费马点与中考试题
识别“费马点”思路快突破
例1 探究问题：
（1）阅读理解：
①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则
称点P为△ABC的费马点，此时P A＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离.
②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理.
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的?BC上任意一点.求证：PB＋PC＝P A.
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在?BC上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C）
＝P′A＋；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离.
（3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为
解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.
（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小.
特殊三角形中：
(2)三内角皆小于120°的三角形，分别以AB，BC，CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1，ACB1，BCA1，然后连接AA1，BB1，CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点.
(3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求.
(4)当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合.
可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是
例2 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：△AMB≌△ENB；
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
3 时，求正方形的边长.
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为1
A D
B C
思路探求：⑴略；
⑵ ①要使AM ＋CM 的值最小，根据“两点之间线段最短”，需设法将AM ＋CM 转化为一条线段，连接AC 即可获取；
②要使AM ＋BM ＋CM 的值最小，由例3积累的知识经验：点M 应该是△ABC 的费马点.由例3中（2）的求解示范，只要连接CE 即可获得CE 为AM ＋BM ＋CM 的值最小.这样获到M 点至少帮助我们在思路获取上提高了效率.理由说明供助于第（1）问的全等获得BM=BN ，将三条线段转化到CE 上去，问题化为两点之间线段最短.
⑶根据题意，添加辅助线，构造直角三角形，过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F . 设正方形的边长为x ，则BF ＝
23x ，EF ＝2x .在Rt △EFC 中，由勾股定理得（2x ）2＋（23x ＋x ）2＝()213+，解得即可.
简答：⑴略；
⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小.
②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，
AM ＋BM ＋CM 的值最小.
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB ≌△ENB
∴AM ＝EN .
∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ，
∴△BMN 是等边三角形.
∴BM ＝MN .
∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM .
根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短
∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长.
⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF ＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x ，则BF ＝23x ，EF ＝2
x . 在Rt △EFC 中，∵EF 2＋FC 2＝EC 2，∴（2x ）2＋（23x ＋x ）2＝()2
13+. 解得，x ＝2（舍去负值）.∴正方形的边长为2.
F A D B C
点评：本题中“AM＋BM＋CM的值最小”如果没有费马点的知识积累，会在探究点M的位置上花费不少时间，这对紧张的考试来说，势必造成“隐性失分”．
“费马点”与中考数学试题
“费马点”与中考数学试题 费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． △三个顶点的距离之和P A+PB+PC最小？这就下面简单说明如何找点P使它到ABC 是所谓的费尔马问题． 图1 解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′． 则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC， 所以P A+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小． 这时∠BP A=180°-∠APP′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BP A-∠APC=360°-120°-120°=120° △的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是因此，当ABC 120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点． 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考． 例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离26
费马点问题(含答案)
费马点的问题 定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。 性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 3．费马点为三角形中能量最低点。 4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。 例1：已知：△ABH是等边三角形。 求证：GA+GB+GH最小 证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。 ∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。 以HB为边向右上方作等边三角形△DBH. 以HG为边向右上方作等边三角形△GHP. ∵AH=BH=AB=12. ∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°. ∴A、G、P三点一线。 再连PD两点。 ∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°. ∴∠PHD=30°,.
在△HGB和△HPD中 ∵HG=HP ∠GHB=∠PHD； HB=HD； ∴△HGB≌△HPD；（SAS） ∴∠HPD=∠HGB=120°； ∵∠HPG=60°. ∴G、P、D三点一线。 ∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。 ∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. ∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。 例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。 求证：GA+GB+GC最小
最值问题(费马点)
最值问题2（费马点） 1、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值． 2、已知：P是边长为1的等边三角形ABC内的一点，求PA+PB+PC的最小值．
图2 图1 A' P P A A B C B C 3、（延庆）（本题满分4分）阅读下面材料： 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ' ,当点A 落在C A ' 上时,此题可解（如图2）． 请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简） 图3 C A B P
4、(朝阳二模)阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30o，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接P A 、PB 、PC ，求P A +PB +PC 的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60o，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求． （1）请你写出图2中，P A +PB +PC 的最小值为 ； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： ①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60o，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3 中画出并指明长度等于P A +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当P A +PB +PC 值最小时PB 的长． D E A C B P 图 2 D A C B 图 3 A C B P 图1
专题67 费马点中三线段模型与最值问题(解析版)
专题67 费马点中三线段模型与最值问题 【专题说明】 费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。 主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。 （2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点. 费马点问题解题的核心技巧： 旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题 【模型展示】 问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小． A P B C 【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线 段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等． （1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE． （2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE． （3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）
（4）以BC 为边作等边△BCF ，连接AF ，必过点P ，有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°． 在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ． 有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！ 【精典例题】 1、如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将∠ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∠EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ） A ． 2 B ． C ． 3 D ． 3 【答案】D 【详解】 解：如图，
中考专题费马点讲义与练习
图4—11 C B A 从“费马点”说起 前言 解题 题海战术 通性通法 过程与结果 内化 一、走近费马点 1．（浙教版数学八下P82）设计题 你听说过费马点吗？如图4—11，P 为△ABC 所在平面上一点。如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P 就叫做费马点。费马点有许多有趣并且有意义的性质，例如，平面内一点P 到△ABC 三顶点的距离之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小。假设A,B,C 表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短。若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上。 请按下列步骤对费马点进行探究： （1） 查找有关资料，了解费马点被发现的历史背景； （2） 在特殊三角形中寻找并验证费马点。例如，当△ABC 腰三角形或直角三角形时，费马点有哪些性质？ （3） 你的小论文。 2．（2009年浙江省湖州市中考题）若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点. （1）若点P 为锐角ABC △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则PB 的值为________； （2）如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′. 求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′=PA PB PC ++. 3．（2010年湖南省永州市中考数学试题）探究问题： (1)阅读理解： ①如图(1)，在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离． ②如图(2)，若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ·CD+BC ·DA=AC ·BD ，此为托勒密定理． (2)知识迁移：
中考数学押轴题型-费马点相关问题
费马点及其在中考中的应用 一、费马点的由来 费马(Pierre de Fermat，1601—1665)是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承1 7世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”． 二、探索费马点 1．当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．
下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得A C′=AC， 作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′= AP．即把△APC以A为中心做旋转变换．则△APC≌△AP′C′， ∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤6 0°．∴在等腰三角形PAP′中，AP≥P P′， ∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′= AB+AC．所以A是费马点． 2．如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为 120°的点．
如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′B P′．因为旋转60°，且PB=P′B，所以△P′PB为正三 角形．因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC． 由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC =P′A′+P′P+PC为最小． 当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°．同理，若P′，P，C共线时，则∵∠ BPP′=60°，∴∠BPC=120°． 所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点． 费马点相关问题 等腰直角三角形,已知在直角平分线上的一点P,PA+PB+PC最小值为√6 +√2，求直角边的长度？ 解答：如图 将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD=60度， 三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA， 所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DE+PD+P B最小，这时角BPC=120度，角APC=EDC=120。 下证这时的点P就在角ACB的平分线上。 在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度， 得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，点P在角ACB的平分线上。 所以点P是这样一个点：它使角APC=BPC=APB=120度（这个点叫三角形的费马点）。 延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度， 设PF=x，则PA=PB=2x ，AF=CF=√3*x，PC=(√3-1)x， 有2x+2x+(√3-1)x=√6+√2，x=1/3√6。
中考数学压轴题专题费马点
专题9 费马点 破解策略 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． 1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明： 如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP ＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP 所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点 2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．
如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点 证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC ＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心
胡不归及费马点问题
胡不归及费马点问题 一．选择题（共2小题） 1．如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为（） A．+B．+C．4 D．3 2．如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（） A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，） 二．填空题（共5小题） 3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为． 4．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的
最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．） 5．等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（﹣1，0），在y轴上有一动点G，则BG+AG的最小值为． 7．如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是．
“PA+k·PB”型的最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿氏圆、费马点)
“PA+k·PB”型的最值问题 当k 值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”模型来处 理，即可以转化为轴对称问题来处理。 当k 取任意不为1的正数时，通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。 其中 点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 一、“将军饮马”模型 “将军饮马”：把河岸看作直线L ，先取A （或B ）关于直线L 的对称 点A′（或B′），连接A′B （或B′A ），并与直线交于一点P ，则点P 就是 将军饮马的地点，即PA+PB 即为最短路线。 例1. 如图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线 交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小 值是 。 例2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，动点P 满足S △PAB ＝ 31S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA+PB 的最小值为 ． 例3. 如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动 点，OP 平分∠AOB ，且OP=6，△PMN 的周长最小值为 ； 当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 。 变式：“造桥选址”模型 例4. 如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=302．试在直线a 上找 一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度 和最短，则此时AM+NB 的值为 。 例5. 如图，CD 是直线y=x 上的一条定长的动线段，且CD=2，点A （4，0），连接AC 、AD ，设C 点横坐标为m ，求m 为何值时，△ACD 的周长最小，并求出这个最小值。
四边形中的最值问题专题(提纲)
主备（讲）人：八年级10班邓永豪 路在脚下 志在我心 全力以赴 永创辉煌 四边形中的最值问题 例1 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ） A.1 B. √3 C ．2 D ．√3＋1 试一试 化动为静，先确定K 点位置，从特殊位置切入。 （2012年台州市中考题） 例2 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ） A ． B ． C . 2 D.3 试一试 三角形任两边之和大于第三边。 （2012年济南市中考题） 例3 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，△AMB ≌△ENB 。 求证： （1）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小。 ②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由。 试一试 连接M 、N ，将AM 、BM 、CM 替换。 （2）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为√3+1时，求正方形的边长。 试一试 ①等腰三角形三线合一 ②构建直角三角形求正方形边长 （2010年宁德市中考题） ①求线段最值常用的方法： 1.两点之间线段最短 例：如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD =60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是_________________。 2.垂线段最短。 例： (09陕西) 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是_____________。 3.斜边大于直角边。 4.三角形任两边之和大于第三边。 例：已知菱形ABCD ，点P 是OD 上一点，当AP+CP 值最大时，点P 于何位置？___________________________。 ②线段长度最值常与图形运动、点运动相关联，需理清静点与动点、常量与变量，动静转化。 拓展：费马点： 1.若给定一个三角形△ABC 的话，从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A 、B 、C 的距离之和比从其它点算起的都要小。 2.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。 3.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 D A C E P
费马点与中考试题
识别“费马点”思路快突破 例1 探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小， 则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离. ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理 . （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点.求证：PB＋PC＝PA. A BC ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆； 第二步：在上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C） A BC ＝P′A＋； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离 . （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.
简解：（2）①证明：由托勒密定理可知PB ·AC ＋PC ·AB ＝PA ·BC ∵△ABC 是等边三角形 ∴ AB ＝AC ＝BC ∴PB ＋PC ＝PA ②P ′D AD （3）解：如图，以BC 为边长在△ABC 的外部作等边△BCD ，连接AD ，则知线段AD 的长即为△ABC 的费马距离. ∵△BCD 为等边三角形，BC ＝4， ∴∠CBD ＝60°，BD ＝BC ＝4. ∵∠ABC ＝30°， ∴∠ABD =90°. 在Rt △ABD 中，∵AB ＝3，BD ＝4 ∴AD ＝5（km ） ∴从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度的最小值为5km. 点评：此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体，题型新颖别致，综合考查自主探究、创新应用能力，是一道不可多得的好题.命题者设置成递进式问题，后续问题的思路获取、求解都靠对上一结论的解读、利用，这也是近年“课题学习”考查的一大风向，值得重视. 如果说例1只是以“费马点”为课题学习的素材进行了考查，为了帮助同学们更好的理解三角形的费马点，我们补充几点： （1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小. 特殊三角形中： (2)三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB ，BC ，CA ，为边，向三角形外侧做正三角形ABC 1，ACB 1，BCA 1，然后连接AA 1，BB 1，CC 1，则三线交于一点P ，则点P 就是所求 的费马点. (3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC 为等边三角形时，此时外心与费马点重合. 可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是 2010年福建宁德一道考题对这个知识考查显得隐蔽了，请看：
最新“费马点”与中考试题
“费马点”与中考试题 费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． △三个顶点的距离之和P A+PB+PC最小？这就下面简单说明如何找点P使它到ABC 是所谓的费马问题． 图1 解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′． 则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC， 所以P A+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小． 这时∠BP A=180°-∠APP′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BP A-∠APC=360°-120°-120°=120° △的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是因此，当ABC 120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点． 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考． 例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离26
费马点最值问题
费马点 破解策略 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离. 若三角形的内角均小于120°那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°则此钝角的顶点就是到三个 顶点距离之和最小的点. 1?若三角形有一个内角大于等于120°则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ ABC中，/ BAC> 120°求证：点A ABC的费马点 证明： 如图，在△ ABC内有一点P延长BA至C,使得AC = AC,作/ CAP = / CAP, 并且使得AP = AP,连结PP 贝山APCAPC, PC= PC 因为/ BAC> 120° 所以/ FAP = / CAC< 60 所以在等腰△ PAP中，AP > PP 所以PA+ PB + PC> PP+ PB + PC>BC = AB + AC 所以点A ABC的费马点
2?若三角形的内角均小于120°则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两 个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点. 如图，在△ ABC中三个内角均小于120°分别以AB、AC为边向外作等边三角形， 两个等边三角形的外接圆在△ ABC内的交点为0,求证：点0 ABC的费马点证明：在△ ABC内部任意取一点0,;连接0A、OB、0C 将厶A0C绕着点A逆时针旋转60°得到△ AO'D连接00’则0'D = 0C 所以△ A00 '为等边三角形，00'= A0 所以0A+ 0C+ 0B = 00'+ 0B + 0 D 则当点B、0、0、D四点共线时，0A+ 0B+ 0C最小 此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ ABC内的交点即 为点0 如图，在厶ABC中，若/ BAC、/ ABC、/ ACB均小于120° 0为费马点，则有/ A0B =/ B0C =Z C0A = 120°所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心 例1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一6,0），点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（6, 4.3 ），延长AC至点D使得CD = AC，过点DE作DE//AB，交BC的延长线于点E,设G为y轴上的一点，点P从直线y= 3x + 6 3与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A所用的时间最短 解：??t_ GM GA 2GA GM 2v v 2v ???当2GA+ GM最小时，时间最短 如图，假设在0M上存在一点G,贝y BG = AG
费马点最值问题(中考备考宝典)
费马点最值问题 例题精讲 例1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为． 例2：如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点． （1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．求证：△ABP∽△BCP； （3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2） ①求∠CPD的度数； ②求证：P点为△ABC的费马点．
强化练习 1、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，BC= ，点O 为Rt △ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO ，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，则OA+OB+OC= ． 2、如图，在四边形ABCD 中，60B ο∠=，AB=BC=3，AD=4，90BAD ο∠=，点P 是形内一点，则PA+PB+PD 的最小值为________ 第1题图 第2题图 3、如图，点P 是矩形ABCD 对角线BD 上的一个动点，已知 ， ， 则 的最小值是_______ 4、如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC ＝6，∠ABC ＝150°，则线段 AP ＋BP ＋PD 的最小值为________ 第3题图 第4题图 P D C A
5、（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于F ，连AF ， 求证：AF +BF +CF ＝CD ； （2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A ，∠C 均小于120°，求作一点P ， 使PA +PB +PC 的值最小，试求出最小值并说明理由． 图① D 图② C A
中考中的费马点详解加练习
皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。 之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。 费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。 著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王。“贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。 费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。 托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，
因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。 这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。 “费马点”是指位于三角形且到三角形三个顶点距离之和最短的点。 若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。 这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。 1.若三角形3个角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的角相等，均为120°。 所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。2.若三角形有一角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
最值问题(费马点)
最值问题2 （费马点） 2、已知：P是边长为1的等边三角形ABC内的一点, PA+PB+PC的最小值.求PA+PB+PC的最小值.
3、（延庆）（本题满分 4分）阅读下面材料: 阅读下面材料： 1 ,在△ ABC （其中∠ BAC 是一个可以变化的角）小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合. 他的方法是以点 B 为旋转中心将△ ABP 逆时针旋转60。得到△ A BC,连接A 'A ,当点A 落在A C 上时,此 题可解（如图2）. 请你回答：AP 的最大值是 ___________ . 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3,等腰Rt △ ABC .边AB=4,P ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 ___________ .（结果可以不化简） 中, AB=2，AC=4 ,以BC 为边在 BC 的下方作等边△ PBC ,求AP 的最大值。 小伟遇到这样一个问题：如图 图1
4、(朝阳二模)阅读下列材料: 内部有一点P，连接FA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值. 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了?他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题?他的做法是，如图2,将厶APC绕点C顺时针旋转60o, 得到△ EDC ,连接PD、BE ,则BE的长即为所求. (1)请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为 __________ ; (2)参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： ①如图3,菱形ABCD中，∠ ABC=60o,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3 中画出并 指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段(保留画图痕迹，画出一条即可)； ②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB + PC值最小时PB的长. 小华遇到这样一个问题，如图1, △ ABC 中，∠ ACB=30o, BC=6，AC=5，在^ABC 图1 图2 图3
中考中的费马点问题
费马点 “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点. 若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C 的距离之和比从其它点算起的都要小. 这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个. 【定义】 1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。） 2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点. 【费马点问题】 问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 图文解析： 如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′， ∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′． ∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′ 为定长 ∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小 值为BA.′ 【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】 ∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°， ∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°. 因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
2020年中考复习-数学费马点问题
费马点问题 背景：费马问题(Fermat problem)是著名的几何极值问题。费马(Fermat , P. de)曾提出一问题征解：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和为极小。”它的答案是： 当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心； 当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点。 在费马问题中所求的点称为费马点。 先透过一道阅读理解题来深度见识下费马点 例1：背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”． 如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，此时，P A+PB+PC的值最小． 解决问题： （1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝； 基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明； 能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求P A+PB+PC的值．
高中数学圆锥曲线最值系列之费马点
最值系列之费马点 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等． 据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年． 果然，数学搞得好的都是装x的一把好手． 言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点． 问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小． 【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线 的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等． 阿哈哈哈，此处一个也用不上！ 其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一 些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！ 算了算了，不墨迹了，直接报答案了： 若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角 形的费马点． 接下来讨论3个问题： （1）如何作三角形的费马点？ （2）为什么是这个点？ （3）费马点怎么考？
一、如何作费马点 问题要从初一学到的全等说起： （1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE． （2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE． （3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了） （4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°． 在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE． 有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！ 但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC<120°，若120 ∠≥?,这个图就不是这个图了，会长成这个样子： BAC 此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和．所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A点！当然这种情况不会考的，就不多说了．
费马点与中考试题
费马点与中考试题 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】
识别“费马点”思路快突破 解题的成功取决于多种因素，其中最基本的有：解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经验因素和解题的非智力因素，这也就是我们常说的解题基本功．可见解题的知识因素是第一位的，足以说明它的重要性．下面我们从解题的知识因素上关注两道中考题的思路获取． 例1 （2010湖南永州）探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距 离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离. ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理. （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点.求证：PB＋PC＝PA. ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在BC上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C）＝P′A＋； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离. （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值. 思路探求：（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证. ②问，借用①问中对于费马点的定义结论容易获解. （3）知识应用，模仿（2）的图形，先构造正三角形，由（2）中的结论，再计算AD即为最小距离. 简解：（2）①证明：由托勒密定理可知PB·AC＋PC·AB＝PA·BC ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝AC＝BC ∴PB＋PC＝PA