以用空间直角坐标表示，也可以用大地坐标表示；或者在站心坐标系中，同一个点级可以用站心地平坐标表示，也可以用站心极坐标法表示。（从这我们也就很容易地明白了：基准转换实质上是基准发生了变化即椭球及其定位定向发生了改变）（无论基准和坐标系哪一个发生了变化就会导致坐标参照系的改变） 4. 基准转换：实质上是将同一点从某一个基准或坐标参照系下的坐标转换到另一种坐标基准或者坐标参照系下去，即两种基准（椭球参数、定位、定向）之间的转换。比如：旧BJ54坐标系下的坐标和CGCS2000大地坐标系之间的转换（因为前者是参心坐标系，后者是地心坐标系） 5. 大地基准：是指用于定义地球参考椭球的一系列参数，主要包括：椭球的大小和形状-----只要有长半轴a(Semo--major Axis)和扁率f (Flattening)即可（注意扁率和偏心率不是一个概念），其他参数均可由他们两个推导得出；椭球短半轴(Semi--minor Axis)指向（Orientation）：通常与地球的自转轴平行；（另外它还和极移和章动有联系）椭球中心的位置：根据需要确定，若为地心则称为地心椭球，否则称为参心椭球；（注意参考和参心的不同含义）

极坐标系的概念

二、极坐标系的概念教学目标：知识与技能：理解极坐标的概念,掌握极坐标和直角坐标的互化关系式过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点难点：教学重点：理解极坐标的意义,对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置,互化关系式的掌握教学过程：一、复习引入：情境1：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．二、讲解新课：从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）强调:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置 2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM ρθ就叫做M的的角度，ρ叫做点M的，θ叫做点M的，有序数对(,) . 强调:一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．三．典型例题例1 写出下图中各点的极坐标 A（）B（）C（） D（）E（）F（）G（）【反思感悟】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了． ①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？

极坐标系教案

极坐标系的概念一、教学目的：知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、重难点：教学重点：理解极坐标的意义教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、复习引入：情境1：去十八中学怎么走？方案1：以哈药路为X轴，以新阳路为Y轴... 方案2：从这向南走2000米。提问：那种回答更简单准确呢？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．（二）、讲解新课：从情镜1中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM 的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 . 我们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3.M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ （三）、应用导练例1 写出下图中各点的极坐标（见教材P10页） A （4，0） B （2，2π） C （6，43π ） D （4， -43π ） E （6，0-120 ） F （-6，π3） G （-3，3π2）反思归纳：（1）、平面上一点的极坐标是否唯一？（2）、若不唯一，那有多少种表示方法？（3）、坐标不唯一是由谁引起的？（4）、不同的极坐标是否可以写出统一表达式。约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。变式训练：在极坐标系里描出下列各点 A （3，0） B （6，2π） C （3，2 π） D （5，34π） E （3，65π）F （4，π）G （6，3 5π）练习1.在极坐标系中，的点的集合构成的曲线是（） A.圆 B 线段 C 点 D 直线 2.与表示同一点的是（） A B C D 3.下列各点的相互位置关系： (1)A.B 关于极轴所在直线对称（2）A.C 关于极点对称（3）A.D 关于垂直于极轴且过极点的直线对称。其中正确的是—— 4.已知M 的极坐标为（5，θ）且θ= 3π，写出符合条件的点A 的极坐标：ρ>0, -2π<θ<0 解：当ρ>0时，点A(5， 3π)的极坐标的一般形式为（5，π32Кπ+）（K ∈Z ） 2ρ=36π（，）36π（，-）736π（，）1136π（，-）536π（，）42A 2B(2,-) C(2,) D(2,)3333ππππ（，）

极坐标的概念

（一）极坐标概念确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。 1.1极坐标系定义在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（ρ，θ）。 1.2平面内的点与极坐标系的关系平面内有一点P，|OP|用ρ表示，ρ称为P点的极径；OX到OP的角θ叫极角，P（ρ，θ）为极坐标。 (1)有一组极坐标（ρ，θ）能在极坐标系中找唯一的点与其对应； (2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。 ①P点固定后，极角不固定。（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ）（k∈z）表示同一点坐标； ②P点固定后，ρ的值可正、可负。ρ＞0时，极角的始边为OX轴，终边为线；ρ＜0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：ρ=0时，极角为任意角，如（ρ，θ）与（ρ，2kπ+θ)及（-ρ，2kπ+π+θ)(k∈z)表示同一点。 ∴极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。例1.在极坐标系中，点P（ρ，θ）与Q（-ρ，2π-θ）的位置是（） A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线（ρ∈R）对称分析：Q（-ρ，2π-θ）与（ρ,π-θ）表示同一点，它与点P（ρ，θ）关于直线（ρ∈R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。故选D。

极坐标系教案

《极坐标系》教学设计方案教学目标知识与技能 1.认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置； 2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。过程与方法 1.通过观看图片，让学生直观感受引进极坐标的必要性； 2.运用类比方法，经历极坐标的建立过程； 3.通过学生动手描点，得出极坐标的多值性。情感、态度与价值观 1.培养学生的类比思想，培养探究,研讨,综合自学应用能力； 2.培养学生分析问题，解决问题的能力。重点难点重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识教学过程一、新课导入 1.平面直角坐标系是最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系。有时用别的坐标系比较方便。还有什么坐标系呢？我们先看下面的问题：（投影图片,让学生直观感受引进极坐标的必要性。） 2.在以上问题中，位置是用什么方法确定的？ 3.在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。二、探究新知问题：类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立极坐标系？（学生思考，抽生回答，并补充，最后教师总结。） 1.极坐标系的概念 (1)概念: 在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；

再选定一个长度单位，一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 (2)点的极坐标的规定: 如图：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ；有序实数对( ,ρθ)叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ；一般地，不做特殊说明时，我们认为0,ρθ≥∈R 。 (3)极坐标系下点与它的极坐标的对应情况: 问题:在同一极坐标系中描点这些点有什么关系?你能从中体会直角坐标与极坐标在刻画点的位置时的区别吗？从以下方面探究： ① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不惟一，那有多少种表示方法？ ③ 坐标不惟一是由谁引起的？ ④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？结论： 1)给定（ρ,θ），在极坐标平面内确定惟一的一点M ； 2)给定平面上一点M ，但却有无数个极坐标与之对应；原因在于：极角有无数个； 3)一般地，极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2k π) 表示同一个点； 4)特别地，极点O 的坐标为(0,θ)(θ∈R)； 5)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。 2.极坐标和直角坐标的互化问题：平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么，这两种坐标之间有什么关系呢？（学生思考，并回答）（1）互化的前提： ①极点与直角坐标的原点重合； ②极轴与X 轴的正方向重合； ③两种坐标系中取相同的长度单位。（2）互化公式：设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，极坐标是(ρ,θ)。则极坐标与直角坐标的互化公式为： ? ?? ????? ??+??? ??+??? ??πππππππ2-6446426464，，，，，，，

极坐标系的概念教案.docx

课题: 选修 4-4 《1.2.1极坐标系的概念》执教人：高朝孟执教班级：高二年级（18,26,27 ）班执教时间： 2016 年 06 月 18 日一、教学目标： 1、知识与技能：（1）理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；（2）理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；（3）已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。 2、过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系中刻画点的位置. 3、情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、学情分析学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础上，积累了一定类比、归纳推理等数学思维方法，对极坐标思想有一定的了解。三、教学重点难点：教学重点：理解极坐标的意义。教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置。三、教学过程：一、问题情境，导入新课：情境 1：钓鱼岛问题：中国海警如何确定日本渔船？ 3：利用数学建模，从问题情境中发现数学问题：分析利用方向、距离确定位置，

引出另一种更简单的坐标思想—极坐标的思想。二、讲解新课： 1、合作探究，概念形成。（1）学生阅读教材 P8-P10 页；（2）学生表述极坐标的建立，教师结合学生表述，展示 PPT 对极坐标的概念作深入分析。极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中 O称为极点，射线 OX称为极轴。）强调 : 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置。 2、极坐标系内一点的极坐标的表示对于平面上任意一点M ，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点 M 的，叫做点 M 的，有序数对( , )就叫做 M 的.强调 : 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥ 0，θ可取任意实数．特别地，当点 M在极点时，它的极坐标为 (0 ，θ) ，θ可以取任意实数． 3、典型例题例 1 写出下图中各点的一个极坐标 A（）B（）C（） D（）E（）F（）G（）【反思感悟】(1) 写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能

实数知识点及易错题型

《实数》复习与回顾一、知识梳理 1.平方根（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的________.0的算术平方根是_____。（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的_______。（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________；0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。（4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。 2.立方根（1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的立方根。（2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。（3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。 3.实数（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。（2）实数的定义：_____和_____统称实数。（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。（5）有关概念：在实数围，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数

围的意义_____。 4.实数的运算：（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为 __________；__________。二、考点例析考点1 平方根、立方根的定义与性质例1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。 ①625 ②（－2）2 ③（－1）3 （2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。 ①27 1 ②－343 ③－2 2 分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±625=±25；② 因为（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±2)2( =±2； ③因为（－1）3=－1<0, 故其不存在平方根。（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。

坐标的基本概念

坐标的基本概念坐标系的由来传说中有这么一个故事：有一天，笛卡尔（1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点P来表示它们。同样，用一组数（a，b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。

一、大地坐标系大地坐标系是大地测量中以参考椭球面为基准面建立起来的坐标系。地面点的位置用大地经度、大地纬度和大地高度表示。大地坐标系的确立包括选择一个椭球、对椭球进行定位和确定大地起算数据。一个形状、大小和定位、定向都已确定的地球椭球叫参考椭球。参考椭球一旦确定，则标志着大地坐标系已经建立。大地坐标系是以地球椭球赤道面和大地起始子午面为起算面并依地球椭球面为参考面而建立的地球椭球面坐标系。它是大地测量的基本坐标系，其大地经度L、大地纬度B和大地高H为此