费马点及其在中考中的应用
费马点及其在中考中的应用
一、费马点的由来
费马(Pierre de Fermat，1601—1665)是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承17世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”．
二、探索费马点
1．当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．
下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得AC′=AC，
作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′=AP．即把△APC以A为中心做旋转变换．则△APC≌△AP′C′，
∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤60°．
∴在等腰三角形PAP′中，AP≥PP′，
∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC．
所以A是费马点．
图
1
图2
2．如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为
120°的点．
如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′BP′．因为旋转60°，且PB=P′B，所以△P′PB为正三角形．
因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC．
由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC为最小．
当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°．同理，若P′，P，C共线时，则∵∠BPP′=60°，∴∠BPC=120°．
所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点．
三、费马点的简单应用
近几年，在全国各地的中考中，时常可以看见费马点的影子．
例1(2009浙江湖州--25)
若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
(1)若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，
则PB的值为________；
(2)如图3，在锐角△ABC外侧作等边△ACB，连结BB′．
求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．
解：(1)∵∠PBA+∠PBC=∠PBC+∠PCB=60°，∴∠PBA=∠PCB．
又∠APB=∠BPC=120°，
∴△PBA∽△PCB，则PB2=PA×PC=12，即PB=2
．
(2)证明：在BB′上取点P，使∠BPC=120°，连结AP，再在PB′上
截取PE=PC，连结CE．
∵PC=CE，AC=CB′，∠PCA=∠ECB′，
∴△ACP≌△B′CE．
∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′．
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P为△ABC的费马点，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．
例2 (2009北京) 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个点的坐标分别为A(-6，0)，B(6，0)，
C(0，4)，延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB，交BC的延长线于点E．
(1)求D点的坐标；
(2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF，EF，若过B点的直线y=kx+b
将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，试确定此直线的解析式；
(3)设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿
y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A
点所用的时间最短．(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)
【析】本题第三问要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明．如果不知原理，比较难找，用常规数学的方法，会涉及到一元二次方程的判别式的问题，并不容易想到．而用费马点的知识就能轻松找出这个G点．
由于直线y=kx+b与y轴的交点坐标在第二问当中可求出M(0，6)，所以，本题第三问便可以转化为：AO⊥OM于点O，AO=6，MO=6，G点从M出发，向O 点运动到达G点后，再沿GA到达A点．若G点在MO上运动的速度是它在GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置．
(如图5，G点按照上述要求到达A点所用的时间为t)
解法一：方程解法
设GO=x，则MG=6-x，AG=，
则t=，
移项平方得：3x 2+(12
-4t)x +36+24t-4t 2=0， ∵方程有解，
Δ=(12
-4t)2-12(36+24t-4t 2)≥0 解得t ≥6， 将t=6
代回方程，求出x=2时，t 最小．
解法二：费马点解法
如图6，要使MG+AG 最小，即使MG+2AG 最小．
作A 关于MO 的对称点A'，
则MG+2AG=MG+AG+A'G ，
即MG+AG+A'G 最小．故G 为△AA'M 的费尔马点．作∠GAO=30°，交MO 于G 点，则∠AGM=∠A'GM=∠AG A'=120°，故G 点为所求． OG=2
． 由此利用费马点的解法可以看出：
当动点G 在OM 上的运动速度是在AG 上的2倍的时候，动点的位置与MO 的长度无关，与AO 的长度有关，GO 长是AO 长的倍．
2009北京中考25题最后一问不需证明其实证明也很简单！（仅供参考）
Q N
O M
G K
B
A
其中K 为DE 与y 轴的交点，由前两个问题容易得知ABK ?为等边三角形， G 为y 轴上的任意一点，作GN BK ⊥,30BKO ∠=?,∴12GN KG =
,故速度为2v 走完KG 所用的时间等于速度为v 走完GN 所用的时间，即2KG GN v v
=，故以2v 速度走完KG 和以v 走完GA 的时间和，其实就是以v 速度走完路程AG GN +,由速度一定，路程最短，时间最少！再由垂线段最短,最短路程就是AM ,此时G 点就是Q 点。求该点坐标就不难了！
“费马点”与中考数学试题
“费马点”与中考数学试题 费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． △三个顶点的距离之和P A+PB+PC最小？这就下面简单说明如何找点P使它到ABC 是所谓的费尔马问题． 图1 解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′． 则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC， 所以P A+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小． 这时∠BP A=180°-∠APP′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BP A-∠APC=360°-120°-120°=120° △的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是因此，当ABC 120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点． 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考． 例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离26
最值问题(费马点)
最值问题2（费马点） 1、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值． 2、已知：P是边长为1的等边三角形ABC内的一点，求PA+PB+PC的最小值．
图2 图1 A' P P A A B C B C 3、（延庆）（本题满分4分）阅读下面材料： 阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A ’BC,连接A A ' ,当点A 落在C A ' 上时,此题可解（如图2）． 请你回答：AP 的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等腰Rt △ABC ．边AB=4,P 为△ABC 内部一点， 则AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简） 图3 C A B P
4、(朝阳二模)阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30o，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接P A 、PB 、PC ，求P A +PB +PC 的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60o，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求． （1）请你写出图2中，P A +PB +PC 的最小值为 ； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： ①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60o，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3 中画出并指明长度等于P A +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当P A +PB +PC 值最小时PB 的长． D E A C B P 图 2 D A C B 图 3 A C B P 图1
费马点问题(含答案)
费马点的问题 定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这一结果为最短路线原理。 性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 3．费马点为三角形中能量最低点。 4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。 例1：已知：△ABH是等边三角形。 求证：GA+GB+GH最小 证明：∵△ABH是等边三角形。G是其重心。 ∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。 以HB为边向右上方作等边三角形△DBH. 以HG为边向右上方作等边三角形△GHP. ∵AH=BH=AB=12. ∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°. ∴A、G、P三点一线。 再连PD两点。 ∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°. ∴∠PHD=30°,.
在△HGB和△HPD中 ∵HG=HP ∠GHB=∠PHD； HB=HD； ∴△HGB≌△HPD；（SAS） ∴∠HPD=∠HGB=120°； ∵∠HPG=60°. ∴G、P、D三点一线。 ∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。 ∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. ∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。 例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。 求证：GA+GB+GC最小
中考专题费马点讲义与练习
图4—11 C B A 从“费马点”说起 前言 解题 题海战术 通性通法 过程与结果 内化 一、走近费马点 1．（浙教版数学八下P82）设计题 你听说过费马点吗？如图4—11，P 为△ABC 所在平面上一点。如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P 就叫做费马点。费马点有许多有趣并且有意义的性质，例如，平面内一点P 到△ABC 三顶点的距离之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小。假设A,B,C 表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短。若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上。 请按下列步骤对费马点进行探究： （1） 查找有关资料，了解费马点被发现的历史背景； （2） 在特殊三角形中寻找并验证费马点。例如，当△ABC 腰三角形或直角三角形时，费马点有哪些性质？ （3） 你的小论文。 2．（2009年浙江省湖州市中考题）若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点. （1）若点P 为锐角ABC △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则PB 的值为________； （2）如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′. 求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′=PA PB PC ++. 3．（2010年湖南省永州市中考数学试题）探究问题： (1)阅读理解： ①如图(1)，在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离． ②如图(2)，若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ·CD+BC ·DA=AC ·BD ，此为托勒密定理． (2)知识迁移：
中考数学压轴题专题费马点
专题9 费马点 破解策略 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． 1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明： 如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP ＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP 所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点 2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．
如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点 证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC ＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心
费马点与中考试题
识别“费马点”思路快突破 例1 探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小， 则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离. ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理 . （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点.求证：PB＋PC＝PA. A BC ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆； 第二步：在上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C） A BC ＝P′A＋； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离 . （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.
简解：（2）①证明：由托勒密定理可知PB ·AC ＋PC ·AB ＝PA ·BC ∵△ABC 是等边三角形 ∴ AB ＝AC ＝BC ∴PB ＋PC ＝PA ②P ′D AD （3）解：如图，以BC 为边长在△ABC 的外部作等边△BCD ，连接AD ，则知线段AD 的长即为△ABC 的费马距离. ∵△BCD 为等边三角形，BC ＝4， ∴∠CBD ＝60°，BD ＝BC ＝4. ∵∠ABC ＝30°， ∴∠ABD =90°. 在Rt △ABD 中，∵AB ＝3，BD ＝4 ∴AD ＝5（km ） ∴从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度的最小值为5km. 点评：此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体，题型新颖别致，综合考查自主探究、创新应用能力，是一道不可多得的好题.命题者设置成递进式问题，后续问题的思路获取、求解都靠对上一结论的解读、利用，这也是近年“课题学习”考查的一大风向，值得重视. 如果说例1只是以“费马点”为课题学习的素材进行了考查，为了帮助同学们更好的理解三角形的费马点，我们补充几点： （1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小. 特殊三角形中： (2)三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB ，BC ，CA ，为边，向三角形外侧做正三角形ABC 1，ACB 1，BCA 1，然后连接AA 1，BB 1，CC 1，则三线交于一点P ，则点P 就是所求 的费马点. (3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC 为等边三角形时，此时外心与费马点重合. 可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是 2010年福建宁德一道考题对这个知识考查显得隐蔽了，请看：
最新“费马点”与中考试题
“费马点”与中考试题 费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． △三个顶点的距离之和P A+PB+PC最小？这就下面简单说明如何找点P使它到ABC 是所谓的费马问题． 图1 解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′． 则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC， 所以P A+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小． 这时∠BP A=180°-∠APP′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BP A-∠APC=360°-120°-120°=120° △的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是因此，当ABC 120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点． 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考． 例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离26
中考数学押轴题型-费马点相关问题
费马点及其在中考中的应用 一、费马点的由来 费马(Pierre de Fermat，1601—1665)是法国数学家、物理学家．费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好．然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌．他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承1 7世纪数论天地的人．一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家．尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年．费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在△ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”． 二、探索费马点 1．当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，则费马点就是这个内角的顶点．
下面来验证这个结论：如图1，对三角形内任意一点P，延长BA至点C′，使得A C′=AC， 作∠C′AP′=∠CAP，并且使得AP′= AP．即把△APC以A为中心做旋转变换．则△APC≌△AP′C′， ∵∠BAC≥120°，∴∠PAP′≤6 0°．∴在等腰三角形PAP′中，AP≥P P′， ∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′= AB+AC．所以A是费马点． 2．如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为 120°的点．
如图2，以B点为中心，将△APB旋转60°到△A′B P′．因为旋转60°，且PB=P′B，所以△P′PB为正三 角形．因此，PA+PB+PC=P′A′+P′P+PC． 由此可知当A′，P′，P，C四点共线时，PA+PB+PC =P′A′+P′P+PC为最小． 当A′，P′，P共线时，∵∠BP′P=60°，∴∠A′P′B=∠APB=120°．同理，若P′，P，C共线时，则∵∠ BPP′=60°，∴∠BPC=120°． 所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点． 费马点相关问题 等腰直角三角形,已知在直角平分线上的一点P,PA+PB+PC最小值为√6 +√2，求直角边的长度？ 解答：如图 将三角形PAC逆时针旋转60度得三角形DEC，则角PCD=60度， 三角形PCD是正三角形，PC=PD且DE=PA， 所以PA+PB+PC=DE+PD+PB，根据两点之间线段最短，当点E、D、P、B在一条直线上时，DE+PD+P B最小，这时角BPC=120度，角APC=EDC=120。 下证这时的点P就在角ACB的平分线上。 在三角形DCE和PCB中，因CE=CA=CB得角E=角PBC，又有角EDC=BPC=120度， 得三角形CDE、CPA、CBP全等，角ECD=ACP=BCP，点P在角ACB的平分线上。 所以点P是这样一个点：它使角APC=BPC=APB=120度（这个点叫三角形的费马点）。 延长CP交AB于F，则CF垂直AB，且由三角形CPA、CBP全等知PA=PB，得角FPA=60度， 设PF=x，则PA=PB=2x ，AF=CF=√3*x，PC=(√3-1)x， 有2x+2x+(√3-1)x=√6+√2，x=1/3√6。
中考中的费马点详解加练习
皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。 之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。 费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。 著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王。“贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。 费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。 托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，
因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。 这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。 “费马点”是指位于三角形且到三角形三个顶点距离之和最短的点。 若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。 这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。 1.若三角形3个角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的角相等，均为120°。 所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。2.若三角形有一角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
中考中的费马点问题
费马点 “费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点. 若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C 的距离之和比从其它点算起的都要小. 这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个. 【定义】 1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。） 2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点. 【费马点问题】 问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 图文解析： 如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′， ∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′． ∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′ 为定长 ∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小 值为BA.′ 【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】 ∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°， ∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°. 因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
费马点与中考试题
费马点与中考试题 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】
识别“费马点”思路快突破 解题的成功取决于多种因素，其中最基本的有：解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经验因素和解题的非智力因素，这也就是我们常说的解题基本功．可见解题的知识因素是第一位的，足以说明它的重要性．下面我们从解题的知识因素上关注两道中考题的思路获取． 例1 （2010湖南永州）探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距 离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离. ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理. （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点.求证：PB＋PC＝PA. ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在BC上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C）＝P′A＋； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离. （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值. 思路探求：（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证. ②问，借用①问中对于费马点的定义结论容易获解. （3）知识应用，模仿（2）的图形，先构造正三角形，由（2）中的结论，再计算AD即为最小距离. 简解：（2）①证明：由托勒密定理可知PB·AC＋PC·AB＝PA·BC ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝AC＝BC ∴PB＋PC＝PA
费马点与中考试题
识别“费马点”思路快突破 解题的成功取决于多种因素，其中最基本的有：解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经 验因素和解题的非智力因素，这也就是我们常说的解题基本功．可见解题的知识因素是第一位的，足以说明它的重要性．下面我们从解题的知识因素上关注两道中考题的思路获取． 例1 （2010湖南永州）探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则 称点P为△ABC的费马点，此时P A＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离. ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理. （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点.求证：PB＋PC＝P A. ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆； 第二步：在BC上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C） ＝P′A＋； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离. （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选
费马点与中考试题
费马点与中考试题内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
识别“费马点”思路快突破 例1 探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的 距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC 的费马距离. ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理. （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点.求证：PB＋PC＝PA. ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在BC上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B ＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C）＝P′A＋； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离. （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.
已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值. （1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小. 特殊三角形中： (2)三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB，BC，CA，为边，向三角 形外侧做正三角形ABC 1，ACB 1 ，BCA 1 ，然后连接AA 1 ，BB 1 ，CC 1 ，则三线交于一 点P，则点P就是所求的费马点. (3)若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求. (4)当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合. 可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是 例2 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为1 3 时，求正方形的边长.
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识别“费马点”思路快突破 解题的成功取决于多种因素，其中最基本的有：解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经验因素和解题的非智力因素，这也就是我们常说的解题基本功．可见解题的知识因素是第一位的，足以说明它的重要性．下面我们从解题的知识因素上关注两道中考题的思路获取． 例1 （2010湖南永州）探究问题： （1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点 的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA＋PB＋PC的值为△ABC的费马距离. ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB·CD＋BC·DA＝AC·BD.此为托勒密定理. （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点.求证：PB＋PC ＝PA. ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆； 第二步：在BC上任取一点P′，连结P′A、P′B、P′C、P′D.易知P′A＋P′B＋P′C＝P′A＋（P′B＋P′C）＝P′A＋；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离. （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值. 思路探求：（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证. ②问，借用①问中对于费马点的定义结论容易获解. （3）知识应用，模仿（2）的图形，先构造正三角形，由（2）中的结论，再计算AD即为最小距离. 简解：（2）①证明：由托勒密定理可知PB·AC＋PC·AB＝PA·BC ∵△ABC是等边三角形 ∴ AB＝AC＝BC ∴PB＋PC＝PA ②P′D AD （3）解：如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为△ABC的费马距离. ∵△BCD为等边三角形，BC＝4， ∴∠CBD＝60°，BD＝BC＝4.
费马点与中考试题
“费马点”与中考试题 费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． △三个顶点的距离之和P A+PB+PC最小？这就下面简单说明如何找点P使它到ABC 是所谓的费尔马问题． 图1 解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′． 则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC， 所以P A+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，P A+PB+PC最小． 这时∠BP A=180°-∠APP′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BP A-∠APC=360°-120°-120°=120° △的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是因此，当ABC 120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点． 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考． 例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离26
费马点与中考试题
识别“费马点”思路快突破 例1探究问题: （1）阅读理解: ①如图（A），在已知△所在平面上存在一点P,使它到三角形顶 点的距离之和最小，则称点P为△的费马点，此时++的值为△的费马距离. ②如图（B）,若四边形的四个顶点在同一圆上，贝U有? + ? = ?. 此为托勒密定理 A tn B) （2）知识迁移: ①请你利用托勒密定理，解决如下问题: 如图（C）,已知点P为等边△外接圆的BC上任意一点.求证：+=. ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△（其中/ A、/ B/ C 均小于120° ）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D）,在△的外部以为边长作等边△及其外接圆； 第二步：在BC上任取一点P ,连结P'A、P'B、P'C、P'D.易知P'A + P'B + P'C = P'A+ （P'B+ P'C） = P'A + _____________________ 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△的费马点P, 1 / 5
并请指出线段______ 的长度即为△的费马距离
A (3)知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水. 已知三村庄A B C构成了如图(E)所示的△(其中/ A / B / C均小于120°),现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A B C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值 (1)平面内一点P到△三顶点的之和为，当点P为费马点时，距 离之和最小. 特殊三角形中： (2)三内角皆小于120°的三角形，分别以，，为边，向三角形外侧 3 / 5
【中考几何模型压轴题】专题9《费马点》
中考几何压轴题（几何模型30讲） 最 新 讲 义
专题9《费马点》 破解策略 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． 若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点 证明： 如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP 所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC
所以点A为△ABC的费马点 2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点． 如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O
2020年九年级数学中考几何探究型问题：线段最值问题——“费马点”问题(含答案)
几何探究型问题(针对第25题) 线段最值问题 “费马点”问题 【问题背景】“费马点”——就是到三角形三个顶点的距离之和最小的点．“费马点”问题在中考考查时主要隐藏在求PA＋PB＋PC的最小值问题，通常将某三角形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题． 【模型分析】对于一个各角不超过120°的三角形，“费马点”是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．费马点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA＋PB＋PC最小，这就是所谓的“费马”问题． 如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP′C′，则可以构造出等边三角形APP′，从而得到AP＝PP′，CP＝C′P′，所以将PA＋PB＋PC的值转化为PP′ ＋PB＋P′C′的值，则线段BC′的长即为所求的最小值． 例题 1．如图，已知点P为等边三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点，求 证：PB＋PC＝PA． 证明：如答图，在P A上截取PM＝PC，连接CM.
∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，BC ＝AC ． ∵∠ABC ＝∠APC ，∴∠MPC ＝60°， ∴△MPC 是等边三角形， ∴∠MCP ＝60°，MC ＝PC ，∴∠ACM ＝∠BCP . 在△BPC 和△AMC 中，????? BC ＝AC ， ∠BCP ＝∠ACM ，PC ＝MC ， ∴△BPC ≌△AMC (SAS)， ∴BP ＝AM ，∴PB ＋PC ＝AM ＋PM ＝P A ． 2．已知三个村庄A ，B ，C 构成了如图所示的△ABC(其中∠A ，∠B ，∠C 均小于120°)，现选取一点P 作为打水井，使水井P 到三个村庄A ，B ，C 所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值． 解：如答图，以BC 为边在△ABC 的外部作等边三角形BCD ，连接AD ． ∴AD 的长就是△ABC 的费马距离． 易得∠ABD ＝90°， ∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5(km)． 答：输水管总长度的最小值为5 km. 练习 (2019·陕师大附中六模)问题提出 (1)如图1，在△ABC 中，BC ＝2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△A ′BC ′，则CC ′＝______. 【解答】 由旋转的性质可知∠CBC ′＝60°，BC ′＝BC ，则∠△BCC ′是等边三角形，故CC ′＝BC ＝2.
中考数学压轴系列--费马点
对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点． △三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是下面简单说明如何找点P使它到ABC 所谓的费尔马问题． 图1 解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′． 则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC， 所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小． 这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120° △的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都因此，当ABC 是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点． 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
1.( 株洲)已知P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA+PB+PC 的最小值． 2.（ 北京）如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 的坐标为(0,2). 点D 在x 轴的正半轴 上. 30ODB ∠=?. OE 为△BOD 的中线. 过B 、E 两点的抛物线2 3 y ax x c =+ +与x 轴相交于A 、F 两点(A 在F 的左侧).等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上，点P 为△ABO 内的一个动点. 设m PA PB PO =++. 请直接写出m 的最小值, 以及m 取得最小值时, 线段AP 的长. (备用图)
费马点与中考试题
费马点与中考试题 集团文件版本号：(M928?T89&M248-WU2669?I2896?DQ586-M1988)
识别“费马点”思路快突破 例1探究问题: （1）阅读理解： ①如图（A）,在已知△/处所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的 距离之和最小，则称点P为△磁的费马点，此时PA+PB+ PC的值为△力处的费马距离. ②如图（B）,若四边形個仞的四个顶点在同一圆上，则有 BC?DA=AC?血此为托勒密定理. （2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C）,已知点P为等边△磁外接圆的BC上任意一点.求证：PB+ PC= PA. ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△/必（其中Z/、ZB、ZC均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D）,在△磁的外部以庞为边长作等边及其外接圆； 第二步：在眈上任取一点P',连结円力、P，B、P，C、" Q.易知尸‘力+ P‘ B+P' C=P f A+ JP' B+P' C）=P‘ /+ ________________ ； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△磁的费马点只并请指出线段___________ 的长度即为△宓的费马距离. （3）知识应用:
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水. 己知三村庄力、B、C构成了如图（E）所示的（其中Z/、乙B、ZC均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井尸到三村庄力、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值. （1）平面内一点P到AABC三顶点的之和为PA+PB+PC,当点P为费马点时，距 离之和最小. 特殊三角形中： （2）三内角皆小于120°的三角形，分别以AB, BC, CA,为边，向三角形外侧做正三角形ABC】，ACB】，BCAx，然后连接AA】，BB】，CC”则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点. （3）若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求. （4）当AABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合. 可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合的是 例2如图，四边形/妙是正方形，△遊是等边三角形，必为对角线別（不含方点）上任意一点，将剔绕点万逆时针旋转60°得到础连接囱、 AM. CM. （1）求证： （2）①当M点在何处时，AM-V CM的值最小； ②当财点在何处时，4W+&M+CW的值最小，并说明理由; ⑶ 当的最小值为"+1时，求正方形的边长.